Содержание
1 Введение 3
1.1 Исторический очерк и формулировка основных
результатов.................................. 3
1.2 Предварительные замечания .................. 16
2 Групповые инвариантные упорядочения 19
2.1 Основной критерий........................... 19
2.2 Связь с результатами Ольшанского............ 24
3 Инвариантные упорядочения на флаговых
многообразиях 25
3.1 Инвариантные упорядочения на односвязном
накрытии границы Шилова симметрической области .................................... 25
3.2 Случай произвольного флагового многообразия 28
4 Инвариантные упорядочения на
несимметрических неприводимых однородных
пространствах 30
4.1 Теория Ф.И.Карпслевича о вложении
вещественных алгебр Ли...................... 30
4.2 Полный список вещественных неприводимых
однородных пространств...................... 34
4.3 Доказательство теоремы классификации .... 42
2
1 Введение
1.1 Исторический очерк и формулировка основных результатов
Понятие инвариантного упорядочения встречается во многих областях современной науки. В хроногеометрии рассматриваются причинные структуры: на многообразии Лоренца в каждой точке непрерывным образом выбирается один конус из пары противоположных конусов времениподобных векторов. Возникает естественная задача: можно ли соединить две данные точки непрерывной причинной кривой (направленной в будущее), то есть кривой, касательный вектор к которой в каждой точке лежит в выбранном конусе.
В геометрической теории управления рассматривают систему, состоящую из точек дифференцируемого многообразия и множества управляющих векторных полей на нём. Основная проблема этой теории сотоит в описании множества достижимых состояний в будущем, стартуя с фиксированного состояния. В касательном пространстве каждой точки многообразия можно рассмотреть конус, являющийся выпуклой оболочкой всех векторов управляющих векторных полей. Получившееся поле конусов задаёт причинную структуру на многообразии и связанное с ней упорядочение.
Часто в вышеприведённых примерах бывает, что на многообразии действуег некоторая непрерывная группа, тогда среди всех упорядочений естественно рассмотреть те, которые сохраняет данная группа. Так мы приходим к понятию инвариантного упорядочения. Пусть теперь группа Ли С действует на дифференцируемом многообразии X.
з
Возникает задача описания всех инвариантных упорядочений (причинных структур) на многообразии, а также связанного с ними множества Б = {д Е С\дхо ^ хо, хо Е X}. Это множество является полугруппой и однозначно определяет упорядочение. Поэтому теория полугрупп играет ключевую роль в решении задач связанных с причинными структурами и теорией управления.
Также как и для изучения групп Ли полезно отталкиваться от свойств касательных к ним алгебр Ли, для изучения структуры полугрупп хорошо ввести некоторый инфинитезимальный объект. С каждой подполугруппой 5 группы Ли можно связать касательный конус С(5) в касательной алгебре. Максимальное векторное пространство СП (—С'), содержащееся в С, очевидно, является подалгеброй Ли, конус С инвариантен относительно Ас1ехр(С П (—С)). Полугруппы, которые можно однозначно восстановить по касательному конусу, называются полугруппами Ли. Отметим, что не каждому инвариантному конусу соотвествует нетривиальная полугруппа Ли.
Впервые полугруппы преобразований появились в классических работах С.Ли в приложениях, связанных с теорией дифференциальных уравнений. Систематическое изучение подобных объектов началось в работах Лёвнера [24]. Он рассматривал полугруппы отображений единичного диска в себя, как инструмент в геометрической теории функций. В конце 70-х подполугруппы групп Ли появились в задачах теории управления [22,23,28]. Винберг в работе |1] рассматривает подполугруппы эрмитовых групп Ли, которые топологически порождаются любой своей окрестностью единицы. В это же время появляются работы Ольшанского [10,11], в которых подполугруппы групп Ли используются
4
для изучения унитарных представлений бесконечномерных классических групп, а также впервые вводится понятие полугруппы Ли. Теория полугрупп Ли подробно изложена в монографии Хофмана, Хилгерта и Лоусона [18], а также в книге Хилгерта и Нееба [17]. В 90-х годах прошёл ряд конференций по данной проблематике, труды этих конференций можно найти в [16,20,21].
Перейдём к конкретным определениям. Будем для краткости называть конусом в конечномерном вещественном векторном пространстве V замкнутый выпуклый конус С С V, отличный от 0 и V. Заметим, что конус С, инвариантный относительно неприводимой линейной группы G, имеет непустую внутренность и является строго выпуклым, т.е.
С П (—С) = {0}.
Далее пусть G С GL(K) — связная неприводимая полупростая линейная группа, К — её максимальная компактная подгруппа. Для того, чтобы в пространстве V существовал выпуклый конус, инвариантный относительно G, необходимо и достаточно [1], чтобы в пространстве V существовал ненулевой вектор, инвариантный относительно К. Если такой вектор существует, то он единствен. И в этом случае в пространстве V существуют единственные с точностью до умножения на —1 минимальный инвариантный конус Сшіп и максимальный инвариантный конус Сшах [1]. Говоря об инвариантных конусах в алгебре Ли, мы будем иметь в виду инвариантность относительно присоединенной группы.
Пусть g — простая вещественная линейная алгебра Ли. Обозначим через Е ее максимальную компактную подалгебру. В работе Винберга [1] доказано, что в аігебре g существует инвариантный конус тогда и только тогда, когда dim з(Е) = 1.
5
Это эквивалентно тому, что алгебра g эрмитова, т.е. одна из следующих алгебр: snpiqy врп(Ш), во^ воПу2, EIII, EVII. Любой элемент внутренности инвариантного конуса является ad-компактным [1], а значит, инвариантный конус однозначно определяется своим пересечением с картановской подалгеброй подалгебры 6.
Пусть G — связная простая группа Ли. Инвариантным упорядочением в группе G называется частичное упорядочение на множестве G, инвариантное относительно левых и правых сдвигов. Инвариантное упорядочение однозначно определяется множеством S = {д Е G\g > е}, которое является полугруппой, инвариантной относительно внутренних автоморфизмов. Кроме того, S П S~l = {е}. Инвариантное упорядочение в группе Ли G называется непрерывным, если полугруппа S замкнута и топологически порождается любой своей окрестностью единицы.
С каждым непрерывным инвариантным упорядочением в группе Ли G связан инвариантный замкнутый острый выпуклый конус C(S) в касательной алгебре Ли д, состоящий из всех векторов, касательных1 к кривым, лежащим в S. При этом ехрС(5) С 5, отображение ехр : C(S) —> S является открытым в нуле и полугруппа S алгебраически порождается множеством охрС(£) |8]. Кусочно-дифференцируемую кривую g(t) на группе G назовём времениподобной, если gf(t) Е g(t)C для любого t. Множество всех элементов д Е G, для которых существует времениподобная кривая, соединяющая е с д, совпадает с S [8].
Пусть теперь G — односвязная простая группа Ли. Назовем инвариантный конус С С g допустимым, если существует такая инвариантная полугруппа S С G, что С = C(S). В
6
- Київ+380960830922