Сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения

Оглавление
Введение 4
1. Функциональные операторы в ограниченных областях 9
1.1. Группа преобразований К7' и функциональные операторы . 9
1.2. Алгебра С>((Э)........................................... И
1.3. Отношение эквивалентности и фактор-топология............ 13
1.4. Пространство максимальных идеалов....................... 18
1.5. Разбиение единицы для функциональных операторов .... 21
2. Краевые задачи для сильно эллиптических функциональнодифференциальных операторов 23
2.1. Определение сильной эллиптичности....................... 23
2.2. Разбиение единицы для функционально-дифференциальных операторов................................................... 25
2.3. Условия сильной эллиптичности в случае конечного множества 'Щх] ................................................... 30
2.4. Условия сильной эллиптичности в случае неподвижной точки 38
2.5. Определение обобщенного решения ........................ 42
- 3 -
2.6. Разрешимость краевых задач. Спектр ..................... 44
3. Применение к нелокальным краевым задачам 48
3.1. Постановка задачи....................................... 48
3.2. Сведение нелокальной краевой задачи к функциональнодифференциальному уравнению.................................. 50
3.3. Нелокальные краевые задачи и формула Грина.............. 67
3.4. Сведение формально сопряженной задачи к краевой задаче 74
3.5. Однозначная разрешимость некоторых нелокальных краевых задач в двугранных углах ................................ 79
Введение
1. В настоящей диссертации изучаются сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения и их применение к исследованию нелокальных краевых задач.
Первый результат о сильной эллиптичности для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был получен М. И. Ви-шиком [5). Для получения достаточных условий сильной эллиптичности дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами Л. Гординг [37) использовал разбиение единицы и «замораживание» коэффициентов. Другие результаты о сильной эллиптичности можно найти в [31,36].
Сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы рассматривались А. Л. Скубачевским [45]. Для дифференциально-разностных уравнений А.Л. Скубачевский взял выполнение неравенства типа Гор-динга в качестве определения сильной эллиптичности. Нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений оказалось непростой задачей. Им, в частности, было показано, что неотрицательность символа дифференциально-разностного оператора не влечет за собой сильную эл-
- 5 -
липтичность (как в случае дифференциальных операторов в частных производных). Это связано, в частности, с тем фактом, что преобразование сдвига не отображает ограниченную область на себя. В случае соизмеримых сдвигов А. Л. Скубачевский получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений в терминах положительной определенности некоторых матриц.
Используя аппарат банаховых алгебр, Л.Е. Россовский [19] получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для функционально-дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с преобразованиями растяжения и сжатия аргумента. Полученные им условия записывались в виде положительности некоторой функции, которую он назвал символом функционально-дифференциального оператора.
В диссертационной работе рассматриваются функционально-дифференциальные уравнения с произвольными преобразованиями аргумента. Рассматриваемые преобразования принадлежат некоторой группе преобразований, которая, вообще говоря, не отображает область на себя.
Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов:
1. нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности для достаточно широкого класса функционально-дифференциальных уравнений с произвольными преобразованиями аргумента;
2. исследование разрешимости сильно эллиптических функционально-диф-
- 6 -
ференциальных уравнений;
3. применение сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений для исследования нелокальных эллиптических краевых задач.
2. Диссертация состоит из введения и трех глав.
В главе 1 диссертации изучаются функциональные операторы в ограниченных областях. Так как функциональные операторы, вообще говоря, нелокальные, то нельзя рассматривать функционально-дифференциальные уравнения в окрестности какой-либо одной точки области. Необходимо рассматривать их также в окрестностях точек, связанных с исходной точкой отношением эквивалентности 7£ (которое строится в работе). Раздел 1.1 посвящен связи группы преобразований Мп и алгебре функциональных операторов. В разделе 1.2 строится алгебра функций, коммутирующих с функциональными операторами. Далее в разделе 1.3 строится отношением эквивалентности 71 и соответствующее фактор-пространство. В разделе 1.4 показывается, что построенное фактор-пространство гомеоморфно пространству максимальных идеалов алгебры функций, коммутирующих с функциональными операторами. Это позволяет использовать теорию Гельфанда—Наймарка. И, наконец, в разделе 1.5 строится разбиение единицы для функциональных операторов.
В главе 2 диссертации исследуются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных операторов, а также свойства решений краевых задач для сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов. В разделе 2.1
вводятся основные обозначения и определение сильной эллиптичности. В разделе 2.2 строится разбиение единицы для функционально-дифференциальных операторов и доказывается теорема о «локализации». Эта теорема позволяет исследовать сильную эллиптичность для модельных задач.
Одна из модельных задач изучается в разделе 2.3. Рассматривается некоторый класс эквивалентности, состоящий из конечного числа точек, и преобразования из группы не содержат ни одну из точек в этом классе в качестве неподвижных (аналогичная ситуация возникала в случае преобразований сдвигов). Для такой модельной задачи получены необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений. В случае, когда рассматриваемый класс эквивалентности не пересекает границу области, найденные условия совпадают.
Другая модельная задача изучается в разделе 2.4. Она является, в некотором смысле, противоположной первой. Рассматривается класс эквивалентности, состоящий из одной точки и конечная группа преобразований, для которой рассматриваемая точка является неподвижной. Для такой модельной задачи получены достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений. В случае, когда группа является топологически свободной найденные достаточные условия являются также и необходимыми.
В разделе 2.5 вводится определение обобщенного решения краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения. В разделе 2.6