Распространение коротких акустических импульсов в средах с релаксацией и обобщенный вариационный принцип для диссипативной механики сплошных сред

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ....................................................................6
Глава 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В
ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ. ВОПРОСЫ ОПИСАНИЯ..........................20
1.1. Способы описания диссипативно-дисперсионных свойств сред............22
1.1.1. Эмпирическое описание..........................................23
1.1.2. Механические модели............................................23
1.1.3. Микроскопические модели релаксационных механизмов..............25
1.1.4. Термодинамический подход Мандельштама - Леонтовича.............28
1.1.5. Проблема единого описания релаксационных и резонансных
сред в рамках термодинамического подхода........................33
1.2. Теорема Эфроса об обобщенной свертке................................34
1.3. Распространение импульсов в средах с релаксацией....................35
1.3.1. Известные точные одномерные функции Грина (среда Максвелла,
среда Фойгта, среда с одним временем релаксации)................42
1.3.2. Асимптотические методы.........................................45
1.3.3. Распространение импульсов в неоднородных средах................48
1.3.4. Экспериментальные результаты...................................49
1.4. Закономерности изменения энергии короткого импульса, распространяющегося в среде с одним релаксационным механизмом............50
1.5. Проблемы описания распространения звука.............................53
1.5.1. Система гидродинамических уравнений............................54
1.5.2. Распространение малых возмущений...............................55
Заключение к первой главе.............................................59
ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ В
СРЕДАХ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ РЕЛАКСАЦИЕЙ...........................61
2.1. Среда с двумя временами релаксации..................................61
2.1.1. Функция Г рина задачи о распространении импульса в среде
с двумя релаксационными процессами..............................61
2.1.2. Аналитическое выражение для функции Г рина среды с двумя релаксационными процессами............................................71
2.2. Среда с распределенным СВР 1Л.......................................79
2.2.1. Функция Грина..................................................79
2.2.2. Асимптотики функции Грина......................................80
2.2.3. Асимптотики исходного представления.............................84
2.3. Аппроксимация одномерной функции Грина для произвольного СВР.........86
2.3.1. Аналитическое представление динамики короткого импульса, распространяющегося в среде с произвольным СВР.........................86
2.3.2. Примеры численных расчетов динамики импульса....................93
2.4. Импульсная акустодиагностика релаксационных сред.....................97
2.5. Экспериментальные результаты........................................106
Заключение ко второй главе...............................................114
ГЛАВА 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С РЕЛАКСАЦИЕЙ.............................115
3.1. Степень «компенсации» акустических импульсов и ее связь с затуханием 116
3.2. Распространение коротких акустических импульсов в неоднородных релаксационных средах...................................................122
3.2.1. Факторизация решения в неоднородной среде......................123
3.2.2. ВКБ приближение................................................127
3.2.3. Случай пространственно неоднородного СВР.......................131
3.2.4. Распространение импульсов в температурно неоднородной среде....133
3.3. Точные решения задачи распространения акустического
импульса в неоднородной среде Максвелла..............................142
3.3.1. Одномерный импульс в среде Максвелла с экспоненциально меняющейся плотностью.................................................145
3.3.2. Одномерный импульс в среде Максвелла с линейно
меняющейся скоростью............................................148
3.4. Функции Грина точечного и линейного источников в изотермической атмосфере с релаксационными свойствами Максвелла........................150
3.5. Распространение импульса в неоднородной релаксационной среде
при изменении температуры вдоль трассы...............................159
Заключение к третьей главе...............................................167
ГЛАВА 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ
В СРЕДАХ С РЕЗОНАНСНОЙ РЕЛАКСАЦИЕЙ..............................168
4.1. Обобщение термодинамического подхода на случай среды
с резонансной релаксацией............................................170
4.2. Дисперсия фазовой скорости и частотная зависимость коэффициента поглощения в среде с резонансной релаксацией............................176
3
4.3. Механическая модель обобщенной функции отклика
с резонансной релаксацией...............................................183
4.4. Функция Грина для среды с резонансной релаксацией....................] 88
4.5. Анализ поведения функции Грина........................................195
4.5.1. Прифронтовые асимптотики.........................................196
4.5.2. Асимптотики больших расстояний. Случай А > 0.....................198
4.5.3. Асимптотики больших расстояний. Случай А < 0.....................207
4.6. Основные типы распространения импульса в среде с одним
обобщенным процессом резонансной релаксации.............................218
4.7. Экспериментальные результаты для жидкости с пузырьками газа...........230
Заключение к четвертой главе...............................................242
ГЛАВА 5. ОБОБЩЕННЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ
ДИССИПАТИВНОЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ....243
5.1. Вариационные принципы.................................................244
5.1.1. Вариационный принцип Гамильтона..................................244
5.1.2. Вариационный принцип Онзагера....................................245
5.1.3. Вариационный принцип для механических систем с диссипацией.......246
5.2. Обобщенный вариационный принцип для диссипативной гидродинамики.......248
5.2.1. Независимые переменные...........................................249
5.2.2. Связь гидродинамического описания с механикой частиц.............250
5.2.3. Вариационный принцип термодинамические
диссипативные системы............................................253
5.2.4. Сравнение с системой гидродинамических уравнений.................254
5.3. Интегралы движения....................................................256
5.4. Вязкость в диссипативной гидродинамике................................260
5.4.1. Вариационный принцип с учетом внутренних параметров в рамках подхода Мандельштама - Леонтовича.
Релаксация вязкости..............................................260
5.4.2. Релаксация в случае большого числа внутренних параметров.........263
5.4.3. Релаксация сдвиговой вязкости....................................266
5.4.4. Сдвиговая вязкость как следствие релаксации углового момента
при гидродинамическом описании сплошной среды....................269
5.4.5. Учет релаксации вязкости и инерции температурного поля...........274
Заключение к пятой главе................................................276
4
ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ И МНОГОФАЗНЫХ СРЕД.........................................................278
6.1. Распространение волн в многокомпонентных средах..................278
6.1.1. Однокомпонентная среда......................................280
6.1.2. Двухкомпонентная среда......................................281
6.1.3. Двухкомпонентная среда при постоянной температуре...........281
6.1.4. Двухтемпературная теплопроводность неподвижной среды........283
6.1.5. Двухкомпонентная среда с общей температурой.................384
6.2. Распространение волн в пористых проницаемых средах...............286
6.2.1. Уравнения Био на основе обобщенного вариационного принципа..287
6.2.2. Обобщение уравнений Био при учете сдвиговой
релаксации флюида........................:....г..............289
6.2.3. Распространение волн в обобщенной модели Био................291
6.2.4. Сдвиговая диффузионная волна................................296
Заключение к шестой главе..........................................298
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................300
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................304
5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации. Исследование закономерностей распространения акустических полей в различных средах является важным источником информации о неидеальных свойствах этих сред. Поэтому установление новых закономерностей в распространении акустических полей и разработка на их основе методов акустической диагностики сред является актуальной задачей.
При распространении акустических волн малой амплитуды наиболее существенными из неидеальных свойств реальных сред являются диссипативно-дисперсионные свойства, которые характеризуются зависимостью от частоты коэффициента поглощения и фазовой скорости, и, в конечном счете, связаны с внутренней микроструктурой среды.' Влияние структуры среды, и частности, ее внутренней микроструктуры на распространение акустических воли разнообразно и, в зависимости от соотношения между длиной звуковой волны Я, размерами неоднородностей /, определяющих микроструктуру, и расстояний между ними L, может описываться в рамках разных подходов. В частности, при X«\,L работает геометрооптическос приближение [Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. (1980), Бабич В.М., Булдырев B.C. (1972)], при / « Я « L удобно пользоваться методами теории рассеяния [Татарский В.И. (1967), Исимару А. (1981)], при X»l,L описание может проводиться в терминах эффективной среды, релаксирующей к состоянию термодинамического равновесия [Михайлов И.Г., Соловьев В.Д., Сырников Ю.Г1. (1964), Новик А. Берри Б. (1975), Красильников В.Л., Крылов В.В. (1984)]. В последнем случае, который только и рассматривается в диссертации, также могут существовать дополнительные масштабы, связанные с релаксацией тепловых полей и полей сдвиговых напряжений, которые обусловлены самой микроструктурой. Такие среды принято называть микронеоднородными [Исакович М.А (1979), Буланов В.Л. (2001)], к ним, в частности, относятся многофазные среды [Нигматулин Р.И. (1987), Николаевский В.И. и др. (1970)], например, суспензии, жидкости с пузырьками газа и пористые проницаемые среды. Учет специфических особенностей таких сред требует адекватного описания всей совокупности физических полей, участвующих в процессах релаксации.
Во многих случаях диссипативно-дисперсионные свойства могут быть описаны в терминах локальных релаксационных процессов, которые возникаю1 в поле акустической волны при ее распространении в среде [Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П.
6
(1964), Новик А. Берри Б. (1975),]. Основной характеристикой при таком описании является спектр времен релаксации (СВР).
Одним из традиционных способов определения параметров СВР служат акусто-спектроскопические измерения температурно-частотной зависимости коэффициента поглощения и фазовой скорости звука в среде [Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964), Новик А. Берри Б. (1975),]. При этом существующие методы акустодиагностики сред основаны на теоретической базе закономерностей распространения монохроматических акустических волн.
В последнее время для решения таких задач все более широкое применение находят импульсные методы измерения, которые к тому же часто оказываются более технологичными и дешевыми при реализации. Поэтому одним из перспективных методов дистанционного неразрушающего контроля среды является импульсная акустодиагностика [Нигул У.К. (1981)], когда по закономерностям изменения динамических характеристик (амплитуды и формы) акустических импульсов получают информацию о диссипативно-дисперсионных свойствах среды, и, следовательно, о тех релаксационных механизмах, которые приводят к таким свойствам.
Однако использование импульсных методов сдерживается недостаточной развитостью теории и связанными с этим трудностями в интерпретации наблюдаемых искажений амплитуды и формы импульса в процессе его распространения, несмотря на прилагаемые в этом направлении усилия [Кельбсрт М.Я., Сазонов И.А. (1991), Oughstun, К..Е., Sherman G.C (1994)]. Поэтому актуальной задачей, которую необходимо решить для целей импульсной акустодиагностики, является выявление закономерностей изменения профиля акустического импульса в процессе его распространения в среде и разработка на этой основе количественных методов определения параметров, характеризующих свойства среды. При этом особую роль играют короткие импульсы, длительность которых меньше характерных времен релаксации в изучаемой среде, поскольку в этом случае изменение профиля импульса мало зависит от его начальной формы.
Более широкий взгляд на распространение малых возмущений в сплошных средах, связанный с выходом за рамки локальных релаксаций и учетом тепловых полей и релаксаций в микронеоднородных средах, приводит к необходимости вывода соответствующей им системы уравнений движения на основе единого универсального подхода, такого, как вариационный принцип.
Б частности, па основе вариационного принципа может быть решена фундаментальная проблема последовательного описания распространения термо-
7
акустического поля с конечной скоростью распространения фронта в микронеоднородных (многофазных) релаксирующих средах.
Однако до настоящего времени сама возможность формулировки вариационного принципа для диссипативной механики сплошной среды ставится под сомнение [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Т.У. (1976)], хотя попытки его сформулировать предпринимались неоднократно [Оп$а§ег Ь. (1931), Г'ленсдорф П., Пригожин И. (1973), Дьярмати И. (1974), Ьио М. (1975), Бердичевский В.Л. (1983)]. Поэтому формулировка вариационного принципа для диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды может открыть новые возможности для исследований в области акустики, гидродинамики и механики диссипативных сред.
Целью диссертационной работы является
• Исследование закономерностей распространения коротких импульсов в однородных средах, обладающих спектром времен релаксации. Вывод и анализ новых точных решений. Формулировка оснои импульсной акустодиагностики релаксирующих сред.
• Разработка методов описания распространения коротких импульсов в неоднородных средах с релаксацией. Вывод и анализ новых точных решений.
• Обобщение термодинамического подхода Мандельштама-Леонтовича на случай резонансных релаксаций. Классификация различных типов распространения коротких импульсов в средах с резонансной релаксацией. Анализ новых точных решений.
• Формулировка и обоснование обобщенного вариационного принципа для диссипативной механики сплошной среды.
• Вариационное обоснование вязких членов в гидродинамике;
® Приложения обобщенного вариационного принципа для описания распространения малых возмущений в многокомпонентных и многофазных средах.
Методы исследования.
Для достижения поставленных целей используются теоретические методы, основанные, например, на специальных теоремах теории функций комплексного переменного, в частности, на теореме Эфроса об обобщенной свертке. Применяются высокочастотные асимптотические разложения, а также метод перевала, в том числе и в
его специальных модификациях. Используются точные аналитические решения задач, а также их приближенные решения, например, в ВКБ приближении. Для вывода уравнений используются вариационные методы. Теоретические результаты, касающиеся распространения коротких акустических импульсов, подтверждаются данными специальных экспериментов.
В работе решены следующие основные задачи.
Рассмотрены вопросы, связанные с распространением малых возмущений в диссипативных средах, допускающих описание как в терминах локальных релаксаций, так и требующих для своего описания более общей системы уравнений движения.
Разработаны подходы для описания закономерностей распространения коротких акустических импульсов в релаксирующих средах. Дано полное описание особенностей диспергирования формы коротких импульсов, распространяющихся в линейных средах с локальным откликом. Сформулированы основы импульсной акустодиагностики релаксационных сред.
Выход за рамки локальных релаксаций, связанный с учетом тепловых полей и релаксаций в микронсоднородных средах, привел к необходимости вывода соответствующей им системы уравнений движения на основе единого универсального подхода, такого, как вариационный принцип.
Представлена оригинальная формулировка обобщенного вариационного принципа для диссипативной механики сплошной среды, показана ее согласованность с традиционной гидродинамикой и предсказан ряд новых эффектов. Это открывает новые возможности для решения задач в указанных областях.
1. Получены и проанализированы новые точные фундаментальные решения для импульса, распространяющегося в среде с двумя релаксационными процессами или с распределенным спектром времен релаксации (СВР) вида 1 / г. Разработано аналитическое представление фундаментального решения для среды с произвольным СВР. Сформулированы основы импульсной акустодиагностики однородных релаксационных сред, позволяющей определять параметры СВР по динамике профиля короткого акустического импульса, и представлены экспериментальные результаты, подтверждающие такую возможность.
2. На основе метода факторизации, позволяющего разделить влияние пространственной неоднородности и локальных диссипативно-дисперсионных свойств среды, исследовано распространение короткого акустического импульса в
неоднородных релаксационных средах. Установлена асимптотическая связь затухания импульса со степенью компенсации сто формы, определяемой геометрией излучения и функцией источника. На основе ВКБ приближения описаны общие закономерности распространения короткого импульса в пространственно неоднородных средах. Получены точные фундаментальные решения для импульса, распространяющегося в неоднородной среде с реологическими свойствами Максвелла при экспоненциальном изменении плотности или линейном изменении скорости звука вдоль трассы распространения, а также в среде с одним релаксационным процессом при логарифмическом изменении обратной температуры вдоль трассы. Для изотермической атмосферы с реологическими свойствами Максвелла получены точные функции Грина линейного и точечного источников.
3. Впервые показано, что резонансные релаксации, также как и экспоненциальные, могут быть описаны в рамках общего термодинамического подхода Манделышама-Леонтовича. На этой основе предложено общее уравнение состояния линейных сред с локальной функцией отклика. Изучены и классифицированы вес допустимые особенности фазовой скорости и коэффициента затухания в линейной среде с одним процессом резонансной релаксации общего вида. Предложена новая механическая модель среды с резонансной релаксацией, обобщающая модель стандартного неупругого тела, а также модели Лоренца и Дебая (стандартного неупругого тела). Получены точные фундаментальные решения для импульса, распространяющегося в среде с одним процессом резонансной релаксации общего вида. Проведено детальное исследование этих решений. Выявлены и классифицированы все возможные типы динамики формы короткого импульса, распространяющегося в такой среде. Для модельной среды в виде жидкости с пузырьками газа проведена экспериментальная проверка теоретических выводов.
4. Сформулирован обобщенный вариационный принцип (ОВП) для диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды, представляющий собой сумму вариационного принципа Гамильтона для бездиссипативной механики сплошной среды и вариационного принципа Онзагера для неравновесной термодинамики. При этом принципиальной особенностью предложенного подхода является описание сплошной среды в терминах двух взаимодействующих полей: массовых и температурных смещений, совместно обеспечивающих консервативность всей системы. Показано, что в линейном приближении система гидродинамических
10
уравнений может быть выведена на основе ОВП при общих квадратичных формах кинетической и свободной энергий, а также диссипативной функции, построенных на полях массовых и температурных смещений. При этом прямое сравнение полученной системы уравнений с традиционной гидродинамической системой позволяет определить все коэффициенты квадратичных форм.
Показано, что слагаемые, ответственные за вязкость в уравнении Навьс-Стокса, могут быть введены в рамках ОВП на основе теории внутренних параметров Мандельштама - Леоитовича. При этом для учета сдвиговой вязкости требуется исходно рассматривать жидкость как упругую среду и дополнительно вводить тензорный внутренний параметр второго ранга. Локальное кинетическое уравнение релаксационного типа для тензорного внутреннего параметра выводится на основе OBI1, а не постулируется как в подходе Мандельштама-Леонтовича. Разработанный подход привел к уравнению движения, являющемуся обобщением уравнения Навье-Стокса за счет учета релаксации вязкости. При этом оказалось, что на низких частотах полученное уравнение описывает поведение обычной вязкой (Ньютоновой) жидкости, а на высоких частотах жидкость ведет себя как упругое тело (модель Максвелла)
Показано, что физический смысл введенного тензорного внутреннего параметра связан с внутренним угловым моментом вязкой жидкости. Анализ степеней свободы материальных точек, составляющих сплошную среду, показан, что наряду с уравнениями баланса массы, импульса и энергии, на основе которых строится традиционная гидродинамика, также необходимо рассматривать уравнение баланса углового момента. В отсутствии диссипации необходимость в уравнении баланса углового момента возникает только при наличии внутренней микроструктуры среды, моменты инерции которой уравновешивают моментные силы. В этом случае сплошная среда может рассматриваться как континуум Коссера. В диссипативном случае соответствующим обобщением будет диссипативный континуум Коссера. При этом из-за наличия диссипативных сил в уравнении баланса углового момента сколь угодно малой может быть роль моментов инерции, и, следовательно, необходимая микроструктура среды может быть доведена до кинетического уровня описания. Таким образом, обычная вязкая жидкость может рассматриваться как локальный вариант диссипативного континуума Коссера.
На основе ОВП рассмотрено распространение малых возмущений в многофазных и многокомпонентных средах. Для двухфазной пористой проницаемой среды показано, как уравнения теории Био могут быть получены на основе ОВП. Кроме
того, показано, что при учете дополнительной сдвиговой степени свободы, существующей в вязкой жидкости, наряду с двумя типами продольных волн (акустической и диффузионной на низких частотах) также могут существовать два аналогичных типа поперечных волн. При этом характер низкочастотного поведения второй поперечной диффузионной волны отличается от характера аналогичной продольной волны.
Научная новизна
В диссертации разработаны подходы для описания закономерностей распространения короткого акустического импульса в релаксирующих средах. Дано полное описание особенностей диспергирования формы короткого импульса, распространяющихся в линейных средах с локальным откликом. Сформулированы основы импульсной акустодиагностики релаксационных сред.
В диссертации предложена оригинальная формулировка обобщенного вариационного принципа для диссипативной диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды, показана ее согласованность с традиционной гидродинамикой и предсказан ряд новых эффектов. Это открывает новые возможности для решения задач в указанных областях.
Научная и практическая значимость работы
Полученные результаты могут быть использованы:
• при исследовании реологических свойств диссипативно-дисперсионных сред методами импульсной акустической диагностики;
• в теоретических и экспериментальных работах по исследованию распространения звука в многофазных и многокомпонентных средах;
• для решения практических задач, например, при изучении свойств нефтяных коллекторов на основе обобщенных моделей Био.
Основные положения, выносимые на защиту
I. Получены и проанализированы новые точные фундаментальные решения для импульсов, распространяющихся в средах с двумя релаксационными процессами и с распределенным спектром времен релаксации вида 1/г. Предложено аналитическое представление фундаментального решения для среды с произвольным спектром времен релаксации (СВР) и сформулированы основы импульсной акустодиагностики однородных релаксирующих сред, позволяющей
12
определять параметры СВР по динамике профиля короткого акустического импульса.
2. Методом факторизации, позволяющим разделить влияние пространственной неоднородности и локальных диссипативно-дисперсионных свойств среды, исследовано распространение короткого акустического импульса в неоднородных релаксирующих средах. Получен ряд точных фундаментальных решений для импульсов, распространяющихся в неоднородной среде с реологическими свойствами Максвелла при экспоненциальном изменении плотности или линейном изменении скорости вдоль трассы распространения, а также в среде с одним релаксационным процессом при логарифмическом изменении обратной температуры вдоль трассы. Для изотермической атмосферы с реологическими свойствами Максвелла получены точные функции Грина линейного и точечного источников.
3. Показано, что резонансные релаксации, также как и экспоненциальные, могут быть описаны в рамках общего термодинамического подхода Мандельштам а-Леонтовича и предложено общее уравнение состояния линейных сред с локальной функций отклика.
4. Получены точные фундаментальные решения для импульса, распространяющегося в среде с одним процессом резонансной релаксации общего вида и классифицированы возможные типы динамики профиля короткого импульса. Для модельной среды в виде жидкости с пузырьками газа проведена экспериментальная проверка теоретических выводов.
5. Сформулирован обобщенный вариационный принцип (ОВП) для диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды, представляющий собой сумму вариационного принципа Гамильтона для бездиссипативной механики и вариационного принципа Онзагера для неравновесной термодинамики, и показано, что в линейном приближении система гидродинамических уравнений может быть выведена на основе ОВП.
6. Показано, что слагаемые в уравнении Навье-Стокса, ответственные за вязкость, могут быть введены в рамках ОВП на основе теории внутренних параметров Манделыптама-Леонтовича. Данный подход приводит к уравнению движения, являющемуся обобщением уравнения Навье-Стокса за счет учета релаксации вязкости, при этом оказывается, что на низких частотах полученное уравнение описывает повеление обычной вязкой (Ньютоновой) жидкости, а на высоких частотах жидкость ведет себя как упругое тело (модель Максвелла).
7. Показано, что физический смысл тензорного внутреннего параметра, введенного для описания сдвиговой вязкости, связан с внутренним угловым моментом вязкой жидкости.
8. Для двухфазной пористой проницаемой среды показано, что при учете дополнительной сдвиговой степени свободы, которой обладает вязкая жидкость, в теории Био наряду с двумя типами продольных волн (акустической и диффузионной на низких частотах) также могут существовать два аналогичных типа поперечных волн. При этом характер низкочастотного поведения поперечной диффузионной моды отличается от характера аналогичной продольной моды.
Достоверность результатов
Точные аналитические решения задач основаны на теоремах теории функции
комплексного переменного и проверены предельным переходом к известным решениям.
Приближенные решения соответствуют известным асимптотикам точных решений.
Результаты теоретического анализа находятся в согласии с результатами прямых
численных расчетов. Анализ, как правило, сопровождается физической интерпретацией.
Теоретические результаты имеют хорошее согласие с экспериментом и согласуются с
результатами других авторов, где было возможно провести такое сопоставление.
Апробации работы
Полученные в работе результаты докладывались:
• на X Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (СДВ-10) (Винница, 1990);
• на Международной конференции «Forth International Congress on Sound and Vibration» (St. Petersburg, 1996);
• на 16 Международном Акустическом конгрессе (Seattle, USA, 1998);
• на III Международной научно-технической конференции “Современные методы и
средства океанологических исследований” (Москва, 1997);
• на Третьем совещании по магнитной и плазменной аэродинамике в аэро- космических приложениях (Москва, 2001);
• на конференции Optical Society of America. Integratcd Photonics Research (Monterey, 2001);
• na Eleventh International Cungress on Sound and Vibration (St.Petersburg, 2004);
• на Symposium on the Acoustics of Poro-Elastic Materials (Bradford, 2008, Ferrara, 2011);
14
• на Международной конференции EUROMECH COLLOQUIUM 510 UPMC (Paris,
France, 2009);
• на Международной конференции “4th Saint Petersburg International Conference & Exhibition” (St. Petersburg, 2010);
• на VIII Международной конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт Петербург, 2006, 2010);
• на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011)
• на IV, X, XI, XIII, XVIII, XIX, XX, XXII, XXIV сессиях Российского акустического общества (Москва, Нижний Новгород, Саратов);
• на сессиях Американского акустического общества (1999, 2001);
• на международной конференции “Дни дифракции” (St.Petersburg, 2006, 2007, 2009, 2010);
• на научных сессиях МИФИ (1999, 2000; 2001, 2003, 2006, 2007, 2008);
• на постоянно действующем семинаре Акустического института «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора С.Л.Рыбака.
Часть представленных в диссертации исследований проведена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (i-ранты 00-02-16556-а, 03-02-16934-а, 05-02-17670-а, 09-02-00927-а) и Международного научно-технического центра (грант 3691).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех книгах, в 23 статьях в рецензируемых журналах, в Ежегодниках Российского акустического общества за 2000, 2002, 2006, 2007, 2009 годы, а также в трудах и тезисах конференций.
Личный вклад автора
Часть представленных в диссертации результатов получена в соавторстве с С.З. Дуниным и В.А. Ларичевым. В совместно опубликованных работах автору принадлежит постановка задачи, вывод основных соотношений и интерпретация результатов.
Структура и объем работы
Работа состой I из введения, шести глав и заключения, содержит 317 страниц текста, 62 рисунков, 5 таблиц и списка литературы из 211 наименований.
15
Краткое содержание работы
Во Введении обосновывается выбор направления исследования, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, отмечается специфика выбранной области исследования. Приводится краткое содержание работы, а также основные положения, выносимые на защиту.
Глава 1 носит в основном обзорный характер.
В первом разделе дается обзор существующих способов описания диссипативнодисперсионных свойств сред от эмпирического описания до термодинамического подхода Мандельштама - Леонтовича. Излагается термодинамический подход Мандельштама -Леонтовича для сред с дискретным и непрерывным спектрами времен релаксации (СВР). В рамках этого подхода воспроизведен вывод известных уравнений состояния среды вблизи термодинамического равновесия. Формулируется проблема единого описания релаксационных и резонансных сред в рамках термодинамического подхода.
Во втором разделе приводится формулировка и доказательство теоремы Эфроса об обобщенной свертке, с использованием которой получен ряд результатов данной диссертации.
В третьем разделе рассматривается распространение импульса в средах с релаксацией. Из уравнений движения и непрерывности, а также уравнения состояния релаксирующих сред, получено наследственное уравнение, описывающее распространение волн в средах со спектром времен экспоненциальных релаксаций. Такие среды в дальнейшем будем называть релаксационными. Приведено спектральное представление функции Грина плоского источника в такой среде (фундаментальное решение одномерной задачи). Приведены известные точные одномерные функции Грина для модельных сред (Максвелла, Фойгта, Дебая (стандартное неупругое тело)). Рассмотрены асимптотические методы, применяемые для исследования таких задач, дан обзор результатов по распространению импульса в неоднородных средах с релаксацией.
В четвертом разделе, основанном на работе [А7], исследованы закономерности изменения энергии короткого импульса, распространяющегося в среде с одним релаксационным механизмом. В частности, показано, что на малых расстояниях энергия импульса диссипирует по экспоненциальному закону, в то время как на больших расстояниях закон диссипации сменяется на степенной - обратно пропорционально корню из пройденного расстояния.
16
В пятом разделе на основе анализа системы гидродинамических уравнений сформулированы проблемы описания распространения звука и, в целом, малых возмущений, а также существующие подходы к их решению.
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с распространением импульсов, распространяющихся в однородных средах с распределенным СВР. Получены и проанализированы новые точные фундаментальные решения для двух типов СВР. Разработано аналитическое представление фундаментального решения для среды с произвольным СВР. Сформулированы основы импульсной акустодиагностики однородных релаксирующих сред, позволяющей определять параметры СВР по динамике профиля короткого акустического импульса, и представлены экспериментальные результаты, подтверждающие такую возможность.
В третьей главе На основе метода факторизации, позволяющего разделить влияние пространственной неоднородности и локальных диссипативно-дисперсионных свойств среды, исследовано распространение короткого акустического импульса в неоднородных релаксационных средах. Установлена асимптотическая связь затухания импульса со степенью компенсации его формы, определяемой геометрией излучения и функцией источника. На основе ВКБ приближения описаны общие закономерности распространения короткого импульса в пространственно неоднородных средах. Получены точные фундаментальные решения для импульса, распространяющегося в неоднородной среде с реологическими свойствами Максвелла при экспоненциальном изменении плотности или линейном изменении скорости звука вдоль трассы распространения, а также в среде с одним релаксационным процессом при логарифмическом изменении обратной температуры вдоль трассы. Для изотермической атмосферы с реологическими свойствами Максвелла получены точные функции Грина линейного и точечного источников.
В четвертой главе рассматривается распространение импульсов в средах с резонансной релаксацией. В рамках общего термодинамического подхода Мандсльштама-Леонговича предложено общее уравнение состояния линейных сред с локальной функций отклика, показано, что резонансные релаксации, также как и экспоненциальные, могут быть описаны в рамках общего термодинамического подхода Манделыитама-Леонтовича. На этой основе предложено общее уравнение состояния линейных сред с локальной функцией отклика. Изучены и классифицированы все допустимые особенности фазовой скорости и коэффициента затухания в линейной среде с одним процессом резонансной релаксации общего вида. Предложена новая механическая модель среды с резонансной релаксацией, обобщающая модель стандартног о неупругого тела, а также модели Лоренца
17
и Дебая (стандартного неупругого тела). Получены точные фундаментальные решения для импульса, распространяющегося в среде с одним процессом резонансной релаксации общего вида. Проведено детальное исследование этих решений. Выявлены и классифицированы все возможные типы динамики формы короткого импульса, распространяющегося в такой среде. Для модельной среды в виде жидкости с пузырьками газа проведена экспериментальная проверка теоретических выводов.
В пятой главе сформулирован обобщенный вариационный принцип для диссипативной гидродинамики и механики сплошной среды, представляющий собой сумму вариационного принципа Гамильтона для бездиссипативных механических систем и вариационного принципа Онзагера для неравновесных термодинамических систем. При этом принципиальным обстоятельством является описание сплошной среды в терминах двух взаимодействующих нолей: массовых и температурных смещений, совместно обеспечивающих консервативность всей системы. Показано, что в линейном приближении система гидродинамических уравнений может быть выведена на основе обобщенного вариационного принципа при общих квадратичных формах кинетической и свободной энергий, а также диссипативной функции, построенных на полях массовых и температурных смещений. При этом прямое сравнение получаемой системы уравнений с традиционной гидродинамической системой позволяет определить все коэффициенты квадратичных форм.
Показано, что слагаемые, ответственные за вязкость в уравнении Навье-Стокса, могут быть введены в рамках ОВП на основе теории внутренних параметров Мандельштама -Леонтовича. При этом для учета сдвиговой вязкости требуется исходно рассматривать жидкость как упругую среду и дополнительно вводить тензорный внутренний параметр второго ранга. Локальное кинетическое уравнение релаксационного типа для тензорного внутреннего параметра выводится на основе ОВП, а не постулируется как в подходе Мандельштама-Леонтовича. Разработанный подход привел к уравнению движения, являющемуся обобщением уравнения Навье-Стокса за счет учета релаксации вязкости. При этом оказалось, что на низких частотах полученное уравнение описывает поведение обычной вязкой (Ньютоновой) жидкости, а на высоких частотах жидкость ведет себя как упругое тело (модель Максвелла)
Показано, что физический смысл введенного тензорного внутреннего параметра связан с внутренним угловым моментом вязкой жидкости. Анализ степеней свободы материальных точек, составляющих сплошную среду, показал, что наряду с уравнениями баланса массы, импульса и энергии, на основе которых строится традиционная гидродинамика, также необходимо рассматривать уравнение баланса углового момента. В
отсутствии диссипации необходимость в уравнении баланса углового момента возникает только при наличии внутренней микроструктуры среды, моменты инерции которой уравновешивают моментные силы. В этом случае сплошная среда может рассматриваться как континуум Коссера. В диссипативном случае соответствующим обобщением будет диссипативный континуум Коссера. При этом из-за наличия диссипативных сил в уравнении баланса углового момента сколь угодно малой может быть роль моментов инерции, и, следовательно, необходимая микроструктура среды может быть доведена до кинетического уровня описания. Таким образом, обычная вязкая жидкость может рассматриваться как локальный вариант диссипативного континуума Коссера.
В шестой главе с использованием ОВП рассмотрено распространение малых
возмущений в многофазных и многокомпонентных средах.
рассмотрено приложение ОВП для описания распространения малых возмущений в многокомпонентных средах при наличии теплового обмена между компонентами. Выведена общая система уравнений для смеси, состоящей из ;V компонент. Показано, что в такой системе могут существовать 2N собственных мод. На высоких частотах N мод имеют волновой характер распространения и N мод имеют диффузионный (тепловой) характер распространения. На низких частотах всегда существует одна акустическая мода, а остальные 2N-1 моды имеют диффузионный (тепловой характер). Также исследованы решения этой системы в частных случаях: двухкомпонентной среды без учета температуры, двухтемпературной теплопроводности неподвижной среды и двухкомпонентной среды при общей температуре.
для двухфазной пористой проницаемой среды показано как уравнения теории Ьио могут быть получены на основе OB1I. Кроме того, показано, что при учете дополнительной сдвиговой степени свободы, возникающей в вязкой жидкости, наряду с двумя типами продольных волн (акустической и диффузионной на низких частотах), также могут существовать те же два типа поперечных волн. При этом характер низкочастотного поведения второй поперечной диффузионной волны отличается от поведения аналогичной продольной волны. Приведены результаты расчетов
коэффициента затухания и фазовой скорости диффузионной сдвиговой волны,
иллюстрирующие ее особенности.
В Заключении приводятся основные результаты работы.
19
ГЛАВА 1
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ. ВОПРОСЫ ОПИСАНИЯ.
Одним из актуальных вопросов теории распространения акустических волн в реальных средах является вопрос об адекватном описании влияния неидеальных свойств среды на характеристики распространяющегося волнового поля. Описание неидеатьных свойств, связанных в конечном итоге с внутренней микроструктурой среды, дефектами ее строения, может быть проведено с различных точек зрения, в зависимости от соотношений между характерными масштабами изменения волнового поля и параметров среды. Многие природные среды, такие как гео- и биосреды, имеют сложную иерархию своей структуры, начиная от атомной и кончая крупномасштабными ее проявлениями, формой объекта как целого. Поэтому в зависимости от соотношения между длиной звуковой волны Я, размерами неоднородностей /, определяющих микроструктуру, и расстояний между ними Ь, может описываться в рамках разных подходов. В частности, при условии Я» /,£ описание может проводиться в терминах эффективной среды, релаксирующсй к состоянию термодинамического равновесия, что приводит к поглощению механической энергии и ее трансформации в тепловую энергию [Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников IO.II. (1964), Новик А. Берри Б. (1975), Красильников В.А., Крылов В В. (1984)].
Все реальные среды являются диссипативными, что выражается в трансформации энергии механического движения в тепло. Это связано с наличием у реальных сред микроструктуры, и, в конечном счете, обусловлено атомно-молекулярным строением любой среды.
Основное влияние поглощение оказывает на динамические характеристики волн. Оно проявляется в виде избирательного по частоте затухания амплитуды волновых колебаний. Вследствие принципа причинности и соотношений Крамерса-Кронига [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Т.VIII (1982)] наличие диссипации приводит к существованию дисперсии. Таким образом, реальные среды являются диссипативно-дисперсионными.
Наличие у реальных сред диссипативно-дисперсионных свойств приводит к изменению формы распространяющихся в них импульсов. Поэтому, с одной стороны, возникает зада1 12 об описании закономерностей изменения формы акустических импульсов, распространяющихся в среде, а с другой стороны - существует возможность
20
использовать эти закономерности для диагностики диссипативно-дисперсионных свойств самой среды.
В частности, искажение формы импульсов из-за поглощения и дисперсии приводит к потере информации об источнике их возбуждения. В связи с чем возникает вопрос о возможности определения характеристик источника возбуждения по характеристикам импульса, распространяющегося в среде (Вайнштейн Л.А. (1976); Кондратьев O.K. (1986); Пасечник И.П. (1970); Роден Г. (1987)].
Важной областью приложения исследований процессов распространения нестационарных волновых полей в средах со сложной реологией является акустодиагностика и связанные с ней методы неразрушающего контроля, ультразвуковая дефектоскопия и т.п. [Нигул У.К. (1981)]. Характеристики поглощения могут дать важную информацию о составе и состоянии среды, по которой распространяется волна [Гуревич Г.И. (1974); Кондратьев O.K. (1986); Новик Л., Бери Б. (1975); Рабогнов Ю.Н. (1979)].
В последнее время все более широкое применение для диагностики сред находят импульсные методы, что связано с их более простой реализацией и возможностью применять их в тех случаях, когда стационарные исследования либо невозможны (как, например, при исследовании внутренней структуры Земли), либо осложнены (например, из-за присутствия отраженных от различных границ волн и связанных с ними интерференционных эффектов). Для понимания общих закономерностей распространения импульсов в диссипативно-дисперсионных средах и, тем более, для решения обратной задачи определения этих свойств по характеру распространения импульсов, требуется определиться с классом моделей, в рамках которого эти свойства описываются. В частности, для целей диагностики сред важным является установление прямых связей между параметрами среды и пространственно-временными характеристиками импульсов. Поэтому отдельный интерес представляет исследование эволюции импульсов в средах с известной реологией.
Такая задача решена только для сред с простейшей реологией. Например, для среды Фойгта точное решение для профиля импульса было найдено в [Зверев И.К. (1950); Clark
G.В., Rupert G.В. (1966)] для среды Максвелла, решение приведено в [Berry В.S., (1958)]. В работе [Morrison J.A. (1956)] построено точное решение для стандартного неупругого тела. Для сред с более сложной, чем указанные выше, реологией, точных решений до последнего времени не найдено. В то же время основные сложности, возникающие при использовании отмеченных выше решений, связаны с тем, что реальную среду, скажем, геологическую или биологическую, трудно уложить в рамки простых реологических моделей. Это связано с тем, что гео- и биосреды являются очень сложными
21
образованиями, характеризующимися большим числом разнообразных параметров. В частности, в рамках упомянутых выше сред с простейшей реологией не удается описать экспериментально наблюдаемую в широкой области частот линейную зависимость коэффициента затухания сейсмических [Гуревич Г.И. (1974); Коган С.Я. (1961); Пасечник И.П. (1970)] и акустических [Edmonds P.D., et al (1970); Jongen H.A.H, et al (1986); Pauly
H., Schwan H.P. (1971)] волн. В то же время такое поведение коэффициента затухания может быть объяснено в рамках более сложных реологических моделей среды [Аки К., Ричардс П. (1983); Гуревич Г.И. (1974); Коган С.Я. (1961); Liu Н.Р., Anderson D.L., Kanamori H. (1976)]. Поэтому актуальным является вопрос об исследовании закономерностей распространения импульсов в средах со сложной реологией.
I.1. Способы описания диссипативно-диспсрсионных свойств сред
Реальные среды уже в линейном приближении обладают широким разнообразием диссипативно-дисперсионных свойств и существует разнообразные подходы к их описанию в рамках различных моделей. В настоящей работе мы рассмотрим те среды, которые могут быть описаны в рамках локальных уравнений состояния. То есть в тех случаях, когда пространственной дисперсией можно пренебречь. Это накладывает ограничение на минимальную длину импульса , для которой такое описание является
справедливым. Так должно выполняться условие in > L , где L - или длина свободного пробега фононов в среде, или же в общем случае - характерный масштаб области, в которой может установиться квазиравновеснос термодинамическое состояние. По существу условие > L позволяет считать среду сплошной и описывать ее в рамках квазиравновесной термодинамики. При этом описание диссипативно-дисперсионных свойств среды, проявляющихся в особенностях распространения коротких импульсов, также оказывается модельно зависимым. Сразу отметим, что в настоящее время нет единой теории, описывающей реологические свойства всех реальных сред. Именно с этим связаны основные трудности при решении обратных задач акустодиагностики. Отсутствие единого подхода при описании реологических свойств сред порождает множество моделей, описывающих эти свойства. Сюда следует отнести модели, основанные на экстраполяции экспериментальных данных по затуханию и дисперсии волн с учетом принципа причинности [Азими III.А. и др. (1968)]; чисто математические модели, допускающие разумную физическую интерпретацию [Работнов Ю.Н. (1977); Локшин A.A., Суворова Ю.В. (1982)]; множество моделей, построенных на
22
основе конкретных предположений о физических особенностях строения среды на микроуровне [Новик А. Берри Ь. (1975); Кондратьев O.K. (1986); Николаевский В.Н. и др. (1970)]. Естественно, что разные модели характеризуются разными параметрами, которые в свою очередь по разному проявляются в динамике распространения импульсов. Остановимся на основных подходах, используемых для описания диснерсионно-диссипативных свойств сред [Коган С.Я. (1961)].
1.1.1. Эмпирическое описание
Наиболее простым способом такого описания является прямое использование экспериментальных кривых частотной зависимости коэффициента поглощения и фазовой скорости, полученных в результате прямых спектроскопических измерений в определенной ограниченной области частот. Эти данные в дальнейшем могут быть экстраполированы на всю оставшуюся область частот в рамках той или иной модели, удовлетворяющей принципу причинности, что обычно достигается учетом дисперсионных соотношений Крамерса - Кронинга (см. например [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. T.VIII (1982)]). Такой способ не требует информации о физической природе механизмов, ответственных за дисперсионно-диссипативные свойства. Однако свойства среды, выявленные таким способом, являются чисто эмпирическими, и не могут быть использованы для другой среды, или гой же среды, но находящейся в других условиях. Примеры теоретического обоснования и использования этого подхода можно найти в работах [Дерягин Б.В. (1931); Гинзбург В.Л. (1955); Горшков ІІ.Ф. (1957); Азими Ш.А. и др. (1968); Губкин К.Е. (1984); Lamb G.L. (1962)].
1.1.2. Механические модели
Другой подход к описанию дисперсионно-диссипативных свойств основан на моделировании реологии среды, т.е. ее механического поведения под влиянием внешнего воздействия. Несмотря на то, что ни закон Гука, ни закон вязкого течения Ньютона в отдельности в точности не описывают механическое поведение значительной части реальных сред даже в линейном приближении, качественное, а иногда и количественное согласие с экспериментами часто удается получить в предположении, что процессы упругого и вязкого деформирования протекают в среде одновременно. Механическое поведение материала при таком подходе может быть смоделировано совокупностью последовательно и параллельно соединенных упругих элементов (пружинки), подчиняющихся закону Гука и вязких элементов (демпферы, поршни), подчиняющихся закону вязкого течения Ньютона [Работнов Ю.Н. (1977); Новик А. Берри Б. (1975); Аскадский A.A. (1973)], а также сосредоточенных масс в качестве инерционных
23
элементов [Achenbach J.D., Chao C.C. (1962); Новик А. Берри Б. (1975)], если реакция материала имеет также и инерционные свойства.
Наиболее простые модели такого типа это совокупность упругого и вязкого элементов, соединенных последовательно (модель Максвелла) или параллельно (модель Кельвина-Фойгта), а также их обобщение - трехэлементная модель стандартного неупругого тела [Новик А. Берри Б. (1975); Аскадский A.A. (1973)], представляющая собой модель Кельвина-Фойгта последовательно соединенную с пружиной. Эти модели как правило лишь качественно описывают поведение неупругих сред. Однако более сложными моделями такого типа, состоящими из большего числа элементов можно эффективно описать поведение целого ряда материалов [Аскадский A.A. (1973); Новик А. Берри Б. (1975); Работнов Ю.Н. (1977); Николаевский В.Н. и др. (1970), Блэнд Д. (1965)].
Все возможные механические модели можно рассматривать как частные случаи общего подхода, положенного в основу наследственной .теории упругости. Этот подход был предложен Больцманом [Аскадский A.A. (2001)], который исходил из того, что если тело ранее испытывало деформацию, то повторная деформация до той же величины потребует меньшего напряжения, причем это уменьшение напряжения тем больше, чем больше длилась первичная деформация. Далее предполагается, что описанный выше эффект суммируется при многократном воздействии. Таким образом, состояние среды в текущий момент времени оказывается зависимым от суммы возмущений во все предшествующие моменты. Это наиболее общее предположение о локальной реакции линейной среды на возмущение, может быть выражено в виде интегрального уравнения наследственного типа (уравнения Вольтерра) [Работнов Ю.Н. (1979); Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Т.VIII (1982)] с релаксационными ядрами, описывающими дисперсионные свойства среды.
Вид релаксационных ядер в рамках наследственной теории упругости подбирается, как правило, из эвристических соображений. Такие ядра обычно должны быть положительными, монотонно убывать с ростом времени, удовлетворять критерию «затухающей памяти» [Работнов Ю.Н. (1979); Локшин A.A., Суворова Ю.В. (1982)], а также аппроксимировать по возможности большее количество экспериментальных зависимостей и быть удобными для интегрирования. В литературе рассматривается ряд модельных релаксационных ядер: экспоненциальное, ядро Абеля, дробно-
экспоненциальное ядро Работнова и др. (см. например [Коган С.Я. (1966); Работнов Ю.Н. (1979); Локшин A.A., Суворова Ю.В. (1982); Nigul U. (1983)]). Параметры таких ядер обычно не поддаются явной физической интерпретации. Хотя следует отмстить, что определенные соображения в пользу выбора той или иной формы ядра в некоторых
24
случаях могут быть приведены. Механические модели, таким образом, можно рассматривать как метод получения экспоненциальных релаксационных ядер.
Как отмечено в работе [Работнов Ю.Н. (1979)], способ построения релаксационных ядер, основанный на построении механических реологических моделей, облачает тем преимуществом, что релаксационные ядра, построенные на его основе не противоречат законам термодинамики, хотя, по мнению автора [Работнов Ю.Н. (1979)], «было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы».
Однако, при всех своих достоинствах подход, основанный на наследственной теории упругости, также является в определенной мере феноменологическим, опосредованным образом, учитывающим реальные процессы, происходящие в среде при деформировании на молекулярном или микроструктурном уровне. В рамках такого подхода априори трудно определить могут' ли свойства конкретной среды быть описаны данным релаксационным ядром. И хотя параметры релаксационных ядер представляют собой некоторые характеристики среды, прямая связь этих параметров с ее микрострукгурными характеристиками, как правило затруднена.
Заметим также, что в электродинамике общая линейная связь между напряженностью и электрической индукцией или поляризацией (см. например [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. ГАЛИ (1982); Гинзбург В.Л. (1967); Виноградова М.В. и др. (1990); Ермачснко В.М. (1998)] и др.) также описывается уравнением наследственного типа (уравнением Вольтерра). Таким образом, математически задача о распространении электромагнитного импульса в линейной среде, дисперсия в которой определяется уравнением состояния наследственного типа, также оказывается эквивалентной задаче о распространении акустического импульса в среде с уравнением состояния, описываемым в рамках наследственной теории упругости [Кельберт М.Я. Сазонов И.А. (1987); Виноградова М.В. и др. (1990)].
1.1.3. Микроскопические модели релаксационных механизмов
Качественно иной подход к описанию дисперсионных свойств среды основан на моделировании процессов, происходящих в среде на молекулярном или микроструктурном уровне под влиянием макроскопического внешнего воздействия. В рамках этого подхода моделируются элементарные процессы, происходящие с микроструктурным элементом среды при макроскопическом воздействии, после чего результат тем или иным образом усредняется по объему среды.
25
Дисперсионно-диссипативные свойства многих сред были эффективно описаны в рамках этого подхода. В многоатомных газах дисперсия, как показано Кнезером [Kneser И.О. (1931)], определяются релаксационными процессами передачи энергии между внешними (поступательными) и внутренними (вращательными и колебательными) степенями свободы молекулы. Такие процессы обычно называют кнезеровскими (см. например [Красильников В.Л., Крылов В.В. (1984)]). В газе возможны и другие релаксационные процессы [Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964); Красильников В.А., Крылов В.В. (1984); Под ред. Мэзона У. (1968)], в частности, процессы установления химического равновесия и др. Разнообразные релаксационные процессы возможны в жидкостях и в твердых телах (Красильников В.А., Крылов В.В. (1984); Михайлов И.Г., Соловьев В.Л., Сырников Ю.П. (1964); Кельберт М.Я., Сазонов
H.A. (1991); Новик А. Берри Б. (1975)]. В частности в жидкостях также возможны кнезеровскис релаксационные процессы, различного рода химическая релаксация (например, процессы диссоциации молекул электролита), структурная релаксация, связанная с изменением ближнего порядка в расположении молекул, релаксация пузырьков в жидкостях с пузырьками газа, а также другие релаксационные процессы, причем многие из них часто происходят одновременно. Различные релаксационные процессы, как на молекулярном, так и на микроструктурном уровне возможны в жидких кристаллах [Капустин А.Г1., Капустина O.A. (1986)], стеклах и полимерах [Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964)]. В твердых кристаллических телах [Новик А. Берри Б. (1975); Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964); Кожевников Е.Н. (1997); Мамин Р.Ф. (2001); Ерофеев В.И. Ромашов В.П. (2002)] возможны релаксационные процессы, связанные с дислокациями в кристаллах, фазовыми переходами и др.
Однако, если для многоатомных газов как правило удается построить простые и достаточно адекватные микроскопические модели релаксационных процессов, то для жидкостей и твердых тел микроскопическое описание процессов релаксации часто представляет собой очень сложную задачу [Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964); Красильников В.А., Крылов В.В. (1984) и др.]. При этом важно также отметить, что во многих жидких и твердых средах (например, в полимерах, вязких жидкостях, жидких кристаллах и др.) одновременно может протекать большое количество как различных, так и однотипных релаксационных процессов с широким спектром времен релаксации [Михайлов И.Г., Соловьев В.A., Сырников Ю.П. (1964); Красильников В.А., Крылов В.В. (1984); Исакович М.А., Чабан И.А. (1988)].
Отметим также, что частотная дисперсия фазовой скорости электромагнитных волн в различных средах может быть интерпретирована в рамках микромоделей релаксационных
26
процессов на молекулярном уровне. Наиболее известными в электродинамике моделями являются модель Дебая полярных диэлектриков [Debye Р. (1929)], и модель Лоренца неполярных диэлектриков (Lorentz H.A. (1952)].
Модель Лоренца описывает релаксации поляризации молекул неполярного диэлектрика на основе уравнений динамики отдельных связанных электронов [Lorentz
H.A. (1952); Гинзбург B.JI. (1967); Ермаченко В.М. (1998)]. В этой модели предполагается, что движение электрона может быть описано уравнением гармонического осциллятора с затуханием. Такое же уравнение описывает релаксацию в жидкости с пузырьками газа или в кристаллах с дислокациями [Новик А. Берри Б. (1975); Накоряков В.E., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.П. (1983); Красильников В:А., Крылов В.В. (1984); Буланов В.А. (2001)].
Дисперсия в полярных диэлектриках была описана Дебаем [Debye Р. (1929)], как релаксационный процесс теплового разупорядочения ориентации дипольных молекул, упорядоченных электромагнитным импульсом. В этой модели считается, что тепловая релаксация поляризации происходит по экспоненциальному закону [Виноградова М.В. и др. (1990)], аналогично средам с релаксацией кнезеровского типа. В результате частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента поглощения в модели Дебая имеют вид аналогичный тем, что возникают в многоатомных газах вследствие кнезеровских релаксационных процессов.
Иногда модель Дебая используют как феноменологическую модель, аналогично механическим моделям, рассмотренным выше. Так, например, для аппроксимации экспериментальных данных по диэлектрической проницаемости мускульной ткани использовалась модель Дебая с двумя и пятью эмпирически подобранными временами релаксации [Hurt NV.D. (1985)].
Адекватные микроскопические модели, по-видимому, наиболее полно описывают дисперсионные свойства соответствующих сред. В тоже время, как оказалось, разные микроскопические модели приводят в линейном приближении к математически эквивалентным уравнениям, описывающим процессы релаксации (например, отмеченные выше различные но своей природе релаксационные процессы кнезеровского типа и др.). Более того, характеристики релаксационных процессов в линейном приближении, как правило, не зависят от деталей той или иной модели, а определяются такими комбинациями их микроскопических параметров, которые могут быть интерпретированы, например, как характерные времена соответствующих релаксационных процессов.
27
1.1.4. Термодинамический подход Мандельштама - Леонтовича
Определенной альтернативой микроскопическим моделям является подход, предложенный Мандельштамом и Леонтовичем [Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. (1937)]. Он с одной стороны учитывает реальные релаксационные процессы, происходящие в среде при возмущении, а с другой позволяет не вникать в микроскопические механизмы этих процессов.
Этот подход основан на описании отклика среды на возмущение в линейном приближении квазиравновесной термодинамики. В этом случае предполагается, что состояние термодинамического равновесия среды полностью определяется ес основными термодинамическими переменными (например, давлением, плотностью и температурой). Внешнее возмущение (распространяющийся импульс) выводит среду из состояния термодинамического равновесия. При этом релаксация внутренних параметров происходит значительно медленнее, - чем изменение основных термодинамических переменных и можно считать, что среда в каждый момент времени находится в состоянии неполного равновесия, характеризуемого помимо основных термодинамических переменных, еще и текущими значениями внутренних параметров. Примерами таких внутренних параметров могут быть степень диссоциации молекул, распределение энергии между внутренними и внешними степенями свободы молекул многоатомного газа, концентрация дислокаций и др.
Релаксация среды в целом описывается как совокупность различных релаксационных процессов, каждый из которых, независимо от его физического механизма, характеризуется двумя параметрами: временем релаксации и мощностью, выражаемыми через термодинамические характеристики среды. В этом случае уравнение состояния является уравнением наследственного типа с релаксационным ядром в виде суммы затухающих экспонент, каждая из которых описывает отдельный релаксационный процесс. Это ядро аналитически эквивалентно тому, которое получается из механических моделей, обобщающих стандартное неупругое тело, а также из многих микроскопических моделей. В частности, релаксационное ядро такого типа возникает в модели Кнезера релаксационных процессов в многоатомных газах, поэтому все релаксационные процессы, описываемые экспоненциальными ядрами, часто называют кнезеровскими [Кельберт М.Я. Сазонов И.А. (1987)].
Термодинамический поход Мандельштама и Леонтовича в настоящее время является общепринятым при описании множества релаксационных процессов в различных средах. Изложению этого подхода и его применению для описания свойств многих сред уделено значительное место в ряде фундаментальных монографий. В частности, в работе
28
[Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964)] проведено описание на основе термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича основных типов молекулярных и микроструктурных релаксационных процессов возможных в жидкостях и газах, а в монографии [Новик А. Берри Б. (1975)] приведена термодинамическая интерпретация разнообразных релаксаций в кристаллических твердых телах.
Таким образом, в рамках термодинамического подхода Мандельштама и Леонтовича удается описать дисперсионные свойства различных сред в терминах релаксационных процессов, эффективно на макроскопическом уровне учитывающих проявление микроструктуры среды, нс углубляясь при этом в микроскопические механизмы этих процессов.
В фундаментальных монографиях [Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. (1964); Новик А. Берри Б. (1975); Лэмб Дж. (1968)] даже утверждается, основываясь на известных в то время экспериментальных работах, что в рамках подхода Мандельштама -Леонтовича могут быть, по-видимому, описаны практически все релаксационные процессы по крайней мере в газах и жидкостях. Исключение, по мнению этих авторов, составляли только релаксационные механизмы, связанные с дислокациями в кристаллах.
Приведенный выше краткий обзор подходов к описанию диссипативно-дисперсионых свойств сред, позволяет сделать вывод о том, что подход Мандельштама - Леонтовича [Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. (1937)], основанный на линейном приближении неравновесной термодинамики, является достаточно общим и адекватным для свойств разнообразных сред. Этот подход явно учитывает реальные внутренние релаксационные процессы, происходящие в среде, и при этом позволяет не вникать в микроскопические механизмы этих процессов. Ниже приведено краткое изложение подхода Мандельштама и Леонтовича [Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. (1937)] для случаев дискретного и непрерывного СВР.
Пусть квазиравновесное состояние среды определяется температурой Т и удельным объемом V, а так же дополнительными параметрами, которые обозначены £.. В равновесном состоянии эти дополнительные параметры являются функциями Т и V, г.е. £ =£1(7\1/). Это могут быть, например, концентрации реагирующих веществ, если в среде возможны химические реакции, или степень диссоциации электролита в растворе. В равновесном состоянии, при отсутствии возмущения температура и удельный объем принимают значения соответственно Т0 и К0, а £0, =4о.(^о>^о)• Равновесные значения дополнительных параметров £. определяются основными термодинамическими
29