Содержание
1 Определения и геометрические свойства. 7
1.1 Определения и примеры............................................. 7
1.2 Пуассонова геометрия............................................. 11
1.3 Симплектические особенности с пуассоновой точки зрения.......... ‘21
1.4 Симплектические разрешения....................................... 30
2 Деформации и квантование. 33
2.1 Отображение периодов и твисторные деформации..................... 33
2.2 Квантования...................................................... 41
2.2.1 Локальная теория........................................... 42
2.2.2 Глобализация через формальную геометрию.....................45
2.3 Ситуация в положительной характеристике.......................... 49
2.3.1 Новые явления.............................................. 50
2.3.2 Ограниченные структуры..................................... 53
2.3.3 Квантование................................................ 61
3 Описание производной категории. 76
3.1 Наклонные генераторы............................................. 76
3.2 Оценки........................................................... 78
3.3 Аппроксимация по Артину.......................................... 84
3.4 Сравнение производных категорий.................................. 85
4 Дополнительные результаты. 88
4.1 Растягивающие действия........................................... 88
4.2 Топология........................................................ 94
4.3 Соответствие Маккея.............................................. 98
2
Введение.
По теореме Хиронаки, любое особое алгебраическое многообразие У над С допускает разрешение особенностей, т.е. гладкое алгебраическое многообразие X, снабженное проективным бирапиональным морфизмом X —> У. Для многих задач алгебраической геометрии достаточно самого существования X. Однако зачастую, и в первую тогда, когда алгебраическая геометрия применяется к другим областям математики, требуется некоторый контроль над разрешением X.
Это очень хорошо заметно, например, в геометрической теории представлений (которая описана, например, в книге [СО]). В идеале, имея в руках особое многообразие У, которое кодирует какую-либо задачу теории представлений, необходимо найти разрешение X. которое будет полумалым (т.е. <йтХ ху X = сИтХ), и будет иметь слои с тем или иным образом ограниченной топологией. Если на У действует алгебраическая группа, требуется, чтобы действие поднималось до действия на X.
Во многих конкретных примерах ситуация действительно оказывается идеальной. Например, если У - нильпотентный конус в присоединенной представлении полупростой алгебраической группы, то у него есть хорошо известное полума-лое разрешение Спрингера. Оно эквивариантно по отношению ко всем возможным действиям групп на У. Хотя его слои, вообще говоря, особы, с когомологической точки зрения они ведут себя, как гладкие однородные пространства: все группы когомологий чисты но отношению к весовой фильтрации, и порождены классами алгебраических циклов. Совершенно аналогичная картина наблюдается для так называемых колчанных многообразий X. Накаджимы, и для схем Гильберта п точек на С2. Кроме того, оказывается, что на разрешениях присутствуют некоторые дополнительные структуры - в частности, голоморфная симплектическая форма.
Известные доказательства этих фактов (см. например работу [СЬР]) проводятся явной конструкцией, и сильно зависят от геометрии рассматриваемого многообразия У.
Результаты настоящей диссертации довольно сильно меняют этот сложившийся взгляд на вещи. Оказывается, что голоморфная симплектическая форма, вспомогательное и почти случайное дополнительного данное на разрешении X, на самом
3
деле сама но себе обеспечивает все остальные хорошие своства разрешения - полу-малость. когомологическую чистоту слоев, и т.д. и т.п. Более того, теорию можно сильно развить - вплоть до того, что получается полное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на X. Это дает новую информацию даже в хорошо изученных и классических случаях, таких, как разрешение Спрингера и схема Гильберта.
Поскольку все, что нужно от многообразия X, это голоморфная симплектиче-ская форма, результаты диссертации следует целиком отнести к алгебраической геометрии (или даже к “симплектической алгебраической геометрии”, если о таковой уместно в настоящий момент говорить). Поэтому мы не предполагаем и требуем никакого знакомства с геометрической теорией представлений. Более того, хотя большинство приложений на настоящий момент происходят из теории представлений, результаты могут с тем же успехом быть использованы для изучения стягиваний голоморфно-симплектических и гиперкэлеровых многообразий - или. более общо, в той части Программы Минимальных Моделей, которая занимается многообразиями с тривиальным каноническим расслоением. В частности, некоторые из полученных результатов о ироизводныых категориях представляют собой частные случаи известных и трудных гипотез, которые должны выполняться в большей общности (см. в первую очередь общую программу А.И. Бондала и Д.О. Орлова, описанную в работах В01], В()2]). В голоморфио-симплектическом случае эти общие гипотезы оказывается возможным доказать.
Полученные результаты. Перечислим кратко представленные в диссертации результаты.
• Методами пуассоновой геометрии и теории Ходжа построена структурная теория особых симплектических мнгообразий (“симплектических особенностей”). В частности, выделены и изучены два класса общих пуассоновых схем, голономные и локально-точные схемы, доказано, что симплектические особенности обладают обоими свойствами, и доказано, что у них конечное число симплектических листов, имеется каноническая стратификация гладкими симплектическими многообразиями, верен формальный аналог разложения Вайнштейна, и локально существует нетривиальное действие группы
4
• Методами теории Ходжа доказано, что любое симплектическое разрешение X симплектической особенности У полумалое, а его слои когомологически чисты в смысле структуры Ходжа.
• Построена теория симплектических деформаций для симплектических разрешений - а именно, показано, что деформации не имеют предпятствий (обобщение теоремы Богомолова-Тьяна-Тодорова), и имеется аналог теоремы То-релли. Выделен важный класс однопараметрических деформаций - твистор-ные деформации. Твисторные деформации иостроеиы также для любых сколь угодно особых пуассоновых схем.
• Построены и классифицированы некоммутативные деформации симплектических разрешений, также известные как (деформационные) квантования. Показано, что квантования имеют те же хорошие свойства, что и коммутативные симилектические деформации.
• Теория квантования симплектических разрешений обобщена на многообразия над полем положительной кахрактеристики р > 0. Выделен важный класс квантований - Фробениус-постояниые квантования, которые построены и классифицированы. В процессе изучения квантований выделен и изучен пуассонов аналог классического понятия р-алгебры Ли.
• Сведением в простую характеристику и применением Фробениус-постоянных квантований иолучены так называемые наклонные генераторы для производной категории когерентных пучков на симплектическом разрешении X, что позволяет дать чисто алгебраическое описание этой производной категории.
• Доказана гипотеза Л.И. Бондаза и Д.О. Орлова о том, что два разных симплектических разрешения одной и той же симплектической особенности имеют эквивалентные производные категории.
• При дополнительных предположениях доказано, что когомологии слоев еим-плектического разрешения порождены классами алгебраических циклов.
5
• В случае симплектического разрешения X симплектической факторособен-ности VfG, получена точная информация о кольце когомологий X (мультипликативное соответствие Маккея) и о производной категории когерентных пучков на X (эквивалентность Маккея).
Результаты получены и опубликованы в работах (Kall], [Ка12], [KV], [GiKa], [ВК1], [Ка15], [Kall], 'Ка13], [В1<2], [ВКЗ], [Ка1б], и неоднократно докладывались на различных конференциях в России и за рубежом - например, в цикле из трех докладов на конференции AMS по итогам развития алгебраической геометрии за последние 10 лет, которая состоялась в г. Сиэтгл в июле-августе 2005 года.
б
1 Определения и геометрические свойства
1.1 Определения и примеры. Зафиксируем основное поле К характеристики
0. Изучение симплектических разрешений удобно начать со следующего определения, которое принадлежит А. Бовилю [Beau].
Определение 1.1. Симплектической особенностью называется нормальное неприводимое алгебраическое многообразие Y над полем К, снабженное невырожденное симплектической формой Q € 7/°(У'йт,й2) на гладкой части YSTn С К, которая продолжается до (возможно, вырождепной) симплектической формы на каком-либо гладком проективном разрешении особенностей X —> Y.
Здесь и далее в настоящей работе слово симплектической следует понимать в смысле алгебраической геометрии; в частности, мы не занимаемся С°° симплекти-ческими формами, которые возникают в геометрии кэлеровой. Под разрешением особенностей мы понимаем гладкое алгебраическое многообразие X над полем К. снабженное проективным бирациональным отображением X —> У. Вовиль в своем определении требовал только существования формы SÎ, однако же нам будет удобнее всегда фиксировать форму как часть исходных данных.
Легко показать ([Beau]), что если Q продолжается на какое-то разрешение X, то она продолжается и на любое другое разрешение Х'\ таким образом, в определении 1.1 можно без потери общности заменить “какое-либо разрешение” на “любое разрешение”.
В настоящей работе симплектические особенности будут изучаться в основном локальное - в частности, мы обычно будем предполагать, что Y аффинно. Поскольку мы также предполагаем Y нормальным, имеем Y = Spec Н°(А, Ох) -там самым, как только дано разрешение А', многообразие Y можно однозначно восстановить, и нет нужды отдельно его указывать.
Непосредственно из определения симплектической особенности легко выводится следующий факт.
Лемма 1.2 ([Beau]). Любая симплектическая особенность Y - каноническая и рациональная. □
7
Следствие 1.3. У любого слоя F гладкого разрешения п : X —> Y симплектиче-ской особенности Y первая группа когомологий Hl(Fan, Ъ) тривиальна.
Proof. По теореме о собственной замене базы достаточно доказать, что RlntZx = 0; рассматривая экспоненциальную точную последовательность, немедленно выводим это из того, что, в силу рациональности Y, имеем Rlntöx = 0. □
Приведем некоторые примеры симплектических особенностей.
Пример 1.1. Y = W/G, где W - двумерное векторное пространство, которое мы рассматриваем как аффинное алгебраическое многообразие, а С С SL(W) - произвольная конечная подгруппа. Это классические случай так называемых “дювалев-ских особенностей”. Как известно (см. например Lau]), К допускает единственное гладкое разрешение X с тривиальным каноническим расслоением. Поскольку X имеет размерность 2, это эквивалентно существованию симплектической формы.
Пример 1.2. Y = A2n/Sn, фактор аффинного пространства размерности 2« по действию группы перестановок п букв. Эквивалентным образом, Y можно описать как гс-ю симметрическую степень аффинной плоскости А2. Разрепхепие X дается схемой Гильберта нульмерных подсхем в А2 длины п (для краткости, говорят “схема Гильберта п точек на А2”).
Пример 1.3. Комбинация двух предыдущих примеров: в качестве берем У0 = W/G, dim W = 2, G С SL(W), в качестве X берем схему Гильберта п точек на каноническом симплектическом разрешении Хо многообразия У0.
Пример 1.4. Y = V/G - фактор симплектического векторного пространства V по действию конечной подгруппы G С Sp(Vr), X - любое разрешение особенностей.
Пример 1.5. У С 0 - нильпотентный конус в алгебре Ли g нолунростой алгебраической группы G, X = T*{G/B) - кокасательное расслоение к многообразию полных флагов G/В, построенному по группе G (это известно как разрешение Спрингера).
Пример 1.6. Обобщение предыдущего примера: X = rr(G/P) - кокасательное расслоение к однородному пространству G/Р, связанному с параболической подгруппой Р С G полупростой группы Ли G. В этом случае У = Spec Я0(X, Ох)
8
- Київ+380960830922