2
Оглавление
ч
Введение...............................................................5
Исторический обзор.....................................................5
Описание работы.......................................................10
Цель работы...........................................................20
Научная новизна.......................................................20
Применение результатов................................................21
Глава 1. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием
Грассмана....................................................22
§ 1. Многообразие Грассмана в проективном пространстве................23
§ 2. Главное расслоение, ассоциированное с многообразием
Грассмана.................................................. 24
§ 3. Фундаментально-групповая связность в ассоциированном
расслоении...................................................25
§ 4. Объект кривизны..................................................28
§ 5. Оснащение Бортолотги, связность первого типа.....................33
§ 6. Ковариантньтй дифференциал оснащающего квазитензора
Бортолотти...................................................38
§ 7. Связность второго типа в расслоении, ассоциированном с
* многообразием Грассмана....................................40
§ 8. Связность третьего типа в расслоении над многообразием
Грассмана....................................................41
§ 9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех
типов........................................................42
§ 10. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с
помощью отображений..........................................44
§11. Пучок связностей 1-го типа.......................................45
3
§ 12. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных
ц связностях многообразия Грассмана..........................47
§ 13. Связность над областью проективного пространства..............51
Глава 2. Связность в расслоении, ассоциированнОхМ с пространством
центрированных плоскостей..................................58
§ 1. Пространство центрированных плоскостей в проективном
пространстве...............................................59
§ 2. Главное расслоение, ассоциированное с пространством
центрированных плоскостей..................................59
§ 3. Фундаментально-групповая связность...............61
§ 4. Объект кривизны........................63
§ 5. Аналог сильной нормализации Нордена, связность первого типа 68
§ 6. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные
оснащающего квазитензора...................................70
§ 7. Связность второго типа в расслоении над пространством
центрированных плоскостей..................................72
§ 8. Связность третьего типа в расслоении над пространством
центрированных плоскостей..................................74
§ 9. Условия совпадения и связь объектов групповых связностей трех
типов......................................................75
§ 10. Тензор неабсолютных перенесений...............................76
§ 11. Геометрическая характеристика индуцированных связностей с
помощью отображений........................................77
§ 12. Параллельные перенесения в связности 1-го типа................78
§ 13. Пучок связностей 1-го типа, иидуцировашшй аналогом
нормализации Нордена пространства центрированных
плоскостей.................................................80
* § 14. Вырожденные параллельные перенесения в индуцированных
4
связностях пространства центрированных плоскостей............82
*г
Глава 3. Геометрические связности в пространстве центрированных
плоскостей...................................................89
§ 1. Геометрическая связность в расслоении 8( Рп).....................90
§ 2. Геометрическая связность в расслоении Т(У)......................96
Библиографический список.............................................100
ь
<1
Введение ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Основной идеей теории расслоенных пространств в ее дифференциально-геометрическом аспекте является идея связности. Теории связностей имеет уже давнюю историю [60]. Этой теории положила начало в 1917 году работа Т. Леви-Чивита о параллельном перенесении вектора в римано-вом пространстве. Эта идея немедленно нашла важные приложения в обшей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. В 1918 году Г. Вейль для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности [31].
Новый этап в развитии теории связностей открывается работами Э. Картана в 20-х годах. Э. Картан заменяет касательные векторные пространства аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году он применил понятие связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве.
Следующий этап [44] в развитии теории связностей начался в 40-х годах работами В. В. Вагнера.
Общая теория связностей [41] в расслоениях, получившая свое начало в работах Вагнера и Эресмана, позже интенсивно развивалась в самых различных направлениях. Г. Ф. Лаптевым [27] был предложен известный теоретико-групповой метод на основе исчисления Э. Картана. Следуя идеям Э. Картана, Г. Ф. Лаптев дал строгое определение пространства аффинной связности и выделил естественным образом комплекс внутренних геометрий на многомерной поверхности пространства аффинной связности. Затем параллельно с развитием общей теории погруженных многообразий Г. Ф. Лаптев ввел пространство с фундаментально-групповой связностью.
В дальнейшем связности в расслоенных пространствах строились Г.Ф. Лаптевым не только при помощи определяющего связность отображения. Они задавались как погруженное многообразие специального типа и как поле некоторого объекта, называемого объектом связности [39]. Характерной особенностью этих построений Лаптева является исследование последовательности полей геометрических объектов, возникающих из поля исходного фундаментального объекта при помощи операции продолжения полей и теоретикочрупповой операции охвата имеющимися полями новых полей.
В связи с исследованием связностей расслоенных многообразий теория геометрических объектов продолжала интенсивно развиваться, обогащаясь новыми фактами, включая в свою сферу новые области, смыкаясь со многими традиционными направлениями [55].
Благодаря работам Э. Картана, Ш. Эресмана, В. В. Вагнера, А. П. Нордена, П. К. Рашевского, Г. Ф. Лаптева, Б. Л. Лаптева, А. М. Васильева, Ю. Г. Лумисте, В. И. Близникаса, Н. М. Остиану, А. П. Широкова, Л. Е. Евтушика, В. Ф. Кагана и др. теория связностей [50], [51 ] представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств и занимает существенное место в дифференциальной геометрии.
Специальное место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях [30], [31]. Связность в однородном расслоении вводится как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Другие возможности указываются в более ранних работах В. В. Вагнера и Г. Ф. Лаптева. В. В. Вагнер рассматривает не только однородные расслоения, но также расслоения, типовыми слоями которых являлись гладкие многообразия, и вводит в них связности с помощью систем дифференциальных уравнений определенного вида в локальных координатах. Г. Ф. Лаптев ограничивается линейными связностями, определяя их как множества отображений бесконечно близких ело-
7
ев расслоения, удовлетворяющие определенным условиям. Нелинейные связности аппаратом, разработанным Г. Ф. Лаптевым, рассматривал Л. Е. Евтушик [30.1.
Задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой [43], [58].
Задача внутреннего оснащения (в смысле А. П. Нордена, Э. Картапа, Э. Бортолотги) подмногообразий стояла как одна из проблем дифференциальной геометрии. Усилиями ряда геометров удалось решить ряд трудных проблем в этом направлении.
Поверхность Ую проективного пространства Рп называется оснащенной в смысле Э. Картана, если к каждой точке Ае Ум сопоставлена (п-т-1)-мерная плоскость К„_т_х (А), не пересекающая касательную плоскость Тт(А) рассматриваемой поверхности.
А. П. Норден предложил назвать поверхность Ую нормализованной, если к каждой точке А этой поверхности сопоставлены две плоскости:
1) (п-т)-мерная плоскость (А), проходящая через точку А и не имеющая с касательной плоскостью Тт (А) других точек пересечения (нормаль 1-го рода);
2) (т-1)-мерная плоскость УдаЧ(А), лежащая в касательной плоскости Тш (А) и не проходящая через точку А (нормаль 2-го рода).
Впервые задачи оснащения для семейств многомерных плоскостей, т.е. многообразий <3г(т,п,г) в обозначении Близникаса [18], рассматривались в работах Бортолотги [56].
В исследованиях Бортолотти под оснащением многообразия Ог(т,п,г) понимается процесс, согласно которому каждой ш-мерной плос-
кости т„ <=Gr(m,n,r) сопоставляется (п-т-1)-мерная плоскость (г), не имеющая общих точек с плоскостью тт. В несколько другом смысле аналогичные задачи рассматривал Галвани [57].
Независимо от исследований Бортолотти и Галвани, задачами оснащения гиперкомплексов Gr(l,n,2n-3) занимался К. И. Гринцевичюс.
Ю. Г. Лумисте [29] удалось построить глубокую и развернутую теорию различных оснащений произвольных подмногообразий Gr(m,n,r), включавшую в себя как частные случаи оснащения Бортолотти и Галвани. Для некоторых классов подмногообразий Gr(m,n,r) IO. Г. Лумисте указал внутренние оснащения.
Статья [18] В. И. Близникаса посвящена построению внутренних оснащений для гиперкомплекса прямых Gr(l,n,2n-3) и тесно примыкает к исследованиям К. И. Гринцевичюса (1956-1960 гг.).
Научные работы К. И. Гринцевичюса в основном посвящены геометрии подмногообразий многообразия Грассмана Gr(m,n), причем главное внимание уделяется случаю ш=1. Для всех исследований К. И. Гринцевичюса характерно то обстоятельство, что они выполнены теоретикогрупповым методом дифференциально-геометрических исследований (методом Г. Ф. Лаптева). Кроме того, он первый применял этот метод для систематических исследований линейчатых мн01тюбразий как трехмерного, так и многомерного проективного пространства. Он решал ту или иную задачу в наиболее общем репере (как правило, почти всегда исследования ведутся в реперах первого порядка) [19].
Проблема инвариантного построения геометрии многообразия, образующим элементом которого является фигура [33], отличная от точки исходного пространства, давно интересовала геометров [2], [32], [62]. Достаточно глубоко разработана линейчатая геометрия в трехмерном пространстве [17]. Имеется много работ по теории семейств и пар семейств плоскостей в многомерных пространствах [45, с. 51] и, особенно, но теории ли-
- Київ+380960830922