Оглавление
Введение 3
Дираковские электроны в физике конденсированною состояния 3
Особенности энер!етическо! о спек гра днраковских элскIронов 8
Краткий обзор содержания 1лав диссертации 11
1. Спин-плазмоны на поверхности топологического изолятора 17
1 1 Введение 17
1 2 Описание спин-плазмонов и их свойпва 18
1 2 1 Метод уравнений движения для спин-плазмонов 18
12 2 Волновая функция снин-нлазмона 22
123 Проявления жесткой связи между направлениями спина и импульса 24
124 Уравнение непрерывности 28
1 2 5 Рассеяние спин-плазмонов 28
1 3 Выводы 31
2. Киральные экситоны на поверхности топологического изолятора и магнитооптические эффекты Фарадея и Керра 33
2 1 Введение 33
2 2 Описание киральных экситоиов 35
2 2 1 Поверхностные состояния во внешнем обменном поле 35
2 2 2 Метод уравнений движения для киральных экситоиов 36
2 2 3 Киральные эксигомные состояния 38
2 3 Тензор оптической проводимости 39
2 3 1 Вычисление тензора оптической проводи мости 39
2 3 2 Оптическая активность киральных экситоиов 41
2 4 Эффекты Керра и Фарадея 44
у
2 5 Заключение 49
2 5 1 Условия для наблюдения резонансных экситонных эффектов 49
2 5 2 Киральные экситоны в i рафсис 49
2 5 3 Mai ни юэкситоны на ноьерхносги toiio ioi mmcckoi о изолятора 50
2 5 4 Выводы 51
3. Куперовское спаривание пространственно разделенных дираков-ских электронов и дырок 53
31 Введение 53
3 2 Фазовая диафамма дираковских элекфонов и дырок 54
3 2 1 Дираковские электроны и дырки 54
3 2 2 Однозониое приближение и модель Бардина-Купера-Шриффера 56
3 2 3 Влияние беспорядка и дисбаланса концентраций электронов и
дырок 59
3 2 4 Влияние I ибридизации вопмовых функций электронов и дырок 62
3 2 5 Выводы 67
3 3 Флуктуации куиеровских пар и туннелирование 68
3 3 1 Туннелирование и внутренний эффект Джозефсона 68
3 3 2 Куперовский iipouaiaiор и туннельная проводимость 69
3 3 3 Критическое поведение и критические индексы 72
3 3 4 Выводы 76
Заключение 81
Основные результаты диссертации 81
Публикации автора но теме диссертации 83
4. Приложения 86
4 1 Уравнение движения для оператора рождения спин плазмона 86
4 2 Фурье компоненты операторов зарядовой и спиновой ило]ностей 89
4 3 Уравнение движения для оператора рождения экситона 94
4 4 Элекгрон-дырочное спаривание и дна! раммпая техника 97
4 5 Потенциал взаимодействия между электронами и дырками 99
4 6 Куперовский nponaiaTop 102
4 7 Эффект увлечения и туннелирование в системе из двух лислон 1рафена104
2
Введение
Дираковские электроны в физике конденсированного состояния
В течение мноіих лег исследования реляїивистскмх электронов, динамика которых описывается уравнением Дирака, принадлежали только к обласні физики элементарных частиц Однако за последнее десятилетие в физике конденсированною состояния появились две новые физические системы, в коюрых электронные состояния описываются двумерным аналої ом уравнением Дирака для частиц как с конечной массой, гак и с массой равной нулю Этими системами являюкя ірафєн и поверхность трехмерною тополо! и ческою изолятора В настоящее время и теоретические, и экспериментальные исследования различных физических явлений в этих системах стремительно развиваются и очень актуальны (см |1-3) и цит лит )
Графен представляє! собой двумерный маїсриал полученный впервые в 2004 і [4, 5), и обладает уникальными электронными и механическими свойствами В первой зоне Вриллюэиа ірафена находятся две неэквивалентные дираковские точки в которых зона проводимости и валентная зона касаются друї друїа и в окрестности которых электроны мої у г быть описаны эффективным іамильтонианом для безмас-совых дираковских частиц
Я8 = *>р(рсг) (1)
іде г>р — величина скорости электронов р — и\ лмпупьс, а ~ {от ау} - двумерный вектор составленный из матриц Паули, или изоспин электрона в ірафснс Волновая функция электрона вблизи одной из дираковских точек имеет две компоненты соответствующие двум нодрешеїкам из которых може? бьиь составлена решетка і рафена
Ультрарелятивистская динамика электронов в ірафене приводит к ряду интересных физических явлений к которым относятся нол у целый квантовый эффект Холла
3
|6], абсолютная прозрачность потенциальных барьеров для электронов при их нормальном падении |7). тесно связанная с квантово-электродинамическим парадоксом Клейна, и эффект слабой антилокализации электронов |8].
Если химический потенциал графена сдвину т из дираковской точки, то электроны (или дырки) образуют вырожденную Ферми-жидкость |9|. Изучению различных коллективных состояний в графене и их особенностям посвящено многочисленное количество работ. В частности, была рассмотрена возможнос ть вигнеровской кристаллизации [10| электронов. Обсуждалась возможность перестройки энергетического спектра графена, связанной сэкситонной 111] или сверхпроводящей неустойчивостями [12, 13|. Предсказывалось куперовское спаривание пространственно разделенных электронов и дырок в системе из двух листов графена [14|. во многом аналогичное спариванию электронов и дырок в связанных полупроводниковых квантовых ямах [15|. Электронная структура графена оказалась устойчивой относительно различных неустойчивостей, и взаимодействие между носителями заряда приводит только к перенормировке его одночастичного спек тра, а именно к перенормировке скорости электронов |16|.
Графен обладает высокой подвижностью носителей заряда, достигающей значения ц ^ 106см2/В с при комнатной температуре, и в настоящее время ом представляет большой интерес для различных возможных приложений — баллистической электроники, нлазмоники и оптоэлектроники 117). Следует отметить, ч то графем считается перспективным материалом для квантовой нлазмоники |18|, в которой планируется возбуждать и детектировать отдельные плазмоны. Поэтому исследование влияния кулоновского взаимодействия на различные транспортные, коллективные и оптические эффекты очень актуально.
Топологический изолятор (ТИ) представляет собой новый класс материалов, который обладает нетривиальной топологией заполненных электронных состояний в гильбертовом пространстве [2|. ТИ в своей толще имеет запрещенную зону, при этом на его поверхности (3D) или границе (2D) присутствуют необычные электронные состояния Трехмерные ТИ делятся на два класса — на "сильные" и "слабые". Энергетический спектр поверхности между сильным ТИ и тривиальным изолятором или вакуумом содержит нечетное количество дираковских точек, в окрестности которых электроны могут быть описаны эффективным гамильтонианом
Hj\ = t;Fn[p х о], (2)
где п — вектор нормали к поверхности ТИ; tip — величина скорости электронов;
4
о = {ох,оу} — двумерный вектор, составленный из матриц Паули, действующих в пространстве состояний с заданной проекцией спина электрона. Спин электрона перпендикулярен его импульсу и лежит в плоскости поверхности ТИ. Такая жесткая связь между направлениями импульса и спина на поверхности ТИ является следствием сильного снин-орбиталыюго взаимодействия его толще. Энергетический спектр сильного ТИ топологически защищен от возмущений, которые не нарушают симметрию но отношению к обращению знака времени, например, к немагнитному беспорядку |19|. Энергетический спектр поверхности слабых топологических изоляторов может содержать четное количество дираковских точек и не является топологически защищенным.
Первым "сильным" трехмерным ТИ, который был сначала предсказан (20, 211, а затем обнаружен экспериментально |22|, является Жесткая связь между
направлениями импульса и спина электрона на поверхности этого материала была установлена при помощи фотоэлектронной спектроскопии с угловым разрешением и разрешением по спину |23|. При этом поверхностный энергетический спектр, несмотря на то, что содержит дираковскую точку, в окрестности которой электроны могут быть описаны эффективным гамильтонианом (2), является сложным, и зависимость энергии от импульса является немонотонной. Величина запрещенной зоны в толще Вн_х8е;Т мала, Е& = 0.02 эВ, поэтому он является изолятором только при низких температурах.
Сравнительно недавно было обнаружено "второе поколение" сильных топологических, изоляторов. Оно включает в себя ЗЬгВез, Вг25е3 и ВЬ2Те.ч |24-26|. Запрещенная зона этих материалов достигает 0.1 - 0.3 эВ, поэтому они сохраняют топологическую нетривиальность спектра при комнатной температуре. Их энергетический спектр поверхностных состояний содержит только одну дираковскую точку и в широком диапазоне энергий может быть описан эффективным гамильтонианом (2).
Следует отметить, что химический потенциал толщи Вн.хБе,, а также топологических изоляторов второго поколения находится либо в зоне проводимости, либо в валентной зоне. Концентрацию носи телей заряда в толще этих материалов можно значительно сократить при помощи специального допирования. Вклад дираковских электронов на поверхности дотированного ТИ был установлен по температурной зависимости удельного сопротивления |27), магнитосопротивления |28] и по эффекту слабой ангилокализации |29. 30] дираковских электронов. Вклад объемных носителей заряда в транспорт может быть также значительно снижен в тонких пленках из
топологического изолятора, которые в настоящее время активно исследуются экспериментально [31, 32].
Топологический индекс трехмерного материала может быть вычислен при помощи иервопринцииных численных методов, используемых для расчета зонной структуры твердых тел. В настоящее время предсказано более пятидесяти топологических изоляторов. Некоторые из этих материалов, например TlBiSe? [33|. а также GeBi2Te4, Bi2Te2Se и Sb2Te2Se |34| были обнаружены экспериментально.
Жесткая связь между направлениями импульса н спина приводит к возникновению спиновой поляризации на поверхности топологического изолятора при протекании по ней электрического тока |35| и связанной диффузии плотностей заряда и спина |36] Коллективные плазменные колебания в вырожденном электронном газе на поверхности ТИ являются спин-плазмонами, ко торые представляют собой связанные колебания плотностей заряда и спина ]37]. Было предложено использовать спин-плазмоны для создания "спиновой батареи", в которой пространственно разделяются электроны с противоположными направлениями вектора спина |38]. Вклад в энергию электрона в полупроводниках и полуметаллах, связанный со сиин-орбитальным взаимодействием, является малой поправкой к его кинетической энергии, в то время как для электронов на поверхности ТИ этот вклад (2) является единственным. Поэтому исследование проявления жесткой связи между импульсом и спином в оптических и транспортных явлениях, а также в свойствах плазменных возбуждений па поверхности ТИ является актуальной задачей особенно для спинтроники.
Интересные физические явления возникают на поверхности топологического изолятора, если нарушена симметрия но отношению к обращению знака времени или калибровочная симметрия.
Симметрия но отношению к обращению знака времени на поверхности ТИ может быть нарушена либо внешним обменным полем, созданным, например, упорядоченными магнитными примесями [39, 40); специально внедренными в его объем или на его поверхность, либо магнитным полем. В обоих случаях нарушение симметрии приводит к иолуцелому квантованию холловской проводимости поверхности ТИ. Если симметрия нарушена на всей поверхности топологического изолятора, то распределение электромагнитного поля в его объеме может быть определено при помощи принципа наименьшего действия с лагранжианом, который имеет вид |41, 42|:
і = 2-(е Е2-Ів2) + ^-^-Е-В, (3)
8п [і 2 7г 2эт
где ей fi — диэлектрическая и магнитная проницаемости толщи ТИ; а % 1/137 —
G
постоянная тонкой структуры; величина 0 может принимать только два значения: в = 0 для изолятора с тривиальной топологией зонной структуры и в = я для топологического изолятора. Последний член в лагранжиане соответствует топологическому магнитоэлектрическому эффекту, который появляется в объеме ТИ благодаря перераспределению зарядов и электрическому току на ею поверхности. Следует отметить, что описание топологическою магнитоэлектрического эффекта в объеме ТИ представляет собой твердотельную реализацию аксиом ной электродинамики |43|, в которой в является динамической переменной, соответствующей П0.1 по аксиомой.
Топологический магнитоэлектрический эффект в объеме топологического изолятора приводит к магнитооптическим эффектам Фарадея и Керра на его поверхности (44-47|. Он приводит также к появлению магнитною монополя в роли заряда-изображения (в дополнение к электрическому заряду-изображению) для электрона, находящегося у поверхности ТИ изолятора |48|. Электронный газ над поверхностью топологического изолятора становится газом анионов |48) и испытывает действие магнитного поля, которое создается магнитными мононолями иод его поверхностью и которое может быть измерено в эффекте Холла |49).
Внешнее обменное ноле приводи т к образованию щели в энергетическом спектре, внутри которой обрадуются киральные экситоимые состояния |50]. Для уровней моральных экситонов нарушена симметрия между состояниями с противоположными значениями квантового орбитального числа. Исследование возможного проявления киральных экситонов в различных эффектах, связанных с топологическим магнитоэлектрическим эффектом, является важной фундаментальной задачей.
Если на поверхности топологического изолятора нарушена калибровочная симметрия. например, при ее туннельном контакте со сверхпроводником с 5-волновым спариванием, то электронный газ, заполняющий поверхностные состояния, становится двумерным топологическим сверхпроводником |51|. Он обладает топологически нетривиальной электронной струк турой спектра ею боголюбомекмх квазичастиц. В коре вихря двумерного топологическою сверхпроводника обрадуются майоранов-ское состояние с нулевой энергией, а на его границе с областью ТИ, в которой открыта щель при помощи обменного ноля, появляются киральные майорановские поверхностные состояния. Экзотические майорановские ферм ионы представляют собой квазичастицы, которые являются собственными античастицами. Они рассматривались в физике элементарных частиц, но элементарные частицы, которые ими бы являлись, так и не были обнаружены |52|.
7
Особый интерес к майорановским состояниям вызван тем, что их можно использовать для квантовых вычислений |53| . Пара вихрей, в которых локализованы май-орановские состояния, представляет собой нелокальный кубит, который защищен от декогсрентиости. Манипуляции над кубитами и процесс измерения можно производить при помощи перестановки вихрен, которыми можно управлять при помощи сверхпроводящих контактов [511. В настоящее время теоретическое и экспериментальное исследование майорановских состояний активно развивается |54, 55).
Другой физической реализацией топологической сверхпроводимости является ку-перонское спаривание электронов и дырок |56] с противоположных поверхностей тонкой пленки из топологического изолятора, обусловленное кулоновским взаимодействием между ними. В этой системе были предсказаны майорановские состояния, локализованные на вихрях, которые являются топологическими дефектами параметра порядка конденсата электрон-дырочных пар и которыми можно управлять при помощи сверхпроводящих контактов [57]. При этом численные оценки температуры перехода, соответствующего электрон-дырочному спариванию, в реалистичной модели не проводились, что и является важной задачей для выбора оптимальных условий экспериментов. Также актуально теоретическое исследование различных проявлений электрон-дырочного спаривания в этой системе.
В диссертации детально исследуются коллективные плазменные возбуждения в дираковском электронном газе: снин-плазмоны на поверхности топологического изолятора и нлазмоны в графеие. Исследуются киральные экситоны на поверхности топологического изолятора и их проявления в магнитооптических эффектах Фарадея и Керра. Большое внимание уделено кунеровскому спариванию дираковских электронов и дырок, которое может быть реализовано либо в тонкой пленке из топологического изолятора, либо в системе из двух листов графена.
Особенности энергетического спектра дираковских электронов
К коллективным электронным явлениям относят физические явления, которые не могут быть описаны в модели невзаимодействующих электронов в обычных электронных системах. Они включают в себя плазменные колебания, иигнеровскую кристаллизацию электронов, сверхпроводимость, образование экситонного диэлектрика, образование экситоиов, различные магнитные переходы и другие явления. Особенно-
8
сти коллективных электронных явлений в графеме и на поверхности ТИ связаны со спецификой дираковскою спектра электронов К особенностям дираковского спектра в этих системах можно отнести 1) линейный закон дисперсии электронов; 2) близкое расположение и взаимное влияние валентной зоны и зоны проводимости; 3) снинорный характер эффективной волновой функции электронов. 4) дополнительное вырождение носителей заряда 5) топологическая нетривиальность структуры энергетического спектра при открытии в нем запрещенной зоны. G) двумерность электронного [аза. Рассмотрим кратко каждую из перечисленных особенностей
1) Энергетический спектр безмассовых дираковских частиц состоит из зоны проводимости ЕР1 = Vfp и валентной зоны £p,-i = —vp/Л которые касаются друг друга в дираковской точке с нулевым импульсом Их линейный закон дисперсии приводит к линейной зависимости плотности состояний электронов, которая обращается в ноль в дираковской точке и имеет вид
Благодаря линейному закону дисперсии безразмерный параметр ас, определяющий характерное отношение между кумоновской энергией вырожденного электронною i-аза и его кинетической энер! лей, равен
(5)
где е — эффективная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей двумерный электронный газ Величина этого нарамсфа не зависит от концентрации электронов. Для свободно подвешенного 1рафена величина этою параметра достигает максимального значения ас = 2 19. Поэтому, в частности, вигнсровская кристаллизация, требующая больших значений параметра ас. в графене не возможна Топологическим изоляторам второю поколения, если их поверхность 1раничитс вакуумом, соответствует ас = 0.04 ~ 0.09. Для двумерных электронов с квадратичным законом дисперсии этот параметр (параметр ас часто обозначается как гч) возрастает с понижением концентрации электронов и может изменяться в широких пределах
2) Близкое расположение валентной зоны и зоны проводимости проявляется в энергетическом спектре электронов Обменное кулоновское взаимодействие между электроном в зоне проводимости п электронами из валентной зоне приводи'! к логарифмической перенормировке ею скорости Ферми. Одночастичными возбуждениями являются как внутризонные, так и межзонные переходы. Близкое расположение
9
- Київ+380960830922