Содержание
1 Строение алгебраических систем конечной сигнатуры с ко-
нечным множеством элементарных типов бесконечных подсистем. 12
1.1 Бескванторная интерпретируемость в мономорфных системах. 12
1.2 Копечноморфность систем с конечным множеством теорий бесконечных подсистем............................... 21
1.3 Строение алгебраических систем конечной сигнатуры с конечным множеством элементарных типов бесконечных подсистем ................................................... 28
2 Строение шкалы интерпретируемости для систем, бескван-торно выражающихся через заданный линейный порядок 59
3 Строение сильно субминимальных систем. ТО
3.1 Определение субранга и субстепени.................... 70
3.2 Строение сильно субминимальных систем................ 79
»
1
Введение
Исследование структурных свойств алгебраических объектов является клас сической задачей, решавшейся на про'гяжении всего развития современной математики. Но, как правило, полное решение проблемы структурной классификации находилось лишь для узких классов алгебраических систем: конечно порождённых абелевых групп, векторных пространств, алгебраически замкнутых полей и т.д. Для постановки общей проблемы классификации в 70-80 годах XX века С. Шелахом [12] была разработана теория стабильности, в которой условие классифицируемости для аксиоматизируемых классов систем было точно сформулировано и обосновано [1], [20].
Но, тем не менее, в рамках теории стабильности такой естественный и важный объект как бесконечный линейный порядок оказывается нестабильным, то есть не поддающимся структурной классификации. В связи с эти были предложены и другие подходы к построению структурной теории для нестабильных теорий - в частности теория О-минимальных структур
[2], Г'-стабильность [18] и £'-стабильность [19], обобщающие классическое понятие стабильности.
В классической теории стабильности для классификации алгебраических систем используется понятие системы инвариантов - некоторого дерева, листья которого помечены кардиналами. Существование такой системы инвариантов для теории автоматически влечёт немаксимальность функции спектра для достаточно больших мощностей [13], поэтому теория линейного порядка, имеющая максимальный спектр, не может быть классифицирована при помощи такой системы инвариантов. С другой стороны, теория О-минимальных структур возникла из идеи, что в качестве
2
инвариант для классификации алгебраических систем можно взять сам порядковый тип некоторого линейного порядка, то есть линейный порядок изначально брался в качестве базового простейшего объекта [9].
Кроме того, простейшие в смысле классического понятия стабильности объекты - сильно минимальные алгебраические системы - оказываются устроенными весьма не просто. Некоторое время стояла гипотеза Зильбе-ра [14] утверждающая, что сильно минимальные алгебраические системы либо интерпретирут бесконечное поле, либо локально модулярны. Однако Хрущовский [7] опроверг эту гипотезу, построив не локально модулярную сильно минимальную алгебраическую систему, в которой не может интерпретироваться никакая бесконечная группа.
Данная работа посвящена построению теории, подобной теории ш - стабильности |8|, в которой понятие элементарного типа кортежа замещается на понятие элементарной теории подсистемы. Практически вся теория моделей построена на базовом понятии элементарного типа кортежа - множества формул, характеризующих элементы этого кортежа относительно всех других элементов системы. Понятие типа кортежа по существу описывает отношение между элементарным объектом (кортежом), элементы которого не имеют структуры, и всеми остальными элементами структуры. С другой стороны, если мы попытаемся ввести тип принципиально другого объекта -подсистемы в некоторой исходной системе, то этот объект уже может иметь сложную внутреннюю структуру, и в качестве элементарной характеристики такого объекта можно рассмотреть элементарную теорию этой подсистемы. Заметим, что в отличие от классического понятия типа кортежа в системе, элементарная теория подсистемы описывает не отношение этой подсистемы с другими частями исходной системы, а локально-глобальные
характеристики элементов этой подсистемы (локально - потому что только для элементов данной подсистемы, а глобальные - нагому что предложения описывают строение всей подсистемы глобально, в целом).
В классической теории моделей очень много результатов получено при том или ином ограничении на множества типов. В качестве первого, самого сильного, ограничения можно рассмотреть ограничение до конечности множества типов в системе. Хорошим классическим примером, когда ограничение количества типов до конечного даёт сильное структурное свойство, можно привести известную теорему Рылль-Нардзевского [11], характеризую о;-категоричне теории в терминах конечности множеств элементарных п-типов кортежей в теории. Таким образом постановка вопроса о свойствах алгебрических систем с конечным множеством теорий бесконечных подсистем оправдана аналогией с классическим результатом. В первой главе диссертации этот вопрос полностью решается полным описанием таких систем в случае конечной предикатной сигнатуры.
Замещение понятия элементарного типа кортежа на элементарный тип подсистемы позволяет придать стандартным понятиям рант и степени принципиально иную семантику, по ставнению с рангами в теории стабильности. По аналогии с рангом Морли, в диссертации вводятся понятия субранга и субстепени предложения в некоторой системе, которые характеризуют структурную сложность множества теорий подсистем. Фактически, ранг и степень системы, которые определяются как ранг и степень тождественно истинного предложения, определяют сложность булевой алгебры формульных классов подсистем в исходной системе. Ограничивая ранг и степень, мы ограничиваем сложность этой булевой ачгебры, то есть мы задаём класс систем ограниченной сложности (в данном смысле), для ко-
торого появляются реальные возможности строить структурную теорию. Основной результат данной диссертации, изложенный в третьей главе, состоит в полном описании структуры систем субранга 1 и субстепени 1 (сильно субминимальных алгебраических систем). Для бесконечных систем конечной предикатной сигнатуры это наименьшие возможные значения суб-ранга и субстепени, то есть сильно субминимальпыс системы являются простейшими в вышеуказанном смысле системами в классе всех бесконечных систем конечной предикатной сигнатуры. Показано, что подобные системы тесно связаны с мономорфными и конечноморфными системами, изучавшимися в 60-х годах XX века. В частности, ключевыми для доказательства основных результатов диссертации оказались несколько теорем, доказанных С. Ггавпау [4|, [5|, [б], и Я,. ЯгагэБе [3].
Помимо описания структурной теории некоторого класса при помощи системы инвариантов, есть и другой подход - описывать элементы класса в терминах биинтерпретируемости с некоторым явно заданным классом систем. Борис Зильбер [15] сформулировал программу, основная идея которой заключается как раз в таком описании элементарных классов. Во второй главе диссертации даётся описание шкалы интерпретируемости для систем, бескванторно выражающихся через заданный линейный порядок. Фактически доказывается, что любая система конечной предикатной сигнатуры, бескванторно инстрнретирующаяся в некотором бескопечном линейном порядке, взаимно интерпретируется формулами первого порядка с одним из явно заданых предикатов (среди которых 5 дискретных и две бесконечные серии). В свете программы классификации Зильбера, этот результат имеет самостоятельную ценность.
Таким образом, если сравнить предложенную в данной работе методо-
логию классификации алгебраических систем по сложности с классической теорией стабильности, то можно сделать вывод, что две вышеуказанные проблемы - классифицируемость бесконечных линейных порядков и структурная простота простейших в данном смысле объектов - решаются положительно. Бесконечный линейный порядок типа и является сильно субминимальным (то есть простейшим в данном смысле), более того, все сильно субминимальные системы исчерпываются системами, интерпретирующимися бескванторными формулами через некоторый счётный линейный порядок очень простого вида либо через равенство. Кроме того, в отличие от общепринятого определения О-минимальных стуктур, линейный порядок изначально не фигурирует в определении сложности системы, но возникает естественным образом как простейшая структура. Стоит отметить, что Е.А. Палютин характеризовал понятия О-минимальной и слабо О-минимальной теории в терминах з/-определимости [21], которая, в свою очередь, определяется через /^’-стабильность, так что понятие О-минимачьной теории может быть определено и без явного введения линейного порядка. Также можно отметить, что хотя не все сильно субминимальные системы сами являются О-минимальными, все они интерпретируются в О-минимальных структурах (соответствующих линейных порядках).
В первой главе диссертации изучается строение алгебраических систем конечной сигнатуры с конечным множеством элементарных типов бесконечных подсистем. Эта глава состоит из трёх параграфов.
В параграфе 1.1 сформулированы основные определения, использующиеся в диссертации, а также ряд лемм, характеризующих интерпретируемость строго п-местных предикатов бескванторными формулами в классе мономорфных систем через вложимость их групп автоморфизмов конеч-
ных подсистем.
Лемма 3. Пусть даны два строго т-местных предиката Р и С), выражающихся через некоторый линейутй порядок < бескванторными формулами. Тогда предикат Р выражается через $ бескванторной формулой тогда и только тогда, когда АиЬ(э(тп) < АиЬр(т).
Основной леммой, широко использующейся в дальнейшем, является следующий критерий частичного изоморфизма:
Лемма 4. Пусть некоторый строго тп-местный предикат Р, определённый на множестве А, выражается через некоторый линейный порядок < бескванторной формулой. Тогда любое частичное взаимно-однозначное отображение ф : {«ь ... а„} —> {Ь\,..., Ьп} является частичным изомор-« физмом относительно Р тогда и только тогда, когда соответствую-
щая характеристическая биекция является автоморфизмом из группы АиЬр(п) автоморфизмов подсистем мощности п.
Кроме того, в этом параграфе приводятся некоторые определения из книги [3] (в частности определения индикативных групп - ключевого понятия для развития всей последующей теории) и лемма, обосновывающая взаимно-однозначную связь п-арных расширений групп в терминологии Фраиссе и групп автоморфизмов конечных подсистем в мономорфных системах.
В параграфе 1.2 вначале определяется функция Рго/Ие%(>с), а также вводится понятие п-морфной системы, обобщающее понятие мономорфной системы. Следующее утверждение является основным результатом данного раздела:
7
- Київ+380960830922