Уединенные нелинейные волны в микроструктурированных средах : формирование. стабилизация и контроль

Оглавление
Введение 6
Глава 1. Солитоны в периодических решетках
показателя преломления 27
§1.1. Переключение пространственных солитонов в
одномерных решетках показателя преломления 32
§1.2. Стимулированный распад связанных солитонных состояний
в одномерных решетках показателя преломления 37
§1.3. Формирование и устойчивость одномерных
солитонов в периодических решетках 41
§1.4. Формирование и устойчивость двумерных солитонов в
периодических решетках 50
§1.5. Солитоны в решетках с дробной размерностью 55
§1.6. Солитоны в двумерных бинарных решетках 62
§1.7. Трехмерные оптические пули в периодических решетках 67
Глава 2. Солитоны в оптических решетках, индуцированных недифрагирующими пучками Бесселя, параболическими пучками и пучками Матье 74
§2.1. Вращающиеся солитоны в бесселевых решетках
показателя преломления 79
§2.2. Солитонные комплексы и азимутальное переключение
в модулированных решетках Бесселя 85
§2.3. Вихревые солитоны в радиально-симметричных
решетках Бесселя 89
§2.4. Влияние дискретной симметрии решетки на
топологический заряд вихревых солитонов 94
§2.5. Вращающиеся солитоны в динамических решетках Бесселя 99
§2.6. Солитоны в решетках, созданных недифрагирующими
пучками Матье 103
§2.7. Солитоны в параболических решетках показателя
преломления 108
2
Глава 3. Поверхностные солитоны на границе периодических нелинейных сред
114
§3.1. Одномерные поверхностные решеточные солитоны в дефокусирующей среде §3.2. Поверхностные солитоны на границах модулированных решеток показателя преломления §3.3. Двумерные поверхностные волны на границе периодической и однородной сред §3.4. Двумерные поверхностные волны в секторных гексагональных массивах волноводов §3.5. Двумерные солитоны на границе раздела различных периодических сред §3.6. Векторные поверхностные солитоны на границе периодической решетки §3.7. Вихревые поверхностные солитоны
Глава 4. Солитоны в однородных и периодических нелокальных нелинейных средах
§4.1. Одномерные мультипольные солитоны в нелокальной нелинейной среде §4.2. Серые солитоны в нелокальной нелинейной среде §4.3. Двумерные мультипольные солитоны в среде с тепловой нелинейностью §4.4. Устойчивость вихревых СОЛитонов в средах с тепловой нелинейностью §4.5. Одномерные решеточные солитоны в нелокальной нелинейной среде §4.6. Одномерные солитоны в слоистой среде с тепловой нелинейностью
§4.7. Поверхностные солитоны в нелокальной нелинейной среде
Глава 5. Солитоны в средах с пространственно-неоднородной нелинейностью
§5.1. Устойчивость, преобразование профилей и дрейф одномерных
3
120
125
133
137
142
147
152
159
165
171
177
181
187
192
197
203
солитонов в смешанных линейных-нелинейных решетках §5.2. Вихревые солитоны в смешанных линейных-нелинейных решетках §5.3. Двумерные солитоны в нелинейных решетках §5.4. Векторные солитоны в нелинейных решетках §5.5. Светлые солитоны в дефокусирующих средах с пространственно-неоднородной нелинейностью
Глава 6. Контроль распространения световых пучков в динамически модулированных решетках
§6.1. Параметрическая раскачка осцилляций одномерных солитонов в продольно-модулированных решетках §6.2. Резонансные преобразования мод в нелинейных продольно-модулированных потенциалах §6.3. Контролируемый дрейф солитонов в динамических решетках показателя преломления §6.4. Подавление туннелирования в одномерных
продольно-модулированных массивах волноводов §6.5. Уширение резонансов при подавлении туннелирования в нелинейных средах §6.6. 11одавление туннелирования и анизотропная дифракция
в двумерных продольно-модулированных массивах волноводов §6.7. Световые пули в продольно-модулированных сотовых массивах волноводов
Глава 7. Андерсоновская локализация свега в разулорядоченных решетках показателя преломления
§7.1. Поверхностная андерсоновская локализация в одномерных массивах с беспорядком §7.2. Андерсоновская кросс-локализация в двумерных массивах §7.3. Переход от одномерной к двумерной андерсоновской локализации
§7.4. Отражение и передача солитонов в периодических решетках, стимулированные беспорядком §7.5. Броуновское движение солитонов в случайных
209
215
219
224
230
239
245
250
256
261
269
273
279
285
289
295
302
306
4
профилях показателя преломления 312
Заключение 320
Литература 324
5
Введение
Интерес к изучению нелинейных эффектов, возникающих при распространении высокоинтенсивного излучения в среде, начал проявляться уже в бо-е годы прошлого столетия (см. монографии [1-13]) по мере появления и совершенствования адекватных источников - лазеров. Среди всего многообразия нелинейно-оптических явлений особое место занимают эффекты самовоздействия, поскольку они не требуют каких-либо особых условий для реализации и наблюдения (как, например, фазовый синхронизм при генерации гармоник или параметрических процессах). Процессы самовоздействия даже в пространственно-однородной среде весьма сложны, так как здесь теснейшим образом переплетаются пространственные (самофокусировка, дифракция) и временные (фазовая самомодуляция, дисперсия, формирование ударных волн) эффекты. Однако, при определенных условиях эффекты нелинейного самовоздействия, дисперсия и дифракция могут устойчиво компенсировать друг друга таким образом, что становится возможным стационарное распространение волнового пакета в среде, когда он сохраняет исходное распределение интенсивности даже на значительных расстояниях - т.е. происходит формирование оптического солитона.
Термин "солитон" был впервые введен Забусским и Крускалом в 1965 году [14]. Согласно исходному'определению, солитоном (уединенной волной) называют локализованное частицеподобное решение нелинейного волнового уравнения, описывающее возбуждение с конечной энергией, которое обладает рядом характерных свойств: при распространении уединенной волны она сохраняет свой профиль; при взаимодействии нескольких солитонов происходит их упругое рассеяние, так что сохраняются как их число, так и профили. Одним из естественных атрибутов уединенной волны является быстрый темп спадания интенсивности к нулю при бесконечном удалении от её центра. Теория солитонов, как и связанная с ней теория интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений в однородных средах, привлекли внимание широкого круга исследователей. Так, в бо-е годы был развит метод обратной задачи рассеяния для нелинейных уравнений [15]. Формализм этого метода (зачастую называемого также методом обобщенных спектральных преобразований) применим для целого ряда нелинейных эволюционных уравнений, в том числе и для широко известного кубичного уравнения Шредингера [16-18], описывающего, в частности, распространение интенсивных световых импульсов в оптических волокнах, а также пучков в средах с нелинейностью керровского типа. Основные результаты метода обратной задачи рассеяния отражены в монографиях [19-22].
В течение более чем 50 лет с пионерской работы [14] концепция солитонов была существенно расширена, и она проникла в самые разнообразные обласги науки, отфи-
б
зики и прикладной математики до химии и биологии, и даже сам термин "солитон" сейчас принято толковать расширительно. Среди математических моделей, описывающих реальные физические системы и допускающих солитонные решения, можно отметить уравнения Кортевега-де Вриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнения синус-Гордона, Ландау-Лифшица, Кадомцева-Петвиашвили и многие друтие. Специфические черты эволюции и взаимодействия солитонов в рамках соответствующих моделей связаны, прежде всего, с их полной интегрируемостью. Как правило, интегрируемость соответствующих моделей нарушается при включении второстепенных физических эффектов, влияние которых зачастую может быть учтено с помощью теории возмущений для систем, близких к интегрируемым [23]. Для более общей ситуации был разработан обширный арсенал численных методов (спектральных, конечно-разностных, релаксационных и др.), включающих как прямое интегрирование эволюционного уравнения с начальными и граничными условиями, так и непосредственное нахождение его стационарных решений, и линейный анализ их устойчивости.
Наиболее существенным стимулом развитая теории солитонов послужило экспериментальное наблюдение и изучение таких структур в различных нелинейных оптических материалах. Оптические солитоны, для описания формирования которых широко используются различные модификации нелинейного уравнения Шредингера, можно условно разделить на временные, пространственные и пространственно-временные. Солитоны могут быть одномерными и многомерными. Простейшие практически одномерные временные солитоны были предсказаны еще в 1973 году [24] в оптических световодах, где эффекты самомодуляции и дисперсии можно наблюдать почти в чистом виде вне конкуренции с другими нелинейными эффектами [25,26] и изменениями пространственного профиля направляемой моды. Такие солитоны формируются преимущественно в результате конкуренции между' дисперсионным расплыванием в режиме аномальной дисперсии групповых скоростей и фокусирующей нелинейностью, характерной для кварцевых световодов [27]. Первое наблюдение их пространственных аналогов, формирующихся благодаря подавлению дифракционного расплывания за счет фокусирующей нелинейности, было произведено в конце 8о-х годов в планарных волноводах [28,29]. Двумерные пространственные солитоны в пространственно-однородных средах наблюдались в фоторсфрактивных кристаллах с нелинейностью насыщающегося типа [30,31], а также в квадратичных нелинейных средах [32] после теоретического предсказания в [33]. Самоканалирование пространственно-временных пучков, достигающееся при одновременном подавлении дифракционного и дисперсионного расплывания за счет нелинейности, также наблюдалось в квадратично-нелинейной среде [34], однако первые экспериментальные результаты по полностью трехмерным солитонам (или световым пулям) в кубичной нелинейной среде опубликованы лишь недавно [35].
7
Все вышеупомянутые работы посвящены так называемым светлым солитонам, характеризуемым экспоненциально спадающими на бесконечности распределениями интенсивности в поперечном сечении. Однако, при определенных условиях (например, в дефокусирующей нелинейной среде) возможно также формирование темных сол итонов, представляющих из себя провал интенсивности на фоне волны постоянной интенсивности. Свойства темных солитонов в различных нелинейных средах подробно описаны в обзоре [36].
В то время как свойства солитонов в пространственно-однородных нелинейных средах изучены достаточно подробно и возможность их формирования была подтверждена экспериментально для сред с самыми разными механизмами нелинейности [24-34], формирование и распространение одномерных и многомерных солитонов в неоднородных нелинейных материалах является предметом актуальных интенсивных исследований. Особый интерес представляют среды с достаточно мелкой (или слабонаправляющей) периодической поперечной (к направлению распространения излучения) модуляцией показателя преломления с глубиной 6п -10-2,в которых нелинейная
добавка к показателю преломления сравнима с 6п. Для описания распространения света в подобных структурах еще применимо параксиальное приближение, приводящее к уравнению шредингеровского типа. В этих структурах возможно наблюдение целого ряда уникальных волновых явлений, не имеющих аналогов в однородных средах, а также формирование и устойчивое распространение совершенно новых типов пространственных солитонов (детальный обзор исследований, выполненных в этом направлении, приведен в первой, второй и четвертой главах диссертации).
Одной из причин, приведших к росту интереса к распространению света в пространственно-неоднородных структурах, является значительный прогресс в технологии их изготовления, достигнутый в течение последнего десятилетия. Можно выделить несколько наиболее эффективных технологий изготовления пространственно-неоднородных микроструктур.
В полупроводниковых материалах, таких как АЮаАз, периодическая одномерная модуляция показателя преломления реализуется с помощью специальной высокоточной гравировки с глубиной ~1 дт на поверхности образца. В результате формируется периодическая система слабосвязанных или "дискетных" волноводов, где эффекты са-мовоздействия наблюдаются уже при интенсивностях ~10 ОУУ/ сш2 (нелинейный коэффициент АЮаАв Л2~10“13 си12/\У на длине волны 1.53 дт ) и которые позволили наблюдать простейшие "дискретные" пространственные солитоны [37] при уровнях мощности излучения — 500 \У [38]. Дискретные массивы волноводов также могугбыть изготовлены на основе полимерных материалов [39].
8
Периодические массивы волноводов могут быть записаны в плавленом кварце высокой чистоты и однородности (/12—2.7хЮ-20 т2/\У) с помощью мощных сфокусированных фемтосекундных лазерных импульсов, генерируемых ТпБа лазером. В области фокуса формируются оптические дефекты, приводящие к увеличению показателя преломления стекла. Перемещение фокуса пишущего пучка вдоль образца позволяет изготавливать массивы с практически произвольной конфигурацией, периодом ~20 дт, глубиной модуляции показателя преломления вплоть до 1.3х 10“3, и длиной до 100 пип. Простейшие двумерные фундаментальные солитоны в гексагональных массивах, изготовленных с помощью этой технологии, наблюдались в работах [40,41] при пиковых мощностях —2 М\У.
Нематические жидкие кристаллы являются весьма удобными средами для экспериментов с нелинейными периодическими массивами волноводов из-за их исключительно высокой (хотя и медленной) ориентационной нелинейности, которая может превосходить нелинейность стандартных полупроводников на несколько порядков. Жидкие кристаллы используются для изготовления периодических структур, контролируемых приложенным внешним напряжением [42-44], за счет системы электродов с характерным периодом ~6 дт, нанесенной на верхнюю и нижшою плоскости образца толщиной в несколько микрометров. Приложенное внешнее напряжение приводит к переориентации молекул жидкого кристалла только в определенных областях пространства и к соответствующим изменениям показателя преломления и нелинейности. Типичная мощность, необходимая для формирования солитонов в таких массивах, составляет ~35 гп\У при приложенном напряжении ~ 1.2 V .
Наиболее гибким методом создания периодических структур является метод оптической индукции [45], поскольку именно он позволяет создавать полностью перестраиваемые периодические распределения показателя преломления, которые контролируются фазами, углами распространения и интенсивностями нескольких плоских волн, индуцирующих решетку. Заметим, что для большинства приложений светоиндуцированные решетки должны оставаться инвариантными (стационарными) в направлении распространения. Эксперименты с такими решетками зачастую используют сильную анизотропию электрооптического коэффициента некоторых фоторефрактивных кристаллов (так, в типичные значения используемых элементов электрооптического
тензора г33 ^1340 рт/У и г13^67 рт/У). Благодаря анизотропии, обыкновенно поляризованные пучки в такой среде хотя и приводят к накоплению пространственного заряда (следовательно, появлению внутреннего поля) в кристалле, но практически не испытывают самовоздействия, возникающего из-за электрооптического эффекта, в силу малости соответствующего коэффициента г13. Если же обыкновенно поляризованный пучок вдобавок принадлежит к классу недифрагирующих, то он вовсе не искажается в
9
процессе распространения. При наличии статического ноля, приложенного к кристаллу, необыкновенно поляризованные пучки испытывают сильную фоторефрактивную нелинейность, поскольку нелинейная добавка к показателю преломления определяется большим коэффициентом Г33 [46,47]» и модуляцию показателя преломления, созданную обыкновенной волной. Характерный период оптически индуцированных решеток составляет ~10 дш, а нелинейная добавка к показателю преломления достигает <5пп1 ~ 10-3 уже при мощностях излучения ~ 1 д\У. Заметим, однако, что скорость установления нелинейной добавки растете интенсивностью практически линейно. Оптически индуцированная решетка может быть создана не только с помощью интерференции когерентных плоских волн, но и с помощью амплитудно-модулированного частично когерентного света [48], что позволяет использовать такие решетки даже в случае необыкновенной поляризации, когда нелинейность среды влияет на решетку. Оптическая индукция используется для наведения квадратных [46,47], гексаг ональных [45,49] и сотовых [50] решеток в зависимости от количества и фаз интерферирующих плоских волн. Заметим, что волны, индуцирующие оптические решетки и распространяющиеся в нелинейном режиме, имеют много общего с так называемыми кноидальными волнами [12,51,52].
Текущий уровень развития технологий позволяет изготавливать материалы не только с пространственно-неоднородным линейным показателем преломления, но и с модулированной в поперечном направлении нелинейностью. В частности, при записи массивов волноводов фемтосекундными лазерными импульсами в области фокуса наблюдается также уменьшение нелинейного коэффициента материала, что приводит к периодической модуляции нелинейности, противофазной с линейной решеткой показателя преломления [40,41]. Неоднородное легирование фоторефрактивных материалов различными примесями, повышающими локальный нелинейный коэффициент, также может быть использовано для создания требуемых пространственных профилей нелинейности, включая периодические. Модуляция нелинейности неизбежно присутствует в фотонных кристаллах волоконного типа [8,10,11], в которых отдельные капилляры могут быть заполнены жидкостями с ориентационными или тепловыми нелинейностями, жидкими кристаллами и иными средами. Подбирая показатель преломления материала, использующегося для заполнения капилляров, можно создать композиционный материал с практически одинаковым показателем преломления и значительной модуляцией нелинейности (т.е. чисто нелинейную решетку). Наконец, приложение разности потенциалов к системе электродов на поверхности жидкого кристалла сопровождается одновременным изменением его показателя преломления и нелинейности [42]. Изучение возможности формирования и стабилизации пространственных солитонов в нелинейных и смешанных линейных-нелинейных решетках является одним из наибо-
10
лее новых и динамично развивающихся направлений исследований в нелинейной оптике неоднородных сред (более подробный обзор состояния исследований в этом направлении будет приведен в пятой главе диссертации).
Большинство подходов к созданию периодических линейных или нелинейных решеток, описанных выше, позволяет также вносить контролируемые деформации в профиль решетки. В частности, возможно изготовление периодических структур, занимающих лишь часть пространства, или разупорядоченных массивов с контролируемой степенью беспорядка. Такие деформации или пространственные неоднородности приводят к качественному изменению характера распространения излучения в структуре. Например, наличие границы раздела между решеткой и однородной средой ведет к асимметричной дифракции низкоинтенсивных световых пучков, распространяющихся вблизи границы раздела. Небольшие флуктуации положений или глубин отдельных волноводов в разупорядоченных массивах приводят к преобразованию неограниченных собственных мод периодической системы волноводов в пространственно-локализованные андерсоновские моды и подавлению дифракционного расплывания (или андерсоновской локализации) пучков [53,54]- В настоящий момент весьма интенсивно исследуется формирование так называемых поверхностных солитонов на границах пространственно-ограниченных периодических массивов волноводов (см. детали в третьей главе диссертации), а также влияние нелинейности на локализацию излучения в разупорядоченных массивах (подробный обзор современного состояния исследований в этой области приведен в седьмой главе диссертации).
Помимо стационарных решеток, остающихся инвариантными в направлении распространения излучения, возможно изготовление динамических бипериодических решеток, параметры которых периодически варьируются вдоль продольной оси. Например, периодическое изменение направления мелкой гравировки на поверхности полупроводниковых материалов [38,54] позволяет создавать зигзагообразные динамические массивы волноводов. В волноводах, записываемых фемтосекундными лазерными импульсами, поперечные осцилляции положения фокуса записывающего пучка при его движении вдоль образца могут быть использованы для формирования системы периодически искривленных каналов. Альтернативно, периодические изменения скорости записи волноводов ведут к осцилляциям глубины модуляции показателя преломления в продольном направлении [40,41,53]. Динамические решетки показателя преломления могут быть оптически индуцированы в фоторефрактивпых кристаллах при наличии периодически изменяющейся вдоль трассы распространения некогерентной внешней подсветки кристалла или статического электрического поля, приложенного к нему [46,47]. Дифракция света в продольно-модулированных массивах носит совершенно необычный характер. Благодаря модуляции возможны радикальные деформации (такие,
11
как появление плоских участков) дисперсионных характеристик собственных мод динамических решеток и модификации эффективной постоянной связи между отдельными каналами массива. С продольной модуляцией показателя преломления связана возможность динамической локализации света в линейном режиме, при которой пучок периодически расплывается по массиву и испытывает полное восстановление профиля, и подавление туннелирования, при кагором пучок всегда остается в исходном канале, испытывая лишь небольшие осцилляции ширины и пиковой амплитуды. Исследования особенностей распростри нения излучения в продольно-модулированных волноводных структурах являются одним из приоритетных направлений в оптике неоднородных сред (детальный обзор состояния исследований в этом направлении содержится в [55,56] и в шес той главе диссертации).
Таким образом, к началу работы над диссертацией технологический прогресс привел к появлению принципиально новых объектов для экспериментирования и развития нелинейной теории волн: микроструктурированных и композитных материалов, волоконных фотонных кристаллов. С фундаментальной точки зрения, открылась уникальная возможность синтеза достижений оптики, теории твердого тела и квантовой механики на базе упомянутых объектов. С прикладной точки зрения, возникли новые перспективы для управления света светом, направленной доставки и переключения оптического излучения, формирования сложных недифрагирутощих стационарных волновых полей. На первый план вышли нерешенные и актуальные с фундаментальной и ирактической точек зрения задачи исследования подвижности солитонов и связанных солитонных состояний в непрерывных периодических решетках показателя преломления, стабилизации в этих структурах одномерных и двумерных солитонных комплексов, а также оптических пу'ль. Стал актуальным анализ формирования фундаментальных и вихревых солитонов, а также солитонных комплексов в оптических решетках с новыми типами симметрии, индуцированными недифрагирующими пучками Бесселя, Магье и параболическими пучками. Возник целый класс нерешенных задач, связанных с формированием одномерных и двумерных поверхностных солитонов на границе раздела периодической и однородной сред, а также на границе раздела двух разных периодических сред. Отсутствовала информация об устойчивости одномерных и двумерных солитонных комплексов, а также вихревых солитонов в нелокальных нелинейных средах, и оставался открытым вопрос о влиянии нелокальное™ нелинейности на формирование солитонов в бесконечных и полубесконечных периодических массивах волноводов. Требовали изучения устойчивость, подвижность и динамика формирования одномерных и двумерных солитонов в материалах с конкурирующими линейными и нелинейными решетками, и возможность их устойчивого распространения в чисто нелинейных решетках. Назрела необходимость экспериментального подтверждения эффекта подавле-
12
ния туннелирования света между соседними волноводами, а также исследование резонансных явлений раскачки осцилляций и преобразования мод в одномерных и двумерных массивах с продольной модуляцией показателя преломления. Наконец, не было изучено влияние границ и размерности неупорядоченных массивов на андерсоновскую локализацию света. Решению этих актуальных задач, находящихся на переднем крае исследований в оптике неоднородных сред, и посвящена эта диссертационная работа.
Полями диссертационной работы являлось;
1. Теоретическое исследование подвижности фундаментальных солитонов и распада связанных солитонных состояний в одномерных решетках показателя преломления. Анализ устойчивости одномерных и двумерных солитонных комплексов в фокусирующих и дефокусирующих периодических средах. Наблюдение солитонов в решетках с дробной размерностью и оптических пуль.
2. Изучение свойств фундаментальных солитонов в оптически индуцированных решетках Бесселя, Матье и параболических решетках. Анализ устойчивости вихревых и муль-типольных солитонов в радиально-симметричных и модулированных решетках Бесселя, выявление связи между симметрией решетки и максимальным топологическим зарядом вихревого солитона.
3. Анализ возможности существования локализованных поверхностных солитонов на границе решетки с дефокусирующей нелинейностью. Наблюдение двумерных поверхностных солитонов на границе периодической и однородной сред, а также на границе двух периодических решеток. Наблюдение векторных и изучение свойств вихревых поверхностных солитонов.
4. Теоретическое исследование устойчивости одномерных и двумерных мультипольных солитонов, а также вихревых солитонов в нелокальных нелинейных средах. Наблюдение двумерных мультиполей вереде с тепловой нелинейностью. Анализ влияния нело-кальности нелинейности на подвижность солитонов в глубине решетки и формирование стационарных поверхностных волн.
5. Изучение устойчивости и подвижности одномерных и вихревых солитонов в конкурирующих линейных и нелинейных решетках. Подтверждение возможности стабилизации двумерных солитонов в кубичной чисто нелинейной решетке. Доказательство
13
возможности существования устойчивых светлых солитонов в средах с неоднородной дефокусирующей нелинейностью.
6. Анализ явлений резонансной раскачки осцилляций солитонов и преобразования мод в волноводных структурах с продольной модуляцией показателя преломления. Наблюдение эффекта подавления туннелирования в линейных и нелинейных одномерных массивах волноводов. Предсказание этого эффекта в двумерных саговых массивах и демонстрация анизотропной дифракции.
7. Наблюдение андерсоиовской локализации на границе раздела одномерной неупорядоченной решетки и однородной среды. Наблюдение эффекта кросс-локализации в двумерных массивах с одномерным недиагональным беспорядком и перехода от одномерной к двумерной локализации в массивах волноводов с дробной размерностью. Изучение диффузии солитонов в случайных профилях показателя преломления.
Актуальность исследования;
Актуальность диссертационной работы обусловлена, прежде всего, широким крутом прикладных задач, в которых могут использоваться нелинейные волноводные микроструктуры с поперечной или бипериодической модуляцией показателя преломления и/или нелинейности. Технологии изготовления периодических и более сложных волноводных структур, где эффекты нелинейного самовоздействия, дифракции и рефракции играют одинаково важную роль при распространении излучения, были разработаны лишь в течение последних десяти лет. Динамика и траектории распространения излучения в таких неоднородных средах кардинально зависят от мощности, ширины и утла распространения входных волновых пакетов, что открывает широкие практические возможности для контроля их профилей, взаимодействия и выходных характеристик даже при низких уровнях мощности. Также весьма актуальна и широко исследуется возможность формирования в нелинейных микроструктурах самосогласованных сложных распределений поля, кагорые не существуют или являются неустойчивыми в однородных нелинейных средах. Кроме того, вышеупомянутые микрострутаурированные объекты открывают уникальные возможности для визуального наблюдения и изучения прямых аналогов ключевых эффектов квантовой механики и теории твердого тела (динамическая локализация, осцилляции Раби, андерсоновская локализация, туннелирование Зенера и др.).
Научная новизна:
14
1. Впервые продемонстрирована возможность распада связанных солитонных состояний и управление его продуктами в периодических решетках. Получены и экспериментально наблюдались в одномерном массиве ранее неизвестные устойчивые солитонные комплексы. Экспериментально исследованы солитоны в решетках с дробной размерностью. Впервые наблюдались оптические нули.
2. Исследовано ранее неизвестное вращательное движение солитонов в бесселевых решетках показателя преломления с фокусирующей нелинейностью, и предсказано формирование устойчивых радиально-симметричных вихревых солитонов в дефокусирующих решетках Бесселя. Выведено правило зарядов для вихревых солитонов в решетках с дискретной вращательной симметрией.
3. Установлено, что граница раздела периодической и однородной сред поддерживает локализованные солитоны даже при дефокусирующей нелинейности. Впервые наблюдались двумерные поверхностные солитоны на границе раздела решетки и однородной среды, а также на границе решеток с разными топологиями. Найдены устойчивые вихревые поверхностные солитоны.
4. Обнаружено и доказано, что устойчивые одномерные солитонные комплексы в жидких кристаллах и средах с тепловой нелинейностью не могут содержать более четырех пиков интенсивности, а топологический заряд устойчивых вихревых солитонов в этих средах не может превышать двойки. Впервые наблюдались двумерные солитонные комплексы в средах с тепловой нелинейностью. Установлено, что нелокальность повышает подвижность солитонов в периодических решетках.
5. Предсказана повышенная подвижность солитонов в конкурирующих линейных-нелинейных решетках. Впервые показано, что периодическая модуляция кубичной нелинейности может стабилизировать двумерные фундаментальные солитоны. Найдены светлые солитоны в неоднородной дефокусирующей среде, существование которых ранее полагалось невозможным.
6. Впервые поставлена и решена задача о резонансной параметрической раскачке осцилляций солитонов в продольно-модулироваиных волноводных структурах. Наблюдалось подавление туннелирования в одномерных линейных и нелинейных массивах с противофазной модуляцией показателя в соседних волноводах. Предсказаны подавле-
15
ние туннелирования в сотовых модулированных массивах и возможность формирования в них оптических нуль при пониженных уровнях энергии.
7. Наблюдалась андерсоновская локализация у поверхности разупорядоченного иолу-бесконечного массива волноводов. Впервые проанализирован переход от одномерной к двумерной локализации в массивах с постепенно увеличивающейся размерностью, а также эффект кросс-локализации в двумерных массивах, вызванный эффективно одномерным беспорядком. Обнаружена ранее неизвестная аналогия между диффузией со-литонов в спеклообразных случайных решетках и движением броуновских частиц.
Практическая значимость работы:
Полученные результаты важны как с фундаментальной, так и с практической точек зрения. В частности, выявленные в диссертации особенности режимов распространения, самовоздействия и нелинейного взаимодействия пучков в линейных и нелинейных решетках показателя преломления могут быть использованы для решения ряда инженерных задач лазерной физики, включая построение нелинейных систем управления света светом, высокоскоростных оптических переключателей и разветвителей, проблему передачи без искажений в линейных и нелинейных средах сложных изображений, содержащих множество световых пучков (пикселей), контроль скорости и направления дифракционного расплывания света, контроль выходных распределений интенсивности в многоканальных структурах, и, наконец, управление самой траекторией распространения излучения в объеме среды.
Достоверность результатов:
Достоверность полученных в диссертационной работе результатов гарантируется тем, что используемые математические модели основаны на известных и апробированных практикой фундаментальных уравнениях. Аналитические результаты сопоставлены и согласуются с данными компьютерного моделирования. Во многих случаях теоретические результаты полностью подтверждены экспериментальными данными, а также последующими теоретическими работами других авторов.
Положения, выносимые на защиту:
1. В одно- и двумерных периодических решетках существуют устойчивые солитонные комплексы, которые наблюдались в массивах волноводов в фотовольтаических кри-
16
сталлах. Поперечная модуляция показателя преломления стабилизирует световые пули в кубичной нелинейной среде и позволяет наблюдать их экспериментально в гексагональных массивах кварцевых волноводов.
2. Радиально-симметричные решетки Бесселя поддерживают устойчиво вращающиеся фундаментальные солитоны в фокусирующей среде, а также устойчивые радиально-симметричные вихревые солитоны в дефокусирующей среде. Дискретная вращательная симметрия решетки Бесселя с азимутальной модуляцией накладывает ограничения на максимальный заряд вихревых солитонов.
3. Граница раздела однородной и периодической дефокусирующих сред поддерживает устойчивые локализованные солитоны. Существование двумерных поверхностных солитонов на границе периодической решетки и однородной среды с фокусирующей нелинейностью подтверждено экспериментально.
4. Существует ограничение на число пиков интенсивности в устойчивых мультипольных солитонах в нелокальных нелинейных средах. Двумерные мультипольные солитоны в среде с нелокальной тепловой нелинейностью реализованы экспериментально. Нело-кальность нелинейного отклика значительно увеличивает подвижность одномерных решеточных солитонов.
5. Двумерная чисто нелинейная решетка может стабилизировать фундаментальные солитоны в кубичной среде. В среде с пространственно-неоднородной дефокусирующей нелинейностью, растущей к периферии, существуют устойчивые светлые фундаментальные, мультипольные и вихревые солитоны.
6. Подавление туннелирования света водномерных линейных и нелинейных массивах с противофазной продольной модуляцией показателя преломления в сосед них волноводах реализовано экспериментально. Продольная модуляция показателя преломления в двумерных сотовых массивах позволяет подавить туннелирование и дает возможность управлять анизотропией дифракции.
7. Для достижения той же степени андерсоновской локализации на поверхности разу-порядоченного массива, что и в сто глубине, требуется больший уровень беспорядка. Наблюдался переход от одномерной к двумерной андерсоновекой локализации в массивах с увеличивающимся числом рядов.
17
Личный вклад автора:
Подавляющее большинство теоретических результатов, представленных в диссертации, получено автором лично, либо при его определяющем участии в постановке задачи, компьютерном моделировании и подготовке публикаций. Экспериментальные данные, вошедшие в диссертацию, были получены при участии коллег автора в Клаустальском технологическом университете (Клаусталь, Германия), Институте прикладной физики (Йена, Германия) и Технионе (Хайфа, Израиль), как правило, по инициативе автора.
Публикации:
По теме диссертации опубликовано 57 статей в регулярных рецензируемых журналах. Апробация работы:
Результаты исследований, составивших основу диссертации, докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях: Международной конференции ICONO по когерентной и нелинейной оптике (Санкт-Петербург, Россия, 2005 г.); Международной конференции "CLEO/Europe-EQEC" (Мюнхен, Германия, 2005 г.); Конференции "Nonlinear guided waves and their applications" (Дрезден, Германия, 2005 г.); 12-ой Конференции "Оптика Лазеров" (Санкт-Петербург, Россия, 2006 г.); на первом с ъезде Европейского оптического общества (Париж, Франция, 2006 г.); Международном симпозиуме "Coherent nonlinear optics of artificial media" (Лиссабон, Португалия, 2006 г.); Симпозиуме "Instabilities, patterns, and spatial solitons" (Метц, Франция, 2007 г.); Международной конференции ICONO по когерентной и нелинейной оптике (Минск, Беларусь, 2007 г.); Международной конференции "CLEO/Europe-EQEC" (Мюнхен, Германия, 2007 г.); Конференции "Nonlinear waves: Theory and experiment" (Ташкент, Узбекистан, 2008 г.); Международной конференции "CLEO/QELS" (Сан-Хосе, США, 2008 г.); i-ой Конференции "Nonlinear waves - theory and applications" (Бейджинг, Китай, 2008); 13-ой Конференции "Оптика Лазеров" (Санкт-Петербург, Россия, 2008 г.); Международной конференции "CLEO Europe - EQEC" (Мюнхен, Германия, 2009 г.); Конференции "ACOLS-ACOFT", проводимой совместно с симпозиумом по диссипативным солитонам (Аделаида, Австралия, 2009 г.); Международной конференции "CLEO/QELS" (Сан-Хосе, США, 20Ю г.); 8-ой Конференции "AIMS International conference on dynamical systems, differential equations and applications" (Дрезден, Германия, 2010 г.); 2-ой Международной конференции "Nonlinear waves - theory and applications" (Бейджинг, Китай, 2010); Международной конференции "Frontiers in Optics 2010" (Рочестер, США, 2010 г.); Меж-
18
дународной конференции "CLEO/QELS" (Балтимор, США, 2011 г.); 7-°й Международной конференции "IMACS international conference on nonlinear evolution equations and wave phenomena" (Атенс, США, 2011 г.); 5-ом Международном симпозиуме "Nonlinear guided waves" (Стамбул, Турция, 2011 г.); Международной конференции "Applications of optics and photonics" (Брага, Португалия, 2011 г.); Конференции "CLEO/Europc-EQEC" (Мюнхен, Германия, 20И г.); 1-ом Международном симпозиуме "Nonlinear photonics: theory, materials, applications" (Санкт-Петербург, Россия, 2011 г.).
Структура и объем диссертации:
Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы. В начале каждой главы следует развернутый обзор текущего состояния исследований в области, которой посвящена данная глава, а также описывается оригинальный вклад автора. Общий объем диссертации составляет 354 страницы, включая 152 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 443 наименования.
Краткое содержание диссертации:
Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также изложены защищаемые положения и краткое содержание диссертации.
В первой главе исследуется подвижность одномерных солитонов, а также свойства одно- и двумерных фундаментальных солитонов, солитонных комплексов и оптических пуль в периодических решетках показателя преломления.
В параграфе 1.1 обсуждаются различные режимы распространения одномерных солитонов в периодических решетках. С использованием модели эффективных частиц определяется критический угол, при котором пучок начинает двигаться вдоль решетки, и траектория его распространения. Показана возможность захвата движущихся солитонов в одном из каналов решетки, номер которого определяется исходным утлом распространения пучка.
В параграфе 1.2 анализируется динамика контролируемого распада связанных состояний N солитонов в одномерных решетках показателя преломления. Установлено, что утлы распространения выходных односолитонных пучков с различными формфакторами определяются глубиной решетки и углом распространения входного связанного состояния.
В параграфе 1.3 обсуждаются всевозможные семейства одномерных солитонов в среде с насыщением нелинейности и периодической модуляцией показателя преломле-
19
ния. Предсказано, что благодаря насыщению нелинейности области устойчивости четных и нечетных солитонов чередуются. Показано, что в фокусирующей среде устойчивые солитонные комплексы должны состоять из противофазных пучков, а в дефокусирующей среде, наоборот, из синфазных. Представлено экспериментальное наблюдение солитонных комплексов в дефокусирующей среде.
Параграф 1.4 посвящен исследованию самосогласованных решений в двумерных решетках. В нем показано, что наличие периодической модуляции показателя преломления не только позволяет подавить коллапс простейших пучков в кубичной среде, но и открывает возможности для формирования сложных устойчивых структур, включающих ансамбли пучков и даже представляющих из себя целые изображения, которые могут распространяться без искажения.
В параграфе 1.5 экспериментально и теоретически исследуются солитоны в массивах дробной размерности. Продемонстрировано, что увеличение числа рядов в массиве волноводов, эквивалентное увеличению его размерности, приводит к повышению пороговой мощности формирования стационарных солитонов.
Параграф 1.6 раскрывает особенности генерации солитонов в бинарных решетках показателя преломления, состоящих из двух типов волноводов. Экспериментально подтверждено, что даже небольшая разница в показателях преломления двух подрешеток, формирующих бинарную решетку, приводит к существенной разнице в порогах формирования солитонов, центрированных на мелких и глубоких волноводах.
В параграфе 1.7 рассматриваются оптические пули в двумерных решетках показателя преломления. Предсказано, что поперечная моду'ляция показателя преломления приводит к стабилизации пространственно-временных солитонов и представлено их первое экспериментальное наблюдение в гексагональных массивах волноводов.
Вторая глава диссертации сфокусирована на анализе уникальных особенностей солитонов в оптически-индуцированных решетках Бесселя, Матье и параболических решетках.
В параграфе 2.1 описываются свойства фундаментальных и мультипольных солитонов в радиально-симметричных бесселевых решетках. Показано, что солитоны, локализованные в кольцах такой решетки, могут вращаться, не теряя мощности на излучение. Взаимодействия солитонов в одном или разных кольцах решетки могут приводить к формированию вращающихся солитонных пар, их периодическим столкновениям с изменением направления вращения или их слиянию, в зависимости от разности фаз и скоростей вращения взаимодействующих пучков.
Параграф 2.2 посвящен исследованию самосогласованных решений в азимуталь-но-модулированных решетках Бесселя. В нем показано, что решетки, индуцированные иедифрагирующими пучками порядка я , поддерживают устойчивые солитонные ком-
20
плексы с 2п противофазными пиками. Анализируется возможность азимутального переключения солитонов.
В параграфе 2.3 рассмотрены радиально-симметричные решетки Бесселя с дефокусирующей нелинейностью. Установлено, что в них могут устойчиво распространяться радиально-симметричные вихревые солитоны. Показано, что минимальная глубина решетки, необходимая д ля стабилизации вихревого солитона, растет с увеличением его топологического заряда.
Влияние степени дискретной вращательной симметрии решетки Бесселя с азимутальной модуляцией показателя преломления на максимально возможный топологический заряд вихревого солитона в такой решетке составляет предмет параграфа 2.4. В нем с помощью численного анализа и аналитики, базирующейся на теории групп, выведены правила зарядов и устойчивости для вихревых солитонов.
Параграф 2.5 посвящен распространению солитонов в динамических вращающихся решетках Бесселя, наведенных парой интерферирующих пучков с различными топологическими зарядами. Показано, что такая решетка может захватывать и вращать фундаментальные и дипольные солитоны.
В параграфе 2.6 анализируются солитоны в оптичсски-индуцированных решетках Матье. Установлено, что такие решетки связывают семейства бесселевых и квазиодно-мерных периодических решеток. Устойчивость и поперечная подвижность солитонов кардинально изменяются при преобразовании топологии такой решетки.
Самосогласованные решения в решетках, индуцированных недифрагирующими параболическими пучками, исследуются в парафафе 2.7. Продемонсфировано, что параболические решетки поддерживают семейства устойчивых мультипольных солитонов с искривленными осями, которые ответвляются от линейных мод решетки по мере роста мощности.
В третьей главе рассмафиваются одно- и двумерные поверхностные солитоны на границах раздела периодических решегок и однородных сред с фокусирующей или дефокусирующей нелинейностями.
В параграфе 3.1 предсказано существование одномерных локализованных поверхностных солитонов на границе полубесконечной периодической решетки с дефокусирующей нелинейностью. Свойства таких солитонов представляют собой уникальную комбинацию свойств нелинейных решений в однородной и периодических средах.
Парафаф 3.2 конценфируется на анализе свойств поверхностных солитонов в решетках, парамефы которых (такие, как частота или глубина) модулированы в поперечном направлении. Показано, что модуляция параметров решетки может приводить к отклонению излучения к границе и формированию беснороговых поверхностных волн. Представлено их экспериментальное наблюдение.
21
Первое экспериментальное наблюдение и анализ свойств двумерных поверхностных волн на плоской границе и в углу периодических решеток входят в основу параграфа 3.3. В нем показано, что поверхностные солитоны, локализованные в углу решетки, обладают меньшей пороговой мощностью, чем солитоны, расположенные на ее плоской границе.
В параграфе 3.4 исследуются специфические поверхностные солитоны в гексагональных массивах волноводов, занимающих различные угловые секторы пространства. Экспериментально и теоретически изучается зависимость скорости дифракционного расплывания для возбуждений углового волновода и зависимость пороговой мощности от угла раствора массива.
Параграф 3.5 посвящен наблюдению поверхностных солитонов на границе квадратного и гексагонального массивов волноводов с одинаковыми или разными глубинами модуляции показателя преломления. Установлено, что увеличение глубины одной из решеток существенно понижает порог формирования поверхностного солитона в ней, но, в то же время, повышает порог формирования по другую сторону от границы.
Экспериментальное наблюдение и анализ свойств двумерных векторных солитонов с двумя ортогонально поляризованными компонентами поля на границе раздела между периодическим нелинейным массивом и однородной средой изложены в параграфе 3.6. Показано, что векторные солитоны ответвляются от семейств скалярных солитонов при увеличении мощности, причем векторные солитоны могут содержать компоненты с сильно различающейся степенью локализации.
Параграф 3.7 нацелен на исследование вихревых поверхностных солитонов на границе двух квадратных решеток с различными глубинами модуляции показателя преломления. Показано, что, несмотря на сильную асимметрию распределений интенсивности, поверхностные вихревые солитоны могут быть устойчивы.
В четвертой главе диссертации исследуются фундаментальные, мультипольные и вихревые солитоны в однородных и неоднородных нелокальных средах.
Параграф 4.1 посвящен анализу устойчивости одномерных мультипольиых комплексов в однородных нелокальных средах с различными функциями отклика. В нем продемонст рировано, что в жидких кристаллах, а также в средах с тепловой нелинейностью мультипольные солитоны могут быть устойчивы только в том случае, если число пиков интенсивности в них не превышает четырех.
В параграфе 4.2 исследуются движущиеся серые солитоны в нелокальных нелинейных средах. Показано, что нелокальность нелинейного отклика существенно понижает максимально возможную скорость движения серого солитона с заданной амплитудой. Установлено, что серые солитоны могут формировать устойчивые связанные состояния.
22
Анализ устойчивости и экспериментальное наблюдение двумерных мультиполь-ных солитоиов в среде с тепловой нелинейностью представлены в параграфе 4.3. В нем продемонстрировано, что двумерные мультиполи даже со сложными кольцевыми профилями являются метастабильными, и поэтому легко наблюдаются на длине экспериментально доступных образцов.
В параграфе 4.4 рассматривается устойчивость вихревых солитонов в цилиндрических средах с тепловой нелинейностью. Предсказывается, что существует ограничение на максимальный заряд устойчивого вихревого солитона и анализируется динамика распада неустойчивых вихревых решений.
Параграф 4.5 посвящен исследованию влияния нелокальности нелинейного отклика на свойства фундаментальных, четных и мультипольных солитонов в периодических решетках показателя преломления. Показано, что нелокальность ослабляет неустойчивость четных солитонов и приводит к радикальному увеличению подвижности фундаментальных солитонов.
Свойства одномерных солитонов в слоистой среде с тепловой нелинейностью являются предметом параграфа 4.6. Подобные среды поддерживают целый ряд устойчивых самосогласованных решений, включая мультиполи и солитоны, смещенные от центра образца, которые не существуют в однородной тепловой среде.
В завершающем параграфе 4.7 показано, что граница раздела между периодической и однородной нелокальной средами поддерживает новые типы устойчивых мультипольных солитонов, пики интенсивности в которых находятся по разные стороны от границы раздела.
Пятая глава диссертации посвящена особенностям формирования одномерных и двумерных пространственных солитонов в средах с одновременной поперечной модуляцией показателя преломления и нелинейности, а также в чисто нелинейных решетках.
В параграфе 5.1 рассматриваются преобразования профилей и подвижность одномерных солитонов в противофазных линейной и нелинейной решетках. Установлено, что конкуренция между двумя решетками приводит к радикальному увеличению подвижности солитонов даже при достаточно глубокой модуляции линейного показателя преломления.
Преобразования профилей вихревых солитонов но мере увеличения их мощности и их устойчивость в конкурирующих линейной и нелинейной решетках являются предметом исследования в параграфе 5.2. Вышеупомянутая конкуренция приводит к ограничению максимальной мощности вихревых состояний и появлению новых семейств солитонов.
23
Параграф 5.3 посвящен изучению стабилизации двумерных солитонов в чисто нелинейных решетках в фокусирующей кубичной среде. В нем предсказано, что устойчивое распространение фундаментальных солитонов возможно в том случае, когда решетка состоит из периодического массива нелинейных цилиндров, внедренных в линейную среду.
Многообразие устойчивых векторных солитонов с различными симметриями компонент поля в нелинейных решетках обсуждается в параграфе 5.4. Показывается, что кросс-модуляционное взаимодействие между устойчивыми и неустойчивыми скалярными состояниями может привести к формированию устойчивых векторных решений.
В параграфе 5.5 анализируется возможность формирования светлых солитонов в среде с неоднородной дефокусирующей нелинейностью. Установлено, что они могут формироваться, если нелинейность достаточно быстро нарастает от центра к периферии среды. В неоднородных дефокусирующих средах найдены не только фундаментальные, но и устойчивые мультипольные светлые солитоны.
В шестой главе диссертации исследуются новые физические явления в периодических решетках и других волноводных структурах, показатель преломления которых периодически модулирован в направлении распространения излучения.
В параграфе 6.1 предсказывается возможность резонансной раскачки амплитуды осцилляций центра солитоиа в периодических и параболических потенциалах, подобной раскачке параметрического маятника. Показано, что в периодической решетке система неизбежно выходит из условий параметрического резонанса, что сопровождается периодическим затуханием/нарастанием амплитуды осцилляций, в то время как в параболических профилях показателя преломления раскачка происходит монотонно.
Параграф 6.2 посвящен изучению резонансного преобразования мод волноводных структур при наличии продольной модуляции показателя преломления. Показана возможность каскадного преобразования мод, обсуждается влияние нелинейности на процесс преобразования. Подчеркивается аналогия между этим процессом и осцилляциями Раби.
Контролируемый дрейф солитонов в динамических решетках показателя преломления, индуцированных в фоторефрактивном кристалле тремя несбалансированными плоскими волнами, изучается в параграфе 6.3. В нем обсуждается зависимость скорости дрейфа от мощности солитона и параметров слабой управляющей плоской волны, которая вносит асимметрию в распределение показателя преломления.
В параграфе 6.4 представлен теоретический анализ и первое экспериментальное наблюдение эффекта подавления туннелирования света в массиве с противофазной продольной модуляцией показателя преломления в соседних волноводах. Этот эффект
24
продемонстрирован как для двухкаиалыюй системы, так и на границе и в глубине периодического массива.
Влияние фокусирующей нелинейности на эффект подавления туннелирования исследуется в параграфе 6.5. Показано, что увеличение пиковой амплитуды исходного пучка приводит к уширению отдельных резонансов в зависимости мощности во входном канале, усредненной по трассе распространения, от частоты продольной модуляции. Представлено экспериментальное подтверждение этого эффекта.
Параграф 6.6 посвящен описанию подавления туннелирования для двумерных пучков в продольно-модулированном сотовом массиве волноводов. Указывается на возможность реализации анизотропной дифракции при определенном выборе групп волноводов, для которых модуляция показателя преломления является противофазной. В таких массивах показана возможность неискаженной передачи сложных пучков даже в линейном случае.
Возможность формирования оптических пуль при пониженных уровнях мощности в сотовых массивах волноводов обсуждается в параграфе 6.7. Установлено существование оптимальной амплитуды входного волнового пакета, приводящей к формированию оптической пули, для каждого значения частоты продольной модуляции показателя преломления волноводов в сотовом массиве.
Седьмая глава диссертации посвящена исследованию явления андерсоновской локализации света в разупорядоченных линейных массивах волноводов, а также анализу передачи и диффузии солитонов через неупорядоченные массивы.
В параграфе 7.1 обсуждаются особенности андерсоновской локализации вблизи границы раздела неупорядоченного массива волноводов и однородной среды. Установлено, что из-за отталкивания от границы раздела для достижения той же степени локализации вблизи нее, что и в глубине массива, требуется больший уровень беспорядка. Представлено экспериментальное наблюдение эффекта приповерхностной локализации.
Параграф 7.2 основан на результатах исследования явления кросс-локализации в двумерных массивах волноводов, состоящего в том, что эффективно одномерный некоррелированный недиагональный беспорядок приводит к локализации излучения вдоль обеих поперечных осей массива. Этот эффект наблюдается экспериментально.
Экспериментальное наблюдение перехода от одномерной к двумерной андерсоновской локализации в массивах с постепенно увеличивающимся числом рядов обсуждается в параграфе 7.3. Показано, что степень локализации усредненного выходного распределения поля выше в одномерном массиве.
В параграфе 7.4 исследуется отражение солитонов от неупорядоченных массивов конечной ширины. Установлено, что наличие беспорядка может привести к просветлс-
25
нию массива даже для тех углов падения солитона, при которых в регулярном случае происходит полное отражение. Наоборот, в диапазоне углов, для которых солитон свободно проходит через массив волноводов, беспорядок приводит к увеличению доли отраженного излучения.
Наконец, в параграфе 7.5 исследуется динамика распространения солитонов в спеклообразных случайных профилях показателя преломления, индуцированных оптически в фоторефрактивных кристаллах. Установлено, что в определенном диапазоне параметров солитоны в таких профилях показателя преломления испытывают диффузию, подобную диффузии броуновских частиц.
В заключении сформулированы основные выводы диссертации.
26
Глава 1. Солитоны в периодических решетках показателя преломления
Периодическая модуляция показателя преломления радикально меняет характер распространения излучения даже в линейной среде. Если в однородном пространстве собственные моды представлены плоскими волнами и дифракция любого локализованного пучка в линейном режиме обусловлена различными фазовыми набегами (различными постоянными распространения), приобретаемыми плоскими волнами с разными пространственными частотами, то в периодической среде собственными модами являются уже так называемые блоховские волны [53,54]» постоянные распространения которых нетривиально зависят от пространственной частоты (в отличие от однородной среды, где зависимость является параболической) и могут принимать значения лишь из ограниченных интервалов - разрешенных зон, в которых возможно существование бло-ховских волн [57,58]. В результате линейная дифракция в периодической среде обусловлена дефазировкой различных блоховских мод, возбуждаемых исходным пучком, и кардинально отличается от дифракции в однородной среде. Для такой "дискретной" дифракции характерно наличие двух ярко выраженных боковых максимумов интенсивности, которые разбегаются под постоянным углом, определяемым константой связи (перекрытием волновых полей) между индивидуальными волноводами [59-61]. Рассеяние света в периодической среде также определяется структурой разрешенных и запрещенных зон в блоховском спектре решетки [62]. Вероятно, одной из наиболее удивительных и привлекательных черт периодических сред является возможность контролировать как величину, так и сам знак дифракции (выпуклый или вогнутый профиль фазового фронта), т.е. темп дифракционного расплывания профиля интенсивности. В частности, для определенного угла распространения и структуры исходного пучка с достаточно узким пространственным спектром дифракционное расплывание в периодической решетке может быть практически полностью подавлено [59].
Нелинейность среды еще более обогащает динамику распространения в периодических средах и ведет к формированию так называемых решеточных солитонов. Простейшие или фундаментальные одномерные солитоны такого типа были получены в [37] еще в рамках дискретной модели, учитывающей связь лишь между соседними волноводами, в то время как первое их наблюдение было проведено в [38]. Приближенная дискретная модель не может правильно описать реальную структуру блоховского спектра периодической структуры и позволяет получить лишь некоторые решения из полу-бссконсчной запрещенной зоны (для более полной информации по дискретной модели см. обзоры [53,54] и работы [63,64]). Все многообразие солитонов, поддерживаемых периодическими структурами стало доступно для исследования лишь с введением техни-
•27
ки оптической индукции [47], которая позволяет индуцировать плавные (например, синусоидальные) распределения показателя преломления, где соседние "каналы" структуры всегда являются сильно связанными.
Отсутствие трансляционной инвариантности в такой пространственно неоднородной системе сильно связанных волноводов, эквивалентное появлению удерживающего потенциала, приводит к тому, что солитоны не могут свободно перемещаться вдоль решетки [65] и для того, чтобы привести их в движение, необходим некий импульс (реализуемый, как правило, в виде наклона плоского фазового фронта входного пучка). Если в линейном режиме такой пучок испытывает рассеяние и значительные трансформации профиля интенсивности, определяемые зонной структурой решетки [62],'ГО при наличии нелинейности он может сохранить свою структурную целостность при движении вдоль решетки, хотя и будет постепенно терять мощность за счет излучения. Это излучение может рано или поздно (в зависимости от исходного импульса и глубины решетки) привести к захвату' солитона в одном из каналов решетки, как было показано в рамках дискретной модели [65-70]. Однако, в рамках реалистичной непрерывной модели с синусоидальной решеткой этой эффект не был изучен вплоть до работы [71] автора и его обсуждению посвящен первый параграф данной главы. В частности, в нем будет показано, как увеличение глубины решетки или исходного градиента фазы влияет на положение канала, в котором захватывается солитон, и как этот эффект можно использовать для контролируемого переключения света.
Устойчивый баланс между' нелинейностью и дифракцией, приводящий к формированию солитонов, позволяет рассматривать их в качестве переносчиков определенной информации (например, изображений), содержащейся в исходном сложном распределении интенсивности. Эта концепция весьма популярна в телекоммуникационных линиях связи, где индивиду альные солитоны могут рассматриваться в качестве битов информации, причем повышенный интерес вызывают даже не фундаментальные солитоны, а связанные состояния, содержащие несколько солитонов в одном комплексе [72]. В физических системах, описываемых полностью интегрируемыми эволюционными уравнениями, такие состояния включают несколько простейших солитонов с различными амплитудами, определяемыми собственными значениями Захарова-Шабата в обратной задаче рассеяния. Поскольку энергия связи между солитонами в связанных состояниях нулевая, то внешние возмущения могут привести к распаду связанных состояний на отдельные солитоны [73-76]. Во втором параграфе данной главы будет показано, как распад может контролироваться в том случае, если связанное состояние распространяется в синусоидальной решетке показателя преломления. В частности, изменения глубины решетки существенно влияют на параметры выходных солитонов, полу-
28
чающихся при распаде связанного состояния, как было впервые показано автором в работе [77].
Первые эксперименты с одномерными синусоидальными оптически индуцированными решетками были сконцентрированы в основном на наблюдении простейших фундаментальных солитонов, которые могут рассматриваться как "дефектные" моды, ответвляющиеся от блоховских мод на различных границах зонной структуры. При этом постоянные распространения (характеризующие нелинейный фазовый набег в процессе эволюции) смещаются в глубину запрещенных зон по мере роста нелинейности (т.е. по мере увеличения вклада нелинейной добавки в полный показатель преломления) [46,78,79]- В частности, в кристаллах с фокусирующей нелинейностью наблюдались солитоны из полубесконечной запрещенной зоны в спектре решетки, в то время как среды с дефокусирующей нелинейностью позволили наблюдать фундаментальные солитоны из первой ограниченной запрещенной зоны, которые также были получены в массивах полупроводниковых волноводов [8о], фотовольтаических кристаллах [81], и даже конденсатах Бозе-Эйнштейна [82]. Отметим, что возможность формирования "светлых" солитонов в среде с дсфокусирующсй нелинейностью является одним из следствий нетривиальной дифракции света в периодической среде, которая может менять знак при определенных условиях.
Влияние насыщения фоторефрактивной нелинейности на свойства фундаментальных солитонов и возможность формирования более сложных многогорбых комплексов в синусоидальных одномерных решетках были впервые продемонстрированы автором данной диссертации в работе [83]. Описанию свойств таких солитонов посвящен третий параграф данной главы. В частности, в нем показывается возможность чередования устойчивости нечетных (центрированных на канале решетки) и четных (центрированных между' каналами решетки) солитонов по мере роста их амплитуды. Позднее была прослежена связь этого явления с аномальной мобильностью солитонов в решетках с насыщением 184]. В третьем параграфе показано, что в фокусирующей (дефокусирующей) среде только комплексы, построенные из противофазных (синфазных) индивидуальных солитонов, могут быть устойчивы. В этом же параграфе обсуждается экспериментальное наблюдение таких комплексов, проведенное при участии автора [85]. Следует упомянуть аналогичный эксперимент, опубликованный позднее в [86] и работы, посвященные многосолитонным комплексам в конденсатах Бозе-Эйнштейна с кубичной нелинейностью [87,88].
Многообразие солитонных структур существенно возрастает при переходе к двумерным решеткам показателя преломления. Простейшие фундаментальные солитоны в фокусирующей решетке имеют постоянные распространения, принадлежащие к полубесконечной запрещенной зоне, также как и в одномерном случае [89,90]. Впервые та-
29
кие солитоны наблюдались в работе [47]. Помимо решеток, созданных когерентными плоскими волнами, фундаментальные двумерные солитоны наблюдались в периодических профилях показателя преломления, индуцированных частично некогерентным излучением [91,92], а также в массивах волноводов, записанных фемтосекундными лазерными импульсами [40,41]- В дефокусирующей среде были продемонстрированы различные типы солитонов из ограниченных запрещенных зон [47>49>50,93>94]- Двумерные решетки могут подавлять азимутальные неустойчивости оптических вихрей, которые в однородной среде, как правило, распадаются на несколько фундаментальных солитонов, разлетающихся по касательной к исходному кольцевому распределению интенсивности [95]. При наличии решетки показателя преломления такие солитоны приобретают существенную азимутальную модуляцию, но становятся устойчивыми, если решетка достаточно глубока [89,96-98].
Необходимо подчеркнуть, что одним из наиболее существенных отличий между-' одномерными и двумерными решеточными солитонами в кубичной нелинейной среде является тот факт, что в отсутствие решетки в двумерном случае все стационарные решения (солитоны Таунса) неустойчивы и при наличии возмущений расплываются или коллапсируют, в то время как водномерном кубичном уравнении Шредиигера устойчивые солитоны существуют и в отсутствие решетки. По этой причине, области устойчивости солитонов в одномерных и двумерных решетках также существенно различаются. Еще одним принципиальным отличием является то, что одномерные решеточные солитоны могут возбуждаться даже маломощными широкими пучками, но двумерные солитоны всегда требуют некой пороговой мощности для их возбуждения. В четвертом параграфе данной главы описываются результаты анализа устойчивости двумерных решеточных солитонов, впервые проведенного автором данной диссертации, а также предсказывается существование сложных устойчивых двумерных комплексов, которые могут быть скомпонованы из противофазных фундаментальных солитонов [99]. Диполь-ные солитоны такого типа обсуждались также в [юо], в то время как экспериментальная демонстрация дипольных солитонов и даже более сложных структур в виде колец солитонов описана в более поздних работах [101-103]. Интересно отмстить, что зачастую неустойчивость солитонов в кубичной нелинейной среде может быть подавлена более низкоразмерной решеткой показателя преломления. Так, квазиодномерные решетки также поддерживают устойчивые двумерные солитоны [104,105].
В то время как техника оптической индукции позволяет генерировать решетки, которые являются либо чисто одномерными, либо чисто двумерными, техника записи волноводов с помощью фемтосекундных лазерных импульсов позволяет создавать гораздо более сложные профили показателя преломления. Записывая массивы волноводов с заметно большим числом столбцов, чем строк, можно реализовать постепенный
30
переход от эффективно одномерной решетки, представленной одной строкой волноводов, где свет может дифрагировать только в одном направлении вдоль массива, к полностью двумерной решетке, содержащей большое число строк. При этом формально промежуточные структуры, содержащие небольшое количество рядов (строк), могут рассматриваться как переходные между одномерными и двумерными [юб]. Экспериментальному исследованию свойств солитонов в таких специфических решетках с контролируемой размерностью, проведенному при участии автора в работе [юб], посвящен пятый параграф данной главы. В частности установлена связь между размерностью решетки и порогом по мощности для формирования солитона.
Поскольку особенности формирования солитонов и распространения света в решетке в значи тельной степени оиреде;шются ее структурой, изготовление решеток с нетривиальными профилями показателя преломления в пределах одного периода представляется весьма интересным. Важным примером такой структуры, которая может быть изготовлена с помощью прямой записи волноводов, является бинарная решетка. Такая решетка характеризуется наличием на одном периоде двух типов волноводов с разной глубиной или шириной, которые могут периодически чередоваться. Из-за наличия двух типов волноводов бинарная решетка обладает существенно более сложным блоховским спектром, чем обыкновенная решетка. Более того, динамика распространения света в такой решетке зависит от того, в какой именно волновод запущен пучок. Ранее солитоны в бинарных решетках исследовались только в одномерном случае [107-109]. Шестой параграф этой главы посвящен проведенному автором диссертации анализу свойств и экспериментальному наблюдению солитонов в двумерных бинарных решетках, записанных фемтосекундными импульсами [но].
Особенно трудной с экспериментальной и теоретической точек зрения является задача формирования трехмерных пространственно-временных решеточных солитонов или оптических пуль. Оптическая пуля формируется, когда нелинейность одновременно и устойчиво компенсирует как дифракционное, так и дисперсионное расплывание волнового пакета. Понятие оптических пуль было впервые введено в [ш] при изучении коллапса пространственно-временных солитонов в однородной кубичной среде, однако в течение практически двадцати лет с момента опубликования работы [111] в генерации таких трехмерных объектов не было достигнуто прогресса. Одной из причин этой задержки явилась сильная "сутгеркритическая" неустойчивость пуль в наиболее хорошо изученных кубичных средах, а второй причиной послужило отсутствие естественных материалов с достаточно сильной аномальной дисперсией групповых скоростей. В работах [112,113] было предсказано, что неустойчивость оптических пуль можетбыть подавлена в дискретных массивах волноводов. Это предсказание было недавно обобщено автором данной диссертации на случай реалистичной модели с синусоидальной и бессе-
31
левой решетками показателя преломления [114,115]. Весьма существенным оказалось то обстоятельство, что поперечная модуляция показателя преломления существенно замедляет дифракцию волнового пакета, а одинаковые темпы дифракционного и дисперсионного расплывания могут быть достигнуты уже для импульсов с длительностью в несколько десятков фемтосекунд, легко реализуемых на практике. Данное предсказание позволило реализовать первый эксперимент по наблюдению световых пуль в массивах волноводов, проведенный при участии автора [35]. Описанию вышеупомянутого метода стабилизации оптических пуль и их экспериментального наблюдения посвящен седьмой параграф этой главы.
Таким образом, в основу данной главы вошли результаты оригинальных исследований одно-, двух- и трехмерных решеточных солитонов, опубликованные в работах автора [35,53,71,76,77,83,85,99,105,106,110,114,115]-
§1.1. Переключение пространственных солитонов в одномерных решетках показателя преломления
В данном параграфе рассматривается переключение пространственных солитонов в гармонических решетках показателя преломления, которые, в отличие от дискретных массивов волноводов, характеризуются достаточно сильной связью между соседними каналами (максимумами показателя преломления) решетки, зависящей от поперечной глубины модуляции показателя преломления [71]. Предполагается, что свет распространяется в планарном волноводе, так что дифракционное расплывание по оси у отсутствует, в то время как пучок может дифрагировать вдоль оси х, в направлении которой показатель преломления периодически модулирован. В этом случае эволюция электрического поля волны, поляризованной в направлении оси у, при ее распространении вдоль оси г в среде с фокусирующей кубичной нелинейностью описывается уравнением Шредингера, которое может быть легко получено из системы уравнений Максвелла в параксиальном приближении (см. вывод в книге [11]):
(1л)
Здесь О = (Цы / Ь1А)У2 Л(7/, О/0"1/2 - безразмерная амплитуда светового поля, А(т],£) -
мед ленно меняющаяся в направлении распространения огибающая поля, /0 - характерная входная интенсивность волны, поперечная координата г) = х/х0 нормирована на характерный поперечный масштаб а^, продольная координата £ = г/Ьм нормирована на дифракционную длину Ь^{ — кх%, где к=2^п^ / А - волновое число в среде, - невозму-
32
щенный показатель преломления среды, А - длина волны, = 2«о / 0 - длина нели-
нейного самовоздействия в среде, зависящая от интенсивности волны и коэффициента нелинейности ?12 материала, р=Цц( /Ь[е1 - волноводный параметр, где Ьп{ =п0 / кЬп -рефракционная длина и <5тг < т?0 глубина модуляции показателя преломления. Функция Я{г)) в уравнении (1.1), удовлетворяющая условию шах | Я(т/)| = 1, описывает распределение показателя преломления в среде. В данном параграфе рассматривается профиль /?(??) = со5(Пт?) [напомню, что полный показатель преломления в этом случае имеет вид По-1 6псо8(Пг})] с безразмерной пространственной частотой П . При выводе уравнения (1.1) предполагается, что нелинейная добавка к показателю преломления также является малой по сравнению с невозмущенным показателем преломления, т.е. выполняется условие п2/0 ~<§Т2 <п0. Первый член в правой части уравнения (1.1) описывает дифракцию пучка, второй - его нелинейное самовоздействие (фазовую самомодуляцию), а третий - рефракционную модуляцию фазы за счет неоднородного распределения показателя преломления в поперечной плоскости.
Различные режимы распространения светового пучка в такой решетке могутбыть классифицированы с помощью так называемого метода эффективных частиц, который предполагает, что модуляция показателя преломления влияет на траекторию распространения солитона, вызывает изменения его пиковой амплитуды, но не меняет его функциональный профиль [116]. Этот подход, обоснованный в случае достаточно мелких решеток показателя преломления, базируется на уравнениях
И. лоо ,
—ГПт1 = ри~Ч <Ш/<1г)1д|2 (&т\,
(1£г ^-со
«2
^w^u^\. = 2U~l^™J\дq/д1)f+p\q?{r)-r|■mX)dR/dr|-\q\*/2Щ+ (1/2)
+2
для положения интегрального центра солитона т/1п1(^) = (7“1 / |<?|2 г/сй/ и его ширины
Г°° •? 9 и-°°
/ 1?1 (т)~Чм)> следующих из уравнения (1.1). Здесь введена мощность
солитона и = I |<?|2 с1г1, которая являегся одним из интегралов уравнения (1.1) и сохра-
О -<Х>
няется в процессе распространения. Данный подход требует подстановки профиля солитона 9(77,0 в правые части уравнений (1.2) и предположения о его автомодельности в процессе распространения, что позволяет произвести интегрирование по координате 77. В частности, МОЖНО ПОЛОЖИТЬ '^д05есЬ(х(^ — Т^пЛехр^О^Т? — %»*)) (здесь мы опустили члены, описывающие набег фазы при распространении, поскольку они не влияют на результат интегрирования), где <?0 - амплитуда пучка, * - его форм-фактор или обратная ширина, - исходный утол распространения. Такой выбор профиля солитона обос-
33