Делокализация и конкуренция: коллективная динамика осцилляторных ансамблей с нелинейной связью и беспорядком

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Делокализация в пространственно-однородных системах с нелинейной связью 26
1.1 Проблема Фсрми-Паста-Улама........................ 26
1.2 ср Призеры........................................ 33
1.3 ц-бризеры и проблема Ферми-Паста-Ул&ма............ 38
1.4 Делокализация мод и цепочках Ферми-Паста-Улама е произвольным порядком нелинейности....................... 46
1.5 ербризеры в переходных процессах и термодинамическом равновесии 56
1.6 ц-бризеры в многомерных решетках.................. 59
1.7 Выводы............................................ 71
2 Делокализация в пространственно-неоднородных системах
с нелинейной связью 74
2.1 Нелинейные акустические цепочки с беспорядком..... 76
2.1.1 Делокализация в системе /5-Ферми-Паста-Улама ... 76
2.1.2 Устойчивость ц-бризеров в системе /5-Фсрми-Г1аста-Улама............................................. 85
2.1.3 Управление устойчивостью ц-бризеров в системе 8-
Форми-Паста-Улама.................................. 91
2.1.4 Делокализация в системе а-Форми-Паста-Улама ... 94
2.2 Нелинейные оптические цепочки с беспорядком ............... 97
2.2.1 Делокализация в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера................................ 98
2.2.2 Устойчивость ербризеров в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера с беспорядком .... 105
2.2.3 Управление устойчивостью ц-бризерои в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера....................112
2.3 Выводы...............................................115
Делокализация и перенос энергии в колебательных решеточных системах 117
3.1 Введение.............................................117
3.2 Равновесные процессы: аномальная теплопроводность .... 120
3.2.1 Математическая модель................................120
3.2.2 Теория ербризеров в пространстве линейных мод системы с беспорядком .......................................122
3.2.3 Режимы теплопроводности..............................127
3.2.4 Численные результаты.................................132
3.3 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах
без беспорядка...................................... 135
3.3.1 Дискретные бризеры.................................. 135
3.3.2 Математическая модель............................... 137
3.3.3 Локальная модель дискретного бризера.................138
3.3.4 Точечные возбуждения ............................... 140
3.3.5 Крупномасштабные начальные возбуждения...............144
3.4 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах е
беспорядком............................................... 119
3.4.1 Андерсоновская локализация в нелинейных системах .149
3.4.2 Предел сильного беспорядка .......................... 152
3.4.3 Многомерные решетки.................................. 158
3.4.4 Общий случай нелинейной системы с беспорядком . . 159
3.4.5 Численные результаты................................. 165
3.5 Расплывание волновых пакетов и теплопроводность............167
3.6 Выводы.................................................... 172
4 Конкуренция в много ком потентных динамических ансамблях с неоднородной структурой нелинейных связей 175
4.1 Конкуренция в двухкомпонептиой модели......................179
4.2 Конкуренция в многокомпонентной модели.....................194
4.3 Анализ динамики популяции иммунных клеток .................203
4.4 Выводы.....................................................213
5 Конкуренция в малых ансамблях нейроноподобных осцилляторов с собственной автоколебательной динамикой 216
5.1 Конкуренция без победителя в частотной модели нейрона. . 217
5.2 Модель бсрстового нейрона..................................220
5.3 Конкуренция в ансамбле модельных нейронов Ходжкина-Хаксли223
5.4 Динамика автономного нейрона...............................225
5.5 Коллективная динамика......................................228
5.6 Структурная устойчивость...................................235
5.7 Бифуркации.................................................239
5.8 Выводы.....................................................242
3
6 Структурообразование и конкуренция в ансамблях частотно-и фазо-управляемых осцилляторов 244
6.1 Образование структур и конкуренция. Применение к моделированию коллективных решении покупателей на рынке . . 244
6.1.1 Базовая модель..................................247
6.1 2 Динамика индивидуального осциллятора............249
6.1.3 Взаимодействующие осцилляторы...................252
6.1.4 Пространственно-одпородпые решения..............255
6.1.5 Локализация и делокализация ...................2611
6.1.6 Численные результаты............................263
6.2 Переход между локализованной и дел окал нзопаппой пространственной динамикой.........................................273
6.2.1 Локализация и делокализация в цепочках..........273
6.2.2 Образование и рост кластеров в двумерных решетках 276
6.3 Пространственно-хаотические бифуркации в системах с нелинейной связью .............................................279
6.4 Выводы................................................293
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 296
ЛИТЕРАТУРА 301
ПРИЛОЖЕНИЕ 322
4
Введение
Коллективная динамика ансамблей систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одной из фундаментальных задач нелинейной физики (1 -4|. Интенсивные исследования в этой области, ведущиеся на протяжении болсс ‘20 лет, связаны с высокой степенью актуальности для целого спектра прикладных задач: от исследования колебательных режимов в решетках микро- и напомеханичсских осцилляторов |5,б| и динамики атомарных конденсатов в пространственнопериодических оптических структурах |7.8] до анализа механизмов регуляции клеточного состава адаптивной иммунной системы |9| и коллективных эффектов в социо-эконом и чески х моделях 1101.
Методы, традиционные для радиофизики (в первую очередь, теория колебательно-вол новых процессов), являются мощным инструментом в решении этих задач |1,4,10—13|. К настоящему моменту их применение позволило достигнуть значительного прогресса в изучении и понимании процессов конкуренции |10,14| и синхронизации |4| в живых системах, локализации и распространения волновых пакетов в физических системах |7.15|, структурообразования в сложных ансамблях различной природы 116].
Оказалось, что во многих случаях названные эффекты неразрывно связанны. Наиболее ярким примером, пожалуй, является классическая проблема резонансного взаимодействия в системе трех мод-осцилляторов с
5
квадратичной нелинейностью в функции связи |1|. Различные колебательные режимы обмена энергией между модами, вы текающие из соотношений Мэнли-Роу, (преимущественное сохранение энергии в низкочастотных модах, возбуждение низкочастотных мод за счет перекачки энергии из высокочастотной) можно рассматривать и как конкуренцию, и как процессы модовой локализации-дслокализации энергии. Результаты непосредственно переносятся и на трехволповое взаимодействие в нелинейных средах, определяя режимы распространения воли и формирование пространственных колебательных структур [17| 1.
Вместе с: том следует констатировать значительный пробел в теории этих явлений, связанный с тем, что указанные коллективные эффекты преимущественно изучались в рамках упрощенных моделей: либо пространственно-однородных систем, либо ансамблей с линейным взаимодействием между элементами ансамблей. Это было продиктовано высокой сложностью даже упрощенных задач как для теоретического, так и для численного анализа. В большинстве реальных систем, однако, принципиальную роль играют как беспорядок (пространственная неоднородность параметров), гак и нелинейность межэломентпых связей.
На сегодняшний дань прогресс в решении целого ряда задач физики, биологии и социо-жопо лійки невозможен без разработки теории коллективной динамики - делокал изации и распространения волновых пакетов, конкуренции и структурообразовапия - в колебательных ансамблях с одновременным присутствием как беспорядка. так и нелинейного взаимодействия 2.
‘Отметим, что эффекты конкуренции и локализации возникают и в пространственно-непрерывных средах, описываемых уравнениями в частных производных {конкуренция мод. динамика солнтоиов, бризеров, кийков, соиукл вуюиіия локализации в прямом и обратном пространство), составляя, однако, отдельную фундаментальную физическую проблему, которая в настоящей работе по рассматривается.
-В большей ci<ч101ш »та проблема {кміїепа и задачах синхронизации (18|, поэтому мы касаемся этого
б
Одной из основополагающих работ в области колебательно-волновой динамики нелинейных систем является исследование Э. Ферми, Д. Ласты и С. Улама [19|. в котором рассмотрена задача о дслокализации энергии, сосредоточенной в низкочастотных модах в модели атомарной цепочки с нелинейными связями. Авторы предполагали, что именно нелинейное взаимодействие между элементами (приводящее к иеиитсгрируемости уравнений) лежит в основе детерминистического механизма термализации системы, равнораспределения энергии по всему спектру. Результаты оказались гораздо более глубокими и парадоксальными. Численные эксперименты показали, что энергия остается локализованной в нескольких низкочастотных модах на протяжении всего времени интернирования, практически полностью возвращаясь к начальному распределению с некоторой периодичностью.
Потребовалось несколько десятилетий активных исследований (Ф.М. Израйлев, А.М. Коссвич, 10.А. Косович, Л.И. Маневич. Д.Л. Шепелян-ский, Б.В. Чириков, О. ВснсШп, Л. Рогсі, Ь. Саі^апі, А. Сіог^іПі, Ы. КанЬг, М. Кгиэка!, А.Л. ЬісЬіспЬег^, Я. Ьіуі. Б. Раїеагі, Т. РепаЬі, А. Роипо, А. Бсоиі, N. %аЬикку), чтобы установить, что существуют так называемые пороги слабой и сильной стохастичности по энергии, выше первого из которых колебания становятся хаотическими, оставаясь локализованными в низкочастотных модах, а выше второго происходит быстрая делокализация за счет развитого динамического хаоса [20,211. изучить зависимость этих порогов от размера системы [22 251 и временных масштабов делокализации от энергии |26 -30).
Однако, несмотря на усилия большого числа исследователей, последовательную теорию парадокса Ферми-ІІаста-Улама (ФПУ) долгое время
«опроса лишь «сколь«,.
7
f
построить не удавалось. В 2005 году было обнаружено существование q-бризеров в колебательной цепочке ФПУ - точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, что позволило объяснить все основные особенности парадокса (М.В. Иванченко в соавторстве с С. Флахом и О.И. Каиаковым [31J). Прикладная значимость этого открытия стимулировала разработку общей теории q-бризсров: в системах с произвольным порядком нелинейности, двумерных и трехмерных решетках, в присутствии беспорядка (пространство и ной неоднородности) и применение к исследованию процессов делокализации, коллективных механических колебаний и теплопроводности в структурированных низкоразмерных паномасштабных системах.
Локализация энергии в прямом пространство нелинейных колебательных решеточных систем также имеет длительную историю исследований. Было установлено наличие долгоживущих колебательных возбуждений -- дискретных бризерои - 'амплитуда которых спадает экспоненциально по мере удаления от центральной точки: сначала как приближенных решений в численных экспериментах (A.A. Овчинников, S.J. Sie vers,
S. Takeito. К. Kisoda), а зачем как точных периодических траекторий системы (S. Aubry. R.S. МасКау). Оказалось, что присутствие дискретных бризеров существенно влияет па распространение волновых пакетов, дело-кализацию энергии из начального локализованного возбуждения: делока-лизуется только часть энергии, а остальная остается в виде долгоживущего бризероиого решения (S.J. Siovors. S. Takeno).
Делокалнзация и распространение волновых пакетов в нелинейных систем ах с беспорядком остается нерешенной и интенсивно изучаемой проблемой (Б.Л. Альтшулер. И.Л. Алей пер, Д.М. Басько. Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич, A.C. Пиковский, S. Aubry, S. Fishman, S. Flach. M. Johansson.
8
D. Krimer, S. Kopidakis). В линейном случае одномерных и двумерных решеток осцилляторов с беспорядком нее моды являются экспоненциально локализованными в прямом пространстве (так называемая андерсоковская локализация) |32|, а следовательно, начальные волновые пакеты остаются локализованными. Нелинейность (или взаимодействие в многочастичной квантовой задаче) приводит к взаимодействию между модами и, потенциально. к дслокализации и распространению волновых пакетов. Однако результаты аналитических и численных исследований із этой области противоречивы |33~38j. а эксперименты хоть и показывают локализацию света и атомарных конденсатов в пространственных решетках |8,39|, на настоящий момент недостаточно продолжительны, чтобы делокализация могла наблюдаться.
Конкурентная динамика живых систем на клеточном и молекулярном уровнях лежит в основе механизмов их регуляции и функциональности. Многочисленные эксперименты позволяют все лучше объяснять физическую и химическую природу этих взаимодействий, однако их кооперативные эффекты но-нрежнему практически не изучены. Основные успехи были достигнуты в иейродипамико и исследовании роли синхронизации в когнитивных функциях мозга [4Д4| (B.C. Аиищеико. В.В. Астахов. В.П. Безручко, В.Н. Белых, Е.В. Волков, A.C. Дмитриев, A.A. Королевский, А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, АЛО. Лоскутов, В.В. Матросов, В.И. Искоркин, В.Б. Казанцев, Г. 13. Осипов. A.C. Ваковский. Д.Е. Постной. М.И. Рабинович, М. Розспблюм, Н.Ф. Рулькой Д.И. Трубецкой, А.Е. Храмов, В.Г. Яхио,
H. Abarbahel, S. BoccalcMi, B.C. Ermentrout, E.M. Izhekevich, M. Hasler, J. Kurths, Y. Kuramolo, U. Parlitz. L. Pccora. S. Strogatz).
Роль конкуренции в нейродинамических процессах также становит-ся все более ясной (B.C. Афраймокич, A.A. Короиовский. А.К). Лоскутов,
9
В.И. Некоркин. В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, М.И. Рабинович, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхио, И. Abarbahel, Е.М. Izhekevich, R.
Huerta, Т. Nowonty и др.), однако остается существенный пробел в понимании аналогичных процессов в ансамблях нейронов с генерацией сложных хаотических колебаний с несколькими характерными временными масш табами.
Гораздо меньше известно о роли конкуренции в процессах развития, роста и регуляции многоклеточных систем со сложной неоднородной структурой нелинейных взаимодействий, например иммунной системы (Г.А. Бочаров, Е.В. Волков. А. З&икин, A.A. Романюха, Л. Цимринг,
R. de Boer, J. Carnoiro, C. Grebogi. E. Frey, Л. Garcia-Ojalvo, J. Kurths, G.
Lythe, C. Molina-Paris, A. Pcrelson и др.). Классические результаты вымирания или сосуществования видов в традиционных экологических моделях типа Лотки-Вольтерра по могут быть непосредственно использованы здесь в силу ограничений малой размерности и (или) глобальной архитектуры связей |40|. Современные математические теории химических реакций в сложных потоках |41| и экологического разнообразия видов [42] учитывают подвижность клеток и пространственную неоднородность концентраций взаимодействующих и конкурирующих видов, однако ограничиваются малым числом популяций. Механизм динамического кластсрообразовапия, недавно предложенный для описания дифференциация клеток в развивающихся тканях, учитывает многокомпонситность клеточных систем, однако исследован только в рамках приближения глобальной связи [43|.
Схожая ситуация сложилась и в нелинейной динамике социо-экономических систем [44- 46|, где основные результаты в изучении структур пространственно-временной активности достигнуты в допущениях глобальной связи между элементами ансамбля, идентичности элементов, простых, преимуществе! i-
10
нелинейных функций связи. а во многих случаях анализируется сложная структура сетей взаимодействия, по по динамика |47).
Цель диссертационной работы состоит в разработке теории коллективных динамических явлений дслокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и диссипативных систем с нелинейной связью и беспорядком и ее применении для исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях, закономерностей принятия координированных решений в ансамблях изаимодсйствуЮ1цих актиыIых элсмс!ггов.
Методы исследования и достоверность научных результатов. Представленные в работе результаты получены с использованием методов нелинейной теории колебаний в сочетании с методами численного моделирования. Их достоверность подтверждается согласованностью аналитических и численных результатов; воспроизводимостью результатов численного моделировании; воспроизводимостью результатов на базе различных математических моделей; соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы.
Научная новизна.
• Проблема перехода от локализации к дслокализации энергии в медовом пространстве решена для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности). Для этого развита теория ербризеров — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, получены условия их неустойчивости и дслокализации, показана их
11
определяющая роль в процессах обмена энергией между взаимодей-ствующи м и модам и.
• Впервые разработай численный алгоритм нахождения q-бpизepoв и определения их устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт МП), позволяющий исследовать ц-бризеры в цепочках большого размера, используя высокопроизводительные компьютерные системы.
• Теория ц-бризеров распространена на случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра. Исследован вклад беспорядка в процессы делокализации и развития неустойчивости ср бризеров: показано, что в низкочастотной части спектра слабонелинейных акустических цепочек с беспорядком в пределе бесконечного размера существует зона локализованных ц-бризеров, в оптических цепочках наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Предложен метод управления устойчивостью ербризеров за счет создания пространственных неоднородностей определенного вида.
• Впервые проведено аналитическое исследование режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Предсказано существование переходов мсж/1у режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Теоретические результаты нашли подтверждение в численных экспериментах. Проведенные численные эксперименты также позволили впервые показать связь характеристик неравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности.
12
• Сделан существенный шаг вперед в теории конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не требующий существования устойчивых готероклинических последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оценить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания Т-клеткой антигенного профиля и среднее число клоиотипов Т-клеток, конкурирующих за профиль.
• Разработана теория формирования структур переключательной активности в малых ансамблях нейронных осцилляторов с многомас-штабпыми колебаниями и конкуренцией. Получены режимы моностабильности и бистабильности паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к иеидентичмости параметров нейронных осцилляторов.
• Установлена и проанализирована связь между переходом от локализации к делокализации возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Впервые обнаружена хаотическая пространственная бифуркация, вызванная нелинейным характером связи между элементами.
Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты применимы в широком спектре физических, биологических и социо-экоиомичсских задач, где и нелинейное взаимодействие, и беспо-
13
рядок неотъемлемо присутствуют и определяют динамику.
Делокализация д-бризеров описывает разрушение линейчатого спектра колебаний при превышении некоторого порога но нелинейности (энергии), что отвечает на вопрос о рабочем квазилинейном диапазоне решеток микро и наноэлсктромсханических осцилляторов — перспективных устройств в задачах обработки информации, фильтрации в гигагерцовом диапазоне, прямого измерения масс молекул. Анализ зависимости ширины зоны локализованных <]-бризером от размеров системы и средней энергии позволяет предсказать различные режимы теплопроводности в нанотрубках и ианопроводах, их характеристики. Полученные теоретические результаты согласуются с данными недавних физических экспериментов.
Теория распространения волновых пакетов в нелинейных средах с беспорядком также предсказывает и объясняет особенности переноса энергии в напоразмерных системах, что актуально для задачи теплоотвода в наноэлектронике. Кроме того, она описывает имеющиеся и предсказывает новые результаты по динамике Бозе-Эймнпсйм конденсатов в оптических решетках — в экспериментах, которые широко рассматриваются как «макроскопическая лаборатория квантовой физики».
Теория конкуренции в многокомпонентных биологических клеточных системах, позволяет выявлять механизмы регуляции клеточного состава; в рассмотренном частном случае ансамбля Т-лимфоцитов определить некоторые важнейшие биологические параметры иммунной системы (недоступные для прямого экспериментального измерения) на базе имеющихся экспериментальных данных. В перспективе, совокупность фундаментальных теоретических знаний и адекватных математических моделей может дать инструмент прогнозирования клеточной динамики, иммунного ответа, анализа тактики лечения заболеваний.
14
Теория формирования структур последовательной активности беретов в нейронных ансамблях с: конкуренцией применима в задачах нейро-динамики (обработки и хранения информации нейронными ансамблями), а также для разработки алгоритмических принципов искусственных интеллектуальных систем.
Полученные результаты в области етруктурообразования в математических моделях взаимодействующих активных элементов, при интерпретации задачи в терминах взаимодействия покупателей па рынке, дают представление о возможных режимах коллективного принятия решений в зависимости от пространственной неоднородности, силы и типа нелинейной связи. На этом основании могут формулироваться рекомендации качественного характера о тактике эффективного управления для регулятора рынка.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Диссертация содержит 337 страниц, включая 102 рисунка и список литературы из 198 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
ГЗо Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, раскрыты научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Изложены положения, выносимые на защиту. сведения об апробации результатов.
В первой главе развита теория дслокализации в пространственно-однородных колебательных решетках различной размерности с нелинейной связью общего вида. Исследованы свойства ф-бризеров - точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве обобщенной модели ФПУ с нелинейностью произвольного порядка.
Этот результат решает проблему ФПУ - порога термализацни системы (появления сильного хаоса) и разрушения спектра, близкого к линейному в решеточных системах с произвольной нелинейностью. Установлено, что в цепочках больших размеров порог делокализации ербризеров (а, следовательно, термализацни и разрушения линейчатого спектра), а также потеря устойчивости полностью определяется членами взаимодействия с: показателями нелинейности 7 — 3,4,5.
Вопросы делокализации и неустойчивости ц-бризеров исследованы в двумерных и трехмерных решеточных системах. Было показано, что при увеличении размерности решетки локализациейные свойства ц-6ризеров улучшаются, что указывает па увеличения порога термализацни в таких системах. Продемонстрировано существование решений, близких к ербризерам в переходных и равновесных процессах. Показано, что при достаточно низкой энергии системы в медовом пространстве, особенно в низкочастотной области спектра, наблюдаются долгоживущие возбуждения отдельных мод. Такие траектории могут оказывать существенное влияние на процессы переноса энергии в системе, например, на характеристики теплопроводности.
Во второй главе построена теория делокализации энергии в пространственно-неоднородных решеточных системах. Исследованы явления дсло-кализации н развития неустойчивости ц-бризеров в системах с двумя основными типами линейного спектра: акустическим и оптическим. Показано, что в обоих случаях ц-бризеры сохраняют локализацию в модовом пространстве, если сила пространственного беспорядка достаточно мала. Фундаментальным свойством систем с акустическим спектром является то, что в пределе больших систем даже при большой силе беспорядка в низкочастотной области спектра существует зона ц-бризероп, близких к ре-
16
шениям пространственно-однородной задачи, локализованных в модовом пространстве. Наличие таких решений играет ключевую роль в возникновении аномальной теплопроводности в таких системах. Напротив, в системах с оптическим спектром существует порог по силе беспорядка, при нревы шеи и и котор
Анализ устойчивости я-бризерных реиюпий показывает, что беспорядок может не только уменьшить порог неустойчивости по параметру нелинейности, но и увеличить его. в зависимости от конкретной реализации. Оказалось, что основное влияние на порог неустойчивости ербризера с центром в моде (]о оказывают пространственные гармоники с волновыми числами в диапазоне [2<70 — 2; 2до + 2], причем знак поправки от каждой из них определяется их пространственной фазой. Этот результат позволил сформулировать метод управления устойчивостью ц-бризерок с помощью конструирования пространственных неоднородностей определенного профиля.
В третьей главе исследованы равновесные и неравновесные процессы переноса энергии и распространения волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком, а также роль ц-бризеров в этих процессах. Установлено, что беспорядок индуцирует «границу подвижности» в спектре, разделяя его на зоны дслокализовапных и локализованных в прямом пространстве мод. Дслокализованные моды обеспечивают баллистический транспорт энергии между термостатами па концах цепочки, что приводит к нарушению закона Фурье, аномальной теплопроводности, выражающейся в степенной зависимости коэффициента теплопроводности от размеров системы. Локализованные моды в присутствии нелинейности обеспечивают диффузионный транспорт энергии, отвечающий нормальной теплопроводности. Нелинейность приводит к обрадованию третьего капала тепло-
17
I
проводности за счет взаимодействия локализованных и делокализоваиных мод. В зависимости от соотношения управляющих параметров - температуры и размера системы - реализуются следующие режимы теплопроводности: цепочка-изолятор, нормальная теплопроводность, аномальная теплопроводность двух видов (с доминированием эффектов беспорядка и нелинейности соответственно).
Для неравновесных процессов долокализации начальных возбуждений, исследованы различные пределы: сильной нелинейности и сильною беспорядка. В нервом случае установлено, что ключевое влияние на перераспределение энергии оказывают дискретные, бризеры - точные периодические решения, локализованные в прямом пространстве. Изучена зависимость от типа собственного потенциала осциллятора и размерности решетки. Для систем с сильным беспорядком решена задача об андерсоновской локализации в нелинейных системах. Было показано, что (андсрсоиовскис) моды линейной системы с беспорядком /^локализуются с: ненулевой вероятностью для любого произвольно малого значения энсргии/нелинсйности. При превышении определенного порога по энергии локализованные решения с центром в одной моде шдюстают существовать с вероятностью 1. а вероятность существования многомодовых локализованных возбуждений становится экспоненциально мала.
Наконец, получила подтверждение теоретически предсказанная зависимость между равновесными характеристиками переноса энергии (коэффициентом теплопроводности) и характеристиками делокализации волновых пакетов (типами субдиффузии в зависимости от энергии волнового пакета). Полученная температурная зависимость коэффициента теплопроводности согласуется с результатами теоретического анализа.
В четвертой главе построена теория конкуренция за «стимулы вы-
18
живания» в многокомпонентных клеточных ансамблях с нерегулярной структурой нелинейных связей. В качество примера исследовалась задача регуляции в математической модели популяции клонотипов «наивных» Т-лимфоцитов. Обнаружено, что конкуренция приводит к экспоненциально быстрому вымиранию значительной части клонотипов и является механизмом выживания наиболее эффективных из них. Показано, что зависимость доли вымирающих клопотипов от вероятности распознавания клонотипом какого-либо набора антигенов имеет минимум приблизительно соответствующий началу эффективной конкуренции и максимум при вероятности распознавания порядка 1. Найден закон приближенного скей-лиига этой зависимости для систем (биграфов) различного размера, что позволяет использовать результаты моделирования сравнительно небольших ансамблей для анализа процессов в ансамблях с числом популяций, близким к физиологическому.
Калибровка модели по экспериментально полученным физиологическим параметрам позволила впервые получить оценку для вероятности распознавания рецептором Т-клетки презентируемого антигенного профиля и коэффициент перекрытия пиши клонотипов Т-клсток, которые пока не поддаются прямому экспериментальному измерению. Было обнаружено, что времена переходных процессов могут быть сравнимы по длительности с временем существования организма. Выявленный новый тип последовательной переходной динамики существенно расширяет представления о конкуренции в сложных ансамблях, где до сих пор необходимым считалось существование устойчивых гетероклип и ческих последовательностей.
В пятой главе сформулированы основные динамические принципы генерации структур последовательной пространственно-временной активности в малых ансамблях пейроиоиодобпых осцилляторов с коикурепци-
19
ей. Показано, что широкие автономные береты приводят к конкуренции собственного и коллективного механизмов генерации. В резульгате образуется упорядоченная последовательность беретов, характеристики которой очень восприимчивы к уровню ингибирования. Узкие автономные береты приводят к кооперативному типу взаимодействия механизмов генерации. В результате характеристики беретов также сильно зависят от проводимости ингибиторных синапсов, однако во всем диапазоне силы связи присутствует бистабильность бсрстоных последовательностей. Для обоих типов взаимодействии механизмов генерируемые пространственно-временные структуры береговых колебаний чрезвычайно устойчивы по отношению к нсидситичпости параметров индивидуальных нейронов.
В шестой главе исследованы принципы конкурентного и кооперативного взаимодействия, механизмы делокализации и генерации пространственных структур в в цепочках и решетках частотно- и фазо-управляемых осцилляторов с нелинейным 'типом связи. Полученные результаты допускают интерпретацию в терминах динамики рынка взаимодействующих покупателей, принимающих решение о покупке. Выло показано, что в зависимости от типа связи цепочечные и решеточные ансамбли модельных систем демонстрируют качественно различное поведение. В случае конкурентного взаимодействия типичным является развитие коротковолновых пространственных неустойчивостей, что можно интерпретировать как результат обмена негативной информацией между индивидуумами, недоверия или целенаправленного обмана, в общем случае заключающийся в потере возможности принятия адекватного коллективного решения. Было показано, что влияние пространственной неоднородности локализовано при относительно слабой связи, а если связь превышает некоторый порог, эффект пространственной неоднородности распространяется па большое число со-
20
седей, делокализуется.
В случае, когда обмел информацией носит кооперативный характер, а именно, когда покупатели изменяют свое мнение вслед за мнением соседей, сила связи также является определяющим фактором. Слабая связь лишь незначительно сглаживает пространственные неоднородности, приводя к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, в то время как сильная связь приводит к образованию крупных кластеров с более резкими границами и более однородным распределением состояний элементов внутри кластеров. Также был исследован процесс делокализации, перехода от локальной, мелкомасштабной динамики к крупномасштабной при увеличении силы связей Обнаруженный переход может быть сопоставлен с минимальным уровнем обмена информации в социальных сетях, необходимым для выработки коллективного решения.
Наконец на примере модельных однонаправленных цепочек было показано. что сложная нелинейная связь между элементами может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации. Координата пространственной бифуркации оказывается фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой. Отмечается, что подобная сложная и богатая динамика реализуется в ансамблях элементов, собственная динамика которых тривиальна. Таким образом, нелинейная межэлементная связь пграсг ключевую роль в образовании пространственных структур в ансамблях активных элементов, в дополнение к ранее известным эффектам топологии связей и сложной динамики 11 иди в 11 дуа л ь и ы х элем ел ггои.
В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертациоп ной работы.
Основные положения, выносимые на защиту
21
1. Переход от локализации к делокализации энергии в медовом пространстве п широком классе колебательных решеток (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности) отвечает разрушению локализации точных периодических решений — ербризеров.
2. Дслокшшзация ц-бризеров происходит при увеличении энергии, а также при увеличении размеров системы, когда порядок нелинейности потенциала взаимодействия меньше определенного порогового значения. Увеличение размерности решетки затрудняет делокализацию. Долгоживущие возбуждении, локализованные в медовом пространстве, присутствуют и в нормализованных решетках, а их характеристики и существование могут быть качественно объяснены теорией ц-бризеров.
3. срБризерные решения существуют в нелинейных решеточных системах с пространственным беспорядком, как с акустическим, так и с оптическим спектрами линейных колебаний. Увеличение силы беспорядка приводит к переходу от локализации к делокализации энергии в модоком пространстве. В пределе малых энергий в системах с акустическим спектром зона ербризерных решений сохраняется при произвольно большой длине цепочки, в системах с оптическим спектром — разрушается при превышении некоторого порога по длине, зависящего от силы беспорядка.
4. Беспорядок может как понижать порог неустойчивости q-бpизepoв по нелинейности, так и увеличивать, в зависимости от конкретной реализации. Возможно управление порогом устойчивости за счет создания пространственных неоднородностей.
5. Теория ц-бризеров описывает различные режимы теплопроводности
22
и моделях иизкоразморпых наиомасштабпмх атомарных структур с нелинейностью и беспорядком (цепочка-изолятор, нормальная тешкь пронодпость, дна режима аномальной теплопроводности с доминированием эффектов беспорядка и нелинейности соответственно), переходы между ними при изменении средней энергии и размеров системы.
6. Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных неоднородных клеточных ансамблях является эффективным механизмом регуляции численности и селекции наиболее функциональных семейств (клонотипов) клеток. Зависимость доли вымирающих клонотипов и характерного времени переходных процессов масштабируются с увеличением размеров ансамбля; характеристики остаются постоянными, если фиксированы интенсивные параметры биграфа связанности ансамбля.
7. Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных ансамблях является механизмом возникновения длительной переходной ие-рскл юч атсл ы и) й д 11 нам и ки.
8. В малых ансамблях пейроноподобиых осцилляторов характеристики автономных беретов определяют генерацию структур последовательной пространственно-временной активности. Как в случае широких, так и узких беретов их характеристики сильно зависят от силы конкурентного взаимодействия; во втором случае возникает бистабильность береговых последовательностей. Генерируемые пространственно-временные последовательности береговых колебаний структурно устойчивы по отношению к неидептичноети параметров индивидуальных нейронов.
9. Ансамбли частотно-управляемых осцилляторов с нелинейной характеристикой связи п пространственной неоднородностью параметров
23
в случае конкурентного взаимодействия демонстрируют развитие коротковолновых пространственных неустойчивостей; когда взаимодействие носит кооперативный характер, слабая связь приводит к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, а сильная связь - к укрупнению кластеров. Процесс дслокализации, перехода от локальной динамики к крупномасштабной, происходит при увеличении силы связей.
10. Сложная нелинейная связь между7 элементами в ансамблях фазо-управ-лясмых осцилляторов может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации, координата которой в пространстве оказывается фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой.
Личный вклад автора. Результаты, опубликованные в статьях [48-56|, получены лично автором. В совместных статьях 157-G21 роль автора в выборе направлений исследований и постановке основных задач, получении и обсуждении результатов была ведущей; научные результаты в статьях [31,63-72| получены на паритетных началах с соавторами.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались па международных научных семинарах, конференциях и симпозиумах «Topical Problems of Nonlinear Wave Physics» (Нижний Новгород, 2ÜÜ5). «lütli Experimental Chaos Conference» (Catania, Italy, 2008), «Dynamics in Systems Biology» (Aberdeen, UK, 2009), «Advanced Workshop on Anderson Localization, Non linearity and Turbulence: a Cross-Fertilization» (Trieste, Italy), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов. 2010), «Physics of Immunity: Complexity Approach» (Dresden, Germany, 2011), «Noise in Non-equilibrium Systems: From Physics to Biology» (Dresden, Germany, 2011). Материалы диссертации обсужда-
лис!» па научных семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, отделения НОЦ по нанотехнологиям па. Биологическом факультете МГУ, Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems (Dresden, Germany), University of Leeds (United Kingdom). Institute for Nonlinear Science (University of California San Diego, USA).
По теме диссертации опубликовано '24 научных статьи в ведущих международных и российских рецензируемых физических журналах из списка ВАК [31,48-71), и 9 прочих печатных работ |73-81).
Исследовании, результаты которых вошли в диссертационную работу. выполнялись при поддержке грантов РФФИ (02-02-17573-а, 05-02-19815-MF-a, 05-02-90567-NNS-a, 06-02-16499-а, 06-02-16596-а, 07-02-01404-а, 10-02-00865), EPSRC Ref. EP/G059780/1, INTAS Ref. No. 04-83-2816. ФПЦ «Научные и паучно-псдагогичсскио кадры инновационной России», контракты 14.740.11.0075, П2308.
Глава 1
Делокализация в пространственнооднородных системах с нелинейной связью
1.1 Проблема Ферми-Паста-Улама
В 1955 Э. Форми, Дж. Паста, и С. Улам (ФГ1У) выдвинули гипотезу о нелинейном механизме термализации в кристаллических структурах и провели ряд численных экспериментов с; колебательными цепочками с нелинейностью в межэлементиых связях 1191. Вопреки ожиданиям, одномодовое. возбуждение с частотой и волновым числом q не распределялось но всему спектру, а оставалось локализованным в начальной и нескольких соседних модах. Более того, на больших временах интегрирования наблюдалось практически полное возвращение энергии в начальную моду.
26
Энрико Ферми интересовался проблемой равнораспределения энергии по степеням свободы па протяжении многих лет. Так, в своей работе 1923 года [82| он предпринял попытку усилить теорему Пуанкаре, гласящую, что, в общем случае, гамильтониан нелинейной системы не имеет других интегралов движения, кроме энергии. Предположение Ферми заключалось в том, что нелинейность обусловливает отсутствие инвариантных многообразий в фазовом пространстве, которые могли бы изолировать некоторые области последнего. Любопытно, что Колмогоров сформулировал свою знаменитую теорему о структурной устойчивости торов в конечномерных системах (известную теперь как КАМ-теорема) в 1954 - в том же году, когда ФПУ начали численные эксперименты с целыо показать обратное: неизбежность перехода нелинейной системы в состояние с равно распределенной энергией из состояния одномодового возбуждения.
Система, моделировавшаяся ФПУ - цепочка N частиц одинаковой массы связанных пружинами с линейными и нелинейными членами в силе взаимодействия, квадратичными (т.н. а-ФПУ)
%п ~ ~ 2.тп З'п—l) "Ь а[(жп+1 хп) (Хп 'Хп-1) ]» (1*1)
или кубическими (/3-ФПУ)
хп — (#n.fi — 2xn i) + Д[(^п-ы Хп)' (хп хп— i) ] , (1*2)
где хп - отклонение ть-й частицы от состояния равновесия, а граничные условия хо = a:.v+] = 0.
f~ï~ N
Каноническое преобразование xn(t) = л/52 QM (у+т) за'
V 1 q=l
дает переход в пространство N нормальных мод с амплитудами Qq{t) и частотами сoq = 2 sin (7rgf/2(A^ -h 1)). Уравнения движения в этом случае
27
имеют вид
/V
** СУ ^
иГдОд — /, 7 ^ ^ (1*3)
у/2(14 + 1) £,тв1
для а-ФПУ модели (1.1) и
Р *
= 2(_/У 4-1) ^ ^ Мди)іи)іг№п£-'яіІіПііП@&п&п (К4)
' /,т,п=1
для /3-ФПУ модели (1.2). Коэффициенты взаимодействия
Вя,1,т — 2^(бя±1±піА — ^±£±піД(і\Г+1)) > (Ко)
±
Сд,1,т,п — ^^(^±/±ш±п,0 ^±і±гп±п,2(Дг+1) ^д±1±гп±п,-2(А' + 1)) (Кб)
і
задают селективную нелинейную нелокальную связь между модами. В линейном случае, в отсутствие этого взаимодействия, существуют N интегралов движения, которые отвечают энергиям линейных нормальных мод
я,=і(а;+«?ог).
Исходя из теоретических соображений |82). ФПУ ожидали, что энергия. изначально сконцентрированная в низкочастотной моде </0, в результате нелинейного взаимодействия будет перераспределяться между остальными модами, воспроизводя при этом переход к равновесному состоянию. Однако энергия не только не перераспределялась сколько-нибудь равномерно, но и возвращалась в исходную моду с точностью до 98% через большие промежутки времени (рис. 1.1). Еще более впечатляющим казалось то, что время возвращения даже уменьшалось при увеличении энергии/коэффициента нелинейности. Объяснение ошибкой численного счета было опровергнуто более поздними численными экспериментами: улучшенная точность и большие времена интегрирования позволили пронаблюдать возвращение до 99% от начальной энергии |83|.
28
Г IN THOUSANDS OF CYCLES
Рис. 1.1: Эволюция энергий нескольких начальных мод в численном экспе рименте ФПУ С г/о = 1. а = 0.25, /V = 32 [19|
29
Большой шаг в понимании явления ФПУ был сделан в [84|, где был предложен критерий возникновения нелинейных резонансов, приводящих к динамическому хаосу. Выло указано, что в отсутствие сильных резонансов динамика нелинейной системы может оставаться регулярной или ква-зирегуляриой, а термализация, как следствие, отсутствовать, что и могло привести к результатам ФПУ. При превышении некоторого порога но энергии Е > Е° резонансы, вызванные нелинейным сдвигом частот, приводят к развитию хаотической динамики, быстрому перераспределению энергии между модами, и, в итоге, термализации. Эти предсказания нашли подтверждение в численных экспериментах |85].
Дальнейшее исследование проблемы ФПУ развивалось в двух направлениях. Аналитические оценки |23,26] и численные эксперименты [22, 24,25.86-88] показали, что порог термализации (сильного хаоса) сохраняется и в термодинамическом пределе, отвечая конечной плотности энергии:
lim E/N — ес > 0. Попутно было обнаружено существование т.н. режима N->оо
слабого хаоса, в котором динамика становилась хаотической, но энергия оставалась сосредоточенной в нескольких соседних модах. Хотя аргументы общего характера говорят в пользу конечной термализации и в режиме слабого хаоса (вследствие диффузии Арнольда), уверенно этот процесс до сих пор не наблюдался в численных экспериментах, в силу крайне больших характерных временных масштабов. В отличие от порога сильного хаоса, порог слабого хаоса стремится к пулю в термодинамическом пределе.
Второе направление работ связано с исследованием характерных времен перехода к термализовапному состоянию и сохраняет актуальность до настоящего времени. Можно считать установленным, что зависимость от энергии системы является степенной для сравнительно высоких значений энергии и экспоненциальной - для низких |2G-29|. СкеЙлипг также сильно
30