Содержание
Введение 7
1. Важность проблемы описания турбулентного переноса
в структурной гидродинамической и плазменной турбулентности 7
2. Цели и результаты работы по исследованию процессов аномального переноса в условиях сильной турбулентности 11
Цель работы 11
Связь с государственными научно-техническими программами 12
Научная новизна полученных результатов 13
Научная и практическая ценность полученных результатов 14
Основные положения, выносимые на защиту 15
Личный вклад автора 16
Достоверность и апробация работы 16
Публикации автора по теме диссертации 18
Структура и объем диссертации 19
Краткое содержание диссертации 19
Основные результаты диссертации 35
3. Краткий обзор используемых в диссертации подходов к описанию аномального переноса в условиях структурной турбулентности 37
а) Турбулентная диффузия и концепция скейлинга 37
б) Турбулентная диффузия и стохастическое магнитное поле 40
в) Перенормировка квазилинейных уравнений переноса 44
г) Перколяционные модели аномального переноса в
двумерном течении 48
2
д) Метод ренормализации в теории континуальной перколяции 54
е) Перколяционный перенос в стационарном течении 62
ж) Перколяционный перенос и перестройка топологии течения 70
з) Кинетическое описание и диффузионные уравнения 77
и) Аномальный перенос частиц и эффекты «захвата»
в фазовом пространстве 82
к) Кинетическое описание надтепловых электронов в сильно неоднородной высокотемпературной плазме 86
л) Автомодельные переменные и степенные хвосты в кинетике быстрых электронов 89
Глава I. Турбулентный перенос ионов в плазме токамака в низкочастотном пределе 92
1.1 Влияние турбулентности на неоклассический перенос ионов в плазме токамака 92
1.2 Перенормировка малого лерколяционного параметра в «градиентных» системах 98
1.3 Эффекты влияния малой дрейфовой скорости 101
1.4 Квазилинейное приближение и эффекты нестационарности при описании влияния турбулентности на дрейфовое движение ионов в токамаке 107
1.5 Низкочастотные режимы и корреляционные масштабы в перколяционном пределе 112
1.6 Результаты расчета эффективного коэффициента диффузии в низкочастотном дрейфовом приближении 116
1.7 Сравнение перколяционного коэффициента турбулентной диффузии с неоклассическим 122
Итоги главы I 126
3
Глава II. Перенос скаляра и инкременты стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных гидродинамических и МГД течениях в режиме
обратного каскада 127
2.1 Эволюция корреляционных масштабов и нерколяционные параметры 127
2.2 Двумерная гидродинамическая турбулентность и
обратный каскад 132
2.3 Турбулентная диффузия скаляра в течениях в области
обратного каскада энергии 140
2.4 Стохастическая неустойчивость как декорреляционный механизм
и перенос скаляра в турбулентных течениях 148
2.5 Инкремент стохастической неустойчивости в перколяционном пределе 156
2.6 Стохастическая неустойчивость и обратный каскад 164
2.7 Инкремент стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных МГД течениях 168
Итоги главы II 173
Глава III. Перенос скаляра в системе случайных дрейфовых течений и скейлинги аномальной диффузии 174
3.1. Супердиффузионный перенос скаляра в системе случайных шировых потоков 174
3.2 Обобщение модели случайных потоков и аномальный перенос скаляра 181
4
3.3 Выбор режимов турбулентного переноса на основе принципа доминирования быстрой моды 185
3.4 «Изотропизация» как метод перенормировки выражения для эффективной турбулентной диффузии 188
3.5 Квазилинейный подход к описанию корреляционных эффектов в модели случайных шировых потоков 193
3.6 Нелокальное уравнение в дробных производных для описания переноса скаляра в поле случайных шировых течений 195
3.7 Спектр корреляционной функции скорости и супердиффузионныс режимы переноса скаляра в поле случайных шировых течений 198
3.8 Функция памяти и перенормиронные квазилинейные уравнения переноса в дробных производных 201
3.9 Корреляционные эффекты и перенос в многомасштабном случайном потоке в перколяционном пределе 204
3.10 Описание стохастической неустойчивости в многомасштабном пределе 217
Итоги главы III 222
Глава IV. Функции распределения надтепловых электронов в сильно неоднородной плазме токамака и нелокальные эффекты 223
4.1 Искажение хвоста функции распределения надтепловых электронов
в стохастическом магнитном поле 223
4.2 Нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения надтепловых электронов в стохастическом
магнитном поле токамака 235
4.3 Функциональное уравнение для распределения но скоростям слабо-столкновительных частиц 240
Итоги главы IV 248
5
V. Заключение и основные результаты Список публикаций автора по теме диссертации Список литературы
Введение
1. Важность проблемы описания турбулентного переноса в структурной гидродинамической и плазменной турбулентности
Проблема термоизоляции плазмы в термоядерных исследованиях занимает центральное место. Несмотря на значительный прогресс в исследованиях по этой проблеме, достигнутый за более чем полувековой период, в этой области все еще существуют серьезные задачи, которые необходимо решить [1]. Повышенные потери частиц и тепла в системах с магнитным удержанием способны значительно ухудшить эффективность удержания плазмы, в том числе и в проектируемом в рамках проекта ИТЭР токамаке [1-3]. Развитие работ по управляемому термоядерному синтезу показало, что плазма проявляет повышенную способность к преодолению магнитной изоляции. На начальном этапе исследований считалось, что удастся построить термоядерный реактор, не особенно вникая в физическую сущность происходящих в нем явлений. Неудачи в достижении этой цели чисто техническими средствами привели к осознанию необходимости углубленного исследования физической сущности явлений, связанных с аномальным характером переноса частиц и тепла. На сегодняшний день считается общепризнанным, что причиной аномального переноса является вызванная многочисленными неустойчивостями турбулентность плазмы [1,
4]. Несмотря на то, что линейная теория неустойчивостей хорошо предсказывает условия раскачки колебаний и их характерные частоты и инкременты, турбулентное состояние плазмы с широким спектром колебаний требует создания принципиально новой нелинейной теории. Сложности
7
создания теории сильной турбулентности плазмы в токамаке связаны как с математической сложностью, так и с недостаточностью имеющихся на сегодняшний день экспериментальных данных. Кроме того, для получения коэффициентов переноса необходимо развить методы, позволяющие учесть эффекты длинных корреляций и нелокальности, присущие сильно турбулентному состоянию высокотемпературной плазмы в токамаке [5, 6].
Турбулентный перенос - это фундаментальное физическое явление, имеющее колоссальное практическое значение не только для физики высокотемпературной плазмы, но и для таких важных областей как астрофизика [7-9], физика атмосферы и океана [10-16]. Многолетние интенсивные исследования в этой области все еще не привели к созданию его строгой физико-математической картины. С одной стороны, это открывает широкий простор для исследователей, а с другой, создает серьезные трудности при решении конкретных задач. Действительно, явления переноса в турбулентных течениях крайне редко удается описать посредством классических диффузионных моделей. Главной причиной этого является чрезвычайная сложность неупорядоченных движений, возникающих в турбулентных потоках. Неупорядоченность поля течения, когда скорости жидких частиц являются случайными (т. е. не контролируются макроскопическими свойствами потока), приводит к необходимости широкого использования корреляционных моделей и концепции скейлинга [17-19]. Развитое турбулентное течение порождается иерархической совокупностью вихрей, где самые крупные из вихревых образований имеют размеры, сравнимые с размером рассматриваемой области, а мелкие вихри имеют «вязкостные» масштабы. В таких условиях выбор характерной корреляционной длины и времени корреляции, определяющих перенос турбулентным потоком частиц, не является тривиальным. Здесь необходимо принять во внимание как корреляционные характеристики поля скорости течения, так и его «топологические» особенности, которые не всегда напрямую связаны с мелкомасштабными движениями [10, 20, 21]. Кроме
8
того, при описании процессов турбулентного переноса требуется учесть такие «конкурирующие» факторы, как затравочная (молекулярная) диффузия, пересоединение линий тока, стохастическая неустойчивость и другие [22-24].
Аналогичные проблемы возникают в физике плазмы при рассмотрении движения заряженных частиц в стохастическом магнитном поле и в физике твердого тела при описании переноса в аморфных полупроводниках, и во многих других системах, где закон, описывающий диффузию, существенно отличается от классического [25-33]. Несмотря на значительный прогресс в понимании аномального переноса, многие аспекты ставших уже классическими работ в этой области остаются актуальными. Так, уже на первой стадии исследования процессов турбулентной диффузии предлагалось использовать корреляционные функции, модификацию классического диффузионного уравнения, методы перенормировки и др. [34, 35]. Представить эволюцию всех этих научных концепций в данной работе не представляется возможным. Автор сосредоточил свое внимание на идеях скейлинга, которые являются важным и достаточно универсальным инструментом, используемым как теоретиками, так и экспериментаторами [36-40]. Именно подход, в основе которого лежат скейлинговые представления, позволяет достаточно быстро разобраться в постановках задач и проблемах, имеющихся в различных современных областях физики, связанных с исследованием турбулентности. Прошло более 70 лет со времени публикации основополагающих работ Колмогорова и Обухова, посвященных скейлинговому описанию развитой турбулентности [41, 42]. Тем не менее, фундаментальный вопрос о характере взаимодействия вихрей в турбулентном потоке остается открытым [43-45].
Важно отметить, что при описании аномального переноса в плазме подобные проблемы возникли уже в конце 40-х годов прошлого века. Так, в 1949 году Бом выдвинул гипотезу о том, что перенос зарядов плазмы может, в основном, определяться не парными столкновениями частиц, а переменными электрическими полями коллективного происхождения [46].
9
Предложенная им формула для коэффициента турбулентной диффузии стала общеупотребительной как мера аномальности. Заметим, что простота формулы Бома, а также тот факт, что в ее основу не был положен конкретный физический механизм переноса, создавали иллюзию ее универсальности. Здесь, также как и в скейлинге Колмогорова, электрическое поле «выпадало» из окончательного выражения, аналогично тому, как при рассмотрении каскада в теории гидродинамической турбулентности характерное время нелинейного взаимодействия вихрей удалось описать простой размерностной оценкой. В дальнейшем эксперименты на токамаках и стеллараторах показали, что энергетическое время удержания плазмы оказывается слишком малым, чтобы его можно было описать неоклассическими формулами. Поэтому возникла необходимость использовать концепцию скейлинга для того, чтобы предсказывать характер удержания. Такие скейлинги были предложены Горбуновым, Мирновым и Стрелковым в 70 году [47] и Арцимовичем в 1971 году [48]. Сознавая трудности строгого теоретического описания турбулентного переноса в высокотемпературной плазме, Арцимович назвал свой скейлинг «псевдоклассическим». В этот же период начал разрабатывать методы описания сильно-турбулентной плазмы Кадомцев, работы которого сыграли важную роль для понимания базовых механизмов аномального переноса, связанного с низкочастотной структурной турбулентностью [49, 50].
Для объяснения нелокального переноса в высокотемпературной замагниченой плазме была привлечена концепция самоорганизации, которая позволила применить скейлинговые зависимости, развитые в теории фазовых переходов [51-53]. Идея о самоорганизации плазмы в токамаке нашла свое выражение в представлении о самосогласованных профилях и активно развивалась в Институте Курчатова Кадомцевым, Днестровским, Разумовой и другими.
Фактически, скейлинг по-прежнему остается главным инструментом анализа плазменной и гидродинамической турбулентности. Естественно, при
ю
описании явлений переноса в условиях сильной турбулентности мы сталкиваемся с теми же проблемами. Возникающие при больших числах Рейнольдса или Кубо когерентные структуры значительно осложняют описание эффективного переноса. Методы, развитые для слабой турбулентности, приводят к результатам, противоречащим как эксперименту, так и численному моделированию [1, 3, 4, 9, 10, 54-58]. В отсутствие универсального метода анализа эффектов переноса в структурной турбулентности естественно сосредоточить внимание на современных теоретических подходах, выбирая в качестве основы конкретный вид вихревых (когерентных) структур, формирующих рассматриваемый класс турбулентных течений. Это позволяет получить новые скейлинги для эффективных коэффициентов аномальной диффузии, которые могут быть использованы при анализе имеющихся экспериментальных данных и при проектировании новых установок с магнитным удержанием горячей плазмы.
2. Цели и результаты работы по исследованию процессов аномального переноса в условиях сильной турбулентности
Цель работы
Целью диссертационной работы является:
1. Выявить основные механизмы, ответственные за формирование перколяционных линий тока. Использовать полученные результаты для описания сильно-турбулентных режимов переноса ионов в токамаке с учетом тороидального дрейфа.
к
2. Разработать новый метод перенормировки малого параметра перколяционной модели, учитывающий эволюцию стохастического слоя, связанного с перколяционными эвипотенциалями турбулентного поля.
3. Получить новые скейлинги для описания турбулентной диффузии в задачах, где пересоединение линий тока в двумерных течениях вызвано обратным каскадом.
4. Рассмотреть эффекты стохастической неустойчивости в двумерных гидродинамических и МГД течениях в режиме обратного каскада.
5. Рассмотреть систему случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями. Получить скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос частиц скаляра, с показателем, характеризующим корреляционные свойства ширового течения.
6. Использовать возможности теории аномального переноса и теоретико-вероятностный подход для описания функции распределения надтенловых электронов по скоростям. Проанализировать эффекты нелокалыюсти, связанные с рассмотрением функции распределения надтспловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака.
Связь с государственными научно-техническими программами
Диссертация выполнена в соответствии с планом научно-технических работ ИФТ НИЦ "Курчатовский институт" по направлению: «термоядерный синтез» в соответствии с Федеральной целевой научно-технической программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского назначения», подпрограмма "УТС и плазменные процессы" 1996-2000 годы; Федеральной целевой научно-технической программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 годы; Федеральной
12
целевой программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы».
Научная новизна полученных результатов
Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем.
1. Впервые получен скейлинг для описания турбулентной диффузии ионов в плазме токамака, где учтено как влияние тороидального дрейфа, так и низкочастотной дрейфовой турбулентности в перколяционном пределе.
2. Сформулирован новый подход к построению условий перенормировки малого параметра теории континуальной перколяции, основанный на рассмотрении эволюции корреляционных масштабов, характеризующих эквипотенциали двумерной турбулентности.
3. Впервые получен скейлинг для вычисления коэффициентов турбулентной диффузии, где пересоединение эквипотенциалей вызвано обратным каскадом энергии.
4. Исследовано влияние обратного каскада на инкремент стохастической неустойчивости в двумерных гидродинамических и МГД течениях в перколяционном пределе.
5. Получено новое нелокальное уравнение в дробных производных, описывающее систему случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями.
6. Найден новый скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос скаляра в системе случайных шировых потоков, с показателем, характеризующим корреляционные свойства рассматриваемого течения.
13
7. На основе кинетического уравнения в форме Фоккера-Планка исследованы нелокальные эффекты, связанные с переносом надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака.
8. Предложено новое функциональное уравнение для функции распределения баллистически движущихся частиц по скоростям.
Научная и практическая ценность полученных результатов
Результаты работы могут быть использованы для описания турбулентного переноса в плазме токамака. Предложенные модели переноса имеют общефизический характер. Это позволяет применять предложенные методы и результаты для анализа широкого круїд проблем, связанных с процессами аномального переноса в условиях сильной турбулентности. В работе показано, что коэффициенты переноса частиц в условиях структурной турбулентности радикально отличаются от квазилинейных оценок. Эти отличия позволяют адекватно описать аномальную диффузию в сильно турбулентной плазме. Так, предложенная автором новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в низкочастотном пределе хорошо согласуется с результатами независимого численного эксперимента и предсказывает значительное усиление переноса ионов по сравнению с неоклассическим. Наряду с задачами описания переноса частиц в плазме, важную роль играют проблемы описания переноса скаляра мезомасштабными атмосферными и океаническими потоками. Предложенные в диссертации скейлинги могут быть использованы для анализа турбулентного переноса частиц скаляра в задачах физики атмосферы и океана. Вопросы, связанные с поведением надтепловых электронов актуальны для описания потоков частиц и тепла в плазме токамака, а также для
14
геофизических и астрофизических исследований, где важную роль играют декорреляционные механизмы, связанные с присутствием стохастического магнитного поля.
Основные положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие, содержащие научную новизну, результаты:
1. Получена новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в низкочастотном пределе на основе теории континуальной перколяции.
2. Сформулирован и апробирован новый метод получения перколяционных параметров, основанный на балансе характерных корреляционных масштабов. Получен новый скейлинг для описания переноса частиц скаляра в двумерных турбулентных течениях с обратным каскадом.
3. Получено новое нелокальное уравнение, описывающее перенос скаляра в системе случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями. Найден скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос, с показателем, характеризующим корреляционные свойства поля скорости системы случайных шировых потоков.
4. Предложено новое функциональное уравнение для функции распределения надтепловых электронов по скоростям. Проанализированы частные случаи в задачах с известными корреляционными свойствами
15
Личный вклад автора
Все результаты диссертации получены автором лично или с его определяющим участием. Из 22 работ, опубликованных автором по теме диссертации в реферируемых научных журналах, только 3 работы имеют соавторов. В этих 3-х работах автор непосредственно участвовал в постановке задачи, формулировке выводов и самостоятельно провел все вычисления. За цикл работ по теме диссертации «Корреляционные модели аномального переноса для структурной турбулентности» автору была присуждена премия имени И.В. Курчатова за лучшую работу в области научных исследований в 2011 году.
Достоверность и апробация работы
Основные результаты диссертации и диссертация в целом докладывались на Теоретическом семинаре иод руководством В.Д. Шафранова в Институте Курчатова и на следующих международных конференциях:
1. The International Conference, Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence, Moscow, Russia, 23-25 November 2009
2. International IUTAM Symposium on Applied Mechanics Moscow, Russia,
3-8 August 2007
3. 8-th International Conference on Complexity, Oxford, UK, 1-9 September 2006
4. 10-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent
Mixing, Paris, France, 17-21 July 2006
16
5. XV International Nonlinear Dynamics Session of Russian Academy of Science, 25-27 December 2006
6. International Conference on Boitzmann Equations and Fluidodynamic Limits, Trieste, Italy 12-17 June 2006
7. Coherent Structures in Atmosphere and Ocean, Boulder, Colorado, National Center Atmospheric research, 11-14 July 2005
8. Random media and Stochastic Differential equations, California, Los Angeles, University of Southern California, 14-18 June 2005
9. KCASC Seminar, “Fractality ideas and long-range correlations in turbulent
transport”, Kansas Center for Advanced Scientific Computing, USA,
18 March 2005
10. 9-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Natural, Clare College Cambridge, 13-17 August 2004
11. International Nonlinear Dynamics Session of Russian Academy of Science, 20-21 December 2004
12. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos, Brussels, Belgium, 9-13 July 2004
13. The International Conference MSS-04, Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence, Moscow, Russia, 23-25 November 2004
14. Turbulence and transport seminar. Department of Aeronautics,
Imperial College, London 28 July 2004
15. 9-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Cambridge, UK, 19-23 July 2004
16. UKAEA, Culham laboratory, Theoretical seminar, 15 July 2004
17. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys., St. Petersburg, 7-11 July 2003 ECA Vol. 27A, P-2.116
18. TEC Theory and Chaos meeting 11 May 2004.
19. 1-st International Workshop on Stochasticity in Fusion Edge Plasmas SEP 6-8 October 2003
20. 10-th European Fusion Theory Conference 8-10 September 2003
17
21. TEC Theory and Chaos meeting 9 June 2003
22. Burning Plasma Conference, Italy, Turin, Villa Gualino, 23-25 April 2003
23. German-Polish Conference on Plasma Diagnostics for Fusion and Applications, Germany, Greifswald, 4-6 September 2002
24. International Symposium on Discharges and electrical insulation in vacuum, EIT De Tours, France June 30-July 5, 2002
25. Diagnostics of non-equilibrium high pressure plasmas APP Spring Meeting,
Bad Honnef, Germany 18-21 February 2001
26. International Conference on Levy processes and stable laws, University of Warwick England 2-6 April 2001
27. The Ninth European Fusion Theory Conference, Elsinore, Denmark 17-19 October 2001
28. International Conference on Dynamical Networks in Complex Systems, University of Kiel, Germany July 2000.
29. 2-nd IEEE International Vacuum Electronics Conference Noordwijk,
The Netherlands April, 2000
Публикации автора по теме диссертации
Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работе, из которых 22 в ведущих реферируемых иностранных и отечественных журналах из списка ВАК. Автор опубликовал две монографии по теме диссертации в издательстве Шпрингер (Springer) и обзор в Вопросах Теории Плазмы т.24 (Reviews of Plasma Physics). Список публикаций приведен в конце автореферата.
18
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 269 страниц, включая 39 рисунков и список литературы из 172 наименований.
Краткое содержание диссертации
Во введении обоснована актуальность задач турбулентного переноса в условиях структурной, гидродинамической и плазменной турбулентности. Там также представлено краткое содержание глав диссертации. В силу междисциплинарного характера рассматриваемых в диссертации проблем во введении представлен обзор, посвященный важным для понимания результатов диссертации аспектам корреляционного подхода к анализу аномального переноса в различных турбулентных течениях. Кратко рассмотрен метод перенормировки квазилинейных уравнений и соответствующие коэффициенты турбулентной диффузии. Анализируется перколяционный подход к описанию турбулентной диффузии на основе представления о перестройке системы конвективных ячеек в результате эволюции дрейфовой турбулентности с образованием длинных эквипотенцалей (линий тока), вносящих основной вклад в перенос частиц. Проанализированы известные результаты, полученные с помощью перколяционного метода для стационарных случайных течений и течений, в которых перестройка топологии играет важную роль. Рассмотрены задачи описания эффектов нелокальное™, возникающих при исследовании переноса надтепловых электронов в сильно неоднородной плазме токамака. Показано как эффекты нелокальное™ и «захвата» описываются в фазовом пространстве
19
на основе теоретико-вероятностных соображений и метода случайных блужданий с непрерывным временем.
В главе 1 рассмотрено влияние структурной дрейфовой турбулентности на перенос ионов в токамаке в низкочастотном пределе. В разделе 1.1 представлена система уравнений, описывающая влияние турбулентности на неоклассический перенос ионов. Показано, что в рамках двумерного представления турбулентности плазмы в токамаке неоклассические эффекты описываются дрейфовой составляющей
гамильтониана
Здесь Ч'о - флуктуирующая часть гамильтониана, связанная с дрейфовоконвективной неустойчивостью. Проведены оценки масштабов турбулентных пульсаций скорости частиц и рассмотрена связь между амплитудой турбулентных пульсаций скорости и порядком величины осциллирующей части гамильтониана
тороидальное магнитное поле. Анализ переноса проводится в условиях, когда характерный масштаб турбулентных пульсаций скорости больше чем
В таких условиях естественно использовать предложенное Кадомцевым и Погуце представление о формировании, в процессе эволюции системы
Т(Х, У, 0 = Т0 (х, у, 0 + Ч4 (х, у, 0.
Здесь Ф масштаб возмущения электрического потенциала, ^
, 1
Я ОС —
характерный пространственный масштаб вихревых структур, 'о
характерная амплитуда турбулентных пульсаций скорости частиц и &о
величина скорости дрейфа и а
и,<¥0<\ои,
20
конвективных ячеек, длинных (нерколяционных) эквипотенциалей, охватывающих значительные области пространства. Именно эти перколяционные эквипотенциали вносят основной вклад в перенос частиц и создают условия для возникновения эффектов нелокальности. В рамках используемого подхода ширина стохастического слоя Д, образованного длинными перколяционными эквииотенциалями, является малым параметром модели, что позволяет вычислить коэффициент турбулентной диффузии,
используя связанное с ней значение гамильтониана
» У0 А * 70Ле..
Здесь £*~Д/Я - малый перколяционный параметр, С1 - характерный пространственный корреляционный масштаб, Рх - доля пространства, занятого длинными перколяционными эквипотенциалями и Т - характерное корреляционное время, связанное с движением частиц вдоль эквипотенциалей. В разделе 1.2 проанализированы методы перенормировки в «градиентных» системах на основе теории перколяции. Рассмотрено условие,
связывающее малый перколяционный параметр £*, с параметром, характеризующим амплитуду возмущений
I
(иА \1У (иА 3/7
[К) [к)
Перколяционный показатель У = 4/3. В разделе 1.3 показано как проявляются эффекты малой дрейфовой скорости при рассмотрении поля течения в перколяционном пределе. Рассмотрена иерархия характерных пространственных масштабов и связанная с ней иерархия масштабов скорости. Раздел 1.4 посвящен анализу квазилинейного приближения для описания эффектов нестационарности в двумерных турбулентных течениях в
21
перколяционном пределе. Показано, что квазилинейная модель не дает корректного описания проблемы, поскольку не учитывает эффектов, связанных с перестройкой эквипотенциалей дрейфового гамильтониана. В разделе 1.5 рассмотрен низкочастотный предел перколяционной модели турбулентного переноса ионов в плазме токамака. Характерная частота этих возмущений дастся формулой:
к, сТ
со « —---------
еВоЬп ’
Здесь Вп = - характерный размер, к^ =1/ цЯ 9 =1/ р19 где Я -
запас устойчивости, А - ларморовский радиус ионов, Я - большой радиус токамака, 50кГц^^ ^150/сГ^. Предложено новое условие
перенормировки малого параметра ё, = / У0)со) в задачах, где
одновременно присутствует как дрейф, так и низкочастотные колебания
2 1
€.
3(1+»')/ ' 1 ^ 3(^1)
к 1 Ли)
Оно опирается на одновременное использование двух безразмерных комплексов. Так, параметр \JJVq описывает влияние дрейфовой скорости на поле турбулентности, в то время как число Кубо,
Ки «
К сФк2
Лео В0со
характеризует эффекты нестационарности, связанные с пересоединением эквипотенциалей. Показано существенное отличие нового выражения от классического результата Тругмана, не учитывающего влияние внешней частоты возмущений. Результаты расчета эффективного коэффициента диффузии в низкочастотном дрейфовом приближении представлены в
22
разделе 1.6. Получен новый скейлинг для коэффициента турбулентной диффузии в низкочастотном пределе:
2 1
И 3(1+ю Г ЯоЛ
V \ к0 у 1^0 J
3(^1) 111
осс/;к07й)7
Здесь - скорость тороидального дрейфа в токамакс, СО - характерная
частота турбулентных пульсаций, У о - амплитуда турбулентных пульсаций скорости и Я - характерный масштаб вихревых структур. Перколяционный
показатель к = 4 / 3. Здесь же рассмотрена соответствующая модели иерархия временных масштабов и пределы применимости использованного подхода. Приведены оценки величин, характеризующих перенос ионов в токамаке в условиях развития низкочастотных дрейфовых колебаний. Представленные здесь оценки величин подтверждают применимость предложенного скейлинга для описания влияния турбулентности на неоклассический перенос
Уо _ Рх Ут> СОВ1^ _ ^ _
ж------------------------- ■■■■ .>*/ ~
и, 1п VI 1п
10
Здесь Рх - ларморовский радиус ионов, СОВ1 - циклотронная частота ионов и
Уп - тепловая скорость ионов. Показано, что предложенная автором новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в
низкочастотном пределе Ве^ (<у) се со 1 очень хорошо согласуется с
результатами независимого численного эксперимента. В разделе 1.7 проведено сравнение полученного коэффициента эффективной турбулентной диффузии ионов в токамаке с неоклассическим значением. Рассматривая сильно турбулентные режимы, предполагаем Ки « 5 . Полученное нами
23
выражение для эффективного коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке
22
Deff « D Plato
' R } 21 f 1 Ї
< Lп ) [Ки)
«5 D
Plato
предсказывает превышение неоклассического переноса в режиме плато Вр[а1о в 5 раз за счет влияния низкочастотной дрейфовой турбулентности. В режиме Пфирша-Шлютера получена оценка * 41)^. Эти результаты хорошо
согласуются с данными экспериментов но измерениям коэффициентов переноса ионов в различных токамаках.
Глава 2 посвящена исследованию турбулентного переноса скаляра в двумерных гидродинамических и магнитогидродинамических (МГД) течениях в присутствии обратного каскада в рамках перколяционной модели. В разделе 2.1 рассмотрен новый метод получения малого псрколяционного
параметра &+, основанный на рассмотрении эволюции корреляционных масштабов в форме баланса между корреляционным масштабом,
определяемым шириной стохастического слоя Д(0 00 Л(Л/ я)1 , и длиной
перемешивания, связанной с проходимым частицами скаляра расстоянием
вдоль перколяционной линии тока, а(0 л( ЫЛ ) А ос (К0£)
ГУ I \
л 00
я
/л
Л
\
мо
я
\ у
Здесь - корреляционное время, А - ширина стохастического слоя, Ь -длина перколяционной линии тока, Уд “ амплитуда турбулентных пульсаций скорости в двумерном случайном течении и Л - характерный масштаб
24
- Київ+380960830922