О нильпотентной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА I. Аппроксимируемость нильпотентны-ми группами обобщенного свободного произведения групп
§ 1. Предварительные замечания § 2. Необходимое условие нильпотентной аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп §3. Нильпогентная аппроксимируемость обобщенного свободного произведения нильпотентных групп с конечным объединением §4. Нильпотентная аппроксимируемость обобщенного свободного произведения конечно порожденных абелевых групп §5. Аппроксимируемость конечными р-групнами обобщенного свободного произведения нильпотентных групп
ГЛАВА II. Аппроксимируемость относительно сопряженности обобщенного свободного произведения групп
§ 1. Предварительные замечания. Аппроксимируемость относительно сопряженности конечными р-группами конечно порожденных нильпотентных групп
§ 2. Сопряженная отделимость в классе конечных р-групп элементов бесконечного порядка §3. Аппроксимируемость относительно сопряженности конечными р-группами обобщенного свободного произведения
Литература
3
18
18
32
37
51
57
62
62
72
81
88
3
Введение
Пусть /С — некоторый класс групп. Говорят, что группа (7 аппроксимируема группами из класса К (или, короче, /С-аппроксимиру-ема), если для любого неединичного элемента д группы (7 существует гомоморфизм группы (7 на некоторую группу X из класса /С (или, короче, /С-группу), при котором образ элемента д отличен от единицы.
Изучение /С-аппроксимируемости и ряда других апнроксимаци-онных свойств группы является одним из заметных направлений современной комбинаторной теории групп. Наиболее изученным и хронологически первым здесь является свойство финитной аппроксимируемости, т. е. аппроксимируемости в классе Т всех конечных групп. В данной диссертационной работе применительно к конструкции обобщенного свободного произведения групп, т. е. свободного произведения групп с объединенными подгруппами, рассматривается свойство аппроксимируемости в классе N всех нильпотентных групп и в его подклассе Тр всех конечных р-групп.
Первым результатом об ^/’-аппроксимируемости групп является, по-видимому, известная теорема Магнуса [23], согласно которой произвольная свободная группа является ЛГ-аппроксимируемой. М-аппроксимируемость обычного свободного произведения групп изучалась А. И. Мальцевым в работе 9], где были получены необходимые, а также достаточные условия для того, чтобы свободное произведение ЛГ-аппроксимируемых групп являлось .ЛЛаппроксимируемой группой. Доказано при этом, что найденные необходимые условия оказываются и достаточными, если все свободные множители являются нильпотентными группами; соответствующий критерий при дополнительном предположении о конечной порожденности перемножаемых групп допускает следующую равносильную формулировку:
Свободное произведение Н * К неединичных конечно порожденных нильпотентных групп Н и К является N-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются р-группами.
4
В работах, посвященных аппроксимационным свойствам обобщенных свободных произведений и других свободных конструкций групп (таких, как древесное произведение, НИ ^-расширение), а так-?ке групп, строение которых описывается с помощью свободных конструкций (например, групп с одним определяющим соотношением), в качестве аппроксимационного класса рассматривался, в основном, класс всех конечных групп. Достаточные условия ЛЛаппроксимиру-емости свободного произведения двух свободных групп с объединенными циклическими подгруппами получены в работах Г. Баумслага [14] и Д. Н. Азарова [1]. В работе Д. Варсоса [29] рассматривалась Л/’-аппроксимируемость фундаментальной группы графа групп. Критерий Л/’-аппроксимирусмости Я N ^-расширения конечной группы получен в статье Е. Раптиса и Д. Варсоса [26]. Характеризация Я-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром, дана в работе Маккарона [24]. В большинстве же работ по данной тематике речь идет об аппроксимируемости в классе конечных р-групп, и здесь центральным результатом, несомненно, является теорема Г. Хигмана [20], содержащая критерий .^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп.
Переходя к изложению основных результатов данной работы, приведем, прежде всего, необходимое условие ЛЛапп рокси мируемос-ти обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп:
Теорема 1. Пусть Н и К — произвольные нильпотентные группы с подгруппами А^НиВ^Ки пусть р : А —> В — изоморфизм группы А на группу В. Предположим также, что А ф Н и В ф К. Если свободное произведение
С = (Н * К\ А = В, <р)
групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом (р, нвляется Я-аппроксимируемой группой, то существует простое число р такое, что подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно.
Напомним, что если р — простое число, то подгруппа А некоторой группы Н называется р-изолированной в группе Я, если для любого элемента И е Я из того, что кр € А следует, что И £ А. Подгруппа А называется р'-изолированной в Я, если она д-изолирована в Я для всех простых чисел д Ф р.
Предположение о нильпотентности групп Я и Я в формулировке этой теоремы опустить нельзя, поскольку, например, известно, что если группы Я и Я являются свободными, а подгруппы А и В циклическими, причем А является максимальной циклической в Я, то группа О = (Я * Я; А = Я, <р) АЛаппроксимируема (доказано Г. Ба-умслагом [14] в предположении цикличности группы Я и обобщено Д. Н. Азаровым [1]).
Понятно также, что доставляемое теоремой 1 необходимое условие ААаппроксимируемости обобщенного свободного произведения нильпотентных групп не является достаточным. Действительно, как заметил Г. Хигман [20], обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп является ААаппроксимируемой группой в точности тогда, когда оно аппроксимируемо конечными р-группами. Так как в любой конечной р-группе произвольная подгруппа является, очевидно, р'-изолированной, существование не ^-аппроксимируемого обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп свидетельствует о справедливости этого утверждения.
Тем не менее, в диссертации доказано, что АЛаппроксимируе-мость свободного произведения
£ = (Я * Я; А = Я, <р)
групп Я и Я с собственными объединяемыми подгруппами А и В равносильна р'-изолированности подгрупп А и В для некоторого простого числа р в следующих случаях:
(1) группы Я и Я являются конечно порожденными абелевыми (теорема 5);
6
(2) группы Н и К являются конечно порожденными нильпотент-ными группами без кручения, а А и В — центральными подгруппами групп Н и К соответственно (следствие из теоремы 6).
(3) группы Н и К являются конечно порожденными нильпотент-ными, а подгруппы А и В циклическими (теорема 7);
Легко видеть, что всякая конечная подгруппа ЛЛаппроксимиру-емой группы должна быть нильпотентной. В частности, если обобщенное свободное произведение двух конечных групп является ЛГ-аппроксимируемой группой, то оба свободных множителя должны быть нильпотентными группами. При выполнении этого условия критерий Л^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных групп формулируется следующим образом:
Теорема 2. Пусть Н и К — конечные нильпотентные группы, А и В — подгруппы групп Н и К соответственно, причем А ф Н и В ф К, и <р — некоторый изоморфизм группы А на группу В. Пусть
С = (Я * К; А = В, <р)
— свободное произведение групп Н и К с объединенными относительно изоморфизма ф подгруппами А и В. Группа <2 N-аппроксимируема тогда и только тогда, когда для некоторого простого делителя р порядков групп Н и К выполнены следующие два условия:
(1) подгруппы А и В р'-изолированы в группах И и К соответственно;
(2) подгруппа С(р) группы <7, порожденная силовскими р-под-группами групп Н и К соответственно, является Тр-аппрок-симируемой группой.
В действительности, эта теорема является частным случаем теоремы 6 из работы Д. Варсоса [29], а также вытекает из доказываемой здесь более общей теоремы 4, формулировка которой будет приведена
7
несколько ниже. Причина, по которой это утверждение выделено в отдельную теорему, состоит в следующем.
Г. Баумслаг в работе [13] предложил идею, с помощью которой получено подавляющее большинство известных результатов о финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп. В основе этой идеи лежит понятие совместимой пары нормальных подгрупп свободных множителей, а именно, если
б = [Н * К] А = В, <р)
— обобщенное свободное произведение групп Н и К) то совместимость нормальных подгрупп Я ^ Я и 5 ^ К фактически означает, что фактор-группа группы (7 по нормальному замыканию
объединения подгрупп Я и Б является, в свою очередь, обобщенным свободным произведением фактор-групп Н/Я и К/Я. Если теперь запас таких пар совместимых подгрупп Я и 5, что группа заведомо является ^-аппроксимируемой, достаточно богат (в определенном смысле), то это будет гарантировать /С-аппроксимируемость группы (7. Для реализации этой идеи необходим, очевидно, критерий /С-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения групп, принадле?кащих некоторому классу. В случае финитной аппроксимируемости таким критерием служит доказанная Баумслагом [13] теорема, согласно которой обобщенное свободное произведение двух конечных групп является ^"-аппроксимируемой группой, а в случае Тр-аппроксимируемости — упоминавшаяся выше теорема Хигмана. В данной же работе эту роль играет теорема 2, и именно на этом пути получено доказательство теоремы 5, приведенной выше.
К. Грюнберг [19] показал, что конечно порожденная нильпотент-ная группа .^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее периодическая часть является конечной ^группой. Им же доказано, что (обычное) свободное произведение Т^-аппроксимируемых групп снова является ^"р-аппроксимируемой группой. Отсюда и из приведенного выше критерия А. И. Мальцева А^-аппроксимируемости свободного