Анализ интенсивности рентгеновского рассеяния на многослойных дифракционных элементах методом интегральных уравнений

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................4
ГЛАВА /. Особенности теоретического исследования многослойных дифракционных структур в коротковолновых диапазонах спектра.............................................................15
§1.1. Основы взаимодействия рентгеновского излучения с твердым веществом.......................16
§1.2. Использование многослойных рентгеновских покрытий и учет влияния дефектов границ и слоев на коэф<рициеипгы отражения....................................................................../ 9
§1.3. Ограничения скалярной теории и строгие методы решения задач дифракции на периодических и непериодических структурах в рентгеновском диапазоне...........................................22
ГЛАВА 2. Решение коротковолновой задачи дифракции на сплошной решетке модифицированным методом граничных интегральных уравнений (МИМ)....................................................... 36
§2.1. Вывод уравнений МИМ......................................................................36
§2.2. Реализация МИМ для решения коротковолновых задач дифракции с одной периодической границей... 45
§2.3. Сходимость и точность МИМ при анализе дифракционной эффективности сплошных решеток в рентгеновском диапазоне........................................................................51
§2.4. Нескаяярные свойства в поведении эффективности сплошных высокочастотных решеток рентгеновского диапазона.......................................................................73
ГЛАВА 3. МИМ для анализа эффективности многослойной рентгеновской решапки......................83
§3.1. Строгий метод граничных интегральных уравнений для расчета эффективности многослойной рентгеновской решетки..........................................................................84
§3.2. Вычисление поглощения многослойной дифракционной решетки.................................94
§3 3. Оптимизация процедуры решения системы дискретных интегральных уравнений..................97
§3.4. Приближенный метод расчета эффективности многослойной рентгеновской решетки на основе модификации решения интегрального уравнения на одной корругиросанной границе и критерий его использования.................................................................................101
§3.5. Сравнение эффективности многослойных рентгеновских решеток скользящего падения, получаемой строгим методом, приближенно и с помощью измерений............................................111
Глава 4. Обобщение метода граничных интегральных уравнений для анализа рассеяния на решетке, работающей в конической дифракции.............................................................120
2
§4. /. Метод граничных интегральных уравнений для анализа конической дифракции на сплошных решетках 122
§4.2. Энергетический баланс для случая конической дифракции...................................../32
§4.3. Особенности численной реализации и исследование сходимости, точности и сложности метода.... 137
§4.4. Метод амплитудных матриц рассеяния для расчета эффективности многослойной решетки в конической дифракции............................................................................149
§4.5. Примеры использования решеток в конической дифракции в качестве фильтре спектральной чистоты дня КУФ литографии и делителя пучка РЛСЭ................................................156
ГЛАВА 5. Ананиз рентгеновского рассеяния на случайных и квазипериодических неровностях границ с помощью МИМ.....................................................................................175
§5.1. Рентгеновское и нейтронное рассеяние на случайных шероховатостях границ дифракционных решеток и зеркал................................................................................176
§5.2. Рассеяние на однослойных и многослойных ансамблях квазипериодических квантовых точек......188
ГЛАВА 6. Моделирование энергетических свойств изготовленных дифракционных элементов и сравнение их с данными измерений а рентгеновском излучении...................................................197
§6.1. Исследование эффективности мастера, реплики и многослойной peuiemicu с блеском в широком диапазоне КУФ излучения.........................................................................197
§6.2. Исследование эффективности пропускающей А и зонной пластинки для применений в мониторах абсолютных эмиссионных КУФ-МР спектров Солнца...................................................212
§6.3. Исследование эффективности многослойных дифракционных решеток, работающих в КУФ спектрометре летающей орбитальной станции Hinode................................................222
§6.4. Исследования эффективности внеплоскостных отражательных дифракционных решеток, предназначенных для работы в МР спектрометре международной рентгеновской обсерватории 1X0.......231
§6.5. Исследование интенсивности рентгеновского зеркального и диффузного рассеяния на МА КТ. выращенных методом МПЭ в системах In(Ga)As......................................................244
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................................................260
Литература.....................................................................................266
3
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертационной работы обусловлена необходимостью разработки и создания новых элементов оптических и электронных приборов, работающих и характеризуемых в коротковолновом диапазоне спектра. Дифракция на решетках, зонных пластинках, шероховатых зеркал и др. элементах оптики и электроники, например ансамблей квантовых точек (КТ), зависят как от геометрии их границ, так и от свойств расположенных между границами материалов. В оптике описание подобных структур, состоящих из областей с непрерывными физическими свойствами (заряды и токи отсутствуют) и границ произвольной формы со скачкообразным изменением электромагнитного поля на них, основано на численном решении уравнений Максвелла со строгими граничными условиями и условиями излучения, т.е. на строгих методах теории дифракции, начавших свое активное развитие в 70-е годы прошлого столетия с появлением мощных вычислительных машин. Исследование дифракции на элементах в наиболее коротковолновой области, включающей жесткое рентгеновское (ЖР), мягкое рентгеновское (МР), коротковолновое ультрафиолетовое (КУФ) излучение и называемой далее рентгеновским диапазоном, весьма специфично. Устройства рентгеновского диапазона отличаются нанотолщинами слоев материалов с близкой к 1 действительной частью показателей преломления и интерфейсами с гонкой структурой, даже небольшое изменение параметров которых приводит к существенным изменениям интенсивности дифракционного рассеяния.
Теория дифракции (рассеяния) рентгеновского излучения на кристаллах была развита еше в начале прошлого века в работах Эвальда, Брэгга, Дарвина и Принца. С появлением тонкопленочных покрытий в середине прошлого века в работах Абеля, Власова, Роуарда, Хевенса, Паррата и Бреховских были впервые изложены простейшие оптические теории, описывающие аналогичные явления, но
с других позиций. В связи с впечатляющим развитием технологий эти фундаментальные исследования до сих пор продолжаются как в векторной, так и скалярной формулировках. Применимость уравнений Максвелла для описания взаимодействия рентгеновского излучения с однородными и изотропными средами на основе их материальных характеристик — диэлектрической и магнитной проницаемостей, в настоящее время не вызывает* сомнений, и эффектами пространственной дисперсии, как правило, можно пренебречь. Однако величина комплексного показателя преломления (атомных факторов рассеяния) вещества зависит не только от длины волны, но и от его структуры и агрегатного состояния и не всегда известна или легко определяема, особенно в КУФ диапазоне.
Приближенные подходы к исследованию дифракции рентгеновского излучения скользящего и нормального падения на различных оптических элементах известны давно, однако, строгий анализ, в силу объективных трудностей, до недавнего времени не проводился. К трудностям точных численных методов можно отнести необходимость использования большого числа неизвестных при описании электромагнитных полей на протяженных по сравнению с длиной волны границах. В случае расчетов устройств, имеющих границы с тонкой структурой распределения высот, например, измеренных каким-нибудь способом, эти трудности усиливаются. Друшм лимитирующим фактором является статисгически-случайный характер неровностей границ структур, получаемых при использовании тех или иных технологических процессов, и, как следствие, необходимость усреднения рассчитываемых данных, например по методу Монте-Карло. С другой стороны, хорошо разработанные теории рентгеновской дифракции на кристаллах, в т.ч. динамические и учитывающие изгибы кристаллографических плоскостей (упругие напряжения) и дефекта, не способны учесть разнообразные эффекты взаимодействия электромагнитного
5
излучения на границах со сложной формой, что зачастую принципиально важно для изготавливаемых дифракционных элементов.
Совершенствование технологий рентгеновских измерений и изготовления отражающих сплошных и многослойных зеркал и дифракционных решеток с различной формой профиля границ, пропускающих решеток и зонных пластинок, а также сверхгладких слоев гетсроструктур (сверхрешеток), брэгговских отражателей и наноструктур с определенной геометрией позволило добитг>ся за пару истекших десятилетий высоких экспериментальных значений дифракционных характеристик приборов. Для дифракционных элементов различных типов становится все более важным сравнение измеренных значений интенсивности рассеяния в рентгеновском излучении, в т.ч. на синхротронных источниках, с расчетными данными, полученными с применением строгих численных методов, точных значений показателей преломления веществ и измеренных профилей границ, в т.ч. имеющих случайную и периодическую составляющие шероховатости в латеральной и вертикальной плоскостях. В последние годы особый интерес представляет .измерение рентгеновскими методами морфологии самоорганизующихся кристаллических наноструктур таких, как квантовые точки (КТ), квантовые молекулы, нанопроволоки и др., которые традиционно исследуются с помощью методов сканирующей зондовой микроскопии (СЗМ), в т.ч. атомно-силовой микроскопии (АСМ), пропускающей электронной микроскопии (ПЭМ), сканирующей электронной микроскопии (СЭМ), ближнепольноЙ сканирующей оптической микроскопии (БСОМ) и др.
Решение дифракционных задач, даже двумерных и однограничных, в коротковолновых областях спектра на основе строгих векторных теорий долгое время было проблематичным по причинам медленной сходимости разработанных алгоритмов и высоких требований, предъявляемых к памяти и скорости компьютеров. Шмимо очень малых значений отношений длины волны Я к
характерному периоду с1 и глубине к неровностей, сотен и тысяч распространяющихся порядков или сложных индикатрисе рассеяния в рентгеновском диапазоне требуется точный учет влияния затенения, поглощения, многократного отражения, многоволнового характера рассеяния, поляризации и других электромагнитных эффектов. Надежное предсказание абсолютной дифракционной эффективности (ДЭ) рельефных решеток, работающих в этой области спектра, стало возможным после появления: быстрых численных методов на основе решения системы дифференциальных уравнений (ДМ) Ц-З]. Для анализа ДЭ решеток с реальным профилем штрихов, например, измеренным с помотцыо АСМ, и учета шероховатостей наиболее точным является метод граничных интегральных уравнений (далее - "интегральный метод"), но из-за известных численных трудностей он является малопригодным для расчетов в рентгеновском диапазоне [4, 5].
Целью диссертационной работы является разработка интегрального метода, предназначенного для анализа интенсивности рентгеновского рассеяния решеточными элементами при произвольном падении и поляризации излучения, и моделирование дифракционных свойств многослойных структур с реальным профилем границ, в т.ч. случайно-шероховатых зеркал и квазипериодических наноструктур, содержащих КТ. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать строгий интегральный метод для решения задачи классической дифракции электромагнитной волны на решетке с одной границей для исследований в рентгеновском диапазоне спектра при Л / с19 И / с1<< 1.
2. Разработать многограничный интегральный метод для моделирования интенсивности рентгеновского рассеяния в классической дифракции многослойными элементами с произвольной формой профиля границ и любым их числом.
3. Разработать строгий метод интегральных уравнений и получить выражения для йычисления энергетических и поляризационных характеристик сплошных решеток произвольного профиля, работающих в конической (трехмерной) дифракции при произвольном падении и поляризации рентгеновского излучения. Обобщить однограничный интегральный метод на случай конической дифракции на многограничной решетке.
4. Расширить строгий интегральный метод для описания рентгеновского рассеяния на рельефе непериодических дифракционных структур, имеющих случайные и квазипериодические нанонеровности, в т.ч. шероховатых зеркалах и самоорганизующихся ансамблях КТ.
5. С помощью созданного программного обеспечения (ПО) исследовать свойства высокочастотных рентгеновских дифракционных решеток и шероховатых зеркал.
6. Провести подробные теоретические и экспериментальные исследования в рентгеновском излучении изготовленных дифракционных элементов, применяемых в различных устройствах, в т.ч. в космических спектральных приборах.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что на основе интегральных уравнений предложен точный метод анализа интенсивности рассеяния рентгеновского излучения на многослойных периодических и непериодических дифракционных элементах, позволивший обнаружить новые свойства и провести исследования новых приборов оптики и наноэлектроники. В диссертационной работе впервые решены следующие задачи:
1. Разработан строгий интегральных метод, позволяющий исследовать ДЭ элементов с самыми малыми отношениями Я к а\ /г и корреляционной длине неровностей С, в т.ч. в рентгеновском диапазоне.
2. Разработан строгий и приближенный интегральный методы расчета интенсивности рентгеновского рассеяния на многослойных дифракционных
элементах с границами произвольного профиля, при этом время работы приближенного метода не зависит от числа границ и угла падения излучения в.
3. Разработан строгий интегральный метод для случая конической дифракции на решетках с произвольным профилем штрихов и параметрами падающего рентгеновского излучения. С помощью амплитудных матриц рассеяния метод расширен на случай многослойных элементов, работающих в конической дифракции.
4. Развитый интегральный подход и метод Монте-Карло применены к решению задачи рентгеновского рассеяния на рельефе непериодических дифракционных элементов, имеющих случайные и квазипериодические нанонеровности: зеркалах с произвольной статистикой шероховатости и самоорганизующихся ансамблях КТ.
Достоверность предложенных методов и решений подтверждена многочисленными сравнениями с данными, полученными с помощью других теоретических методов в областях их корректности, а также экспериментально.
Научная значимость диссертационной работы определяется тем, что на основе интегральных уравнений впервые предложен универсальный и точный метод анализа ДЭ разнообразных элементов, работающих и характеризуемых в рентгеновском диапазоне спектра. С помощью разработанного ПО обнаружены новые дифракционные свойства высокочастотных рентгеновских решеток и шероховатых зеркал. Данные расчетов на основе разработанного строгою метода продемонстрировали ограничения существующих приближенных методов анализа интенсивности рентгеновского и нейтронного рассеяния на поверхностях с Гауссовой статистикой шероховатости. Предложена и экспериментально подтверждена методика определения структурных параметров ансамблей квазипсриодичсских КТ из анализа интенсивности зеркального и диффузного
9
рентгеновского отражения, т.е. решена прямая и обратная задачи рассеяния в методе высокоразрешающей скользящей рентгеновской рефлектометри и (ВСРР).
Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что разработанное ПО позволяет точно рассчитывать на персональном компьютере (НК) в рентгеновском диапазоне: ДЭ отражающих решеток, в т.ч. с реальными профилями границ, работающих в классической и конической установках; ДЭ пропускающих зонных пластинок; зеркальную и диффузную интенсивность рассеяния зеркал и решеток с любым числом границ и статистикой нанонеровностей; зеркальную и диффузную интенсивность рассеяния элементов с однослойными и многослойными (МАКТ) ансамблями КТ. С помощью разработанного ПО проведены важные теоретико-экспериментальные исследования в коротковолновом излучении: полетаых многослойных решеток, работающих в спектрографе телескопа Hubble и спектрометре солнечной станции Нinode; зонной пластинки (ЗП), предназначенной для мониторов спектров Солнца метеоспутников GOES-R; тестовых решеток конической дифракции для спектрометра планируемой космической обсерватории IXO; МАКТ, выращенных методом молекулярно-пучковой эпитаксии (МПЭ) в системах In(Ga)As и Ge/Si.
Основные положения и результаты, выносимые на защит)':
1. Строгий .интегральный метод и компьютерные алгоритмы, позволяющие получать точные значения ДЭ сплошных решеток в рентгеновском диапазоне при Л Id до 10" с точностью не хуже 0.1% на обычном ПК и за короткое время.
2. Строгий и приближенный, не зависящий oi угла падения и числа границ, интегральные методы и алгоритмы расчета интенсивности рентгеновского рассеяния на многослойных дифракционных элементах с сотнями границ произвольного профиля, в т.ч. измеренных каким-либо способом, при небольших затратах ресурсов ПК.
10
3. Строгий интегральный метод и алгоритмы расчета ДЭ сплошных и многослойных рентгеновских решетках с произвольным профилем штрихов, работающих в конической дифракции при любой поляризацией падающего излучения.
4. Обобщение разработанных строгого интегрального метода и алгоритмов дня рентгеновского анализа непериодических и недетерминистических поверхностей, например, случайно-шероховатых зеркал и ансамблей квазипериодичсских КТ.
5. Новые дифракционные свойства, присущие высокочастотным рентгеновским решеткам и шероховатым зеркалам.
6. Рентгеновские исследования ДЭ изготовленных элементов (решеток, зонных пластинок), выполненные с учетом реальных форм границ и методика определения структуры МАКТ с помощью ВСРР.
Личный вклад автора в диссертационную работу соответствует его вкладу в опубликованные работы и заключается в постановке ряда задач и разработке методов. Математические аспекты §3.1 и §3.3 описаны совместно с С.Ю. Садовым, §4.1 и §4.3 - совместно с G. Schmidt. Программы написаны автором лично или под его руководством и при непосредственном участии. Все результаты численного моделирования получены лично автором. Автор непосредственно не проводил рентгеновские измерения, однако принимал участие в планировании эксперимента и обсуждении результатов.
Краткая апотация диссертации. Первая глава посвящена обзору теоретических методов и подходов исследования интенсивности рассеяния сплошных и многослойных дифракционных структур в коротковолновых диапазонах спектра. В §1.1 обсуждены особенности рентгеновского излучения с точки зрения его взаимодействия с твердым веществом. В §1.2 описываются преимущества использования многослойных рентгеновских покрытий с учетом
влияния дефектов границ и слоев на коэффициенты отражения. В §1.3 описаны основные выводы скалярной и других приближенных теорий дифракции применительно к свойствам сплошных и многослойных дифракционных решеток, зонных пластинок и шероховатых зеркал, сделан обзор существующих строгих методов анализа интенсивности рентгеновского рассеяния. В 80-е годы впервые с помощью ДМ [JJ и модифицированного инте1ралыюго метода (МИМ) было показано, что для решеток с hid« 1, типичных для рентгеновского диапазона, электромагнитная теория позволяет точно рассчитывать абсолютную ДЭ даже при условии Я / d « 1 и больших в, в т.ч. применительно к реальным (измеренным) профилям штрихов. Вторая глава посвящена решению коротковолновой задачи дифракции на одной границе (сплошной решетке), используемому в исследовании дифракции на многослойной решетке (§3.4). В §2.1 приведены основные понятия и сделан вывод интегральных уравнений задачи падения линейно-поляризованного излучения с волновым вектором к' в плоскости дисперсии на решетку с произвольной формой границы и конечной проводимостью материала. В §2.2 приводятся итоговые выражения в конечных разностях для расчета эффективности и поглощения, использовавшиеся при составлении ПО. Рассматриваются способы дискретизации, вычисления подынтегральных функций и решения системы линейных уравнений. В §2.3 анализируются причины и условия сходимости разработанных алгоритмов, их устойчивость и точность. Автором предложен подход, основанный на том, что при малом числе точек коллокации N в расчете на Я нет необходимости использовать ускорение сходимости за счет коррекции отдельных членов разложений. В §2.4 анализируются обнаруженные нсскалярныс, т.с. описываемые только электромагнитной теорией, свойства высокочастотных рентгеновских ре*шеток, работающих в скользящем падении, и показано, что определено абсолютной ДЭ сплошных решеток с d < 1000 нм по приближенным выражениям приводит к погрешностям до нескольких десятков %. Третья глава
посвящена МИМ для анализа эффективности многослойной рентгеновской решетки. В §3.1 как в терминах потенциальных операторов, так и интегральных уравнений обычного вида описан многограничный МИМ для моделирования ДЭ и поглощения многослойных решеток с произвольной формой профиля границ и любым их числом при различной поляризации падающего излучения. В §3.2 вычисляется поглощение Ёл многослойной дифракционной решетки как разница между потоками энергии, проходящими через границы Го и Гдг. В §3.3 описана оптимизация решения системы дискретных интегральных уравнений. Для уменьшения времени вычисления матриц при составлении ПО применены два существенных улучшения: кэширование функций Грина и их производных и кэширование экспоненциальных функций. В §3.4 предложен приближенный метод расчета ДЭ многослойной рентгеновской решетки на основе модификации решения интегрального уравнения на одной корругированной границе и критерий его использования. В §3.5 проведено сравнение ДЭ многослойных рентгеновских решеток скользящего падения, получаемых строгими методами, приближенно и с помощью измерений. В четвертой главе представлено обобщение метода граничных интегральных уравнений для анализа рассеяния на решетке, работающей в конической дифракции. В §4.1 электромагнитная формулировка конической дифракции, т.е. трехмерной дифракции на бесконечных периодических структурах при ненулевом азимутальном угле падения (р, сведена к системе двумерных уравнений Гельмгольца для г-компонент электрического ик и
•у
магнитного у± полей в К с волновым вектором к± с отрезанной г-компонентой. В §4.2 рассмотрен энергетический баланс для случая конической дифракции и получена формула для поглощения сплошной решеткой. В §4.3 рассмотрены основы численной реализации решения системы сингулярных интегральных уравнений, представлены результаты исследования сходимости и точности разработанного ПО, а также временная зависимость от N. В §4.4 представлен
метод амплитудных матриц рассеяния для расчета эффективности многослойной решетки в конической дифракции. В §4.5 предложены примеры использования решеток в конической дифракции в качестве филыра спектральной чистоты для КУФ литографии и делителя пучка РЛСЭ. Пятая глава посвящена анализу рентгеновского рассеяния на случайных и квазипериодических неровностях границ с помощью МИМ. В §5.1 методами МИМ и Монте-Карло анализируется рентгеновское и нейтронное рассеяние на случайно-шероховатых границах сплошных зеркал. Значительная разница между приближенной и точной величиной расчитанной интенсивности рассеяния может приво,цить не только к завышенной оценке среднеквадратического отклонения (СКО) шероховатости а, но и неверной оцеш<е при их определении путем сравнения экспериментальных и расчетных данных. В §5.2 МИМ применен для исследования зеркального и диффузного рассеяния МАК'Г. В шестой главе представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований рентгеновского рассеяния на изготовленных дифракционных элементах: эффективности лабораторных и полетных решеток с измеренным профилем штрихов; коэффициентов пропускания коммерческой зонной пластинки; интенсивности рассеяния на образцах с КТ, выращенных эпитаксиально в полупроводниковой гетеросисгсме. В §6.1 исследована эффективность мастера, реплики и многослойной решетки с блеском в широком диапазоне КУФ излучения. В §6.2 исследована эффективность пропускающей Аи ЗП для применений в мониторах абсолютных эмиссионных КУФ-МР спектров Солнца метеостанции С'ОЕ8-Я. В §6.3 исследована эффективность многослойных дифракционных решеток, работающих в КУФ спектрометре орбитальной станции Нтос1е. В §6.4 исследована ДЭ внеплоскостных решеток, предназначенных для работы в МР-спектромегре международной рентгеновской обсерватории 1X0. В §6.5 исследована интенсивность рентгеновского зеркального и диффузного рассеяния на МАКТ, выращенных методом МПЭ в системах 1п(Оа)Аз.
14
ГЛАВА I
Особенности теоретического исследования многослойных дифракционных структур в коротковолновых диапазонах спектра
В этой главе дан обзор теоретических методов и подходов исследования интенсивности рассеяния на сплошных и многослойных дифракционных структурах в коротковолновых диапазонах спектра. Обсуждены особенности рентгеновского излучения с точки зрения его взаимодействия с твердым веществом, многослойными покрытиями и дифракционными структурами. Дано определение показателей преломления на основе атомных факторов рассеяния и рассмотрены особенности поведения их действительной и мнимой частей в рентгеновском диапазоне спектра. Определено понятие полного внешнего отражения и критического угла для зеркал и дифракционных решеток в рентгеновском диапазоне. Описываются преимущества использования многослойных рентгеновских покрытий и учет влияния дефектов границ и слоев на коэффициенты отражения в коротковолновых областях спектра. Описаны основные выводы скалярной и других приближенных теорий дифракции применительно к свойствам сплошных и многослойных дифракционных решеток, зонных пластинок и шероховатых зеркал и сделан обзор существующих строгих методов анализа интенсивности рентгеновского рассеяния на них. Показано, что использование точных численных моделей впсрвЕле позволило проводить подробное исследование дифракционных свойств подобных струкгур, аналогичное ПО ТОЧНОСТИ измерениям, выполняемым С ИСП0Л1»301Ш!1ИеМ источников синхротрон»ого излучения. Описаны обнаруженные с помощью строгих методов нсскалярные эффекты взаимодействия рентгеновского излучения с решетками и шероховатыми зеркалами, а также представлены некоторые результаты оптимизации их параметров. Приведены примеры применения развитых методов
решения обратной задачи рентгеновского рассеяния па наноразмерных структурах с КТ.
1.1. Основы взаимодействия рентгеновского излучения с твердым веществом
При высоких частотах, т.е. с фотонами высоких энергий, действительная часть показателя преломления п (здесь и далее используется Международная система единиц СИ, если не оговорено иное) всех, даже тяжелых материалов, становится близкой к 1, а френелевский коэффициент отражения
Д,= [(«-1)/(«+1)]2 (1.1)
при нормальном падении из вакуума стремится к нулю. На практике рентгеновская оптика имеет существенные отличия от оптики других диапазонов, несмотря на то, что она базируется на общих для всего электромагнитного спектра законах. Диапазон от - 10 до — 100 нм называется областью КУФ излучения. При длинах волн короче 100 нм не известно ни одного прозрачного твердого тела. Коэффициенты отражения для всех материалов таюке очень малы для нескользящих углов падения. Для А < 10 нм отражение от сплошных материалов используется, как правило, при больших углах падения, отсчитываемых от нормали к поверхности {в > 80°).
Область с длинами воли от ~ 1 до ~ 10 нм принято называть МР излучением. В этом диапазоне высокий коэффициент отражения от сплошных материалов можно получить только при почти скользящих углах падения в условиях полного внешнего отражения или около нормальном падении с использованием многослойных покрытий. Для него характерно наличие краев поглощения и тонкой структуры в коэффициентах отражения многих твердых веществ, что должно учитываться при их использовании. Это наиболее интересный и сложный для изучения диапазон, где в последнее время активно используется сиихротронное излучение и многослойная интерференционная и дифракционная оптика.
Наконец, • самым коротковолновым из рассматриваемых диапазонов являются у-лучи или ЖР излучение - от - 0.04 до — 1 нм. Это наиболее проникающее излучение, в том числе через воздух при самых коротких длинах волн. Для его отражения используются естественные кристаллы или сильно скользящие пучки. В последние десятилетия стали использовать многослойные покрытия, позволяющие в разы увеличить угол скольжения.
Значения п вещества вдали от краев поглощения определяются классической теорией Лорентца-Друдс. Пренебрегая эффектами поглощения, можно получить [6]:
и = 1 - = 1 - <>, (1.2)
где Ус есть плотность свободных электронов, Я - длина волны в вакууме, е и тс -заряд и масса электрона, с - скорость света, 3 - величина порядка 10 2 для 5 нм и КГ4-для 0.5 нм. Формула (1.2) стремится к единице по мерс уменьшения длины волны в противоположность тому, что при больших длинах волн она меньше единицы. Точные количественные соотношения, использующие атомные факторы рассеяния связанных электронов в веществе, получаются из релятивистской квантовой теории дисперсии на основании рассмотрения сечений фотоионизации [7]. Атомный фактор рассеяния/~/\ +1/2 и комплексный показатель преломления п связаны следующим образом:
й= 1 -<5 + 1>= (1.3)
где А* - концентрация атомов, гс - радиус электрона, а / - мнимая единица. Тогда
оптические константы могут быть вычислены как
З^р/г^Илщ У ~ р/ггД2 / 2щг, (1.4)
где р - плотность вещества, р - атомный вес.
Закон Спелля устанавливает связь между углом падения 0 и преломления О" в средах с показателями преломления щ и п\ соответственно:
17
Когда «о sin О I П\ > 1, угол преломления в" имеет мнимую величину и, следовательно, излучение не может проникнуть во вторую среду и полностью отражается. Это является единственным средством достижения пригодного уровня отражения без использования многослойных покрытий, а в ЖР - даже при их использовании. Так как п\ / /?0 очень близко к единице, то критический угол очень близок к 90°, и более удобно использовать не угол падения, отсчитываемый от нормали к поверхности, а дополняющий его скользящий угол падения с;. Критический угол скольжения дс для полного внешнего отражения в пренебрежении поглощения определяется из (1.5):
сои дс - п\ / п0. (1.6)
Так как угол дс является малым, при и0= 1 можно записать:
1-?с2/2=1-<5. (1.7)
С учетом (1.4) для дс получается:
с, - (2<5)ш = гЛр/ / (1.8)
Из (1.8) следует, что для отражения самой короткой длины волны необходимо взять наиболее плотный материал. Для данной длины волны критический угол пропорционален корню из концентрации электронов, участвующих в дисперсии. Следовательно, для увеличения критического угла в условиях скользящего падения необходимо использовать благородные металлы, у которых концентрация электронов выше.
Рассчитанные из теории значения углов полного внешнего отражения совпадают с экспериментальными данными. Термин "внешнее" не совсем удачен, т.к. показатель преломления имеет мнимую часть у. Это при больших величинах отношения у I S приводит к более плавному переходу от высокой степени отражения при угле скольжения д < дс к очень малому отражению при д > дс. Для рентгеновских лучей с Л = 1 нм или энергией 1239.85 эВ, как S, так и у лежат для
разных материалов в диапазоне 10“5-КГ3. Например, критический угол скольжения, вычисленный по данным [7], составляет для Аи и А = 0.989 нм всего 3°, а для стекла - немного более 1°.
Основные дифракционные свойства решеток, зонных пластинок, шероховатых зеркал и наноструктур, подробно описанные в [4, 6, А8-211, применимы к структурам во всем оптическом диапазоне. Известно, что эффективность решеток зависит от материала их поверхности и профиля штрихов. Можно предположить, что для рентгеновских решеток и зонных пластинок критические условия не такие, как для полного внешнего отражения от зеркала. Условие полного внешнего отражения для решетки можно определить исходя из того, что полная внешняя дифракция, при которой достигается высокая эффективность в отраженных порядках, наблюдается при угле дифракции в' = 90° для первого прошедшего порядка. Из уравнения решетки с периодом с! получаем:
<;с = агссоБ( 1 - <5 + шА / сГ), (1.9),
т.е. критический угол для отрицательных порядков с номером т (расположенных дальше от поверхности решетки) больше, чем в случае зеркального отражения Г171. Однако случай является, безусловно, более сложным из-за перераспределения эффективности между основными порядками при исчезновении (затухании) одного из них, особенно при относительно больших Я / с1. Также необходимо учитывать поглощение, поляризационные эффекты и форму профиля штрихов. Предсказать влияние всех этих факторов каким-нибудь простым способом представляется невозможным.
1.2. Использование многослойных рентгеновских покрытий и учет влияния дефектов границ и слоев на коэффициенты отраэюения
Как было показано выше, для оптического элемента с одной границей раздела поверхности между вакуумом и веществом, скользящее падение является
единственно возможным способом получения приемлемого отражения в рентгеновском диапазоне. Как для близкого к нормальному падению, так и при малых углах скольжения можно значительно увеличить коэффициент отражения за счет конструктивной интерференции воли, отраженных от различных границ раздела многослойной структуры. По принципу действия такие многослойные зеркала аналогичны тонкопленочным покрытиям, применяемым в оптике видимого диапазона. Для того, чтобы многократно отраженные от4 границ раздела лучи складывались в фазе, должно выполняться, в первом приближении, кристаллографическое уравнение Брэгга-Вульфа:
/Я = 2Д соэ 0/, (1.10)
где А - период многослойной структуры, 0/ - угол брэгговского порядка номера /. Для естественных кристаллов межплоскостное расстояние А составляет, как правило, несколько десятых долей нанометра, поэтому условие (1.10) не может быть выполнено для излучения с Я > 1 нм. Однако, для его выполнения необходимо изготавливать структуры со значениями периодов, в несколько раз превышающих межплоскостные расстояния естественных кристаллов, т.е. сравнимых с размерами атомов.
Как следует из (1.1) и (1.2) значения коэффициентов отражения в МР и КУФ диапазонах от одной границей раздела сред при нормальном падении составляют
£ | Л Л
10 -10 . Следовательно, при наличии примерно 10-10 границ и отсутствии поглощения возможно синфазное отражение всей энергии обратно. Глубина проникновения МР-волны в вещество при нормальном падении составляет от нескольких десятков до тысяч нанометров, т.е. возможна ситуация, когда вес излучение поглотиться ранее, чем проникнет до конца многослойной структуры. Чтобы рассчитать оптические характеристики многослойного зеркала, необходимо решить уравнения Максвелла с периодически изменяющейся диэлектрической проницаемостью. Для решения обычно используются два подхода, которые
являются эквивалентными [18]. В первом из них отражение от многослойной структуры описывается способом, подобным исследованию брэгговского отражения от кристаллов. Во втором подходе используется хорошо развитая для видимой области теория интерференционных покрытий. Проведенные точные расчеты показывают, что коэффициенты отражения МР излучения от многослойных зеркал могут достигать 0.4-0.8, но для этого необходимо правильно подбирать как вещества покрытия, так и их толщины. Оптимизация параметров многослойной структуры может быть проведена с использованием аналитических выражений [6], которые в случае необходимости уточняются с помощью численных расчетов.
Существует несколько точных эквивалентных методов расчета отражения от многослойных зеркал, отличающихся удобством использования в тех или иных случаях [6]. Например, в методе рекуррентных соотношений процедура состоит в последовательном вычислении из уравнений Максвелла амплитудных коэффициентов отражения г(к) па &-ой границе раздела слоев структуры с показателями преломления п(к), толщинами t(k) и френелевскими коэффициентами Гр(к), начиная с нижнего слоя К и заканчивая верхним нулевым слоем (к = 0), откуда падает излучение под углом вк к нормали границ. Влияние случайных некоррелированных шероховатостей границ или диффузии слоев может быть учтено с помощью амплитудного коэффициента Дсбая-Валлсра (ДВ) rDW(£) — ехр[-2(2/7ct(&)cos в / Л)2] или Иево-Кросе (НК) rNс(к) - ехр[-2(27Г(7(&) / Д)2и*+1 cos 0*+i n*cos 0*], в которые входит среднеквадратичное отклонение (СКО) шероховатости границ (или ширина взаимодиффузии слоев) а (к) Г181. В более сложные модели, такие как Борцовское приближение деформированной волны (БПДВ) второго порядка и метод Рэлея [22-25], входит также латеральная корреляционная длина £(к) и может входить соответствующая вертикальная корреляционная длина [22,
Значительный прогресс технологий нанесения, измерения и расчета сверхгладких многослойных покрытий за два последних десятилогия привел к появлению рентгеновских зеркал для нормального и скользящего падения с высокими экспериментальными значениями коэффициента отражения, близкими к максимальным теоретическим [18. 22. 26). Не меньшие успехи наблюдаются в последние годы в технологии выращивания и характеризации многослойных эпитаксиальных гетероструктур и низкоразмерных нанокристаллов [22, 27-291.
1.3. Ограничения скалярной теории и строгие методы решения задач дифракции на периодических и непериодических структурах в рентгеновском диапазоне
В теории дифракции область, для которой справедливо приближение геометрической оптики и отсутствуют поляризационные эффекты и аномалии, принято называть скалярной областью. Считается, что для большинства решеток, зонных пластинок и шероховатых зеркал при нормальном падении или в режиме автоколлимации это соответствует X ! с! < 0.2 или А / С < 0.2 и И / (1 < 0.2, где И -глубина рельефа [4, 30]. Для самых мелких решеток и шероховатых зеркал с И1 с!< 0.1, она может быть продолжена до А 1 с! < 0.4 [15]. Было также выяснено, что в случае скользящего падения при Д / с! < 0.1 и даже менее 0.05 это приближение неприемлемо [31]. Скалярная (классическая) теория дифракции была предложена еще Роуландом и уточнена в ряде последующих работ. Простые формулы скалярной теории для решеток с типовым профилем штрихов могут быть получены, например, предельным переходом из разложения Рэлея по плоским волнам, дающее точные решения задачи дифракции только в случае идеально отражающей решетки мелкого профиля в одной поляризации [4]. Для метода Рэлея также имеются общие неизвестные ограничения на величину Д / с1, угол падения, форму профиля границы, показатель преломления и поляризацию падающего излучения [32]. В общем виде выражения для амплитуд дифрагированных волн
можно также получить с помощью скалярного интеграла Френеля-Кирхгофа [33]. Для наиболее простых форм профиля решеток интеграл вычисляется в явном виде Г34, А351. Этот подход позволяет использовать универсальные кривые эффективности в области их достоверности. Расчет, проведенный на основе скалярной теории дифракции, дает следующие максимальные значения эффективности: для синусоидальных решеток - приблизительно 0.34, ламельных -приблизительно 0.4, пилообразных - 1.0. Данные пики существуют всегда при определенном отношении глубины модуляции (профиля) к длине волны. Другими словами, для данной длины волны существует оптимальная глубина профиля, отвечающая максимуму универсальной кривой в автоколлимации. Для различных типов решеток это:
Ди, = 2/?ор1 = 2с1 эт Зу (1.11)
для пилообразных решеток, где 6 - угол блеска;
4я = 4Лор1, (1-12)
для ламельных;
Лщ ~ ~ 3.4Лор{, (1.13)
для синусоидальных.
Кроме значительного преимущества эффективности решеток с треугольным профилем штрихов, из скалярной теории следует еще один важный вывод -решетки ламельного профиля дают наименьшую эффективность в более высоких порядках спектра, что весьма существенно при необходимости их подавления [31]. Для ламельных решеток также характерен эффект затенения, который определяет оптимальное отношение с / с1 (с — ширина вершины ламели) - в случае самых малых Я / с1 оно может быть найдено из простых геометрических соображений:
с/а= 0.5 [\-/г^в+1ё0')/с1]. (1.14)
Было показано [36], что абсолютная эффективность решеток, используемых в скалярной области вблизи автоколлимации или нормального падения, может
быть определена с достаточной точностью простым умножением эффективности идеально проводящей (отражающей) решетки па коэффициент отражения чистого металла или металла, покрытого диэлектрическим слоем. По мере отклонения режима работы решетки от автоколлимационного, положение максимума универсальной кривой эффективности и его величина плавно меняются. Эти изменения тем меньше, чем меньше отношение Л / d и h / d. По мере роста угла отклонения D = в + в’ проявляются поляризационные эффекты - сначала для коэффициентов отражения материалов покрытия, а затем, в области скользящих углов, и для идеально отражающих решеток [31]. При не слишком скользящих углах падения справедлива эмпирическая формула, связывающая длину волны в блеске Ль с аналогичной автоколлимационной ALlt длиной волны:
соБф/2). (1.15)
Нели величины Л / d, h / d не слишком малы и/или D приближается к 180°, то эффективность решетки не может быть предсказана простым способом. Известно, что абсолютная эффективность Е?т решетки пилообразного профиля, работающей в блеске т-то порядка, определяется из феноменологической формулы, подтвержденной точными расчетами [4]:
E?m = Rç(6 - ô) min[cos(0 - 20) / cos в, cos 0 / cos(0 - 2<5)], (1-16)
где Rv — фрснелевский коэффициент отражения, (0 - ô) - угол падения на рабочую грань штриха. Особенностью данного режима работы является то, что падающая и дифрагированная в де-ый порядок волны симметричны относительно нормали к рабочей грани штриха, что обеспечивает блеск решетке (см. рис. 5.10) . Однако, даже при высокой относительной эффективности решетки с блеском (обычно около 0.9), ее абсолютная эффективность мала вблизи автоколлимации для коротких длин волн. Это связано с тем, что коэффициенты отражения металлов в области Л < 40 нм при нормальном падении составляют не более 0.1. Необходимость повышения эффективности решеток при работе в рентгеновском
излучении требует использования скользящих углов падения и/или многослойных покрытий, и скалярная теория оказывается неприменимой. Все попытки найти подходящее приближение в течение долгого времени заканчивались, в целом, неудачами.
В настоящее время широко известны строгие численные методы решения задач дифракции на многослойных решетках с произвольным профилем штрихов, которые условно можно отнести к двум типам электромагнитной теории [4] -интегральному (метод интегральных уравнений [37]) или дифференциальному [381-Некоторые близкие к дифференциальному подходу методы, такие как модальный (иногда называемый методом характеристических волн или характеристически-модальным методом), связанных волн и преобразования координат, отдельные исследователи относят к специальной группе [38]. Все они начинаются с уравнений Максвелла в частных производных. В общем случае для дифференциальной теории характерно интегрирование этих уравнений по одной или двум координатам. Большинство современных дифференциальных методов использует одномерное интегрирование или другой численный метод для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В методе граничных интегральных уравнений уравнения Максвелла представляют в интегро-дифференциальном виде, которые затем решаются численно с помощью криволинейного интегрирования. К интегральной теории можно также отнести различные варианты метода конечных элементов [39]. В отличие метода интегральных уравнений этот метод, как правило, подразумевает двумерное интегрирование, исключение составляет метод граничных интегральных элементов. К методу интегральных уравнений также близок метод фиктивных источников [16]. Обзор теоретических подходов и их мал'ематических реализаций представлен в нескольких обзорных работах [4, К>, 32,
Обычно численные методы применяются для дифракционных структур, имеющих характерные размеры (период, ширина дифракционной зоны, корреляционная длина, глубина), соизмеримые с длиной волны л падающего излучения (Д/</~1,й/<^~1), т.е. в резонансной области. Если соотношение Я / с1 мало, то затраты вычислительных ресурсов при расчетах для всех методов из-за плохой сходимости могут быть слишком большими, даже для самых мощных компьютеров. Например, при переходе ог расчета с отношением Я / с/= 0.1 к Л / = 0.001, что типично для рентгеновского диапазона, и одинаковом числе точек коллокации, приходящихся на длину волны в классическом интегральном методе, объем требуемой памяти возрастает приблизительно в десять тысяч раз, а время вычислений - в миллион! До 80-х годов такие задачи было проблематично решать даже на самых быстродействующих компьютерах с максимальным объемом оперативной памяти. Возможность широкого использования программ электромагнитной теории дифракции для расчета эффективности решеток при X! (I « 1 долгое время оставалась под вопросом из-за медленной сходимости существующих методов и огромных требований к компьютерным ресурсам. Эго было серьезной трудностью, ограничивавшей широкие исследования строгими методами дифракционных свойств приборов, работающих в рентгеновских областях спектра [4]. В 1980 г. авторами Щ было обнаружено, что для решеток с малой относительной высотой (/; / с1 « 1), которые типичны для рентгеновского диапазона длин волн, дифференциальный формализм [40] дает быстро сходящийся результат даже при условии распространения нескольких сотен порядков и скользящих углах падения. Благодаря быстрому затуханию порядков и их слабой связи в рентгеновском диапазоне, для получения точного значения эффективности достаточно учесть всего 11-15 гармоник в Фурье разложении поля [44]. Позднее аналогичная ситуация была обнаружена [Л42] и подробно исследована 1А43-50], в т.ч. впервые применительно к реальным (измеренными с помощью АСМ)