Моделирование взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды методом крупных вихрей.

Содержание
Введение............................................................... 6
1. Гидрофизические и гидродинамические процессы в океане и их влияние на гидродинамику тела.................................................... 15
1.1. Гидрофизическая структура океана................................ 15
1.1.1. Поля солености, температуры и плотности в Мировом океане...... 15
1.1.2. Стратификация и её виды....................................... 20
1.2. Гидродинамические процессы в океане............................. 22
1.2.1. Основные уравнения движения....................................22
1.2.2. Крупномасштабные движения в океане............................ 26
1.2.3. Волны в океане.................................................27
1.2.4. Особенности турбулентных процессов в океане....................37
1.3. Влияние морской среды на гидродинамические характеристики тел 60
1.3.1. Влияние границ раздела на интегральные гидродинамические характеристики .............................................................. 60
1.3.2. Влияние неоднородности поля плотности на локальные гидродинамические характеристики................................................... 65
2. Моделирование движения неоднородной жидкости....................... 70
2.1. Различные приближения уравнений движения неоднородной жидкости 71
2.1.1. Уравнения движения вязкой весомой жидкости.................... 71
2.1.2. Приближение Буссинеска........................................ 72
2.1.3. Уравнения движения невязкой жидкости.......................... 75
2.1.4. Потенциальное движение жидкости............................... 76
2.2. Моделирование невязких стратифицированных течений жидкости 76
2.2.1. Модель потенциального волнового движения...................... 76
2.2.2. Линейная волновая модель...................................... 79
2.3. Моделирование турбулентных стратифицированных течений жидкости 81
2.3.1. Основные гипотезы турбулентности.............................. 81
2
2.3.2. Моделирование турбулентных стратифицированных течений на основе прямою численного моделирования (DNS)................................. 86
2.3.3. Моделирование турбулентных стратифицированных течений на основе подхода Рейнольдса (URANS)............................................ 89
2.3.4. Моделирование турбулентных стратифицированных течений на основе метода крупных вихрей (LES)...........................................100
2.4. Описание свободной поверхности на основе модели вязкой жидкости ..114
2.4.1. Метод слежения за свободной границей......................... 115
2.4.2. Методы фиксации свободной поверхности........................ 117
3. Математическая модель турбулентного движения неоднородной жидкости..............................................................121
3.1. Основные допущения.............................................. 121
3.2. Математическая постановка задачи динамики вязкой жидкости и обусловленность ее решения...................................................121
3.2.1. Функциональные пространства.................................. 121
3.2.2. Особенность постановки задачи о движении вязкой однородной несжимаемой жидкости и ее разрешимость.....................................124
3.3. Уравнения движении вязкой неоднородной несжимаемой жидкости в не-инерциальной системе координат....................................... 128
3.3.1. Кинематика жидкой частицы.................................... 129
3.3.2. Уравнения Навье-Стокса в нсинерциалыюй системе координат 130
3.3.3. Уравнение неразрывности в нсинерциалыюй системе координат 133
3.3.4. Уравнение переноса вариации плотности в нсинерциальной системе координат ............................................................. 134
3.3.5. Уравнения метода крупных вихрей в нсинерциальной системе координат............................................................ 135
3.3.6. Уравнения движения вязкой несжимаемой стратифицированной жидкости, ограниченной свободной поверхностью, в неинерциальной системе координат............................................................ 136
3
3.4. Начальные и граничные условия.....................................138
3.4.1. Постановка начальных и краевых условий в общем случае.......... 139
3.4.2. Постановка краевых условий для уравнений метода крупных вихрей 141
3.4.3. Постановка начальных и краевых условий для уравнений, записанных в неинерциальной системе координат....................................... 142
3.4.4. Постановка граничных условий для решения некоторых частных
задач.................................................................. 143
3.5. Параметризация турбулентных процессов на основе метода крупных вихрей 146
3.5.1. Усовершенствованная смешанная динамическая модель.............. 146
3.5.2. Усовершенствованная модель Смагоринского-Лилли для
стратифицированных течений жидкости.................................... 150
4. Численное интегрирование уравнений гидродинамики.................... 154
4.1. Краткий обзор численных методов...................................154
4.1.1. Метод конечных разностей....................................... 155
4.1.2. Метод контрольного объема...................................... 156
4.1.3. Метод конечных элементов........................................157
4.2. Высокопроизводительный конечно-элементный метод решения задачи динамики вязкой несжимаемой неоднородной жидкости....................... 160
4.2.1. Схема расщепления и проекционный метод определения поправок давления ..............................................................161
4.2.2. Метод Галсркина и слабая формулировка задачи................... 163
4.2.3. Семейства проекционных и базисных функций...................... 167
4.2.4. Сходимость и погрешность метода пространственной дискретизации 171
4.2.5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 172
4.2.6. Стратегия распараллеливания.................................... 175
4.3. Методы построения расчетных сеток.................................178
4.4. Алгоритм решения краевой задачи гидродинамики.................... 181
4.5. Краткий обзор пакетов вычислительной гидродинамики................184
4
4.6. Пакет корабельной гидродинамики /г/сж>/г£5'...................... 186
5. Верификация математической модели турбулентного движения неоднородной жидкости.......................................................... 190
5.1. Оценка моделей турбулентности.................................... 190
5.1.1. Однородное струйное течение в канале смесителя.................190
5.1.2. Отрывное обтекание тел потоком однородной жидкости............203
5.2. Оценка модели динамики стратифицированных сред....................226
5.2.1. Динамика внутренних приливных волн над подводной возвышенностью.........................................................226
5.2.2. Формирование стратифицированного течения жидкости в канале под
действием гравитации...................................................228
5.3. Оценка метода описания свободной поверхности......................231
6. Численное моделирование взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды..........................................................234
6.1. Моделирование динамики морской среды..............................234
6.1.1. Взаимодействие внутренних приливных волн с подводными возвышенностями ...............................................................234
6.1.2. Гравитационное течение на шельфе...............................241
6.1.3. Взаимодействие затопленной струи с пикноклином.................249
6.1.4. Взаимодействие внутренних и поверхностных волн.................256
6.1.5. Ветро-волновое взаимодействие..................................262
6.2. Моделирование взаимодействия морских объектов с гидрофизическими полями морской среды...................................................267
6.2.1. Стратифицированное течение жидкости возле плохообтекаемого
тела...................................................................267
6.2.2 Структура течения за хорошо обтекаемым телом вблизи пикноклина 272
6.2.3. Влияние жидких границ на обтекание крыла малого удлинения 278
Заключение.............................................................293
Литература.............................................................296
5
Введение
Совершенствование образцов морской техники и средств освоения океана требует создания новых подходов в решении комплексной проблемы - взаимодействия технического объекта с окружающей морской средой. Эффективное решение такой сопряженной задачи требует проведения фундаментальных и прикладных исследований в области геофизики, океанологии, экологии и кораблестроения и представляет собой важную научно-техническую задачу.
Современная океанология располагает довольно обширными данными о физических процессах, протекающих в океане. Однако присутствие в морской среде технического объекта требует детализации научных сведений о взаимовлиянии динамики океана и гидродинамики тела. Обладание подобными знаниями позволит не только усовершенствовать новые образцы морской техники, но и повысить безопасность и эффективность их эксплуатации.
Основной особенностью морской среды является пространственно-временная неоднородность ее гидрофизических полей. Для нее характерно наличие областей, в которых наблюдается резкое изменение поля плотности по глубине. При определенных условиях (обтекании подводных возвышенностей, приливного форсинга, воздействия поверхностных волн или прохождении технического объекта) на границе скачка плотности (пикноклине) могут возникать внутренние волны (ВВ), которые вступают во взаимодействие с другими физическими явлениями.
Для задач корабельной гидродинамики наибольший интерес представляют процессы, обусловленные силой тяжести и сдвиговой неустойчивостью: волновые и турбулентные движения, которые влияют на интегральные и локальные гидродинамические характеристики. Волновые движения морской среды оказывают влияние на динамику (качка, управляемость) и гидродинамику (ходкость) корабля.
6
Изучение влияние ветровых волн на динамику и гидродинамику тела, а также гидродинамика тела вблизи свободной поверхности, являются предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований на протяжении более, чем уже ста лет. Эти вопросы освещены в трудах: А.Н. Крылова, В.В. Семенова-Тян-Шанского, С.Н. Благовещенского, Дж. Лайтхилла, А.Н. Хо-лодилина, И.К. Бородая, Ю.А. Нецветаева, Я.И. Войткунского, А.Н. Шебалова,
B.В. Луговского, М.Н. Тулина, Р.В. Борисова и В.Ю. Семеновой. Причины появления поверхностных волн и их динамика рассмотрены в работах отечественных и зарубежных авторов: Н.Е. Кочина, Л.Н. Сретинского, A.C. Монина,
Е.Н. Пелиновского, А. Слюнясва, Д.Ю. Чаликова, Дж. Стокса, О.М. Филлипса, A.IO. Бенилова, С.С. Зилитинкевича, С. А. Торпа, М.М. Заславского.
Другим важным вопросом для исследования взаимодействия тел и морской среды является изучение механики стратифицированной жидкости. Теоретическому и экспериментальному анализу возбуждения внутренних волн различными источниками, их обрушения и генерации ВВ турбулентности посвящены публикации Дж. Стокса, А. Лове, О.М. Филипса, К. Хассельманна, Дж. Майлса,
C.А. Торпа, Л.А. Островского, А.Я. Басовича, В.В. Баханова, В.И. Таланова, Ю.И. Троицкой, Ю.Д. Чашсчкина, ЮЗ. Миропольского, Т.Н. Иванова, Я.И. Войткунский, Ю.В. Разумеенко, В.В. Васильевой, В.И. Букреева, В.А. Воронцова, И.В. Стуровой, Е.В. Ермашока, O.A. Дружинина, О.Д. Шишкиной. Первоначально основное внимание ученых было направлено на изучение самих внутренних волн, их взаимодействия с поверхностными волнами, механизма генерации турбулентности. Дальнейшие направления исследований были связаны с гидродинамикой гел, движущихся в стратифицированной жидкости.
Рассматриваемая в диссертационной работе проблема взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды является актуальной и одной из важнейших в настоящее время. Математические методы моделирования взаимодействия морских объектов и морской среды в большинстве случаев носят частный или упрощенный характер. Они основываются на потенциальных мо-
7
делях течений, либо на моделях вязкой жидкости, недостаточно полно учитывающих влияния друг на друга пикноклина и свободной поверхности. Имеются определенные трудности в использовании методов лабораторного исследования. Поэтому создание обобщенной математической модели взаимодействия тела и гидрофизических полей морской среды, описывающей внутренние и поверхностные волны, турбулентные процессы в стратифицированной среде, дающей возможность получить интегральные, локальные и спектральные гидродинамические характеристики, является актуальной задачей. Полученные на ее основе решения имеют как важное практическое значение (повышение эффективности и безопасности эксплуатации корабельной техники, в первую очередь подводных устройств, освоение шельфовой зоны арктических морей России и просторов Мирового океана), так и фундаментальное, связанное с изучением физических процессов, протекающих в океане.
Целью работы является разработка обобщенной математической модели взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающей движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы воздух -морская среда, на основе метода крупных вихрей (Large Eddy Simulation - LES). Для достижения поставленной цели необходимо разработать фундаментальные методы решения задач гидродинамики стратифицированных сред, ограниченных свободной поверхностью, адаптировать и разработать подсеточные модели турбулентности, описывающих неоднородные течения жидкости, получить оценки взаимовлияния гидродинамических процессов морской среды и гидродинамических полей тел на основе теоретических и численных исследований.
Решения поставленных задач базируются на методах математической физики, а именно на решении осрсдненных по пространству аналогах уравнений Навье-Стокса, и численных методах, в основе которых лежат метод Галеркина и метод конечных элементов. Такой подход позволяет получить решения сходящиеся к точным, что доказывается основной проекционной теоремой. В гоже время, выбранная стратегия математического моделирования дает возможность
8
исследовать потоки стратифицированной жидкости в наиболее обшей постановке задачи - рассматривать реальные профили стратификации, учитывать ветро-волновое взаимодействие, взаимодействие поверхностных и внутренних волн, описывать процессы обрушения волн, генерации и коллапс турбулентности. Для оценки достоверности полученных решений результаты численных расчетов сопоставляются с данными экспериментальных исследований и расчетами других авторов.
Учитывая сложность решения поставленных задач и необходимость выполнения большого числа вычислений был разработан специализированный компьютерный код Р1о\*'РЕ5 для выполнения высокопроизводительных вычислений на суперкомпьютерах.
Результаты, полученные в работах, составивших содержание диссертации, и развитые в них методы решения проблемы позволяют понять основные закономерности формирования природных внутренних волн, вызванных приливными течениями над подводными возвышенностями, гравитационными течениями на шельфе и встро-волновым взаимодействием, оценить их геометрические параметры, топологию, локальные гидродинамические характеристики и спектральные свойства, выбрать критерии, показывающие преобладающий характер движения (волновой или турбулентный), найти основные отличия корабельных вынужденных внутренних волн от природных, показать, что их модальная структура существенно отличается от волн, порождаемых океаном, и получить величину силового воздействия стратификации с учетом вязкости жидкости.
В качестве основных положений на защиту выносятся:
1. Обобщенная математическая модель взаимодействия тел и гидрофизических нолей морской среды, описывающая движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы (интерфейса) воздух - морская среда, на основе метода крупных вихрей.
9
2. Новая подссточная модель турбулентности для описания стратифицированных течений жидкости, полученная на основе анализа волновой и турбулентной составляющих частей спектра (спектра Ламли).
3. Модифицированная подсеточная смешанная динамическая модель турбулентности с регуляризирующей процедурой на основе разложения в ряд Тейлора.
4. Новый конечно-элементный метод решения уравнений гидродинамики тела и динамики морской среды.
5. Программный комплекс для решения задач гидродинамики корабля и динамики океана на высокопроизводительных компьютерных системах.
6. Результаты исследования формирования природных внутренних волн, вызванных приливными течениями над подводными возвышенностями, гравитационными течениями на шельфе, поверхностными волнами и вет-ро-волновым взаимодействием.
7. Результаты изучения взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды.
8. Результаты изучения основных отличий в структуре внутренних природных и корабельных волн.
Диссертационная работа состоит из шести глав и заключения.
В первой главе приводится достаточно обширный материал обзорного характера, посвященный гидрофизической структуре океана и основным гидродинамическим процессам, протекающим в нем. Отмечается, что стратификация, гравитационные ветровые (поверхностные) и внутренние волны оказывают воздействие на гидродинамику корабля. Анализ экспериментальных и теоретических исследований позволил выявить ряд основных закономерностей, появляющихся в интегральных и локальных гидродинамических характеристиках, при буксировке тел в стратифицированной среде. При движении тел в пикноклине или вблизи него происходит возрастание коэффициента волнового сопротивления. Формирующиеся при этом внутренние волны условно разбивают
10
на четыре группы: стоячие волны (область заблокированной жидкости); волны, обусловленные неустойчивостью отрывной зоны; волны, возникающие вследствие коллапса вихревого следа; волны, порожденные турбулентными эффектами («случайные волны»). В спутном следе плохообтекаемых тел выделяют семь типов течений, среди которых следует отметить нестационарный вихревой след, дорожку дискретных кольцевых вихрей с системой присоединенных ВВ, турбулентный след с анизотропными вихрями.
Во второй главе приводятся математические модели описания неоднородных течений жидкости, даются различные приближения уравнений движения весомой жидкости, анализируются достоинства и недостатки различных подходов описания стратифицированных течений. Особое внимание уделяется моделированию турбулентных стратифицированных потоков. Приводятся метод описания турбулентных течений на основе уравнений Рейнольдса (URANS) и метод крупных вихрей (LES), различные модели турбулентности. Во второй главе также описываются современные методы моделирования свободной поверхности: метод слежения за свободной границей и метод фиксации свободной поверхности.
Третья глава посвящена разработке обобщенной математической модели взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающей движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы воздух -морская среда, на основе метода крупных вихрей. Упоминаются известные результаты о разрешимости задачи Навье-Стокса, выводятся уравнения метода крупных вихрей в неинерциальной системе координат, что позволяет изучить произвольное движение тела в стратифицированной среде, предлагается модель, описывающая течения стратифицированной жидкости с произвольным профилем стратификации и прилегающего к ней воздуха. Рассматриваются вопросы постановки математически обоснованных краевых условий. Используется новый способ получения смешанной динамической модели с регуляризиру-ющей процедурой на основе разложений в ряд Тейлора, и модели Смагорин-
11
ского-Лилли для стратифицированных течений жидкости на основе анализа волновой и турбулентной составляющих спектра (спектра Ламли).
Глава четыре посвящена построению конечно-элементного метода решения уравнений динамики вязкой несжимаемой неоднородной жидкости, позволяющего получить теоретически обоснованное решение. Дается краткий обзор современных численных методов и программных пакетов, применяющихся в вычислительной гидродинамике, методов построения сеток. В заключении главы приводится описание возможностей разработанного программного кода FlowFES.
В пятой главе содержатся результаты опенки моделей турбулентности для решения задач внутренней гидродинамики (струйное течение в трубе) и внешнего обтекания (течение возле сферы, эллипсоида вращения при стационарных углах атаки и совершающего маневр, крыла малого удлинения), обсуждаются достоинства и недостатки URANS и LES моделей. Решены задачи о динамике внутренних приливных волн над подводной возвышенностью, о формировании стратифицированного течения в канале под действием гравитации и о возникновении гравитационного скачка на свободной поверхности при обтекании подводной возвышенности. Сравнение результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными и расчетами других авторов показывает хорошую работоспособность математической модели и метода.
В последней шестой главе приводятся решения задач о генерации природных внутренних волн различными источниками: приливным течением над подводной возвышенностью, гравитационным течением на склонах шельфа, затопленной стратифицированной струей, поверхностными волнами и ветроволновым взаимодействием. Анализируются их полевые, геометрические, энергетические и спектральные характеристики. Оценивается взаимодействие поверхностных и внутренних волн. В этой же главе приводятся результаты моделирования взаимодействия тел корабельной формы (сферы, эллипсоида, крыла малого удлинения) и гидрофизических полей морской среды. Показано, что при
12
движении тела вблизи скачка плотности или внутри него происходит увеличение его сопротивления, которое при определенных условиях может достигать 10-20%. При этом в частотном спектре коэффициента сопротивления возникает дополнительная высокочастотная мода, отсутствующая в спектре однородною обтекания. Положение тела относительно пикноклина оказывает влияние на его гидродинамические поля и форму внутренних волн. Выявлено, что характерные безразмерные частоты природных внутренних волн существенно меньше (на порядок) частот корабельных внутренних волн. Таким образом, анализ спектров внутренних воли позволяет идентифицировать источник их образования.
Основные результаты работы были доложены и получили положительную оценку на: отечественных и международных научных семинарах СПбГМТУ (2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011 гг.), НПФ РАН (2009, 2010 гг.), ИСП РАН (2011 г.), СПб ФИО РАН (2009, 2011 гг.), университета г. Ростока, ФРГ (2005, 2006, 2011 гг.), ЦНИИ Кораблестроения, КНР (2011 г.); всероссийских и международных конференциях «IX Всероссийский конгресс по теоретической и прикладной механике» (2006 г.), «НЕВА-2007», «Потоки и структуры в жидкостях» (2007, 2009 гг.), «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (2008, 2010 гг.), «Крыловские чтения» (2009 г.), «МОРИНТЕХ» (2009 г.), «Облачные вычисления: образование, научные исследования, разработки» (2010, 2011 гг.), “ERCOFTAC Int. Sytnp. ЕММ6”, Италия (2005 г.), “Turbulence and shear flow phenomena”, США (2005 г.), “EUROMECH-469”, ФРГ (2005 г.), “Fluid Mixing 8”, Великобритания (2006 г.), “SubSeaTECH 2007”, Россия (2007 г.), “SuperFast-2008”, Россия (2008 г.). Всего по направлению диссертации автором опубликовано 61 работа, из них одна монография и 15 публикаций в рецензируемых научных журналах и изданиях, в частности: «Известия РАН. Механики жидкости и газа» (три публикации), «Фундаментальная и прикладная гидрофизика» (три публикации), «Морские интеллектуальные технологии» (две публикации), «Труды ЦНИИ им. ак. А.Н. Крылова» (одна публикация), «Навигация и
13
гидрография» (одна публикация), “Chemie Ingenieur Technik” (одна публикация), “Heat Mass Transfer” (одна публикация), “Communications in Numerical Methods in Engineering” (одна публикация), “Journal of Chemical Engineering Science” (одна публикация), “Flow, Turbulence and Combustion” (одна публикация).
14
1. Гидрофизические и гидродинамические процессы в оке ане и их влияние на гидродинамику тела
Эксплуатация морских объектов неразрывна связана с воздействием на них Мирового океана. В общем случае влияние океана на морские инженерные сооружения проявляется как в виде механических (гидромеханических) нагрузок, так и в виде акустических, электромагнитных и химических воздействиях.
Гидромеханическое влияние океана на морские объекты обусловлено структурой его физических полей и его динамикой. Под физической структурой океана в первую очередь понимается строение полей температуры, солености и плотности. Под динамикой океана - все многообразие протекающих гидродинамических процессов в океане, масштабы которых варьируются от сотен микрон до сотен тысяч километров. Выделим гидрофизические и гидродинамические особенности Мирового океана, которые оказывают непосредственное влияние на гидродинамику тела и которые в дальнейшем будем называть морской средой.
1.1. Гидрофизическая структура океана
1.1.1. Поля солености, температуры и плотности в Мировом океане
Под соленостью океана понимается относительное содержание в морской воде растворенных в ней минеральных солей [1]. Соленость является безразмерной величиной и выражается в тысячных долях - промилях (%0).
Соленость в океане меняется весьма существенно в зависимости от района Мирового океана. Низкие значения солености наблюдаются во внутренних морях. Например, в Черном море соленость составляет 15-23 %<,, а в Балтийском море - 3-20%0. Максимальные значения солености также обнаруживаются во внутренних морях. В Средиземном морс соленость достигает 39 %о, а в Красном море - 41 %о. В среднем соленость океана меняется в пределах 31-38 %к).
15
Экстремальные значения солености встречаются в приповерхностном слое океана, где наиболее сильную роль играют факторы, меняющие концентрацию соли: испарение воды, осадки, ледообразование.и ледогаяние, речной сток.
Суммарный поток тепла через поверхность мирового океана складывается из: прямого и рассеянного в атмосфере коротковолнового электромагнитного излучения Солнца, проникающего через поверхность океана; эффективного длинноволнового излучения океана, представляющего собой разность между излучением океана в атмосферу и обратным излучением; затрат на испарения с поверхности океана и теплообмена между океаном и атмосферой.
Колебания температуры на поверхности океана зависят от широт. Наибольшие годовые колебания температуры наблюдаются в районе 40° широты в северном полушарии и приблизительно 35° широты в южном [1]. В большинстве районов сезонные колебания температуры охватывают достаточно тонкий слой воды до глубин 200-400 м.
С точки зрения корабельной гидродинамики, как отмечается в [2], наибольший интерес представляет собой распределение поля солености и температуры по глубине океана.
Основные закономерности распределения температуры по глубине океана следующие.
Теплая вода в океане занимает сравнительно тонкий приповерхностный слой, отделяющийся от холодных нижних вод главным термоклином - слоем повышенных значений вертикального градиента температуры. Ниже термоклина температура водных масс монотонно уменьшается либо остается постоянной (рис. 1.1). Гак, например, в Атлантике на глубинах ниже 1200 м температура воды не поднимается выше 7 °С [1].
16
О 5 ЮТ, °С
Рис. 1.1. Вертикальное распределение температуры Г, "С (1) и солености 5, %0 (2) в северной части Тихого океана (47° 18* с.ш. и 175°57' з.д.) в летний сезон, по данным научно-исследовательского судна «Витязь», архив ИО РАН [1].
Практически для всех сезонов и всех частей Мирового океана характерно развитие верхнего квазиоднородного слоя (ВКС), температура в котором почти постоянна по глубине. ВКС отделен от нижележащих вод сезонным слоем скачка температуры с резким уменьшением температуры с глубиной. В летнее время существование ВКС определяется турбулентным перемешиванием, обусловленным опрокидыванием ветровых волн, и процессом испарения. В умеренных и полярных широтах его толщина достигает несколько сотен метров (30-40 м но данным [2]) и не превышает 60-70 м. В тропиках и субтропиках она может достигать 100 м [1]. В зимнее время толщина ВКС определяется конвективным (турбулентным) перемешиванием за счет длинноволновых излучений океана, испарения и контактного теплообмена. В субтропических районах глубина его распространения составляет 150-200 м и 300-400 м для умеренных и субполярных областей. Слой скачка температуры в период зимнего охлаждения выражен весьма слабо. В экваториальных районах океана сезонные колебания
17
температуры незначительны, поэтому ВКС подстилается главным термоклином (рис. 1.2).
5 10 20 Т, °С
Рис. 1.2. Вертикальное распределение температуры Т, °С (1) и солености 5", %0 (2) в Саргассовом море (29°22' с.ш. и 65°30' з.д.) по данным «Кроуфорда» 12 февраля 1958 г. [1].
В некоторых районах умеренной и субполярной зон в летний период под слоем скачка температуры могут образовываться холодные и теплые промежуточные слои (рис. 1.1). Теплые промежуточные слои могут возникать за счет поступления теплых и соленных вод из субтропических областей океана.
На распределение солености в глубинах океана, помимо зон испарения и осадков на поверхности океана, ледообразования и стока рек, также оказывает влияние циркуляция вод в океане и турбулентное перемешивание. Поэтому, распределение солености по глубине носит сложный характер [1]. Часто ха-локлин - слой повышенного вертикального градиента солености, - находится в районе термоклина. При этом в высоких широтах менее соленая вода прей му-
18
щественно располагаться выше соленой (рис. 1.1). В низких широтах в приповерхностном слое океана могут наблюдаться более соленые воды (рис. 1.2).
Поле плотности или плотность жидкости играет значительную роль в гидродинамических процессах. Вариации плотности являются причиной появления сил плавучести (архимедовых сил) и, как следствие, приводит к возникновению движения (например, колебательного движения).
Плотность морской воды р зависит от температуры 7’, солености 5 и давления р и описывается уравнением состояния. Морская вода относится к классу капельных жидкостей, которые, как известно, являются слабосжимаемыми (фактически несжимаемыми). Поэтому, зависимость плотности морской воды от давления является практически равнозначной зависимости плотности от глубины. К сожалению, на сегодняшний день для капельных жидкостей, в отличии от газов, теоретически обоснованного уравнения состояния не существует. Из анализа эмпирических данных и в предположении малости изменений температуры и солености уравнение состояния морской воды можно аппроксимировать зависимостью [3]
р = р0(1-о7Ч/Й) (1.1)
где р0 - приведенное значение плотности, а - термический коэффициент расширения воды, Р - коэффициент влияния солености на плотность. Коэффициенты аир определяются приведенными значениями температуры и солености и зависят от глубины. Например, вблизи свободной поверхности при солености 35 %о, коэффициент термического расширения а имеет значение 5.26 10"3 К"1 при О "С, 1.67 • Ю“1 К-1 при 10"С и 2.9710 ‘к-1 при 25"С. С глубиной а увеличивается и на 1000 м при температуре 10"С и солености 35%Х) становится равным 1.84 10^ К"1. Значения коэффициента р при температурах 0"С и 10"С составляют 0Я2(/Ч)~' и 0.79%о”‘ соответственно.
19
Влияние температуры, хотя и немного, преобладает над влиянием солености. Поэтому, распределение плотности в океане согласовано с распределением температуры, то есть общему увеличению плотности с глубиной соответствует общее падение температуры. При этом главному термоклину соответствует главный пикноклин - слой повышенных значений вертикального градиента плотности, - разделяющий легкие поверхностные воды и тяжелые глубинные.
1.1.2. Стратификация и её виды
Как следует из предыдущего параграфа океан обладает слоистой неоднородностью поля плотности в вертикальном направлении или стратификацией, которая в стационарном состоянии остается неизменной.
О
-h
-2/7
О
-Л
-2h
Р
а)
б)
Рис. 1.3. Устойчивая (а) и неустойчивая (б) стратификация.
Рассмотрим как влияет стратификация на равновесие гидродинамической системы на примере двух идеализированных профилей плотности (рис. 1.3). Будем полагать, что слои жидкости с разной плотностью разделены тонким слоем взаимодействия.
В первом случае (рис. 1.1а) тяжелая жидкость р, находится внизу, а легкая жидкость р, - наверху. Если ось ху направлена вверх, то градиент плотности в
20
этом случае будет отрицательным с1р/(1х^< 0. При выведении системы из состояния покоя сила плавучести будет препятствовать смешению слоев жидкости между собой, а поверхность раздела жидкостей будет колебаться возле некоторого положения равновесия. Такой тип стратификации называется устойчивой. Во втором случае (рис. 1.16) тяжелая жидкость находится сверху, а легкая внизу. Под действием силы тяжести тяжелая жидкость устремиться вниз возникнет движение и фронт раздела плотности опрокинется. Градиент плотности в данном случае будет положительным с!р!с1ху >0 и такой тип стратификации называется неустойчивой. Потенциальная энергия во втором случае выше, чем в первом. Если градиент плотности равен нулю с!р/с1х} =0, то стратификация называется нейтральной. Несмотря на то, что океан в общем случае является устойчиво стратифицированным, в различных его районах можно встретить все типы стратификации.
Для устойчивой стратификации можно ввести частоту Вяйсяля N
где § - ускорение свободного падения, с - скорость звука в воде (с~ 1500 м/с), су и с - удельные теплоемкости воды при постоянном давлении и объеме (ср ~ 4183 кДж/кг/град при 7’=20°С). Выведенная из положения равновесия
жидкая частица будет совершать малые колебания около положения равновесия с частотой /V, которая является важным параметром стратификации среды и называется частотой Вяйсяля или плавучести. Для океана минимальное значение N порядка 10 3-10 4 с"1, а максимальное значение порядка 10 2 с'1.
Стратификации оказывает существенное влияние на характер течения, в том числе и на турбулентные процессы.
21
1.2. Гидродинамические процессы в океане
1.2.1. Основные уравнения движения
В общем случае движения водных масс в океане подчиняются основным законам сохранения механики и термодинамики: массы, импульса (количества движения), момента импульса (момента количества движения) и энергии. Традиционно в гидромеханике используется единая условная модель жидкости, в которой жидкость рассматривается как сплошная деформируемая среда, любой бесконечно малый объем которой обладает теми же свойствами, что и конечный объем. Кроме того, полагается, что находящаяся в неравновесном состоянии жидкость может быть условно разбита на совокупность малых частиц, состояние которых считается термодинамически равновесным. Размеры частицы при этом выбираются из предположения, что, с одной стороны, время перехода в равновесное состояние будет значительно меньше характерного времени изучаемого процесса, а с другой стороны, эта малая частица будет содержать в себе достаточное число молекул и ионов, чтобы основные положения статистической физики выполнялись.
В рамках концепции сплошной среды и локального термодинамическою равновесия математические выражения законов сохранения приобретают вид.
Закон сохранения массы. Закон сохранения массы морской воды представляет собой уравнение неразрывности
где - компонента вектора скорости, I - время, * - декартова координата, / = 1,2,3.
22
Закон сохранения массы соли. В морской среде должен соблюдаться закон сохранения вещества. Как правило, в качестве такого вещества выступает соль. Уравнение баланса соли имеет вид
Эр5 + Эр^5=_Э/_ ()4)
Э/ дxJ дх}
где I = -рОдЗ/дх. - вектор плотности диффузионного потока соли, 1) - коэффициент диффузии соли.
Закон сохранения импульса. Закон сохранения импульса представляет собой уравнения движения или переноса импульса
„.5,
гл ох) ах}
где Ь] - компонента вектора напряжения массовых сил, П(/ - компонента тензора напряжения поверхностных сил, у = 1,2,3. Под массовыми силами обычно понимают силу тяжести и инерционную силу. Поверхностные напряжения делятся на нормальные напряжения о(, направленные перпендикулярно к рассматриваемой поверхности, и касательные тц, направленные по касательной к ней
П„ = о,5ч + т„
где 51; - фундаментальный метрический тензор, символ Кронекера. Среднее арифметическое от нормальных напряжений называется давлением
23
Эта величина не изменяется при преобразовании координат и вследствие этого является инвариантом тензора напряжений. Даже, если в течении ту=0, давление не будет равно нулю и <7, =-р. Свойство парности касательных напряжений
т = т
У У'
является следствием закона сохранения момента количества движения.
Реальная морская среда оказывает сопротивление сдвигающим усилиям, то есть обладает вязкостью. В вязкой жидкости возникает сила трения, которая определяется Т1Г Связь между касательными напряжениями ту и градиентом
скорости согласно обобщенной гипотезе Ньютона выражается зависимостью
Т" _ 3 Ц дх. ' ^ 2
Эи, [ Эи] ,дх1 Эх,
(1.6)
Здесь ц - коэффициент динамической вязкости, - относительная скорость
сдвига. В течениях, в которых наряду с силами вязкости действуют инерционные силы, важную роль играет отношение динамической вязкости к плотности, называемое кинематической вязкостью
Вязкость жидкости зависит от температуры, с увеличением которой она уменьшается. В морской среде значения кинематической вязкости варьируются от 1.8-КГ6 до 10 6 м2/с в диапазоне температур от 0 до 20°С.
С учетом соотношения (1.6) поверхностные напряжения можно записать
Ц,—
Р +
2 Эм.
3 Эх
8„+И
[ди, ди,] —- +— \дх, дх,
(1.8)
Зависимость (1.8) представляет собой закон Стокса и ее подстановка в (1.5) позволяет получить уравнения движения вязкой жидкости - уравнения Навье-Стокса
дри дри,и, др д2и, 2 Э Эи
<9/ дх] Эх, дх] 3 Эх, дх/
(1.9)
которые впервые были получены Навье в 1822 г. и Пуассоном в 1829 г., а затем несколько иным методом Сен-Венаном в 1843 г. и Стоксом 1845 г.
Закон сохранении энергии. Закон сохранения энергии может быть записан в следующем виде
дре дри е ди д Ч-- _ ; — р ~~ 4- ~~—к
Эг дх.
дх/ Эху
+ ф
(1.10)
где е - удельная внутренняя энергия, к - коэффициент теплопроводности, Ф = г,;5,у. Уравнение сохранения энергии в виде (1.10), как правило, не используется и обычно приводится к специальному виду, о чем будет сказано ниже.
В основе вывода уравнений (1.3)-(1.4), (1.9)-(1.10) лежит анализ движения и деформации элементарной жидкой частицы и баланса тепла и соли в ней, основанный на законах Ньютона и Фурье. Существует альтернативный подход по-
25
лучения уравнений (1.3), (1.4), (1.9)-(1.10), основанный на кинетической теории газа и уравнениях Больцмана [4]. Однако, в этом случае возникает вопрос о правомочности применения полученных таким образом уравнений к капельным жидкостям, гак как при их выводе использовалось уравнение состояния идеального газа. Для капельных жидкостей, как отмечалось выше, аналитического уравнения состояния не существует.
Уравнения (1.3), (1.4), (1.9)-(1.10) позволяют описать любое движение жидкости в океане. Рассмотрим основные из них.
1.2.2. Крупномасштабные движения в океане
Под крупномасштабными движениями в океане подразумеваются океанские течения, формирование которых происходит в течении длительного времени и характерный масштаб которых сопоставим с масштабами Земли. Крупномасштабные течения подразделяют на общую циркуляцию Океана и течения Мирового океана [1].
Под общей циркуляцией понимается осредненное за длительное время движение океанских вод в глобальном масштабе Земли. Общая циркуляция обусловлена нагреванием или охлаждением поверхности океана, воздействием атмосферного давления и ветра. Течения Мирового океана представляют собой ветви макроциркуляционных круговоротов. Наиболее известными течениями Мирового океана являются Гольфстрим, Калифорнийское и др.
С точки зрения корабельной гидродинамики крупномасштабными течениями являются также и синоптические вихри в океане. Под синоптическими вихрями понимают нестационарные вихреобразные возмущения ноля океанских течений, имеющие горизонтальный размер 300-400 км и распространяющихся в глубину океана на сотни и тысячи метров [1].
Крупномасштабные океанские течения и синоптические вихри не оказывают влияние на гидродинамику корабля в силу несоизмеримости масштабов Земли и морского объекта. Поэтому в настоящей работе они не рассматриваются. Однако, следует отметить, что при создании глобальной автоматизированной си-
26
стемы навигации и судовождения крупномасштабные движения океана необходимо учитывать.
1.2.3. Волны в океане
Б отличии от крупномасштабных движений в океане волновые процессы оказывают влияние на гидродинамику тела [2]. Под волновым процессом понимается колебательный процесс движения жидкости относительно положения равновесия, обусловленный восстанавливающими или упругими силами. Распространяющееся возмущение называют волной. Введем в рассмотрение следующие основные характеристики волнового движения.
Высоту волны, то есть максимальное расстояние от вершины волны до се подошвы, будем обозначать через /?. Амплитуда волны равна половине ее высоты а = /7/2. Горизонтальное расстояние между вершинами двух смежных гребней волны представляет собой длину волны Я. Волновое число есть обратное отношение длины волны к = 2д/Я. Время, в течении которого через одну и ту же точку на поверхности моря проходят два следующих друг за другом гребня волны, называется периодом волны т. Тогда частота волны представляет собой отношение о = 2тг/т. Скорость движения волны или фазовую скорость будем обозначать с.
Основными факторами, вызывающими волны в океане, являются сила тяжести, стратификация и сжимаемость морской среды, вращение и сферичность Земли. Различие в причинах появления волновых движений приводит к много-масштабности волновых процессов. Рассмотрим их более подробно и выделим те волны, которые могут оказывать непосредственное воздействие на гидродинамические характеристики тела.
Акустические волны. Акустические волны в морской среде - это волны, порождаемые пульсациями давления и частоты которых о существенно больше частоты Вяйсяля /V и частоты вращения Земли О. : а2 » Ы2, (72 »О.2. Дисперсионное соотношение для акустических воли может быть приближенно записано следующим образом [I]
27
8
(1.11)
где к - модуль вектора волнового числа, Н - глубина. Акустические волны обусловлены только эффектом сжимаемости морской среды. Сила тяжести, стратификация и вращение Земли не оказывают на них существенного влияния.
В корабельной гидродинамике, в отличие от корабельной акустики, полагают, ч то жидкость несжимаемая среда. Следовательно, предполагается, что акустические волны отсутствуют. Поэтому влияние акустических волн на гидродинамику тела не оценивается. Гидроакустические расчеты, как правило, проводятся для оценки шума, создаваемого морским объектом на основе рассчитанных характеристик турбулентного движения. В тоже время в океане существуют естественные шумы. Это тепловые шумы, обусловленные молекулярным движением в среде, динамические шумы, производимые поверхностным волнением, прибоем и турбулентностью, подледные шумы, вызванные динамикой ледяного покрова, биологические шумы, производимые морскими обитателями, технические шумы, создаваемые морскими объектами, и сейсмические шумы, вызванные землетрясениями и извержениями. Вопрос о влиянии океанских шумов на движение жидкости возле корпуса судна остается открытым.
Гироскопические волны и волны Россби. Гироскопические волны обусловлены вращением Земли. Частоты таких волн определяются только частотой вращения Земли, а дисперсионное соотношение имеет вид [1 ]
Здесь ф0 - широта, а - угол между горизонтальными компонентами вектора волнового числа. Волны Россби обусловлены широтным изменением параметра Кориолиса, то есть сферичностью Земного шара. Частота волн Россби меньше
(1.12)
28
частоты вращения Земли |а|<П. Гироскопические волны и волны Россби являются крупномасштабными волнами (в планетарном масштабе) с малой частотой колебания. Прямого воздействия на гидродинамику морского объекта они, как впрочем и все волны связанные с вращением Земли, не оказывают. Поэтому их можно исключить из факторов морской среды, влияющих на движение тела в жидкости.
Гравитационные волны. Гравитационные волны обусловлены силой тяжести. Их можно разделить на поверхностные и внутренние. Поверхностные гравитационные волны возникают на границе раздела вода - воздух в результате отклонения свободной поверхности, то есть возникновения наклона свободной поверхности в поле силы тяжести. Частоты поверхностных воли существенно больше частоты плавучести сг :» . Дисперсионное соотношение для по-
верхностных гравитационных волн имеет вид [1,5]
Волны, которые возникают в устойчиво стратифицированных средах и обусловлены отклонением изопикнических поверхностей от их первоначального положения (неоднородностью морской воды в поле силы тяжести), называются внутренними гравитационными волнами. Дисперсионные соотношение для внутренних гравитационных волн, например, в случае двухслойной жидкости, плотность которой выше тонкою пикноклина постоянна и равна р,, а ниже скачка плотности также постоянна и имеет значение р2, можно записать [2, 3]
о2 = $ к Ш(Ш)
(1.13)
аг= . (Р2-Р,)Ч*Н,)1Ъ(кН,)
(р2И1(Ш|) + р,Л(Ш,))
(1.14)
29