Применение метода разделения переменных в задачах геоэлектрики

- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ.................................................... 5
Глава I. ИСТОРИЯ ПРОБЛЕМЫ СКАЛЯРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ....................................... 12
§ I. Полная и частичная скаляризация уравнений
Максвелла........................................ 12
§ 2. Применение полей электрического и магнитного типов для скаляризации уравнений
Максвелла.......................................... 16
§ 3. Скаляризация уравнений Максвелла для
постоянного поля................................... 25
§ 4. Метод разделения переменных в задачах
электродинамики ................................... 27
Глава 2. СКАЛЯРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ............................... 33
§ 5. Условия существования полей электрического и магнитного типов общего вида в неоднородных средах ........................................... 33
§ 6. Калибровки потенциалов. Скалярные уравнения электромагнитного поля для полей электрического и магнитного типов общего вида .................... 39
§ 7. Разделение электромагнитного поля на поля электрического и магнитного типов. Полная и частичная скаляризация в трехмерных зада-
. чах электродинамики ............................... 43
§ 8. Краевые условия и условия сопряжения для независимых полей электрического и магнитного типов общего вида.................................. 47
- 3 -
§ 9. Скаляризация уравнений Максвелла в двумерных
задачах электродинамики .............................. 51
§ 10. Квазистационарные поля электрического и магнитного типов в непроводящих немагнитных
средах................................................ 57
§ II. Об эквивалентности сторонних электрических и магнитных токов. Единственность разделения электромагнитного поля на Е- и Н- поля вне области источников .......................................... 62
Глава 3. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ДЛЯ СКАЛЯШЫХ
УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ................... 72
§ 12. Разделение переменных в трехмерных скалярных
уравнениях поля ...................................... 72
§ 13. Разделяющие системы координат для скалярных
уравнений Е- и Н- полей общего вида................... 78
§ 14. Разделение переменных и основные типы
немагнитных сред в двумерных скалярных
уравнениях поля ...................................... 86
Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ В НЕМАГНИТНЫХ ЛИШЕННЫХ ТОКОВ СМЕЩЕНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПРОВОДЯЩИХ СРЕДАХ.......................................... 95
§ 15. Аналитические решения для Е- и Н- полей
общего вида........................................... 97
§ 16. Аналитические решения для Н- поля
специального вида..................................... 107
§ 17. Аналитические решения для Е- поля
специального вида..................................... 120
- 16 -
компоненты поля и удовлетворяющих отдельным скалярным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка. Скаляризацию уравнений Максвелла называют полной, если эти скалярные функции разделяются (не зависят друг от друга) и в граничных условиях, в противном случае говорят о частичной скаляри-зации. Полная скаляризация уравнений Максвелла означает сведение первоначальной векторной задачи к решению двух независимых скалярных задач.
§ 2. Применение полей электрического и магнитного типов для скаляризации уравнений Максвелла
Впервые неэвристический метод скаляризации уравнений Максвелла предложен Т.Бромвичем [1,2] . Он показал, что если в некоторой ортогональной криволинейной системе координат ^ , £ , с коэффициентами Ламе , Л* , выполняются условия
= ал»
где К(У'гтФъ) • произвольная функция координат ^ и , то электромагнитное поле в неподвижной однородной среде в областях пространства, свободных от источников, может быть представлено через две скалярные функции ^ и ^ (потенциалы Бромвича):
Е1 = 3 \ и'> >
а-12)
каждая из которых удовлетворяет отдельному дифференциальному уравнению второго порядка
С1ЛЗ)
- 17 -
где - оператор дифференцирования по координате
( * =1,2,3).
Функции # и ^ описывают соответственно электромагнитное поле электрического и магнитного типов, определенных по отноше-
х')
нию к координате <^1 \ В случае поля электрического типа отсут-
ствует компонента напряженности магнитного поля в направлении координатных линий ^ =0), но Ф 0 # Для поля магнитно-
го типа: Н.ФО , Е.-О . Следовательно, электромагнитное поле
* X
в данном случае представляется в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов. Заметим здесь, что название поле электрического (магнитного) типа идентично названию Е- поле (Н- поле), Е- мода (Н- мода), Е- волна (Н- волна), ТМ- волна (ТЕ- волна), поперечно-магнитное (поперечно-электрическое) поле.
В § 5 мы доопределим понятие полей электрического и магнитного типов в области источников.
Условия (1.11) выполняются, например, в сферической системе координат, для которой^=^ # Соотношения
9^~'ъ дак)Т СБЯЗЬ \^\ потенциалов Бромвича и и г/ с потенциалами Дебая и и , удовлетворяющими в сферической системе координат уравнению Гельмгольца.
А.Зоммерфельд впервые [з] указал на связь потенциалов Дебая с радиальными векторами Герца электрического и магнитного типов при определенной калибровке потенциалов. Систематическое изучение вопроса скаляризации уравнений Максвелла, основанной на представлении электромагнитного поля в виде суперпозиции полей электрического и магнитного типов, проведено для однородных
*^13 дальнейшем, не уменьшая общности, будем рассматривать поля электрического и магнитного типов, определенные по отношению к координате