2
Оглавление
Введение......................................................4
Глава 1. Уравнения Эйнштейна - Максвелла в случае
> I
аксиальной симметрии...............................13
1.1. Основные уравнения..................................15
1.2. Другие формы записи основных уравнений..............18
Глава И. Вакуумные статические гравитационные ноля 29
2.1. Метод сингулярных источников........................29
2.2. Мультипольные решения статических уравнений
Эйнштейна..........................................36
Глава III. Евклидонные решения вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна......................................43
3.1. Статическое одно-евклидонное решение и его физическая
интерпретация......................................44
3.2 Стационарное одно-евклидонное решение................48
3.3 Физическая интерпретация стационарного евклидона 52
3.4. Статическое двух-евклидонное решение и его физическая
интерп ретация................................... 54
3
3.5. Стационарный евклидон в произвольном стационарном
поле Эйнштейна.....................................57
Глава IV. Электростатические и магнитостатические
уравнения Эйнштейна- Максвелла.....................64
I »
4.1. Основные соотношения................................64
4.2. Наиболее известные решения электростатики
(магнитостатики)...................................67
4.3. Использование евклидонного метода в магнитостатике
(электростатике)...................................74
4.4. Класс асимптотически плоских решений магнитостатики и
электростатики Эйнштейна- Максвелла................82
Заключение..................................................92
Литература..................................................94
Введение
Точные решения уравнений Эйнштейна- Максвелла (см., напр., [2]) имеют большое значение для понимания физического содержания общей теории относительности. В работах [50], [51], [52], [53] дан обзор известных в настоящее время точных решений В астрофизике и космологии особый интерес вызывают точные аксиально- симметричные решения. Известно большое количество аксиально- симметричных решений Однако большинство этих решений не удовлетворяет реальным физическим требованиям, главным из котороых является требование асимптотической плоскостности Одним из немногих решений, удовлетворяющих этим требованиям, является точное решение уравнений Эйнштейна, найденное Шварцшильдом [3). Как было показано Биркгофом [4] и позднее Израэлем [5], эго решение является единственным внешним точным решением в случае сферической симметрии, имеющим полностью регулярный горизонт событий. Это означает, что любое стационарное вакуумное аксиально- симметрическое решение в предельном случае стремления к нулю параметра вращения должно стремиться к метрике Шварцшильда. Точно так же любое электро-или магнитостатическое решение в предельном случае стремления к нулю
5
электрического или магнитного параметра должно стремиться к метрике Шварцшильда.
Другим решением, но уже стационарным, удовлетворяющим физическим требованиям, является решение Керра (29]. Робинсон [1] установил, что метрика Керра является единственным асимптотчески плоским стационарным аксиально- симметрическим решением, имеющим гладкий горизонт событий. Стационарные электромагнитные решения при стремлении к нулю электромагнитного параметра должны в пределе давать метрику Керра.
Следует отметить важность получения любых точных решений. Она состоит в том, что помогает разрабатывать математические методы получения решений с асимптотикой, удовлетворяющей физическим требованиям. Кроме того эти решения часто служат исходными решениями при генерировании решений, имеющих реальный физический смысл. Дадим краткий обзор некоторых решений п методов.
Вейлем [8, 9] были получены и исследованы аксиально- симметричные решения уравнений. Было показано, что любое статическое решение уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии можно представить в виде решения уравнения Лапласа в канонических координатах Вейля.
б
К статическому вакуумному классу Вейля относятся и известное решение Шази [10] и Керзона [11], которое имеет ньютоновский предел, но не имеет особенностей, поэтому не может описывать реальное гравитационное поле скол ансирован ной массы.
Вейленом [12] было получено общее статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии в виде интеграла, включающего решения Шварцшильда и Шази- Керзона как частные случаи.
Эрецем и Розеном [13] было впервые получено статическое аксиальносимметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле массы с мультипольным моментом. Позднее Ц И.Гуцунаевым и В.С.Манько [14] было также найдено статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна для внешнего гравитационного поля массы, обладающей мультипольным моментом. И решение [13] и решение [14] в пределе дают ньютоновский потенциал для массы с квадрупольным моментом [15].
Тирринг и Лензе [16] рассмотрели случай слабого поля. Они получили метрику, описывающую пространство-время вдали от стационарно вращающейся массы [17], [18]. Льюис ] 19] и Ван Стокум [20] получили стационарные аксиально- симметричные вакуумные решения, которые не являются асимпто-
7
тически плоскими. Однако в работах [21], [22] они успешно использовались для генерирования новых решений, обладающих' надлежащей асимтотикой.
Папапетру (23] и Лыоис [24] записали метрический интервал для стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля в канонической форме. Это позволило не ограничивая общности задачи упростить уравнения. В этой же работе [23] Папапетру нашел новый класс решений аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна. Позднее Ньюмен, Унти и Тамбурино (НУТ) [24] нашли решение из класса Папапетру, которое переходит в решение Шварцшильда. Поэтому некоторое время его рассматривали как стационарное обобщение решения Шварцшильда. Обсуждению его физического смысла были посвящены работы [25], [26]. Однако
решение НУТ не обладает свойством асимптотической плоскостности.
Как указывалось выше важнейшим стационарным решением явилось решение Керра [29]. Оно реально может описывать внешнее гравитационное поле стационарно вращающегося изолированного источника. Бойер и Линдквист |30] преобразовали это решение к виду, который дал возможность исследовать это решение известными методами.
Вейль [9] нашел класс решений статических уравненний Эйнштейна-Максвелла. Его называют классом электровакуума Вейля. Этот класс
содержит решение Райснера Нордстрема [б], [7]. Последнее описывает гравитационное поле массы, обладающей электрическим зарядом.
Боннор [57] впервые получил магнитостатические решения. Одно из них тоже принадлежит классу электровакуума Вейля и описывает гравитационное поле безмассового магнитного диполя. Второе решение Бошгора, полученное в этой работе, независимо было найдено Мелвином (57, 59] и носит название "магнитной Вселенной Мелвина". Теоремы, сформулир- ованные Боннором в работах [17| и [18], дали новое направление в генерировании точных решений уравнений Эйнштейна и уравнений Эйнштейна-Максвелла. Боннор показал, что чисто электростатическому решению уравнений Эйнштейна- Максвелла, которое определяет метрику и тензор электромагнитного поля, соотствует магнитостатическое решение с такой же метрикой и однозначно определенным тензором электромагнитного поля. Он также установил однозначное соответствие между внешними стационарными решениями и статическими решениями уравнений Эйнштейна- Максвелла. Боннором [19] было получено также магнитостатическое решение с двумя параметрами, которые можно было рассматривать как массу и дипольный магнитный момент. На бесконечности полученная метрика стремится к метрике Минковского, а электромагнитное поле к
- Київ+380960830922