Моим родителям, которым я обязан не только фактом рождения, но всем человеческим, что, может быть, во мне есть, и которые мечтали о том, чтобы я защитил докторскую диссертацию, однако не дожили до этого дня. Они уже об этом не узнают, но память о них меня обязывает.
Благодарности
Прежде всего, я благодарен Евгению Залмановичу Мейлихову, который был и по сию пору остается моим учителем. Он постепенно принял меня в ранг своих друзей, и без его помощи и влияния я никогда не стал бы ученым (если стал). Я очень признателен Клименту Ильичу Кугслю, с которым мы дружим уже более 55 лет, в течении многих лет он постоянно консультировал меня в теоретических вопросах физики и жизни, а в последнее время стал соавтором. Я хочу выразить огромную благодарность Владимиру Васильевичу Рылькову - с его приходом научная жизнь нашей лаборатории поднялась на новый уровень, а работать с ним для меня не только очень полезно, но и радостно. Очень существенную помощь в понимании природы явлений, исследованных мной в магнитных полупроводниках, мне оказал Виктор Витальевич Тугушев, он умеет понимать экспериментаторов и вычленять из их результатов физическую сущность. Эта диссертация никогда не была бы написана без помощи сотрудников нашей лаборатории: Давыдова А.Б., Панкова М.А., Николаева С.Н., Ковалева Д.Ю., Фарзетдиновой Р.М, которым я также очень признателен. В этой связи я особенно благодарен моему первому аспиранту Копылову A.B., безвременно ушедшему. Следует заметить, что полученные в диссертации результаты имели бы гораздо меньший вес и определенность без результатов структурных исследований, проведенных в отделе Э.М. Пашаева - ему лично и сотрудникам его отдела я очень благодарен.
Мне хочется выразить свою признательность В.В. Белькову, В.А. Волкову и Д.Р. - именно они «заставили» меня написать этот труд.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Индуцированный магнитным полем переход металл-диэлектрик в полупроводниках с крупномасштабным флуктуациопным потенциалом.
1.1. Классический флуктуационный потенциал
1.1.1. Оптимальная флуктуация.
1.1.2. Структура оптимальной флуктуации.
1.1.3. Термодинамика электронов во ФИ.
1.2. Квантовый флуктуационный потенциал
1.2.1. Оптимальная флуктуация.
1.2.2. Структура оптимальной флуктуации
1.2.3. Термодинамика электронов во ФП.
1.3. Критерии перехода
1.3.1. Поле перехода
1.3.2. Экспериментальные значения поля перехода
1.4. Свойства вещества в диэлектрической фазе. Классический флуктуационный потенциал
1.4.1. Гальваномагнитные свойства неоднородной среды в магнитном
поле.
1.4.2. Результаты эксперимента
1.4.3. Особенности локализации электронов в бесщслевых полупроводниках.
1.5. Свойства вещества в диэлектрической фазе. Квантовый потенциал.
1.5.1. Качественные модели.
1.5.2. Результаты эксперимента. Гальваномагнитные свойства.
1.5.3. Холловский провал (Hall dip)
1.5.4. Электронная теплоемкость.
1.6. Особенности квантовых интерференционных эффектов в проводимости андерсоновской локализации в полупроводниках с крупномасштабным флуктуационным потенциалом.
1.6.1. Особенности квантовых интерференционных эффектов в проводимости структур при наличии крупномасштабного флуктуационного потенциала.
1.6.2 Природа второго минимума магнитосопротивления.
1.6.3. Фазовая диаграмма состояния электронной системы в полупроводниках с крупномасштабным флуктуационным потенциалом.
Глава 2. Некогерентная мезоскопика и квантование кондактанса в МДП структурах с крупномасштабным флуктуационным потенциалом.
2.1 Макроскопическая мезоскопика
2.2 Квантование кондактанса в макроскопических структурах.
Глава 3. Свойства структур на основе разбавленных магнитных полупроводников.
3.1 Свойства и позиции, занимаемые атомами Мп в СаАБ.
3.2 Какие магнитные атомы дают основной вклад в ферромагнитное упорядочение? ЭПР измерения свойств С<ЮєАб2:Мп.
3.3 Двумерные структуры на основе РМП
3.3.1. Зачем нужны двумерные структуры на основе РМП и первые попытки их исследования.
3.3.2. Структура двумерных квантовых ям с удаленным слоем Мп.
3.3.3. Характер электронного спектра носителей заряда в КЯ.
3.3.4. Электрофизические свойства
3.3.4.1 Температурная зависимость сопротивления и переход металл -диэлектрик
3.3.4.2 Температурная зависимость сопротивления и ферромагнитное упорядочение.
3.3.4.3. Аномальный эффект Холла
3.3.4.4. Магнетосопротивление и нормальный эффект Холла (Эффекты разупорядоченности).
3
3.3.5. Количественное описание флуктуанионного потенциала, численные расчеты ЯХХ(Т) и Гс, спектр электрических шумов * 3.3.6. Магнитные свойства 3.3.7 Механизмы ферромагнитного упорядочения в системе и спиновой поляризации носителей заряда в КЯ Глава 4. Бц-дМп* (х ~ 0.35) - высокотемператрупая ферромагнитная структура на основе полупроводника.
4.1 Структурные свойства
4.2 Проводимость и аномальный эффект Холла
4.3 Магнитные свойства
4.4 Физическая модель
Глава 5. Магнитные нанокомпозиты.
5.1. РМП с магнитными наногранулами
5.2. Особенности свойств гранулированных металлов Ге/8Ю2
5.2.1. Проводимость.
5.2.2. Релаксация магнитосопротивления.
5.2.3 Температурное и концентрационное поведение эффекта Холла вблизи перехода металл-диэлектрик
5.3. Квантоворазмерный переход металл-диэлектрик в нанокомиозитах Заключение
Список обозначений
ав- боровский радиус электронов
В - магнитная индукция
Вт-поле перехода металл - диэлектрик
Я-магнитное поле
Е - электрическое поле
/ - элекрический ток
V — напряжение электрического поля
Vg - потенциал полевого электрода
R - сопротивление
G - кондактанс
Nd и Na концентрации доноров и акцепторов
К = Na/Nd - степень компенсации
пир- концентрации электронов и дырок
р - подвижность носителей заряда
Я - длина волны носителя заряда
ш - масса носителей заряда
Т — температура
v - плотность состояний
кг- импульс Ферми
е - энергия
еа - энергия активации проводимости
ер - энергия Ферми
ер-уровень протекания
Ф - электростатический потенциал
у - амплитуда флуктуационного потенциала (ФП)
rs - радиус экранирования
к — диэлектрическая постоянная
кв- постоянная Больцмана
Се - электронная теплоемкость
У
Рхх’Рх'Рху - поперечная, продольная диагональные
компоненты тензора сопротивления
Яхх, о22> °ух - поперечная, продольная диагональные
компоненты тензора проводимости
Р-и - коэффициент Холла О - коэффициент диффузии со - круговая частота /- частота
сос - циклотронная частота
Г£ - время релаксации энергии электронов
г - время релаксации импульса электронов
тр - время сбоя фазы
т5о - время спиновой релаксации
^ - длина сбоя фазы
£г = ,:ОП/квТ - температурная длина
/ - длина свободного пробега
Ьс - радиус корреляции перколяционного кластера
I /О
/н“(Лс/еВ) “-магнитная длина £* * эффективный g - фактор электронов цв - магнетон Бора М- намагниченность
- спонтанная намагниченность Вс - коэрцитивная сила Г (со) - коэффициент поглощения звука
недиагональная
недиагональная
г
ВВЕДЕНИЕ Постановка задачи
Диссертация посвящена экспериментальному исследованию магнитных нано композитов и полупроводников вблизи перехода металл - диэлектрик.
В настоящее время в мире идут интенсивные поиски материалов для спинтроники - новой области науки, изучающей явления и эффекты, в которых существенную роль играет не только заряд, но и спин электрона. Основным направлением полупроводниковой спинтроники являются исследования полупроводников, легированных магнитными атомами, и нанокомпозитов, содержащих магнитные нановключения в твердотельной, в частности, полупроводниковой матрице. Особо актуальными эти исследования стали в последние годы, в связи с развитием технологии создания разбавленных магнитных полупроводников (РМП) с высоким содержанием магнитных атомов (в количестве до 10 ат.%), что обеспечило увеличение температуры Кюри (до ~ 200 К) и развитием технологий внедрения наночастиц в различные материалы (создание нанокомпозитов).
С фундаментальной точки зрения интерес к разбавленным магнитным полупроводникам и магнитным нанокомпозитам на основе диэлектриков и полупроводников связан с проявлением в них, наряду с обычными для полупроводниковых структур взаимодействиями, нового сильного магнитного взаимодействия между магнитными атомами и носителями заряда. Это взаимодействие существенно меняет свойства веществ и ведет к появлению новых эффектов и явлений.
С практической точки зрения интерес к этим материалам связан с тем, что увеличение объемов и скорости передачи информации приближается к пределу, связанному с принципиальными физическими ограничениями на дальнейшее уменьшение размеров активных элементов. Спинтроника является одним из наиболее перспективных путей выхода из этого тупика, поскольку открывает возможность принципиально новых решений в
Ь
угп—
электронике, позволяя использовать не только заряд, но и спин электрона для хранения и передачи информации. При поиске материалов для спинтроники весьма существенным является необходимость создания этих материалов именно на основе полупроводников, поскольку в этом случае возможно управлять спиновым и зарядовым транспортом и интегрировать спинтронные устройства в технологию современной электроники.
До сих пор исследования разбавленных магнитных полупроводников (РМП) и магнитных нанокомпозитов в основном ограничивались изучением объемных объектов. В то же время для современной (планарной) технологии гораздо больший интерес представляют двумерные структуры. Кроме того, низкоразмерные структуры наиболее интересны и для фундаментальных исследований, так как в этом случае появляются новые эффекты, а большинство известных ранее проявляется гораздо ярче. Другим недостатком исследовавшихся до сих пор систем является крайне низкая подвижность носителей заряда (< 5 см2/Вс), что резко ограничивает скорость работы структур на их основе и возможность наблюдения целого ряда интересных квантовых явлений. Значения температуры Кюри в исследовавшихся материалах существенно ниже комнатной (172 К), что также ограничивает практический интерес к ним.
В отличие от исследовавшихся материалов в данной работе рассматриваются двумерные ферромагнитные полупроводниковые структуры с относительно высокой подвижностью (>2000 - 3000 см /Вс), а также ферромагнитные структуры на основе кремния и нанокомпозиты с температурой Кюри более 330 К. Принципиальным отличием этих структур является пространственное разделение ферромагнитных включений и канала проводимости.
Характерной особенностью РМП и нанокомпозитов является высокое содержание магнитных примесей или нановключений, необходимое для реализации высоких значений температуры Кюри. Эти примеси и нановключения распределены в пространстве неоднородно, и
соответствующая разупорядоченность приводит к изменению характера проводимости от металлической к диэлектрической, иными словами, служит причиной перехода металл - диэлектрик. В силу этой высокой степени разупорядоченности РМП и магнитные нанокомпозиты находятся в основном вблизи точки перехода металл - диэлектрик и, соответственно, описание их свойств невозможно без понимания особенностей свойств разу порядочен ных полупроводников вблизи этого перехода. Поэтому, а также в силу постоянного научного интереса к переходу металл - диэлектрик в полупроводниках и связанным с ним явлениях (мезоскопика, квантовые поправки к проводимости и т.д.), заметная часть диссертации посвящена этим явлениям в структурах с крупномасштабным флуктуационным потенциалом.
Целью работы является выявление природы электронного транспорта, магнитных свойств и механизмов, их определяющих, в системах близких к переходу металл - диэлектрик при наличии магнитных примесей и включений или внешнего магнитного поля.
6
Глава 1. Индуцированный магнитным полем переход металл - диэлектрик в полупроводниках с крупномасштабным флуктуационным потенциалом
В этой главе мы рассмотрим индуцированный магнитным полем переход металл-диэлектрик в полупроводниках с крупномасштабным флуктуационным потенциалом, обычно этот сильнолегированные и сильнокомпенсированные (СЛК) полупроводники. Такие системы удобно рассматривать в рамках перколяционной модели. Мы будем рассматривать квантующие магнитные поля Ьо>с> кВТ и даже ультраквантовый случай Ъсос > еР, когда поперечное магнитному полю движение электронов квантовано, а их кинетическая энергия, определяющая энергию Ферми, связана лишь с импульсом направленным вдоль магнитного поля. С ростом магнитного поля в этом случае растет энергия циклотронного вращения, а энергия Ферми ер уменьшается. Переход происходит, когда она становится меньше энергии уровня протекания бр .
1.1. Классический флуктуационный потенциал
(Раздел написан по материалам [I] и обзора (А1.1])
1.1.1. Оптимальная флуктуация.
Итак, мы будем рассматривать сильно легированный (Л^>я/»1) и сильно компенсированный (\-К»\) полупроводник, здесь К = N/N0 - степень компенсации, и МА концентрации доноров и акцепторов, ав - боровский радиус электронов. Мы будем ниже полагать N0 > Л^, т.е. рассматривать полупроводники п-типа. В противном случае рассмотрение можно провести аналогично, заменив электроны дырками. При низких температурах акцепторы захватывают электронов, и в кристалле образуется много ЛГ, = N0 + заряженных примесей и относительно мало п = N0 - электронов. Пусть Ис>г5» 1, где г$ - радиус экранирования. Поскольку среднее расстояние между примесями мало по сравнению с г5 , каждый электрон испытывает
действие ПОЛЯ А[,г/ примесных центров. Отсутствие корреляции в распределении примесей по кристаллу приводит к флуктуациям их концентрации. Флуктуации можно считать гауссовыми, если изменения флуктуирующей величины малы по сравнению со средним ее значением. Для этого необходимо, чтобы объем флуктуаций включал в себя достаточно большое количество примесей (А[р/ »!)• Следуя работам [1,2], разобьем весь кристалл на области малого, но макроскопического объема Я3.1 Каждый такой объем будет содержать в среднем ЛУ? примесей. Вследствие флуктуаций точное число примесей в каждом объеме отличается от среднего. Среднеквадратичное значение флуктуации числа примесей в объеме Я3 есть (АГ,Я3)1'2. Среднеквадратичный потенциал, создаваемый флуктуациями концентрации заряженных примесей в объеме Я3,
Естественно, в кристалле будут представлены флуктуации всех размеров. Свободные электроны кристалла экранируют потенциал (1). Необходимо определить такой характерный размер, чтобы типичные флуктуации данного размера обладали 1) наибольшей амплитудой, 2) охватывали практически весь объем кристалла, 3) не экранировались электронами и, таким образом, вносили наиболее существенный вклад в образование случайного потенциала.
Для делокализованных электронов (8Р>€р) справедлива теория, основанная на линеаризации нелинейного уравнения Пуассона, связывающего электростатический потенциал ср(г) с концентрацией электронов п(г):
Д<о(г) = —[ЛГ0(г)-^(г)-л(г)] . (2)
Кг
Концентрация электронов п(г) в свою очередь зависит от значения случайного потенциала в данной точке ср(г). Поскольку энергия, соответствующая уровню протекания £р, вообще говоря, порядка амплитуды флуктуационного
1 Данная теория относится к трехмерным объектам, для 2Ц систем теория разработана Гергелем и Сурисом [3].
потенциала (ФП) у и ef> ер, можно считать |е^(г)|« сР. Чтобы линеаризовать уравнение Пауссона (2), положим п(г)=п + (с1пМеР)еф(г). Для случая точечных зарядов (г)- Nл(г) = 5ф(г)
<р{7)=—схр{-г/г,), (3),
КГ
Атк^
где г3 = Лп/(1сР. Используя выражение для ЛпМер в ультраквантовом
к
пределе магнитных полей получаем:
и _ —3/2 1/2 1/2 ?2 /ИЧ
Гя-Я ав п (4).
Все флуктуации потенциала размером Я > г5 целиком экранируются электронами. А поскольку амплитуда ФП растет с ростом их геометрического размера (см. (1)), то наиболее существенными являются флуктуации с линейными размерами порядка г$ , для которых амплитуда потенциала ,
Теория линейного экранирования применима при |е(р(?\ « еР в каждой точке. Это условие эквивалентно неравенству у «еР и практически совпадает с условием £р«Ср. Это означает, металлическое состояние вещества, т.е. теория линейного экранирования справедлива только для хороших металлов. Для описания ситуации « п Шкловский и Эфрос развили теорию
нелинейного экранирования [1]. Суть этой теории сводится к следующему. Найдем оптимальный размер флуктуации Я и соответствующую амплитуду ФП (1). Из соотношения (1) явствует, что сколь бы ни была мала концентрация электронов, необходимо учитывать экранирование ими ФП в противном случае амплитуда потенциала (1) расходится при больших размерах флуктуаций. Экранирование осуществляется за счет перераспределения электронов. Однако, если концентрация электронов мала, далеко не все флуктуации могут экранироваться ими. В самом деле, экранируются только те флуктуации, в которых избыточная плотность примесей ДА^<п . В случае же обратного
неравенства электронов просто не хватает для экранирования, поскольку рассматриваются типичные среднестатистические флуктуации, охватывающие практически весь объем кристалла. Плотность избыточных примесей во флуктуации ДЛГ, = (ЛУ^)1/2 /Я3 уменьшается с увеличением размера флуктуации Я. Следовательно, флуктуации, превосходящие некоторый критический размер Яс , будут экранированы, а меньшие флуктуации экранироваться не будут. Величина Яс находится из равенства АД, (Яс) = п [1]:
Л, = И,ш/п2/} . (6),
Поскольку величина потенциала, создаваемого данной флуктуацией концентрации, растет с ее размером, его амплитуда определяется наибольшими из неэкранированных флуктуаций, т.е. флуктуациями с характерным размером Яс. Для ее величины из (6) и (1) получаем,
Типичная картина флуктуационного потенциала представлена на рис. 1.
Рис.1. Энергетическая схема компенсированного полупроводника в магнитном иоле. ер -уровень протекания, £f - уровепь Ферми. Заштрихованы области, занятые электронами. Рисунок взят из книги Шкловского и Эфроса [1].
Потенциальные ямы, образованные среднестатистическими флуктуациями размера /?с, являются оптимальными в том смысле, что с одной стороны в них нельзя увеличить концентрацию электронов - это привело бы к избытку отрицательного заряда и яма превратилась бы в холм. С другой стороны, для экранирования заряда подобных флуктуаций потребуются практически все электроны.
е
1.1.2. Структура оптимальной флуктуации.
Рассмотрим теперь структуру потенциальной ямы, образованной среднеквадратичной флуктуацией размера Яс. Разобьем кристалл на области с линейными размерами Я < Яс. Половина этих областей положительно заряжена и служит потенциальными ямами для электронов. Заряд такой типичной области равен е^,Я3/2 и в ней может поместиться (ЩЯ3)1'2 электронов. Всего же электронов, приходящееся на каждую из таких флуктуаций, равно пЯ . При выполнении неравенства Я < Яс справедливо соотношение пЯ3«(И1Я3)1/29 т.е. большая часть флуктуаций объема Я3 оказывается незаполненной электронами. Электроны заливают только потенциальные ямы, размером Я, расположенные в наиболее глубоких местах ямы размером Яс. Заполненная часть этой ямы составляет лишь некоторую долю ее объема (см. рис. 1). Плотность электронов
в заполненных ямах п = (а,,Л3)'/2 /Л3 » я = (аг,Д£3)'/2 /Я3. Таким образом, наиболее существенная флуктуационная яма заполнена незначительно, и уровень Ферми находится вблизи ее дна.
До сих пор концентрацию электронов п в заполненной флуктуации объемом Я3 мы ограничивали плотностью избыточного примесного заряда АЫ,
3 1/2 3
= (ЛУ?) /Я . Но концентрация электронов, которые могут поместиться в данной флуктуации, ограничена в соответствии с принципом Паули и числом возможных электронных состояний в ней. Среднеквадратичная плотность избыточных заряженных примесей (ЛУ?3)12 /Я3 в объеме Я3 с уменьшением Я растет, а плотность состояний (2т)иг /^тг2ги2{я^н] падает. Поэтому при уменьшении Я квантовое ограничение начинает играть все более существенную роль. Когда число возможных состояний превышает число электронов их концентрация электронов во флуктуации п ограничена ее зарядом,. Найдем размер типичной флуктуации Яч , в которой число состояний равно числу избыточных заряженных примесей. Образованная такой флуктуацией потенциальная яма полностью заполнена при 7М), т.е. энергия
Г
Ферми, отсчитанная от дна ямы, еР =2л-4й2/£й21т совпадает с ее глубиной г[яч)=е2(м,я1)и2 !кЯч. Отсюда е2^',^)'12 /кЯ,! =2л*п214иП2 /т. Подставляя величину п=ег(Ы'Я*)п //сЯч, соответствующую равенству концентраций электронов и некомпенсированного примесного заряда, получаем,
(8)
Для ям с размерами Я > Яч , важно зарядовое ограничение, и они заполнены лишь частично. Иными словами при Т = 0 электроны собираются в капли в ямах более мелкого масштаба, находящихся в наиболее глубоких местах ямы с размером Лс . При Я = Яч яма заполняется полностью, а при Я < Яд важным становится ограничение, вытекающее из принципа Паули. Количество электронов, которое должно находиться в такой яме на основе зарядовых соображений, превышает ее вместимость и электроны "выливаются" из нее, образуя более крупные капли. Таким образом, электроны разбиваются на капли размером Яд , находящиеся в наиболее глубоких местах потенциального рельефа, характерный размер которого равен Яс , а глубина ус- Плотность
электронов в каплях п = (ттА /2)3/и7'/,(яв Пн)2п ^,ав1„2^п много больше средней концентрации электронов и от нее не зависит. Глубина потенциальных ям, в которых имеются электронные капли, равна ,
В квантующих магнитных полях ав»1ц , и, если не выполняется условие магнитного вымораживания на отдельные доноры (М&ц1нУ> 1, то у(^)>;>^2/^в> т.е. глубина ямы превышает энергию ионизации отдельной примеси.
При 8р< £р'^/ус размер капли ЯЦ«ЯС, а в точке перехода диэлектрик-металл (еР = £р) ямы размером Яс заполнены полностью, и ЯЧ«Яс, Такое рассмотрение справедливо, если электронная капля не является квантовой, т.е. содержит много уровней, или иными словами до тех пор, пока Яд превосходит длину волны электрона Хх=к/(2тер) вдоль магнитного поля. Аналогичное условие для
направления, перпендикулярного магнитному полю И^»1Н, выполняется автоматически. Поскольку Єг= у(Яц), неравенство /?ч»Аг эквивалентно условию,
Случай, когда неравенство (10) не выполняется, обсуждается в разделе 1.2.
Гуляев и Плесский [4] исследовали температурную зависимость размера капель и положения уровня Ферми в отсутствие магнитного поля. Их рассуждения могут быть перенесены на случай квантующего магнитного поля [А 1.1]. Прежде всего отметим, что предыдущее рассмотрение, проведенное для Т = 0, справедливо для температур квТ«у(Яч). При кцТ»у(Яс) электроны можно считать практически свободными и не учитывать локализацию. Рассмотрим область температур, у(Яц)<кГ}Т<у(Яс). Средняя энергия электронов в капле є = &д7>у(/?я)^Єр. Поэтому электронный газ можно считать невырожденным. Энергию будем отсчитывать от дна среднестатистической флуктуационной потенциальной ямы, точнее - от уровня, расположенного на расстоянии Єо=Ус от среднего значения ФП (ниже его), т.е. от дна зоны проводимости в отсутствие ФП. Размер капли Ят определяется из равенства у(/?т) = квТ, из (1) находим ,
Электроны с характерной энергией £ занимают места в капле с характерным размером Яс, который можно найти с помощью соотношения
Плотность состояний в магнитном поле в каждой яме
1.1.3. Термодинамика электронов во ФП.
(Раздел написан по материалам [А1.1 и А1.13])
Ят= Я^квТ/у^))\
(И)
(12)
1 /2 2 2 1 /2
\^о(є)~((2ш) /2л й/н )е ' . Отсюда полная плотность состояний
Как видно из (12), размер капли ос с2; Яе=Лс(е/8о)2, где 8о=у(Яс)-
Запишем у0(е) в виде Vo(e)=Vo(eo)(so/£)1'2. Подставив это выражение в (13) и учитывая соотношение (6), получаем
у(е)=у0(єо)(є/єо)5/2.
Используя (14), нетрудно найти среднюю энергию электронов:
(14)
СО
{ єу(є)/(є)(1є о
(15)
I у(с)/(є)с1є
о
Энергия Ферми находится стандартным образом из выражения для концентрации электронов
Подставляя в (16) энергию Ферми бы ПРИ Т = 0, которая вычисляется аналогично, получаем
Из (14) следует, что плотность состояний электронов в рассматриваемом случае меньше, чем при однородном распределении примесей в полупроводнике. Это связано С тем, ЧТО электронам С энергией £<£р доступен не весь объем кристалла, а лишь часть его. Эта часть объема (определяемая (12)), растет с увеличением 8, а с ней и плотность состояний. Соответственно средняя энергия электронов согласно (15) оказывается больше средней энергии газа свободных электронов квТ/2 и, следовательно, большей оказывается электронная теплоемкость в расчете на один электрон
С физической точки зрения большое значение теплоемкости связано с тем, что при нагревании электрического газа одновременно с увеличением
(16)
(17)
(18)
40
средней энергии увеличивается и радиус капли, в которую собираются электроны, Лс ос*2. Таким образом, изменяется не только внутренняя энергия
газа, но и производится внешняя работа, связанная с расширением капли. В случае квТ«ер температурная зависимость е и еу может быть найдена с помощью известных выражений для интегралов Ферми при ер/квТ»\:
_ 7 9
ср -£>о
■♦и
12
к^Г_
. его )
квТ
\ £Р0
с,
'к£_'
V ^>0 /
(15’)
(17’)
(18’)
Вывод: Согласно теории Шкловского и Эфроса при наличии крупномасштабного ФП локализация электронов происходит не на отдельные примеси, а в ямы этого ФП. Различаются два случая: а) число электронов локализующихся в яме ФП ограничено зарядом ямы (классический ФП) или б) числом квантовых состояний в ямс (квантовый ФП, следующий раздел), Рассчитанная нами электронная теплоемкость в расчете на один электрон оказывается заметно больше теплоемкости свободных электронов.
1.2. Квантовый флуктуанионный потенциал
(Раздел написан по материалам [1] и обзора [А1.1 ])
1.2.1. Оптимальная флуктуация.
Теперь рассмотрим случай, когда длина волны электрона превосходит радиус
экранирования или размер ямы ФП. В сильном магнитном поле волновая функция электрона анизотропна. Характерный размер ее вдоль магнитного поля Хг =И1^2тс значительно превосходит размер в перпендикулярном направлении, Л,>>1и- Поэтому возможна ситуация, когда где г5 -
радиус экранирования Томаса - Ферми, а Яс - размер оптимальной флуктуации,
найденный в приближении классического потенциала. Экранирование заряда в этих условиях анизотропно. Задача об электронном экранировании при 1ц.«г5,<<Л2 рассмотрена в линейном приближении в работе [5], а в случае нелинейного экранирования - в [2, 6]. Авторы [6] показали, что длина экранирования вдоль поля 12=/Урр, а в поперечном направлении 1±=г5« 4
Оценим флуктуации потенциальной энергии электрона. Применяя соображения, аналогичные использованным в разделе 1.1, получим, что
л
потенциал, создаваемый флуктуацией объемом 4. /4» равен [2]:
(19)
л-
Подставляя в (19) значения 12=Ыр2 , /±= г5, рР=2кЖи.и г5 из (4), получаем
е?1 хг!/2/3 .. _о1/2_5/2..1/2хг1/2тЗ „ /ЛЛ\
У\*',г$)-2 71 ,/2 1/2 ' 1цП — 2 7Г аВ1 N! 1нп, (2\))
к т
выражение (20) можно записать в виде:
г(А.г,)= £^(Л^V,2,)3,2 7^7. (20’)
кав 1 + К
Таким образом, в области металлической проводимости потенциальная энергия электрона испытывает флуктуации с амплитудой, определяемой соотношением (20). В случае ер < €р , следует воспользоваться нелинейной теорией экранирования в квантовом случае, развитой в [2]. Для оптимальной флуктуации размер потенциальной ямы вдоль магнитного поля теперь ограничивается не условием равенства концентрации электронов и избыточных примесей п=ЛМ„ а требованием наличия квантового состояния в потенциальной яме. Поэтому размеры существенной флуктуации вдоль и
л
поперек магнитного поля различны (4 # /±), а ее объем равен 44. • Требование наличия уровня в потенциальной яме глубиной у накладывает на 4 ограничение:
1г=Щту),п (21)
Это минимальное значение /. при глубине потенциальной ямы у. Для того, чтобы яма не была экранирована электронами, объем ее следует уменьшать, поскольку при этом возрастает плотность избыточных примесей
поперечных размеров ямы 1±. Таким образом, мы приходим к цилиндрической форме оптимальных флуктуаций. В классическом она сферическая, так как условие (21) отсутствует. Подставляя (19) в (21), получаем
Значения /,с и /1с, соответствующие максимальной неэкранированной флуктуации, вновь находим из равенства АМ,(12С,1±с) = п. Вместо (6) получаем
При 8р«Бр электроны заполняют лишь небольшое число наиболее глубоких ям мелкого масштаба в самых глубоких местах крупномасштабной флуктуации (24). Как показано в [2], локальная концентрация электронов п »п, и, следовательно, эти ямы занимают малую долю объема кристалла. Электроны собираются в капли с поперечным размером г, = я-3/2Й,/2д]/2/£ (г, -радиус экранирования, соответствующий концентрации электронов п). Поскольку = е, размеры области 1:я и /1Ч, для которой зарядовое
ограничение количества электронов в яме совпадает с квантовым, равны
AN, = (N'l2l±)l2/'l:l±. Уменьшения Объем уменьшается при уменьшении
а
(22)
'Л Г= — • (23)
п
Из (22) и (23) имеем
(24)
Амплитуда ФП
Как явствует из (25), в этом случае глубина ям ФП в (N/n)2 раз больше энергии связи электрона на отдельной примеси.
1.2.2. Структура оптимальной флуктуации
il
- Київ+380960830922