Напряжённо-деформированное состояние и разрушение текстурированных поликристаллов и композитов

СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И АББРЕВИАТУР
ВВЕДЕНИЕ
I. УПРУГО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР)
1.1. ЭФФЕКТИВНЫЕ И ЛОКАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
1.2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СТРУКТУРЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ТЕКСТУРЫ, ЭФФЕКТИВНЫХ И ЛОКАЛЬНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИКРИСТАЛЛОВ
1.4. ТРЕ1ЦИНООБР АЗОВ А НИЕ, ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ, МОНОЛИТНОСТЬ И ПРОЧНОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
1.5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОПИСАНИЯ СТРУКТУРЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
II. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛОКАЛЬНОГО НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В СТАТИСТИЧЕСКИ
ОДНОРОДНЫХ МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТАХ
IIЛ. ВЛИЯНИЕ МИКРОСТРУКТУРЫ IIА ЛОКАЛЫ1ЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ НЕТЕКСТУРИРОВАННЫХ КОМПОЗИТАХ
II.2. ЛОКАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ УПРУГОГО ПОЛЯ В ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ НЕТЕКСТУРИРОВАННЫХ КОМПОЗИТАХ
И.З. ВЛИЯНИЕ МИКРОСТРУКТУРЫ НА ЛОКАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
П.4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ
з
III. ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ СО СЛОЖНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРОЙ 102
III. 1. ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ СВОЙСТВА
ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТОВ С НЕИЗОМЕТРИЧНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ 103
III. 1.1. ВЛИЯНИЕ ТЕКСТУРЫ ФОРМЫ И
КОНЦЕНТРАЦИИ ВКЛЮЧЕНИЙ НА ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТОВ
С НЕИЗОМЕТРИЧНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ 106
III. 1.2. ЗАВИСИМОСТЬ ПАРАМЕТРОВ АНИЗОТРОІІИИ ОТ ОТНОШЕНИЯ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ ВКЛЮЧЕНИЙ К УПРУГИМ МОДУЛЯМ МАТРИЦЫ 121
111.2. ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ КОМІ ЮЗИТОВ
С ОРИЕНТИРОВАННЫМИ НЕИЗОМЕТРИЧНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ 126
111.3. ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ 131
IV. КОМПЛЕКСНЫЙ ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ СТРУКТУРЫ И СВОЙСТВ РЕАЛЬНЫХ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СРЕД 140
IV. 1. ОБРАБОТКА ДАННЫХ ІЇЕЙТРОІЮГР АФИЧЕСКИХ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ И ЛОКАЛЬНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОЛИВИНИТОВ 141
IV.2. ВНУТРЕННЕЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ И ЛОКАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ УПРУГОГО ПОЛЯ ОЛИВИНИТОВ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ 151
IV.3. СТРУКТУРА ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
И НЕОДНОРОДНОСТЬ УПРУГИХ СВОЙСТВ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ЛЕГІТ АЛЮМИІІИЯ 160
V. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ 173
V. 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
РАЗРУШЕНИЯ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ 177
V.2. ВЕРОЯТІЮСТІЮ-СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ КОМПОЗИТОВ
ПРИ РАЗРУШЕНИИ 184
4
У.З. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАКОПЛЕНИЯ РАЗРЫВОВ
ВОЛОКСЯI в ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ КОМПОЗИТАХ 190
У.4. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДОКРИТИЧЕСКОГО РОСТА
ТРЕЩИНЫ В ОДНОНАПРАВЛЕННОМ КОМПОЗИТЕ 195
V.5. НЕЛОКАЛЬНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
ПРИ СТАТИЧЕСКОМ 11АГРУЖЕНИИ 199
VI. ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ СТЕКЛОПЛАСТИКОВ,
АРМИРОВАННЫХ ТКАНЫМИ МАТЕРИАЛАМИ 209
VI .1. ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ И ЭКСПЕРИМЕНТ АЛЫ 1ЫЕ МЕТОДИКИ ОЦЕНКИ ТРЕЩИ! ЮСТОЙКОСТИ МАТЕРИАЛОВ 210
VI.2. МОНОЛИТНОСТЬ СВЯЗУЮЩИХ И СТЕКЛОПЛАСТИКОВ, АРМИРОВАННЫХ ТКАНЫМИ МАТЕРИАЛАМИ 221
ВЫВОДЫ 227
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 230
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 259
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 267
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 287
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
291
5
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И АББРЕВИАТУР
а у, 8/у - компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно.
Сци 9 ~ компоненты тензоров упругости и податливости соответственно.
стп - матричная форма записи компонент тензора четвертого ранга с^к1. г - радиус-вектор.
> К у у (г) “ операторы концентраций полей напряжений и деформаций
соответственно.
5у - символ Кронекера.
При работе с тензорами используются правила Эйнштейна: по повторяющимся индексам ведется суммирование (например, £„• = с,, + е22 + £33); запятая в индексах обозначает дифференцирование по соответствующим координатам, стоящим после
/ - \
нес
например, /, = V,/ =
дх(,
иц у) - по индексам, заключенным в круглые скобки, проводится симметризация;
так«(и)=|(“и + “Лі)-
1уи - единичный тензор четвертого ранга, компоненты которого равны
Ууи - единичный объемный (шаровой) тензор четвертого ранга, компоненты
которого равны У^ = , кроме ТОГО Уут„Утпи = УуЫ, Ууы’штп = У9тп ■
О0у - единичный девиаторный тензор четвертого ранга, компоненты которого равны йук1 = 1у-и - Уук1, кроме того 0^птГ)тпк] = йуц, УіутпОтпк1 = 0, ОіуиІк[гпп = 0^тп.
5(г) - дельта-функция Дирака.
~~ сингулярная составляющая второй производной тензора Грина уравнений равновесия.
К - модуль всестороннего сжатия (объемный модуль).
6
р - модуль сдвига.
X - постоянная Ламе.
Значком «*» в верхнем индексе обозначаются эффективные характеристики.
Нижними индексами «в» и «м» в двухфазных матричных композитах обозначаются величины, относящиеся к включениям и матрице соответственно.
Верхним индексом «с» обозначаются характеристики однородного тела сравнения.
< а > - угловые скобки обозначают статистическое усреднение; для эргодических
сред оно совпадает с усреднением по пространству, для двухфазного композита
<а> = Vъаъ + умям (ув и ум - объемные концентрации фаз).
и' - центрированная случайная функция (величина), и' - и- <и> .
и - двумя штрихами в записи случайной величины обозначается разность
и” = и-ис.
Ах9 Ауу Л2 - коэффициенты анизотропии (упругой) в направлениях х, у и г соответственно.
£(г) - локальная плотность энергии упругого поля.
ПФ - полюсные фигуры.
ОМФ - обратные полюсные фигуры.
Ф,, Ф, Ф2 - утлы Эйлера (0 < ф!,ф2 < 2д, 0 < Ф < тг).
<7 = {ф,,Ф,ф2} - элемент группы вращений 80(3).
ФРО /(#) - функция распределения ориентаций кристаллографических осей кристаллитов.
С/”" - коэффициенты разложения ФРО.
Г™(я) ~ обобщенные шаровые функции.
Р/”п(х) - обобщенные функции Лежандра.
Метод ВЗР - метод высокоскоростного затвердевания (закалки) расплава.
Метод АЭ - метод акустической эмиссии.
КИН - коэффициент интенсивности напряжений.
К09 Кд - КИН при зарождении и страгивании трещины соответственно.
М- коэффициент- монолитности (сплошности).
7
ВВЕДЕНИЕ
Неоднородные материалы - поликристаллы и композиты - широко распространены в природе и повсеместно используются в технике. Это относится как к органическим и неорганическим веществам естественного происхождения, гак и к веществам, синтезируемым искусственно. В настоящее время вес в большей мере прогресс человечества базируется на переработке природных веществ и синтезе новых, обладающих различными полезными для использования свойствами. Получаемые материалы, как правило, представляют собой многокомпонентные поликристаллические системы и композиты. Для большинства из них характерно наличие текстуры, которая формируется в результате различного вида технологических операций, включая термообработку и механические воздействия. Идея управления текстурой, а соответственно, и свойствами материалов, лежит в основе современных наукоемких технологий материаловедения. В этой связи поликристаллические текстурированные материалы и композиты являются объектом интенсивных исследований физики и химии твердого тела.
Поликристаллические материалы находят широчайшее применение в микро-и наноэлектронике. Это тонкие поликристаллические пленки различного функционального назначения, многие из которых являются текстурированными. Освоение субмикронных и нанометровых технологий, дальнейшее уменьшение элементов интегральных схем требует глубоких знаний в области взаимодействия элементов неоднородности таких структур в интересах обеспечения воспроизводимости характеристик, надежности и долговечности работы изделий. Среди поликристаллов следует отметить и материалы, получаемые быстрой закалкой расплава (нового перспективного технологического направления). Тонкие текстурированные металлические ленты, микропроволока, микроиголки, тонкодиснерсные порошки применяются, например, в фильтрующих устройствах, в электротехнической промышленности. По своим потребительским свойствам и технологичности изготовления эти материалы заметно лучше аналогов, изготавливаемых по традиционным технологиям.
Текстура присутствует также в горных породах и в земной коре в целом, что в последнее время является предметом пристального внимания геофизики. Данные
8
о текстурном строении горных пород являются основой для интерпретации сейсмической анизотропии литосферы Земли, для реконструкции палеотектонических напряжений и деформаций в блоках и массивах земной коры, исследования механизмов подготовки землетрясений и многих других геологических и геофизических задач.
Композиционные материалы, обладающие большой удельной прочностью, жесткостью, коррозионно- и теплостойкостью, хорошими диэлектрическими свойствами, простотой технологических процессов изготовления, возможностью широкого варьирования свойств, находят вес большее применение во многих отраслях промышленности, особенно в машиностроении, на транспорте, химической промышленности, радиотехнике, электронике, где традиционные материалы в некоторых случаях неприменимы. В силу ряда преимуществ изготовления все более широкое использование получают не только хаотически армированные композиты, но и текстурированные (например, волокнистые или армированные ткаными материалами).
При изготовлении и эксплуатации композитов по причине термоупругой несовместимости исходных компонентов и особенностей технологий происходит возникновение трещин, раковин, расслоений и других дефектов, инициирующих процессы зарождения и распространения трещин, приводящих к разрушению материалов. Поэтому основным требованием при создании композитов должно являться требование их высокой трещиностойкости и монолитности. При этом необходимо учитывать влияние эксплуатационных факторов на способность материалов сопротивляться зарождению и распространению в них трещин. Для ориентированных и хаотически армированных композитов, исходя из знания упруго-прочностных характеристик исходных компонентов, имеются методики расчета и экспериментальной оценки параметров прочности и трещиностойкости. Однако практически отсутствуют методики определения способности неоднородных материалов сопротивляться зарождению в них трещин.
Одним из наиболее общих подходов к проблеме разрушения композиционных материалов является, как показывают многочисленные исследования, подход, основывающийся на использовании кинетических моделей. Эти модели связывают скорость накопления повреждений с действующими
9
нагрузками и условиями окружающей среды. Такой подход позволяет учесть нестационарный процесс нагружения, накопление отдельных повреждений, их слияние в магистральную трещину и ее дальнейшее развитие. Причем на первый план здесь выдвш'аются вероятностно-статистические методы анализа. Применение подобных моделей на практике являегся достаточно простым и удобным, поскольку они дают наглядные количественные критерии оценки прочностных свойств материалов.
Следует отметить, что, несмотря на огромную важность экспериментальных методов исследований, при поиске новых, обладающих нужными свойствами текстурированных материалов, все большую значимость в настоящее время приобретают фундаментальные теории прогнозирования и расчета свойств поликристаллов и композитов. Это обусловлено тем, что в многокомпонентных системах приходится проводить большую экспериментальную работу', которая требует колоссальных затрат времени, материальных и финансовых ресурсов. При этом нет уверенности, что будет получено оптимальное решение. Фундаментальные теории обеспечивают качественную оценку и позволяют производить количественные расчеты основных определяющих свойств многокомпонентных текстурированных поликристаллов и композитов. К таким свойствам относятся эффективные материальные (в частности, упругие) и локальные полевые (например, локальные значения тензоров напряжений и деформаций) характеристики. Методы определения эффективных материальных и локальных полевых характеристик текстурированных поликристаллов и композитов являются инструментом разработки и оптимизации новых наукоемких технологий. При этом ключевой проблемой при использовании этих методов является учет в той или иной форме взаимодействия элементов неоднородности друг с другом. Описание такого взаимодействия с теоретической точки зрения требует использования интегральных операторов, при этом решение имеет вид некоторого функционала. Более того, стохастический характер структуры материала приводит к необходимости использования либо соответствующих параметров распределения, либо введения ограничений, например, однородности полей деформаций и напряжений в пределах отдельного элемента неоднородности. Использование таких подходов дает возможность связать локальные напряжения и
10
деформации с приложенными внешними напряжениями посредством операторов концентраций упругих полей и вычислить эффективные материальные характеристики текстурированных поликристаллов и композитов. Разработка методов расчета эффективных и локальных упругих характеристик неоднородных материалов обеспечивает: возможность прогнозирования их свойств на основе знания свойств исходных компонентов и текстуры; ведение целенаправленного поиска новых материалов, обладающих необходимыми для потребителя свойствами; выработку рекомендаций для технологий изготовления тсксгурированных материалов.
Большой вклад в развитие теории, методов расчета и экспериментального исследования поликристаллов и композитов, анализа их эффективных и локальных характеристик, математического описания текстуры внесли В.В. Болотин, Г. Бунге, A.C. Вавакин, Г.А. Ванин, A.C. Виглин, А. Гриффитс, Г. Ирвин, Д. Дагдейл, Т. Екобори, С.К. Канаун, М.З. Канович, Э.М. Карташов, В.И. Колесников, Е. Кренер, Р. Кристенсен, И.А. Кунин, В.М. Левин, В.А. Ломакин, Б.П. Маслов,
3. Матхиз, Н.Ф. Морозов, А.Н. Никитин, В.З. Партон, Б.Е. Победря, А. Ройсс, Т.И. Савелова, Р.Л. Салганик, Дж. Сендецки, В. Фойгт, А.Г. Фокин, 3. Хашин, Р. Хилл, Л.П. Хорошун, Г.П. Черепанов, Т.Д. Шермергор, 3. Штрикман, Дж. Эшелби, В.Б. Яковлев и многие другие. Вместе с тем, проблемы прогнозирования, расчета и оптимизации свойств неоднородных материалов на этапах их создания, а также проблемы оценки способности материалов сохранять функциональные свойства при различных условиях нагружения и воздействия условий внешней среды, актуальны и далеки от полного завершения.
Целью настоящей работы является развитие теоретических представлений и методов расчета физико-механических свойств неоднородных материалов, что включает: исследование и анализ взаимодействий элементов неоднородности в текстурированных поликристаллах и композитах для определения их локального напряженно-деформированного состояния и получения эффективных упругих характеристик; построение вероятностных моделей разрушения матричных композитов; разработку методов определения параметров разрушения композитных материалов. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
11
- составить численные алгоритмы и разработать программное обеспечение для расчета эффективных и локальных упругих характеристик тскстурированных поликристаллов и композитов;
- провести анализ взаимодействий элементов неоднородности в текстурированных поликристаллах и композитах стохастической структуры, основанный на теории случайных полей, для определения их локального напряженно-деформированного состояния;
- осуществить исследования эффективных упругих характеристик сред сложного состава и характера армирования, опирающиеся на метод случайных полей;
- разработать стохастические модели разрушения однонаправленных матричных композитов, основанные на теории случайных процессов и использующие аппарат производящей функции;
- разработать метод определения параметров разрушения тканых композитных материалов, основанный на регистрации потока актов акустической эмиссии, и провести комплексный теоретико-экспериментатьный анализ этих характеристик.
Научная новизна. В работе решены следующие задачи:
- разработан метод, основанный на теории случайных полей и анализе операторов концентраций напряжений и деформаций в объеме неоднородного материала, опираясь на который получены расчетные соотношения для определения локальных полей напряжений и деформаций в зависимости от среднего расстояния между армирующими элементами в двух компонентных нетекстурированных и волокнистых однонаправленных композитах;
- предложен метод прогнозирования и расчета напряженного состояния на границе макрообъема двухкомпонентного нетекстурированного композитного материала в результате воздействия термодинамических факторов, опирающийся на обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей;
- разработаны методы анализа и расчета эффективных упругих свойств многофазных матричных композитов, основанные на теории случайных полей и позволяющие учитывать характер армирования неизомстричными
12
включениями и пространственную неоднородность размещения в объеме материала изомстричных включений;
- на основе нейтроно- и рентгенографических данных о кристаллографической текстуре проведен комплексный теоретический анализ взаимосвязи эффективных и локальных упругих характеристик оливинитов естественного происхождения и тонких алюминиевых лент, полученных методом высокоскоростного затвердевания расплава, с условиями их формирования;
- предложена статистическая модель расчета локального напряженно-деформированного состояния однонаправлено армированных композитов при их разрушении, получены теоретические соотношения, основанные на анализе операторов концентраций напряжений и деформаций;
- построены стохастические локальные и нелокальные модели накопления повреждений и развития грещин в волокнистых композитах, опирающиеся на экспериментальные данные, для каждой из модельных задач предложены методы получения аналитических решений, основанные на использовании аппарата производящей функции и удовлетворяющие начальным и граничным условиям;
- разработан метод получения параметров разрушения тканых композитов, основанный на регистрации потока актов акустической эмиссии, позволяющий определять способность неоднородных материалов сопротивляться зарождению и распространению в них трещин; проведен комплексный теоретикоэкспериментальный анализ параметров трещиностойкости и монолитности тканых стеклопластиков на основе полимерных связующих; выявлены основные закономерности взаимосвязи параметров трещиностойкости и монолитности, а также влияние на них влаги как важнейшего эксплуатационного фактора.
Для проведения исследований было разработано программное обеспечение (в пакете прикладных программ «MATLAB») для расчета и анализа сгруктурно чувствительных свойств исследуемых материалов.
Практическая значимость работы заключается в возможности применения разработанных методов, полученных теоретических результатов и созданного программного обеспечения для исследования свойств широкого класса реальных
13
поликристаллических текстурированных материалов и композитов, а именно:
- прогнозирования и расчета эффективных и локальных упругих характеристик новых неоднородных материалов;
- определения эффективных и локальных упругих характеристик реальных поликристаллов и композитов;
- прогнозирования прочности и получения параметров разрушения композитных материалов.
Методы расчета и созданное на их основе программное обеспечение было использовано для прогнозирования эффективных физико-механических свойств композиционных прессматсриалов и оптимизации технологического процесса их изготовления (договор № 795 но заказу ОАО «РЖД», локомотивное депо «Россошь»). Из разработанных ирессматериалов были изготовлены и установлены для эксплуатационных испытаний опытные скользуны боковых опор электровоза ЧС-4т №424 (пробег более 50 тыс. км), что подтверждено актом о внедрении, представленным в приложении диссертации.
Достоверность полученных результатов основывается на корректности постановок решаемых задач, использовании многократно проверенных экспериментальных методик и проверялась при помощи предельного перехода к известным решениям и сопоставлением с экспериментальными данными, полученными на современном аналитическом оборудовании с использованием общепринятых методов их обработки.
Публикации. По результатам проведенных исследований опубликовано 59 научных работ, из них 28 статей в отечественных и зарубежных научных журналах, 18 статей и 13 тезисов в материалах российских и международных кошрессов, симпозиумов, конференций и семинаров. В том числе 12 статей из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации и рекомендованных ВАК для публикаций основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук. Без соавторов опубликовано 15 научных работ.
Апробация работы. Результаты диссергационной работы докладывались на российских и международных конгрессах, симпозиумах, конференциях и
14
семинарах: «Бернштейновские чтения по термомеханической обработке
металлических материалов» (Москва, МИСиС, 2001), «Прочность неоднородных структур» (Москва, МИСиС, 2002 и 2004), «II совещание но исследованиям на реакторе ИБР-2» (Дубна, ОИЯИ, 2002), «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, ВГУ, 2002), «V World Congress on Computational Mechanics» (Vienna, Austria, 2002), «Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении» (Астрахань, АГПУ, 2002), «Электроника и информатика» (Москва, МИЭТ, 2002 и 2005), «Механика и трибология транспортных систем» (Ростов-на-Дону, РГУПС, 2003), «Наука, техника и высшее образование» (Ростов-на-Дону, МГГА, 2004), «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, УлГТУ, 2004), «Микроэлектроника и информатика» (Москва, МИЭТ, 2004), «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, ИПУ РАН, 2004), «Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники» (Таганрог, ТГРТУ, 2004 и 2006), «Механизмы внедрения новых направлений науки и технологий в системы образования» (Москва, МГИУ,
2004), «Быстрозакаленные материалы и покрытия» (Москва, МАГИ, 2004), «9-я научная конференция молодых ученых и специалистов» (Дубна, ОИЯИ, 2005), «Фракталы и прикладная синергетика» (Москва, ИМЕТ РАН, 2005), «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкг-Петербург, 2006 и 2007), «Деформация и разрушение материалов» (Москва, ИМЕТ РАН, 2006).
Работа в данной области была поддержана двумя фантами «Соросовский учитель» (1998, 2001), фантом «Соросовский доцент» (2001), двумя «Грантами Москвы» в области естественных наук (2001) и в области наук и технологий в сфере образования (2002). Результаты исследований были использованы в НИР 327 - ГБ - 53 - Б (2002-2004), НИР 654 - ГБ - 53 - Б (2005-2007).
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Метод определения локальных полей напряжений и деформаций в зависимости от среднего расстояния между армирующими элементами в двухкомпонентиых нстскстурировапных и волокнистых однонаправленных композитах,
15
основанный на анализе операторов концентраций напряжений и деформаций в объеме неоднородного материала.
2. Метод анализа напряженного состояния на границе макрообъема двухкомпонентного нетекстурированного композитного материала в результате термодинамических воздействий, опирающийся на обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей.
3. Методы прогнозирования и расчета эффективных упругих характеристик многофазных матричных композитов, основанные на теории случайных полей и позволяющие учитывать характер армирования псизомстричными включениями и пространственную неоднородность размещения в объеме материала изометричных включений.
4. Результаты комплексного теоретического анализа взаимосвязи эффективных и локальных упругих характеристик оливинитов естественного происхождения и тонких алюминиевых лент, полученных методом высокоскоростного затвердевания расплава, с условиями их формирования, опирающиеся на нейгроно- и рентгенографические данные о кристаллографической текстуре.
5. Метод расчета локального напряженно-деформированного состояния одноиаправлено армированных композитов при их разрушении, основанный на анализе операторов концентраций напряжений и деформаций.
6. Стохастические локальные и нелокальные модели накопления повреждений и развития трещин в волокнистых композитах, опирающиеся на экспериментальные данные и включающие аналитические методы их решения, основанные на использовании аппарата производящей функции и удовлетворяющие начальным и граничным условиям.
7. Метод получения параметров разрушения тканых композитов, основанный на регистрации потока актов акустической эмиссии, позволяющий определять способность неоднородных материалов сопротивляться зарождению и распространению в них трещин, а также комплексный теоретикоэкспериментальный анализ параметров трещиностойкости и монолитности тканых стеклопластиков на основе полимерных связующих; выявляющий основные закономерности взаимосвязи параметров трещиностойкости и
16
монолитности, а также влияние на них влаги как важнейшего эксплуатационного фактора.
Личный вклад автора. В основу диссертации легли результаты исследований, выполненных непосредственно автором. Исследования комплексного характера проводились по инициативе автора в рамках договоров о творческом сотрудничестве с Лабораторией нейтронной физики им. И.М. Франка Объединенного института ядерных исследований, ОАО «ІЇГІО Стеклопластик», Ростовским государственным университетом путей сообщения и Московским авиационно-технологическим институтом им. К.Э. Циолковского. Постановка задач, их решение, анализ и обобщение результатов осуществлялись лично автором. В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежит идея, численный расчет и активное участие в анализе полученных результатов. Ряд результатов, вошедших в диссертацию, получен в соавторстве с
В.И. Колесниковым, М.З. Кановичем, В.Б. Яковлевым, А.П. Сычевым,
А.Н. Никитиным, М.М. Серовым, А.Т. Никифоровым, которым автор благодарен за сотрудничество.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, выводов, 4 приложений и библиографии, содержит 292 страницы текста, включая 102 рисунка и 30 таблиц. Список литературы включает 453 наименований. В пределах каждой главы принята тройная нумерация (через точки) формул, таблиц и рисунков: первая римская цифра указывает на номер главы, вторая латинская цифра - на номер раздела в данной главе, третья латинская - на номер формулы (таблицы, рисунка) в разделе. Мри ссылках на формулы, таблицы и рисунки всегда указывается эта тройная нумерация. В пределах каждого приложения и при ссылках на их таблицы и рисунки принята двойная нумерация: спереди ставится прописная русская буква «П» с латинской цифрой, соответствующей номеру приложения, а вторая (через точку) латинская цифра указывает на номер таблицы (рисунка) внутри приложения.
17
I. УПРУГО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ (ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР)
1.1. ЭФФЕКТИВНЫЕ И ЛОКАЛЫ1ЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Неоднородные материалы состоят обычно из нескольких, в общем случае анизотропных компонентов, имеющих четкую границу раздела друг с другом и формирующих микроструктуру материала, которую часто представляют в виде элементов неоднородносги, регулярно или случайно расположенных в пространстве. Наличие элементов неоднородности приводит к значительным вариациям их физико-механических свойств. Неоднородные материалы (поликристаллы и композиты) имеют следующие характерные особенности структуры [258]. Первое - наличие большого количества структурных элементов (волокон, слоев, частиц), характерные размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с размером исследуемого тела. В связи с этим подобные материалы называют также структурно-неоднородными или микронеоднородными средами. Второе - характерные размеры структурных элементов существенно превосходят молекулярные. В результате этого поведение структурных элементов описывается уравнениями механики сплошной среды. Этим они отличаются от сплавов и химических соединений, в которых структурные элементы смешиваются на молекулярном или атомном уровне. Третье - отдельно взятый структурный элемент полагают структурно-однородным. Это дает возможность решать задачи, например, по определению эффективных и локальных упругих характеристик в рамках теории упругости с разрывными коэффициентами.
Постановка и решение конкретных задач для неоднородных сред требует более детальной конкретизации их структуры. В связи с этим целесообразно введение классификации относительно их структурных элементов по следующим признакам (рис. 1.1.1): 1) связность; 2) форма; 3) пространственное расположение; 4) ориентация; 5) относительные размеры.
18
Связность
Матричные
Каркасные
СТРУКТУРА НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Поликристаллы
Форма
Зернистые
- Волокнистые
Расположение
Регулярное
Нерегулярное
Слоистые
керамика
Пространственно однородные ч
Пространственно неоднородные Ч
Ориентация
Формы зерна
Кристаллогра-
фическая
Размеры
Макро
- Микро
Нано
Молекулярные
композиты
Рис. 1.1.1. Классификация неоднородных материалов
По характеру связности структурных элементов выделяют три вида неоднородных материалов. К первому относятся матричные, в которых один из компонентов представляет собой матрицу, а другие - включения (рис. 1.1.2, а). Для них характерно то, что при нулевой жесткости включений неоднородный материал представляет собой пористый материал с закрытыми порами. Если нулевую жесткость имеет материал матрицы, то вся среда представляет собой систему независимых элементов. Ко второму виду относятся каркасные, или взаимопроникающие (рис. 1.1.2, б), каждый компонент которых представляет собой монолитный каркас. При нулевой жесткости любого из компонентов материал не распадается на изолированные элементы, а представляет собой пористый материал с открытыми порами. К третьему виду относят однофазные поликристаллы, у которых структурные элементы являются одним и тем же анизотропным веществом, но с различной ориентацией главных осей анизотропии (рис. 1.1.2, в). Также могут быть структуры, являющиеся комбинациями перечисленных и занимающие промежуточное положение.
19
а
Рис. 1.1.2. Модели структур, различающихся по связности элементов
неоднородности: а - матричная; б - каркасная; в - поликристаллическая
Важную роль в современной науке и технике среди поликристаллов играют керамики. Под традиционным термином «керамика» сегодня понимают любые ноликристаллические материалы, получаемые спеканием неметаллических порошков природного или искусственного происхождения, которые иногда делят на две группы: консгрукционную и функциональную. Конструкционной называют керамику, используемую для создания механически стойких конструкций, а функциональной - керамику со специфическими элекгрическими, магнитными, оптическими и термическими функциями. Важнейгггими компонентами современной керамики являются оксиды алюминия, циркония, кремния, бериллия, титана, магния, нитриды кремния, бора, алюминия, карбиды кремния и бора, их твердые растворы и разнообразные композиты [181].
Исходя из характерной формы структурных элементов и их относительных размеров, неоднородные материалы можно подразделить на зернистые (рис. 1.1.2, а\ волокнистые (рис. 1.1.3, а) и слоистые (рис. 1.1.3, б). К зернистым ошосятся неоднородные материалы, у которых характерные размеры структурных элементов имеют один порядок в грех измерениях, т.е. имеют форму зерен, гранул или чешуек. При этом каркасные структуры следует отнести к зернистым материалам, если характерные расстояния между двумя соседними границами раздела компонентов имеют один порядок в трех направлениях. Если характерные размеры структурных элементов в одном направлении значительно превосходят их размеры в двух других, то такие материалы называют волокнистыми. В случае,
20
когда характерные размеры структурных элементов в одном из направлений значительно меньше, чем в двух других, то такие материалы относят к слоистым.
х<ГТ
1
а
б
Рис. 1.1.3. Модели структу р, различающихся по форме элементов неоднородности:
а - волокнистые; б - слоистые
По харакгеру расположения структурных элементов неоднородности материалы мог>т быть двух видов: с регулярной (детерминированной) и с нерегулярной (стохастической) структурой. В первом случае структурные элементы имеют, как правило, правильную геометрическую форму (например, форму шара) и регулярный порядок расположения в просгранстве вдоль любого выбранного направления. У стохастических структур расположение элементов носит случайный характер, их форма может быть произвольной. Для таких материалов можно выделить два вида структур: первый, характеризующийся однородностью расположения элементов структуры в пространстве материала и, второй, характеризующийся пространственной неоднородностью.
Свойства композитных и поликристаллических материалов, как правило, различаются в зависимости от направления. Это обусловлено рядом различных факторов, важнейшим из которых является ориентация элементов неоднородности. Анизотропия свойств возникает в силу пространственной неоднородности расположения включений в матрице, ориентации и формы зерен неоднородности (для композитов); кристаллографической текстуры, текстуры ориентации и формы кристаллитов (для поликристаллов).
При рассмотрении поликристаллических материалов с анизотропными кристаллитами, как правило, приходится учитывать, что кристаплиты
2!
ориентированы друг относительно друга (т.е. относительно своих главных кристаллографических осей). Это приводит к возникновению так называемой кристаллографической текстуры, количественно описываемой функцией распределения кристаллографических осей кристаллитов (ФРО) [86,296,380-382]. В случае равновероятных ориентаций кристаллитов (ФРО равняется единице) материал характеризуется изотропией физико-механических свойств. Иначе в материале существуют выделенные направления, свойства вдоль которых отличаются от его свойств в других направлениях. При рассмотрении кристаллических элементов структуры следует учитывать и их форму, которая не всегда является изометричной, поскольку вследствие механических или иных воздействий кристаллиты ориентируются в пространстве не только кристаллографическими осями, но и как геометрические неизометричные фшуры. Однако ФРО не может быть получена непосредственно из эксперимента, можно измерить только ее интегральные проекции, называемые полюсными фигурами (ПФ) и представляющие собой интенсивности дифракционных отражений от определенных кристалло1рафических плоскостей кристаллитов. При этом основной задачей количественного текстурного анализа является вычисление ФРО, имея конечное число полученных из эксперимента ПФ. Наибольшее распространение при решении этой задачи в приложениях получили методы Роу-Бунге [296,297,413] и аппроксимации ФРО стандартными функциями [213-215,293,398].
В работах Роу и Бунге [296,297,413] был предложен метод вычисления ФРО, состоящий в представлении ее в виде ряда по обобщенным шаровым функциям, и ПФ - в виде ряда по сферическим функциям. Однако ФРО принципиально не может быть однозначно определена но ПФ (Матхиз и др. [380-382]). Даже если известны все теоретически возможные ПФ, можно получить лишь «половину» набора коэффициентов разложения ФРО в ряд по обобщенным шаровым функциям - только коэффициенты при четной составляющей данного разложения. Это и объясняет тог факт, что использование метода Роу-Бунге иногда, особенно для поликристаллов высоких симметрий, приводит к неправдоподобным результатам при вычислении физико-механических свойств поликристаллов (ложные максимумы, отрицательные значения).
22
В последнее время был развит ряд методов, которые при дополнительных предположениях о ФРО позволяют достичь единственности решения задачи восстановления ФРО по ПФ, вводя априорные предположения о структуре ФРО. К этим методам относятся методы аппроксимации ФРО нормальными распределениями на группе 80(3) (Бунге [296]). Болсс строгим подходом является построение ФРО на основе центральной предельной теоремы теории вероятностей. Указанный подход был использован в работах (Савелова и др. [213-215,293,398]), где рассматривались центральные нормальные распределения. Эти представления ФРО были использованы в работах (Хелминг [253], Николаев и др. [398], Бухарова и др. [293]) для расчета свойств поли кристаллических материалов различных симметрий. Однако следует отметить, что для поликристаллов низких симметрий метод Роу-Бунге не приводит к неправдоподобным результатам. Кроме того, этот мегод проще метода аппроксимации ФРО центральными гауссовскими распределениями.
С совершенствованием технологий и методов исследований было отмечено, что уменьшение зерна неоднородности зачастую приводит к новым, необычным и крайне полезным свойствам. Например, в металловедении разработана целая научно и экспериментально обоснованная отрасль знаний - технология внесения модификаторов. Целью этой технологии является улучшение физико-химических свойств сплавов металлов, происходящее, в частности, благодаря уменьшению размеров кристаллитов [181]. В результате возник термин - микрокристаллические материалы (к ним относят материалы с размером зерна от 0,5 до 100 мкм).
Дальнейшее совершенствование технологий привело к понятию наноматериалов. Впервые понятие о наноматериалах, т.е. материалах с размером зерна на уровне 1 + 100 нм, было сформулировано Глейтером [324,8,78,181], который ввел и сам термин. В дальнейшем этот термин лрансформировался в наноструктурные материалы (а также наиофазные, нанокомпозитные и т.д.). Основой этого понятия и направления является представление о решающей роли многочисленных поверхностей раздела в наноматериалах, как основе для существенного изменения свойств твердых тел. В соответствии с этими принципами размер зерен в наноматериалах определялся в интервале нескольких
23
нанометров, т.е. в интервале, когда доля поверхностей раздела в объеме всего материала составляет примерно 50 % и более.
В конце 70-х годов возникла идея создания молекулярных композитов, построенных из гибкой полимерной матрицы и жестких, тоже полимерных, волокон [181]. Ожидалось, что по сравнению с традиционными материалами в этих композитах не будет внутренних дефектов в усиливающих жестких элементах, проявятся больший усиливающий эффект (за счет высокого отношения длины жесткого сегмента к его сечению), высокая адгезия между матрицей и волокном, другие преимущества. Все это могло обеспечить существенное улучшение механических и тепловых свойств материала при сохранении его перерабатываемое™. В начале 80-х годов молекулярные композиты пытались получать, смешивая растворы жесткого и гибкого полимеров [181]. Оказалось, что фазовое поведение полимерного раствора жестких стержнеобразных молекул и гибкой матрицы зависит от энтропии смешения. Если она неблагоприятна, происходит микрофазное разделение компонентов, резко уменьшается объемная доля изотропной фазы по мере увеличения длины жестких сегментов. В результате значительно снижается усиливающий эффект по сравнению с системами, в которых жесткие сегменты распределены по всему объему матрицы случайным образом. Другим примером молекулярных композитов можно считать появившиеся в последнее время матричные композиционные материалы, где в качестве включений используются диспергированные молекулы фуллеренов и углеродные нанотрубки.
Исходя из проведенной детализации структуры неоднородных материалов, следует, что при рассмотрении материалов в некотором достаточно малом масштабе можно считать, что все они неоднородны. Если материалы рассматривать на уровне атомов и молекул, то задача описания их свойств становится неразрешимой. Для преодоления этих сложностей вводится гипотеза сплошной среды (континуума) [83,146,274]. Данная гипотеза включает в себя процедуру статистического усреднения, посредством которой действительное состояние и структура материала идеализируются таким образом, что материал считается сплошной средой. Это предположение связано со свойствами, определяющими деформируемость среды, которые отражают усредненные, неизбежно очень
24
сложные, взаимодействия на уровне атомов и молекул.
В рамках гипотезы континуума в соответствии с масштабной классификацией элементов неоднородного материала возможны зри уровня его описания: 1) макроструктур пая; 2) микроструктурная; 3) су бм икроструктурная. В соответствии с этим возможна следующая классификация физических свойств материалов. Свойства первого рода (макроскопические) экспериментально определяются на композитных образцах, характерные размеры которых достаточно велики но сравнению с размерами частиц микроструктуры (например, кристаллических зерен в случае однокомпонентных поликристаллов). При таком рассмотрении модели континуума становится уместной концепция эффективной гомогенности. Считают, что присущие неоднородной среде характерные свойства одинаковы во всех точках среды. Свойства второго рода (микроструктуриые) изучают на монокристаллах или на элементах структуры неоднородных материалов. Свойства третьего рода относятся к объектам, размеры которых малы по сравнению с размерами микроструктуры (границам зерен неоднородности, дислокациям и т.п.). Следовательно, под неоднородностью материалов понимают или непрерывное изменение свойств последних от точки к точке, или их скачкообразное изменение при переходе через границу раздела фаз. В дальнейшем изложении будут рассматриваться материалы с неоднородностью второго типа, когда компоненты имеют границу.
Расчет напряженно-деформированного состояния неоднородного композитного материала, состоящего из идеально связанных между собой линейно-упругих компонентов, сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений теории упругости [82,163,269]. Для большого количества неоднородностей (более 1000) решение этой краевой задачи в трехмерной постановке для композиционных материалов со случайным расположением и ориентацией включений друг’ относительно друга представляет собой практически неразрешимую, даже численно, проблему. Однако во многих случаях для описания непредельных свойств неоднородного материала, имеющего большое количество включений, средний размер которых много меньше характерного макроразмера, детальное знание физико-механических полей не является необходимым. При нс слишком сильных внешних воздействиях (в
25
частности, при нагрузках, далеких от разрушающих) композитный материал с большой степенью точности ведет себя как гомогенная среда с некоторыми однородными в масштабе всего материала, а именно, эффективными свойствами.
Задача по определению эффективных свойств неоднородных материалов содержит ряд отдельных проблем. Во-первых, это анализ взаимодействия отдельного элемента неоднородности с ею окружением. Сюда входит анализ ориентации кристаллографических осей включений друг относительно друга, относительной формы последних, пространственного расположения компонентов материала (характер армирования). Во-вторых, это решение проблемы усреднения свойств, которое можно проводить двумя способами. Первый способ усреднения состоит в интегрировании по объему. Например, для тензора напряжений эта процедура принимает следующий вид:
где в качестве элемента объема V следует брать область, достаточно большую по сравнению с характерным размером элемента неоднородности. Второй способ состоит в усреднении по совокупности однотипных ситуаций (по ансамблю). В тех случаях, когда эти средние совпадают, имеет место условие эргодичности [83,269]. При рассмотрении поликристаллов, как правило, принимается, что свойства неоднородного материала зависят лишь от ориентации кристаллографических осей кристаллитов. Тогда усреднение сводится к интегрированию только по всевозможным углам Эйлера ф1, Ф и ср2 (0 < ф,,ф2 < 2тг, 0<Ф<7с), определяющих их ориентацию относительно лабораторной системы координат. Для некоторой величины д(ф|,Ф,ф2) эта процедура имеет вид [269,274]
где /(Фі,Ф,Фг) - ФРО. В-третьих, необходимо решить проблему упрощения решения для того, чтобы окончательные выражения для расчета эффективных характеристик могли быть с успехом применены для расчетов конкретных материалов.
Существует целый ряд подходов к определению эффективных свойств. Обстоятельные обзоры по данной теме можно найти, например, в работах Хашина
ал.!)
я 2я 2л
26
[330-332], Кристенсена [301], Немат-Нассера и Хори [393], Качанова [350,351], Дыскина и Германовича [309], Фокина и Шермергора [243-246] и др.; теоретические основы - в книгах Берана [285], Муры [392], Ломакина [162,163], Шермергора [269], Победри [205], Канауна и Левина [117] и др. Остановимся на этих подходах подробнее.
Наиболее общий подход к определению эффективных упругих свойств неоднородной среды состоит в определении возможных пределов изменения этих свойств, исходя из вариационных принципов. Исторически усреднения Фойгта [428] и Ройсса [411] были первыми моделями, позволяющими строго оценить верхнюю и нижнюю границы эффективных констант. Вариационный метод вычисления эффективных модулей упругости был предложен Хашиным и Штрикманом [333-335]. В последующем он развивался в работах [4,50,102,113,285,286] и др. Метод, как показал Хилл [337-341], базируется на принципе минимума дополнительной энергии. Было доказано, что наилучшими возможными границами, которые не могут быть далее улучшены, являются границы (вилка) Хашина-Штрикмана. Однако область эффективного применения данного подхода ограничена композитами, свойства фаз которых близки. Для случая пустот (включений с нулевым модулем упругости) данные оценки дают тривиальные результаты (Качанов [350,351]), т.с. верхняя оценка для модуля соответствует сплошному материалу, а нижняя - материалу, потерявшему несущую способность (с нулевым модулем). Подобные результаты имеют место также для абсолютно жестких включений (вилка простирается от модулей, равных модулям матрицы, до бесконечных модулей). В случае, когда имеется какая-либо дополнительная информация о статистическом распределении фаз, данные границы могут быть сужены (Хашин [330], Беран и др. [286], Милтон и др. [387], Торквато [423,426]).
Для матричных композитов обычно применяется подход, связываемый с работами Эшелби [310-312] и основанный на решении задачи об одиночном включении. Наиболее простым является метод невзаимодействующих неоднородностей, в рамках которого предполагается, что каждое включение ведет себя так, как если бы оно было единственным в бесконечной среде матрицы, при этом любыми взаимодействиями между включениями пренебрегают. Конкретные
27
типы конфигураций рассматривались многими авторами: сферические частицы -Кривоглазом и Черевко [144], Валполом [434], Виллисом и Актоном [446]; эллипсоида!ьные включения (волокна и диски) - Коваленко и Салгаником [126], Куниным и Сосниной [152,153], трещины, которые могут быть рассмотрены, как включения с нулевыми модулями и нулевой толщиной, - Бристовом [290], Салгаником [217], Будянским и О’Конеллом [295,400], Гарбином и Кноповым [318-320]; сферические пустоты - Вавакиным и Салгаником [73,74], Нсмат-Нассером и Тайей [395,396], эллипсоидальные - Чоу [300], Вакашимой и др. [429], Яковлевым и Шермергором [272].
Для оценки влияния концентрации включений существует несколько подходов, объединенных под названием «вириальное разложение». В работах Кривоглаза и Черевко [144], Торквато [423], Германовича и Дыскина [322,323] показано, что зависимость эффективных характеристик композита, образованного матрицей и включениями, может быть получена в виде ряда по концентрации включений, причем коэффициент при главном члене данного разложения зависит от отношения модулей матрицы и включений, от формы и ориентации частиц. Данный член пропорционален концентрации и соответствует приближению невзаимодействующих частиц. Коэффициенты при старших членах зависят также от характеристик статистического распределения частиц, таких, как распределение по размерам, распределение по взаимному расположению и ориентации. Вследствие этого коэффициенты, полученные различными авторами (Валпол [434], Виллис и др. [446]), отличаются друг от друга в зависимости от характера данных статистических зависимостей, принятых авторами. Упомянутые результаты относятся к наиболее простому случаю сферических включений. Попытки получения коэффициента при втором члене разложения в более сложных случаях приводят к большим трудностям. Некоторые частные случаи были рассмотрены Германовичем и Дыскиным [99,322,323], Торквато [423].
Эффективные упругие модули могут быть получены путем рассмотрения полного набора вероятностных функций, описывающих распределение элементов неоднородности. Эти функции могут быть представлены как набор вероятностных моментов (так называемый метод моментов). В предположении, что все вероятностные моменты известны, задача может быть сведена к вычислению