Содержание
Введение 3
I Спонтанное нарушение симметрии в N = 1 супергравитации 16
1. Модель с геометрией 8и(1,п)/Ви(п)$и(1) 17
1.1 .. Описание модели.................................. 17
1.2 Исследование спектра масс........................... 21
2. Модель с геометрией 0(2,п)/0(п)®0(2) 25
2.1 Описание модели..................................... 25
2.2 Исследование спектра масс........................... 26
II Модели N = 2 супергравитации, основанные на несимметрических кватернионных многообразиях 31
3. Симметрии и лагранжианы 31
3.1 Классификация несимметрических кватернионных многообразий ..........................................•...... 31
3.2 /^-модель........................................... 32
3.3 И7' (р. <7)—модель.................................. 38
3.4 К(р, 0)-модель ................................... 42
3.5 У(р, <?)-модель .................................... 44
4. Калибровочное взаимодействие 51
4.1 Векторные мультиплеты............................... 52
4.2 ТК(р, д)-модель..................................... 54
4.3 У(р,я)- модель ................................... 56
III Модели N = 2 супергравитации с калибровочными группами Каца-Муди 63
1
5. Нарушение калибровочной симметрии Каца-Муди G5
6. N = 2 суперсимметричная модель G9
7. Модель N = 2 супергравитации 72
IV Дуальные версии и нарушение суперсимметрии 79
8. Спонтанное нарушение суперсимметрии в N = 3 супергравитации с материей 79
8.1 N = 3 супергравиташгя с векторными мультиплетами ... 79
8.2 Дуальная версия.................................... 85
8.3 Спонтанное нарушение суперсимметрии................. 88
9. Спонтанное нарушение суперсимметрии в N = 4 супергравитации с материей 91
9.1 Обычная версия...................................... 92
9.2 Дуальная версия..................................... 95
9.3 Нарушение суперсимметрии............................ 99
10. Дуальные версии расширенных супергравитаций 101
10.1 N = 2 супергравнтацпя...............................102
10.2 N = 3 супергравитация...............................104
10.3 N = 4 супергравнтацпя...............................106
Заключение 111
Приложение А. 112
Приложение Б. 115
Приложение В. 116
2
Введение
Стандартная модель и суперсимметрия. В настоящее время общепринятой із физике высоких энергий является Стандартная Модель (СМ), основанная на калибровочной группе 5^7(3) ® 311(2) ® £7(1). До сих пор нет никаких экспериментальных данных, прямо противоречащих этой модели. Ее характеризуют с одной стороны такие черты, как унитарность, перенормируемость, естественное объединение электромагнитных и слабых взаимодействий, а с другой то, что ее предсказания промежуточных векторных бозонов, трех поколений фсрмионов, были блестяще подтверждены экспериментально. Но имеется и ряд связанных с ней проблем. Это, в первую очередь, не обнаруженный до сих пор сектор Хиггса, проблема генерации поколений, большое число свободных параметров теории. В рамках СМ не удается также удовлетворительно разрешить проблему калибровочной иерархии (КИ), связанную с присутствием в теории фундаментальных скалярных частиц. Квадратично расходящиеся собственно-энергетические диаграммы после перенормировки дают вклад в квадрат масс скалярных частиц, пропорциональный, например, (Мрі/Мг)2 ~ Ю34 - аспект проблемы КИ, связанный со стабильностью массовой шкалы СМ. Такие исключительно большие поправки к квадрату массы могут быть скомпенсированы лишь с помощью подстройки параметров перенормированной модели - аспект проблемы КИ, связанный с естественностью массовой шкалы СМ.
В настоящее время развивается ряд теорий, выходящих за рамки Стандартной Модели и призванных решить ее проблемы. Это теории техницвета и расширенного техницвета, модели, рассматривающие ком-позптность кварков. Одним из перспективных направлений являются теории, обобщающие Стандартную Модель на суперсимметричный случай. Ряд свойств таких моделей делает их привлекательными с точки зрения возможности решения указанных выше проблем. В частности, в теории с ненарушенной суперсимметрией радиационные поправки не дают вклада в массу Хиггса вследствие взаимного сокращения бозонных и фермион-ных петель. Улучшенное ультрафиолетовое поведение, решение технических аспектов проблемы калибровочной иерархии и сильной СР-иерархии дают широкие возможности для построения феноменологических супер-симметричных теорий.
3
Основное требование, которое налагается на любую суперсимметрич-ную теорию, это необходимость спонтанного нарушения суперсимметрии. При этом суперпартнеры '’стандартных’' частиц ( кварков, пептонов, калибровочных бозонов и полей Хиггса ) в пизкоэнергетической области ~ 0(1Ш0еУ) должны приобретать массы, превышающие массы их партнеров на величину порядка масштаба нарушения суперсимметрии. Этот масштаб расщепления дает вклад в радиационные поправки к массе скалярных частіш и не должен превышать ~ О(ІТеУ) для того, чтобы аспект проблемы КИ, связанный со стабильностью массовой шкалы СМ, удовлетворительно разрешался. Это ограничение на величину расщепления масс частиц в супермультиплетах ведет в свою очередь к ограничению на массы суперчастш сверху.
Ранние попытки построения суперсимметричных обобщений электро-слабой и стандартной моделей рассмотрены в обзорах [1]. Оказалось, что спонтанного нарушения супер симметрии не достаточно для получения реалистического спектра масс в таких моделях и требуется введеппе дополнительных несуперсимметричных членов. Как было показано в работах [2], суперсимметрия может быть нарушена явпо и все равно не иметь квадратичных расходимостей. Члены, включение которых в лагранжиан удовлетворяет этому условию (так называемые мягко нарушающие суперсимметрию члены), имеют вид:
гп2г2, га2(я2 4-12), + г3), т(ГШ), (0.1)
где 2 - скаляр из кирального, а $7 - спинор из векторного мультиплетов.
Основные черты моделей Аг = 1 супергравитации. Механизм появления таких членов стал ясеи при исследовании моделей, основанных на супергравитации - локальной суперсимметрпп. Попытки сделать суперсимметрию локальной с необходимостью приводят к включению в теорию полей со спинами 3/2 и 2 - гравитино и гравитона. При этом теория становится неперенормируемой, но масштабом обрезания является масса Планка, т.е. физические следствия при низких энергиях могут быть исследованы с помощью эффективного лагранжиана, не содержащего гравитацию. Для модели супергравитации со спонтанно нарушенной суперсимметрисй формально устремляя гравитационную константу связи к —* 0, можно получить эффективный иизкоэнергетпческий лагранжиан, который как раз и будет содержать члены, мягко нарушающие
4
суперсимметрию, которые б рамках глобальной суперсимметрии вводились ’’руками”.
Тот факт, что в моделях супергравитации отпадает необходимость следить за перенормируемостыо теории, открывает более широкие возможности для построения моделей, чем в глобальной суперсимметрии. Общий лагранжиан взаимодействия N=1 супергравитации с киральны-ми суперполями материи и векторными калибровочными суперполями получен в работах [3]. Как было показано, скалярные поля в общем случае описывают нелинейную сг-модель с геометрией, соответствующей Кс-леровому многообразию. Такая модель характеризуется Келеровым потенциалом (7(2:, і) •- вещественной функцией скалярных полей, при этом потенциал скалярных полей имеет вид:
V = -е-°(3 - (0.2)
до к до к д*о Ск ~ Ш’ с ~ дГк’ с,~ д^д¥- (0-3)
Кроме Келерова потенциала, лагранжиан N = 1 супергравитации в общем случае содержит еще одну произвольную функцию скалярных полей из кирального мультиплета }аь{^) ~ функцию, стоящую при кинетическом члене векторных полей.
Анализ возможности спонтанного нарушения суперсимметрии в моделях супергравиташш более сложен, чем в моделях с глобальной суперсимметрией. Необходимым проявлением спонтанного нарушения является то, что гравитино приобретает массу ту2 = е~°/2. Но достаточным условием это ие является. Еще одно необходимое требование - отсутствие в модели космологической постоянной, т. е. нулевое значение минимума потенциала (о проблеме космологической постоянной см., например, [4]). В моделях со спонтанно нарушенной супергравитацией имеется проблема иерархии, связанная с вакуумной энергией. Как видно из формулы (0.2), естественный масштаб для значения вакуумного среднего потенциала скалярных полей после нарушения суперсимметрии это
< V >~ О{гґіу^Мрі) и необходимо объяснить, почему вместо этого
< V > /Мрі < КГ120.
Добиться зануления потенциала в минимуме можно либо путем тонкой подстройки параметров теории, либо пытаясь наложить на теорию требование инвариантности относительно некоторой симметрии, прпво-
5
дящсс к плоскому потенциалу (так называемые по-scale модели). Во втором случае, помимо естественного решения проблемы космологической постоянной, происходит еше и динамическое определение массовой шкалы - все малые массовые масштабы определяются динамически в терминах одного фундаментального - массы Планка М = Mpi/y/Sт. Скрытый сектор с плоским потенциалом был введен в работах [5]. Он описывает нелинейную сг-модель с геометрией SU( 1, l)/U(l). Соответствующий Келеров потенциал имеет вид: G(z, z) = — K2ln(z+z). В рамках N = 1 супергравитации параметр к остается произвольным, ого не удается фиксировать исходя из соображений симметрии и для получения плоского потенциала приходится опять-таки ’’руками” полагать к1 = 3. Тем не менее, таким образом определенная симметрия модели сводит функциональный произвол к однопараметрическому, а значение параметра /с фиксируется, если рассматривать N = 1 супергравитацию как низкоэнергетический предел моделей суперструн или расширенных супергравитаций. Возможности построения реалистических no-scale моделей исследовапы в обзоре
и.
Модели супергравитации содержат два сектора: скрытый сектор, ответственный за спонтанное нарушение суперсимметрии, и наблюдаемый сектор, содержащий поля, описываемые стандартной моделью и их суперпартнеры, а в случае теории великого объединения и соответствующие дополнительные частицы. Эти два сектора связаны только гравитационным взаимодействием. Рассматривая N=1 супергравитацию, как эффективную теорию, описывающую физику на энергиях ниже Mpi в соответствии с общей схемой:
L (N = 1 SUGRA) Е<-УР1 L (N = 1 SUSY) + LSOft, (0-4) необходимо требовать выполнения следующих условий:
• суперсимметрия спонтанно нарушена и, при этом, космологическая постоянная равна нулю,
• определенные поля, связанные с этим нарушением, отщепляются (скрытый сектор),
• определенные ноля становятся супертяжелыми ( суперпартнеры ),
• оставшиеся поля соответствуют наблюдаемым в низкоэнергетической теории.
Как было сказано в предыдущем параграфе, теоретические ограничения на массы суперчастип сверху таковы, что открытие этих частиц ожидается после запуска новых коллайдеров на TeV-ные энергии. В связи с этим велик интерес к моделям, предсказывающим определенные свойства суперчастиц, допускающие проверку на эксперименте. К недавним работам на эту тему относятся [7] (минимальная суперсимметричная СМ), [8] (суперсимметричные модели Великого Объединения). Но во всех этих работах рассматривается суперпотенциал, в котором члены, мягко нарушающие суперсимметрию, вводятся ”руками”, без привлечения супергравитации. Поэтому актуальной задачей является исследование моделей N = 1 супергравитации и получение юкавекпх и массовых членов, позволяющих строить феноменологические модели с мягко нарушенной суперсимметрией. Вывод мягко нарушающих членов из супергравитации ведет к резкому сужению числа свободных параметров модели и к увеличению ее предсказательной силы.
Модели N — 1 супергравитации достаточно активно исследуются в последнее время (из последних работ на эту тему см. [9, 10]). В качестве геометрии скалярных полей обычно выбираются некоторые обобщения no-scale скрытого сектора, дающие возможность иметь плоские направления в потенциале модели, что решает проблему космологической постоянной и ведет к дипамическому определению массовой шкалы. Как правило рассматривается конкретная модель с фиксированной калибровочной группой и исследуется как нарушение суперсимметрии, так и нарушение калибровочной симметрии, и получающийся спектр масс.
В своей работе [11] мы исследовали два класса моделей N = 1 су-пергравитации с различной геометрией скалярных полей. В первом случае часть скалярных полей параметризует Келерово многообразие вида SU( 1, m)/SU(m) 0 (7(1), во втором - 0(2, т)/0(гп) 0 0(2). Модели с ортогональной геометрией слабо исследованы в работах на эту тему и, как показано в нашей работе, именно такие модели обладают свойствами, делающими их привлекательными с точки зрения феноменологии. Кроме того, такой выбор нелинейных а- моделей обусловлен еще и тем, что аналогичные геометрии возникают в моделях с расширенными супергравитациями и, соответственно, как раз такие модели появляются при частичном супер-хиггс эффекте N > 1 —* N = 1. Модель с ортогональной геометрией исследовалась в недавних работах [10] в связи с возможностью одновременного нарушения суперсимметрпи и калибровочной сим-
7
метрии.
Особенности моделей расширенных супергравитаций. Феноменологические модели, рассматриваемые в рамках N = 1 супергравитации, выглядят достаточно обещающе, но имеют и ряд неудовлетворительных черт:
• Во-первых, очевидная произвольность конструкции. В таких моделях совершенно произволен выбор калибровочной группы, Колерова многообразия, вложения калибровочной группы в группу изоме-трий Келерова многообразия, наконец, калибровочной кинетической функции и суперпотенциала, который нарушает суперсимметрию.
• Во-вторых, тот факт, что на уровне N = 1 супергравитации мы существенным образом привязаны к классической картине вследствие невозможности в эффективной, неперенормируемой теории контролировать квантовые поправки, как пертурбативные, так и непер-турбативные.
• Наконец, как было сказано ранее, в моделях ДГ = 1 супергравитации не удается получить плоский потенциал с исчезающей классической вакуумной энергией как следствие симметрии модели, без подстройки параметров.
Есть надежда устранить отмеченные недостатки, рассматривая феноменологические модели в рамках расширенных супергравитаций. Такие модели изучены сравнительно слабо, что связано, во-первых, с отсутствием удобного формализма для описания теории с расширенной суперсимметрией и, во-вторых, с возникающими новыми проблемами с точки зрения феноменологии.
Первая проблема состоит в том, что модели с ненарушенной расширенной суперсимметрией являются вектороподобными п потому любая реалистическая модель должна допускать частичный супер-хиггс эффект, т. е. нарушение суперсимметрии N > 1 —* N = 1. При этом зеркальные фермионы должны отщепляться по массе от обычных фер-миониых полей. Условие допустимости частичного супер-хиггс эффекта является очень жестким требованием.
8
Вторая проблема касается механизма генерации масс фермионов. Сложность состоит в том, что юкавские члены, описывающие взаимодействие полей Хиггса с фермионами, как правило не появляются в моделях расширенных супергравитаций. А именно, построенные нами модели, основанные на несимметрических кватернионных многообразиях [24, 25], являются, насколько нам известно, единственными моделями, где после нарушения суперсимметрии появляются юкавские члены требуемого вида.
Нелинейные сг-модели в N = 2 супергравитации. Геометриче-. ская структура моделей, описывающих взаимодействие N = 2 супергравитации с материей значительно сложнее, чем в N — 1 случае, поскольку скалярные поля из N = 2 гииермультиплетов параметризуют ква-тернионные многообразия [12]. Модели, основанные на симметрических кватернионных многообразиях подробно изучены. Был сконструирован широкий класс no-scale моделей [13], в которых две суперсимметрии нарушены только с одним массовым масштабом и гравитино вырождены по массе. В то же время, реализация частичного супер-хпггс эффекта оказалась нетривиальной задачей [14]. В работе [15] был построен N = 2 скрытый сектор, содержащий поля чистой N — 2 супергравитации, один векторный и один гипермультиплет и допускающий спонтаппое нарушение суперсимметрии с двумя произвольными масштабами (т.е. с возможностью нарушения N = 2 —> N = I). Позлее, в работах [16, 17] были исследованы обобщения этого скрытого сектора на случай произвольного числа мультиплетов материи и вычислены мягко нарушающие суперсимметрию члены. В отличие от случая N = 1 супергравитации, в таких моделях выбор геометрии однозначно фиксирует вид взаимодействия полей из гипермультиплетов с супергравитацией и космологическая постоянная исчезает вследствие выбора группы симметрии лагранжиана и калибровочного взаимодействия в скрытом секторе, а не в результате подгонки параметров модели.
Однако в таких моделях остается нерешенной вторая из указанных в предыдущем параграфе проблем, характерных для расширенных супергравитаций. А именно, не удается получить после спонтанного нарушения суперсимметрии членов, описывающих юкавское взаимодействие полей из гипермультиплетов. Этот результат, по-видимому, определяет-
9
- Київ+380960830922