Расчет ортотропных пластин и оболочек методом граничных элементов

СОДЕРЖАНИЕ
Введение...............................................................4
Глава I. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных уравнений...................................25
§1.1 Фундаментальные решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений...................................25
1.1.1 Преобразование Фурье для получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений.................................27
1.1.2 Получение фундаментальных решений с помощью решения
соответствующего однородного уравнения.......................29
1.1.3 Получение фундаментальных решений с помощью ассоциированного дифференциального оператора.......................31
§1.2 Линейное деформирование длинной цилиндрической панели........32
1.2.1 Цилиндрическая панель по модели Кирхгофа-Лява................32
1.2.2 Пологая цилиндрическая панель по модели Тимошенко............35
§1.3 Фундаментальные решения дифференциальных уравнений с
переменными коэффициентами...................................37
1.3.1 Нахождение фундаментальных решений методом нелинейного
подобия......................................................37
1.3.2 Нахождение фундаментальных решений методом факторизации
дифференциальных операторов..................................40
1.3.3 Нахождение фундаментальных решений с помощью преобразования Куммера-Лиувилля....................................43
1.3.4 Преобразование Ханкеля для получения фундаментальных
решений дифференциальных уравнений...........................46
Сферическая и коническая оболочки............................47
§1.4 Фундаментальные решения систем дифференциальных
уравнений в частных производных..............................53
§1.5 Фундаментальные решения некоторых дифференциальных
уравнений и систем дифференциальных уравнений................55
1.5.1 Изгиб изотропной пластины, лежащей на сложном упругом основании..........................................................55
1.5.2 Изгиб пластины, которая является гибким днищем в сосуде......56
1.5.3 Изгиб ортотропной пластины...................................57
1.5.4 Изгиб ортотропной пластины, лежащей на сложном упругом
основании....................................................60
1.5.5 Плосконапряженное состояние ортотропной пластины.............63
1.5.6 Плосконапряженное состояние ортотропной пластины (способ II).67
1.5.7 Изгиб трансверсально-изотропной пластины.....................69
1.5.8 Изгиб двухслойной пластины...................................71
1.5.9 Изгиб трехслойной пластины...................................74
Глава II. Интегральные уравнения изгиба и плоского
напряженного состояния пластин...............................76
§2.1 Формулы дифференцирования в локальной системе координат......76
§2.2 Метод компенсирующих нагрузок................................78
2.2.1 Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластин.............78
2.2.2 Метод компенсирующих нагрузок для контактных задач изгиба
пластин......................................................82
§2.3 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные
уравнения изгиба пластин.....................................84
2.3.1 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные
уравнения изгиба пластины на упругом основании...............84
2.3.2 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные
уравнения изгиба ортотропной пластины........................86
2
§2.4 Предельные значения потенциалов на границе области для
пластины на упругом основании....................................88
§2.5 Интегральные уравнения изгиба пластины...........................91
2.5.1 Интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на
двухпараметрическом упругом основании............................91
2.5.2 Интегральные уравнения изгиба ортотропной пластины..............92
2.5.3 Интегральные уравнения для контактных задач изгиба пластин......93
§2.6 Метод компенсирующих нагрузок для плосконапряженного
состояния пластин................................................94
§2.7 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные
уравнения плосконапряженного состояния пластины..................96
§2.8 Интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для
плосконапряженного состояния ортотропной пластины................98
§2.9 Регуляризация расходящихся интегралов............................99
§2.10 Численная реализация............................................100
2.10.1 Вычисление сингулярных интегралов по элементам контура........102
Глава Ш.Изгиб изотропных и ортотропных пластин
сложной формы...................................................104
§3.1 Изгиб ортотропных пластин под действием поперечных нагрузок 104
§3.2 Изгиб изотропных пластин, лежащих на упругом основании..........110
§3.3 Температурный изгиб ортотропных пластин.........................116
§3.4 Температурный изгиб изотропных пластин, лежащих на упругом
основании.......................................................119
§3.5 Изгиб многосвязных пластин......................................122
§3.6 Изгиб пластин под действием произвольно распределенных
нагрузок и специальных сил......................................126
§3.7 Контактная задача изгиба пластин, лежащих на упругом
основании.......................................................130
Глава IV. Линейное и нелинейное деформирование
пологих оболочек................................................132
§4.1 Задачи линейного деформирования длинных термоупругих
цилиндрических панелей МГЭ......................................132
§4.2 Задачи линейного деформирования длинных пологих
термоупругих цилиндрических панелей ступенчато-переменной
жесткости МГЭ...................................................139
§4.3 Исходные соотношения задач деформирования ортотропных и
изотропных пластин и пологих оболочек...........................145
§4.4 Расчет гибких ортотропных пластин и пологих оболочек............147
§4.5 Примеры решения задач о больших прогибах ортотропных
пластин.........................................................152
§4.6 Метод аналогии Саченкова A.B. для решения задач об изгибе
ортотропных пластин и пологих оболочек..........................156
§4.7 Примеры решения задач о больших прогибах ортотропных
пологих оболочек................................................159
§4.8 Линейные задачи теории пологих ортотропных оболочек.............165
§4.9 Обратные и многослойные задачи изгиба пластин и пологих
оболочек........................................................170
§4.10 Задачи о больших прогибах пологих оболочек под действием
термомеханического нагружения...................................173
§4.11 Задачи линейного деформирования криволинейно-ортотропных
сферических оболочек вращения...................................176
Основные результаты и выводы.............................................181
Литература...............................................................183
3
ВВЕДЕНИЕ
Развитие различных отраслей современного машиностроения - авиационной и космической техники, судостроения, химического машиностроения, промышленного и гражданского строительства ставит задачи расчета тонкостенных конструкций, сочетающих в себе легкость с высокой прочностью, что и обуславливает их широкое использование.
Современный уровень развития производства характеризуется широким внедрением новых, перспективных технологий для изготовления материалов, обладающих самыми разнообразными свойствами (естественно или конструктивно анизотропные, одно- или многослойные), необходимостью учета при проектировании реальных конструктивных особенностей и условий эксплуатации, а также повышенными требованиями к прочностной надежности, экономичности и т.д. Одним из основных требований к конструкциям является разумное соотношение между надежностью и экономичностью. В связи с этим широкое использование анизотропных материалов и пластиков в машиностроении представляется вполне оправданным. Конструкции и детали, изготовленные из таких материалов (в отличие от изотропных), обладают высокой несущей способностью по произвольно выбранным направлениям, что позволяет снизить вес конструкций (обеспечить экономичность) с одновременным увеличением их прочности.
Повышенные требования к прочности и надежности при уменьшении материалоемкости создают сложные проблемы анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных тел в зоне концентраторов напряжений. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, отверстиями, включениями, накладками при сопряженных воздействиях физических (температурных) полей и механических (локализованных и распределенных внешних силовых) нагрузок [115, 199, 200. 223, 228]. Последние возникают в местах контакта тонкостенных тел со штампами, ребрами жесткости, ложементами и др. Например, при расчете корпусов авиационных реактивных двигателей приходится определять напряженно-деформированное состояние цилиндрической или конической оболочек в области приложения местных нагрузок. Местами приложения таких нагрузок являются точки подвеса двигателя, крепления стабилизаторов и т.д. С локальным нагружением приходится иметь дело при расчете опорных узлов баков, сосудов, реакторов и пр. Наличие концентраторов напряжений в элементах конструкций, изготовленных из хрупких материалов, обычно является причиной их локального разрушения и потери работоспособности конструкции в целом. Кроме того, извесгно, что коррозионный износ конструкций в зонах действия больших локальных нагрузок и температур, а также в зонах сопряжения и крепления узлов конструкций значительно превышает средний уровень. Поэтому разработка методов определения НДС оболочек и пластин при локализованных внешних воздействиях является актуальной задачей. На это неоднократно указывалось в публикациях различных авторов [6, 172] и др. Именно актуальность вызывает повышенный интерес к проблеме в течение последних десятилетий.
Среди тонкостенных конструкций особенно эффективными по своим характеристикам являются пластины и оболочки сложной геометрии. В этом отношении особое значение приобретает форма конструкции. Известный испанский архитектор Эдуардо Торроха отмечал [276]: “Лучшим сооружением является то, надежность которого обеспечивается главным образом за счет его формы, а не за счет прочности его материала”.
4
В работе Филина А.П. [261] отмечается, что наличие всевозможных невторостепенных конструктивных особенностей, как, например, элементы, подкрепляющие пластину или оболочку на контуре или в области, подкрепленные или неподкрепленные отверстия, местные утолщения и тому подобные нерегулярности в ряде случаев приводят к необходимости их учета. Вместе с тем классические расчетные схемы, методы и алгоритмы расчета оказываются, как правило, в этих случаях малоэффективными. • •
Новожилов Г.В. [199] указывает: “следует иметь в виду, что только 10%-ая погрешность в определении напряжений приводит почти к двойной погрешности в ресурсе”.
Теория тонкостенных конструкций имеет свои направления развития и недостаточно исследованные проблемы. Одной из проблем механики тонкостенных конструкций является развитие методов исследования линейного и нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, в частности, оболочек ступенчато-переменной жесткости, которые находят широкое применение в технике. Так, расчетная схема пластин и оболочек с широкими ребрами с учетом эксцентриситета, (расстояния между срединными поверхностями, ребер и оболочек) представляет оболочку ступенчато-переменной жесткости.
Оболочки ступенчато-переменной жесткости и оболочки, ограниченные сложным контуром, относятся к оболочкам сложной геометрии. По определению Гапимова К.З.,. Паймушина В:Н: [79] оболочки сложной геометрии - это оболочки со сложной формой срединной поверхности, не описываемой простыми аналитическими выражениями и со сложной конфигурацией границы.. .
В* настоящее время.теория пластин и оболочек вполне разработана и трудно ожидать, принципиально новых теоретических построений. Центр тяжести исследований сместился в-область решения прикладных задач и их обобщений; круг которых практически неисчерпа-т ем.. Большинство прикладных практически важных задач теории пластин и оболочек относятся к классу краевых задач, аналитическое решение которых в силу различных обстоятельств (неоднородность области, нерегулярность геометрии; сложность граничных условий, нелинейность дифференциальных уравнений) определить невозможно. В этой связи единственно возможным средством для получения« приемлемых по точности и затратам времени результатов при решении практически важных задач являются численные методы. Так, ряд актуальных проблем по моделированию и по методам расчетов тонкостенных оболочек сформулирован академиками Образцовым И.Ф., Самарским A.A. [200; 223]. По словам авторитета в области моделирования и численных методов Самарского A.A. [223], по-прежнему актуальной задачей остается задача создания эффективных дискретных моделей,. разработки методов их реализации на ЭВМ, развитие теории численных методов. Академик Образцов И.Ф. [200] считал, что основная проблема при рассмотрении сложных конструкций - создание эффективных математических моделей деформирования, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными, способствующими, в частности, минимизации затрат машинного временно и памяти ЭВМ. Здесь сразу встает вопрос о существовании универсальных, пригодных для решения численных методов исследования широкого круга практически важных задач.. Относительно существования универсальных численных методов известно, что не существует ни одного метода, обладающего бесспорными прег имуществами при решении бесконечного разнообразия технических проблем [207]. Также актуален вопрос, связанный с выбором наиболее эффективного численного метода для решения поставленной задачи. Здесь до недавнего времени существовали две диаметрально противоположные точки зрения: с одной стороны, считалось, что выбор того или иного
приближенного метода решения краевой задачи не связан с объективными критериями (наиболее эффективным численным методом является тот метод, который хорошо освоил исследователь), а, с другой стороны, - для каждого из них (численных методов) существует круг задач, при решении которых достоинства метода проявляются наиболее полно. Каждый из этих (численных) методов обусловлен необходимостью решения определенного круга задач, имеет свою историю становления и этапы последующего развития с целью расширения области его применения. Но любой из численных методов, имея большие достоинства в плане простоты и эффективности, тем не менее, не лишен определенных недостатков, зачастую принципиального характера, которые обуславливают границы его применения [161, 207]. В диссертации показана обоснованность именно второй точки зрения.
Далее приведен краткий обзор наиболее распространенных методов расчета пластин и оболочек.
Вариационные (проекционные) методы (метод Ритца, Бубнова-Галсркина, наименьших квадратов и др.) находят широкое применение при решении задач теории пластин и оболочек [113, 179]. Если в 50-60 гг. из-за ограниченных возможностей ЭЦВМ по объему памяти и быстродействию не удавалось решать задачи в высоких приближениях, то с вводом в действие мощных ЭВМ возможности этого метода значительно расширились [148].
Для успешного решения задачи вариационным методом необходимо удачно подобрать аппроксимирующие функции, представляющие линейную комбинацию координатных функций с неопределенными коэффициентами, которые должны удовлетворять геометрическим граничным условиям, в то время как статические условия выполняются при этом автоматически.
В качестве координатных функций применяются тригонометрические многочлены, степенные полиномы, сплайны (кусочные полиномы). Однако выбор таких функций для пластин и оболочек неканонического очертания является сложной задачей. Методы Ритца, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов и др. различаются лишь способом определения коэффициентов при координатных функциях.
Метод граничной коллокации. Идея метода принадлежит академику Канторовичу Л.В. [131]. Решение краевой задачи строится в виде ряда, который содержит произвольные параметры или функции, чтобы дифференциальные уравнения удовлетворялись точно, а краевые условия дискретно. Неизвестные параметры находятся из решения системы алгебраических уравнений. Обзор работ, выполненных методом коллокации, дан Рогалевичем В.В. в [220].
Но метод граничной коллокации имеет существенный недостаток. Метод коллокаций характеризуется известным произволом в выборе точек коллокаций, что особенно существенно при решении задач в невысоких приближениях.
Метод консчных.разностей (МКР, FDM'- от англ. finite difference method).
Одним из первых приближенных методов был МКР, основанный на замене дифференциальных уравнений соответствующими уравнениями в конечных разностях.
МКР привлекателен тем, что его в принципе можно применить к любой системе дифференциальных уравнений, но учет граничных условий задачи часто является громоздкой и трудно программируемой операцией. Таюке в МКР возникают трудности решения задач на сосредоточенные воздействия. Точность полученного численного решения- полностью зависит от степени измельчения сетки, определяющей узловые точки, и, следовательно, в процессе решения задачи всегда приходится иметь дело с системами алгебраических уравнений очень высокого порядка и с ухудшением обусловленности матрицы системы (при стремлении шага сетки к нулю также стремится к нулю и определитель системы).
Метод конечных элементов (МКЭ, FEM - от англ. finite clement method).
МКЭ является синтезом энергетических методов, представлений о конечных разностях и структурном моделировании при помощи вычислительных машин.
Количество публикаций по МКЭ не поддается учету (не говоря уже о научно-технических отчетах). Отмстим лишь некоторые знаковые обзорные статьи [27, 140]. Подтверждением развития МКЭ служат многочисленные пакеты прикладных программ, которые появляются и исчезают уже на протяжении 40 лет [85].
По одним сведениям первой работой, в которой фактически был реализован МКЭ, была работа Хренникоффа Л., 1941 г. [38], по другим — статья, опубликованная Курантом в 1943 г., а название “метод конечных элементов’' вводится Клафом в 1956 г.
Применение МКЭ связано с предварительным разбиением континуальной области па конечные элементы какой-либо формы и представлением решения в пределах элемента в виде многочлена с малым конечным носителем. Система уравнений МКЭ непосредственно получается из условия минимума полной потенциальной энергии, т.е. из вариационного уравнения Лагранжа. В ряде работ устанавливается связь МКЭ с вариационными методами Бубнова-Галеркина и Ритца [85]
Хотя МКЭ в настоящее время является одним из наиболее популярных методов, тем не менее применение его к двумерным нелинейным задачам сопряжено с большими затратами машинного времени.
Метод граничных элементов (МГЭ, ВЕМ - от англ. boundary element method).
В последнее время интенсивно развивается МГЭ, или метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), представляющий собой вариант общего метода потенциала [65]. Применение МГЭ для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, тогда же были получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905 г. вышла работа Фрсдгольма по исследованию интегральных уравнений [2991.
Современная библиография МГЭ обширна. Опубликованы многочисленные научные работы, монографии, в которых изложены теоретические основы метода и различные аспекты его применения. Среди первых монографий, посвященных различным аспектам МГЭ (в основном для расчета трехмерных тел), отметим работы Крузе Т., Риццо Ф. [293, 2941, Бенерджи П., Баттерфилда Р. [31], Domingues J., Бреббия К. (именно им приписывают введение терминов “граничные интегральные уравнения” (ГИУ) и МГЭ), Теллеса Ж., Вроубела Л., Уокера С. [38, 39, 282, 283], Крауча С., Старфилда А. [156], Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М. [257], Партона В.З., Перлина П.И. [208], Алсксидзе М.А., Верюжского Ю.В. [65], Коренева Б.Г. [137-142], Купрадзе В.Д. [164], Мусхелишвили П.И. [185, 186]. Игумнов Л.А. утверждает, что МГЭ в его нынешнем виде появился именно в работе Мусхелишвили Н.И. в 1937 г., а затем в работе Горгидзе А.Я. и Рухадзе А.К. Математическому обоснованию МГЭ обязан работам Купрадзе В.Д. [164], которые стали возможны благодаря результатам Зигмунда А., Кальдерона А., Михлина С.Г. [177-179] по теории сингулярных интегральных операторов; расширению теоретических основ МГЭ - работам Кальдерона А., Сили Р., Эренпрейса [296], Мальгранжа, Хермандера Л. [263, 297]. В то время, в период возрастающего интереса к МКЭ, эти работы не привлекли должного внимания ученых. Развитие МГИУ относится, очевидно, к семидесятым годам, когда стало ясно, что не во всех случаях МКЭ является достаточно эффективным.
7
Библисярафический анализ показывает, что МГЭ но востребованности уверенно занимает третью позицию (после МКЭ и МКР) среди численных методов.
Главное в идейной стороне метода - зависимость между значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и их значениями на границе. Эта зависимость устанавливается переходом от дифференциальных уравнений к следующим из них интегральным соотношениям. Последовательное использование этой идеи приводит к замене дифференциальных уравнений, требующих нахождения неизвестной функции во всей области, на эквивалентные (в определенном смысле) интегральные уравнения на границе области. Такие уравнения и называются граничными интегральными уравнениями (ГИУ). Поэтому МГЭ, который представляет собой численную реализацию решения таких уравнений, часто называют МГИУ.
Причины задержки в развитии МГЭ по сравнению с МКЭ в том, что работы по теории ГИУ написаны на строгой математической основе, которая не вполне знакома большинству ученых-прикладников. В этой связи актуальным представляется популяризовать фундаментальные математические разработки МГЭ, начиная, прежде всего, с университетов, дающих классическое математическое образование (ведь идеи МГЭ зачастую лежат в стороне от дисциплин, изучаемых в технических вузах).
Кроме непосредственного использования МГЭ возможно использование его в сочетании с МКЭ, объединяя преимущества обоих методов. Так, МКЭ позволяет учитывать сложные граничные условия, значительную неоднородность свойств материала и т.д., а использование МГЭ удобно в областях с большими градиентами искомых функций [31].
Параллельное развитие, взаимовлияние и комбинированное использование МКЭ и МГЭ привело к более глубокому пониманию общности этих методов и введению понятия обобщенного метода конечных элементов (ОМКЭ) [126]. В ОМКЭ методы, связанные с использованием ГИУ, трактуются как конечноэлементные со специальным выбором базисных функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям краевой задачи. Разрешающие уравнения МГЭ получаются в этом случае с помощью метода взвешенных невязок. Такой подход позволяет с единых методологических позиций исследовать сходимость методов, получать оценку точности численного решения и строить процедуры адаптивного уточнения решения, интерес к которым значительно возрос в последнее время. Несмотря на обобщенную трактовку МКЭ и МГЭ, алгоритмическая структура методов значительно различается.
Несомненный интерес представляет всестороннее сопоставление МКЭ и МГЭ.
1. МКЭ предполагает дискретизацию всей области, в то время как МГЭ - лишь границы области, на геометрию контура которой практически нет ограничений. В результате использование МГЭ снижает на единицу геометрическую размерность исходной задачи, что является одним из главных преимуществ МГЭ (особенно для трехмерных областей), а значит усилий, направленных на подготовку данных в МГЭ, существенно меньше, чем требуется для МКЭ, включающего геометрическое моделирование внутренней части тела. В результате снижение затрат на подготовку информации приводит к снижению затрат на память, время, а, значит, и стоимость вычислений. Время решения трехмерных задач МКЭ и МГЭ при близкой точности обычно оказываются в 4-10 раз меньше для МГЭ.
2. Так как в МГЭ используется аналитическое решение, которое справедливо всюду в области, то он потенциально более точен, чем МКЭ, в котором аппроксимации производятся в каждой подобласти. Кроме того, в МГЭ не возникает проблемы по обеспечению совместности элементов, как в МКЭ.
8
3. Решение внутри области в МГЭ полностью непрерывно, что делает МГЭ незаменимым методом при анализе областей с быстро меняющимся напряженным состоянием в отличие от МКЭ.
4. В МГЭ сначала определяются неизвестные величины на границе и только потом определяются неизвестные величины в любой точке области (если требуется), которые находятся как отдельный шаг, вместо автоматической привязки результатов к ряду фиксированных точек, как в МКЭ. В МКЭ решение в узлах области вычисляется сразу для всей конструкции, а напряжения вычисляются отдельно для каждого конечного элемента (поэлементно).
5. МГЭ приводит первоначальное дифференциальное уравнение к граничному интегральному уравнению, которое является точной формулировкой поставленной задачи. Накопление погрешностей происходит в ходе численного решения интегральных уравнений вследствие появления погрешностей дискретизации, аппроксимации и счета. Необходимо отметить, что численное интегрирование, используемое в МГЭ, является устойчивым процессом и позволяет получить существенно меньшие уровни погрешностей, чем численное дифференцирование, являющееся составным элементом МКЭ. Величина погрешности МКЭ зависит от многих параметров самой разнообразной природы, среди которых важнейшие: размеры и число узлов отдельных конечных элементов; аппроксимирующие функции; особенности вычисления матрицы жесткости; алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); качество программ; тип используемой ЭВМ и др. Практика использования МКЭ в решении сложных задач показывает, что следует обратить особое внимание на аппроксимирующие функции внутри отдельного конечного элемента.
6. Задача, решенная МГЭ, сводится к СЛАУ с полностью заполненной несимметричной матрицей, а решенная МКЭ - к СЛАУ с редкозаполненной симметричной положительно определенной матрицей. Различия в структуре СЛАУ, полученных МГЭ и МКЭ, приводят к различным методам для их эффективного решения. Так, основой для решения СЛАУ МГЭ, например, является метод Гаусса, а МКЭ - метод Холецкого. Существенным преимуществом СЛАУ МГЭ в сравнении с СЛАУ МКЭ для рассматриваемой задачи является существенно меньший порядок СЛАУ.
Но МКЭ имеет ряд важных преимуществ, определивших его популярность:
- свобода в размещении узловых точек;
- неограниченные возможности совершенствования аппроксимаций с учетом тех или иных физических особенностей задачи;
- гибкость и удобство приближения сложных формулировок граничных условий;
- возможность сочетания в одном ансамбле конечных элементов различных типов, причем имеется возможность сгущения сетки в местах ожидаемой концентрации напряжений;
- возможность решения задач с непрерывными или частными изменениями свойств среды;
- большой выбор средств для учета нелинейных эффектов и анизотропии в объемах среды, однако, их применение сопряжено с большими затратами машинного времени;
- простота используемого математического аппарата;
- большое количество коммерческих пакетов программ и, как следствие, физическая наглядность, сделали его одним из самых популярных методов решения задач механики.
Задачи, решение которых МГЭ предпочтительнее (или единственно возможно) в сравнении с МКЭ:
- задачи об остром концентраторе, причем МГЭ позволяет аналитически описывать особенности решения;
9
... ■ , ■ . • ■ . . • t t
■ ■ I • < ■ • ■ 4.
«. * • • . _ • •, . .' ’ I. . * j * • ' , . f •
. _ • • _ * • 1 * '«•••• . U J I'l‘ , l
- особенно эффективен МГЭ при анализе систем, границы которых частично находятся в бесконечности или содержат полубесконечные области с “ненагруженными” участками свободной границы; ’ , ’ ' • . ' • ■' :•* .V'."1' !
- задачи расчета удлиненных областей из-за невозможности описания с необходимой точностью поведения модели при дискретизации как двумерных, так и трехмерных задач линейной упругости; -
- основные преимущества МГЭ проявляются в тех задачах, где рассматриваемая область представляется ограниченным набором однородных подобластей;• ..." ... .
- МГЭ легко может быть использован для несжимаемых тел, тогда как вариант МКЭ в'пере--*
- мещениях В ЭТОМ случае неприменим.. ; " / V. V ' ; " • Г V *'*■ •: !*’
Сказанное позволяет сделать вывод, что нет необходимости противопоставлять эти. методы. При решении практических задач следует применять тот метод, который лучше . * . соответствует особенностям рассматриваемой задачи. . • :
Таким образом, показано,.что выбор в диссертации МГЭ применительно к исследованию деформирования изотропных и анизотропных материалов с ограниченным набором однородных подобластей и действующих распределенных, сосредоточенных нагрузок и температурного поля, представляется вполне оправданным.. ' • г. '■ ■ '
И связи с запросами практики в начале XX века были заложены основы теории пла-
. стин и оболочек, естественным направлением развития которой стала нелинейная теория1 .оболочек. Практическая важность их рассмотрения вызвана требованиями промышленности, особенно таких ее отраслей, как авиация, судостроение, приборостроение, строитель- • ство. Интерес к исследованию нелинейных1 эффектов здесь обусловлен, с одной стороны^ необходимостью их учета при проектировании и расчете конструкций, а с другой стороны— сознательным их использованием для придания конструкциям требуемых характеристик.
В связи с этим, по словам Андронова A.A., необходимо создать нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах. , , '1 • .
К настоящему времени нелинейная теория в механике твердого деформируемого тела (МДТТ) стала обширным разделом, интерес к которому, судя по числу публикаций, непрерывно возрастает. Трудно перечислить всех ученых, внесших значительный вклад в развитие вопросов нелинейной теории. Но выдающийся вклад в*эту теорию внесли: .Новожилов В.В., Морозов Н.Ф., Черных К.Ф. (ленинградская школа; внесли большой вклад в постановку и исследования проблем нелинейной теории упругости); Муштари Х.М., Галимов КЗ., Корнишин М.С., Саченков A.B. (казанская школа;: внесли большой вклад в', формулирование и разработку задач нелинейной теории пластин и оболочек); Ляв- А., Бубнов И.Г., ■ Тимошенко С.П., Власов В.З., Болотин BÜB., Ворович И.И., Григолюк Э.И., Кабанов В.В., Ильюшин A.A., Лурье А.И., Феодосьев В.И.; Динник А.Н., Ал футов H.A., Андреева Л1Е., Бидерман В.Л., Вольмир A.G., Михлин С.Г., Петров ВВ., Попов Е.П., Свирский И В;, Оден д. и др. , . / :• . ; • • .•■;/ г
Длительное время развитие нелинейной теории значительно опережало ее приложения, что объясняется значительными вычислительными трудностями* (причем трудность '■'/ теоретического решения этих задач является принципиальной и связана в основном с нели-1 нейным характером упругого деформирования и сложностью разработки алгоритма их чис- : ленного решения), возникающими при решении нелинейных задач. Поэтому до появления ЭВМ такие решения были единичными. С бурным развитием вычислительной техники поя- ; вилась возможность преодолеть эти трудности и решать важные для практического прило-! . • : .• - • '* . • :У'- 10 • •• • 'г • ; •; f . - [ \v’
S ... ■ .■ : V . ,
. . ■ • ,. . . ' •; . ■ . “•
жения нелинейные задачи. Среди таковых особенно трудны задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел, а, значит, остается много открытых вопросов в постановках и решениях нелинейных задач МДТТ [151].
В настоящее время в литературе все большее внимание уделяется исследованию вопросов изгиба и устойчивости тонких пластин и оболочек под действием нагрузок, отличающихся от классических значительной сложностью по своему характеру. Естественным при этПм является стремление учесть всевозможные факторы, оказывающие влияние на величины критических нагрузок, такие, как комбинированное действие нагрузок, момент-иость начального состояния, начальная погибь, анизотропия и неоднородность материала, различные граничные условия и т.д. Решение этих вопросов в последнее время стало возможным благодаря широкому использованию средств вычислительной техники. На этом пути было получено много новых интересных результатов, касающихся оценке изгиба и устойчивости пластин и оболочек и разработки алгоритмов решения подобного рода задач. Однако многие задачи остаются нерешенными до сих пор. К настоящему времени накоплен определенный материал по расчету' гибких пластин и оболочек при различных видах нагружения, однако он недостаточен для удовлетворения растущих запросов практики. Данных для расчета гибких панелей в литературе приводится очень мало, причем большинство задач решаются в линейной постановке.
Значительное распространение получили итерационные методы, с помощью которых решаются многие сложные линейные и нелинейные задачи МДТТ. При этом одними из основных вопросов являются вопросы о выборе итерационных параметров и об ускорении сходимости итерационного процесса. Желательно, чтобы итерационные параметры и процедуры ускорения сходимости можно было выбирать без использования какой-либо априорной количественной информации об операторе краевой задачи или о системе уравнений, что позволяет использовать разработанные алгоритмы для широкого класса задач.
Как уже отмечалось, специфичность нелинейных задач создает серьезные трудности при разработке методов их решения. Но среди всех нелинейных задач можно выделить заметный класс задач, содержащих параметр. Появившись сначала как инструмент исследования общих свойств решений, идея продолжения по параметру приобрела новый смысл в работах Лаэя и Давиденко Д.Ф., где она была использована для построения численных алгоритмов решения нелинейных задач. Главное в ней - эго использование для получения решения на текущем значении параметра той информации, которую даст решение для предыдущего значения параметра.
Кроме задач нелинейного деформирования, которые являются областью традиционного применения метода продолжения но параметру, этот метод может быть эффективно применен и в других задачах. Поэтому цель диссертационной работы также состоит в расширении области применения метода продолжения по параметру и в решении на этой основе практически важных задач.
Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны исследований, представленных в работе, для раскрытия их связи с другими исследованиями, приводится краткий обзор литературы. Тема диссертационного исследования довольно обширна и отражена в многочисленных публикациях. Приводимый обзор литературы не претендует на полноту. Б него, в основном, вошли работы по определению напряженно-деформируемого состояния пластин и пологих оболочек, по развитию метода граничных элементов для решения задач в этой и смежных областях.
11
В настоящее время классическая теория оболочек является хорошо разработанной областью МДТТ. По теории изотропных и анизотропных оболочек имеются фундаментальные работы [3, 4, 33, 67, 68-71, 77-79, 108-111, 122-124, 187-192, 210, 251, 261, 269].
Обзоры публикаций по оболочкам сложной формы приведены в работах [78, 149, 196, 212,275].
Отметим, что уравнения ортотропных цилиндрических оболочек впервые были введены Муштари Х.М., а общий случай анизотропии был рассмотрен Амбарцумяном С.А., однако, в отношении методов интегрирования уравнений при общей анизотропии первые результаты получены Саркисяном B.C. [225].
Даревским В.М., учитывая факт неограниченного возрастания значений некоторых искомых функций около места приложения сосредоточенной нагрузки, выведены простые асимптотические формулы, характеризующие поведение этих функций в окрестности особых точек, а в [267] Христенко A.C. - аналогичные формулы для ортотропных цилиндрических оболочек
В работе Мовсисяна JI.A. [180] рассмотрено несколько частных случаев деформации цилиндрической ортотропной оболочки вращения с опорными концами. Исследован вопрос об оптимальном выборе необходимых механических характеристик.
Вопрос определения малых перемещений тонких упругих цилиндрических изотропных и ортотропных оболочек конечной и бесконечной длины при воздействии линейной окружной нагрузки освещен в работе Жигалко Ю.П. [123]
В работе Артюхина Ю.П. и Саченкова A.B. [24] устанавливается аналогия, согласно которой решение некоторых задач для ортотропных пластин и оболочек может быть получено из соответствующего решения для изотропных пластин и оболочек. Аналогия справедлива в случае, когда два модуля упругости ортотропного материала могут быть заменены одним приведенным. Таким путем получены асимптотические формулы для усилий, моментов и прогиба цилиндрической оболочки при радиальной сосредоточенной силе, формула для прогиба в точке приложения радиальной силы к свободно опертой оболочке.
В статье Васильева В.В. [48] рассмотрена свободно опертая по торцам круговая цилиндрическая оболочка из ортотропного материала с локальной радиальной нагрузкой. Исследуются напряжения и прогибы в оболочке на основе уравнений, учитывающих деформацию поперечного сдвига.
В работе Саченкова A.B. [226] в линейной постановке решается задача об изгибе пологих ортотропных оболочек. Уравнения изгиба оболочки относительно нормального прогиба и функции усилий в срединной поверхности записываются в виде одного уравнения в комплексной форме. Показывается, что путем аффинного преобразования координат задача сводится к двум задачам для некоторого изотропного материала. Рассматриваются также возможности применения предложенного подхода к решению плоской задачи теории упругости для ортотропного тела.
Отметим, что весьма пологие изотропные и ортотропиые оболочки впервые исследовались в работах Фейнберга С.М. [259], Амбарцумяна С.А. [3, 4], а таюке при решении различных задач теории пологих оболочек в работах Векуа И.Н. [51], Хачатуряна Т.Т. [262] и др.
Несмотря на многочисленные журнальные статьи, известны лишь некоторые монографии, посвященные анизотропным оболочкам. В этой области большое место занимают труды Амбарцумяна С.А. [3, 4].
Немалую роль в развитии теории анизотропных пластинок и оболочек сыграли и монографии Лехиицкого С.Г. [167, 168].
12
Достаточно полная библиография по теории оболочек и пластин имеется в книге Огибапова П.М. и Колтунова М.А. [201].
Некоторые вопросы теории пластин и оболочек исследованы в монографии Саркисяна B.C. [225] методом малого физического и геометрического параметра.
Корнишин М.С. с учениками [144-150] решают линейные и нелинейные задачи изгиба пластин и оболочек непрерывной и ступенчато-псрсмснной жесткости.
Грибов А.П. [94] решает задачу об изгибе пологой оболочки с двумя скачками жесткости. На внешнем контуре оболочки рассмотрены граничные условия шарнирного опирания и жесткой заделки. Автор делает вывод, что увеличение толщины жесткой области позволяет в некоторых случаях снижать прогибы и напряжения наполовину.
В связи с развитием вычислительной техники интенсивно развиваются исследования по расчету оболочек численными методами на ЭВМ. Публикаций на эту тему очень много. Отметим только часть наиболее известных монографий [43, 68-70, 86, 111, 113, 114, 125, 144, 157,211,217-219].
Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей (МКР). В работах Вайнберга Д.В., Вольмира A.C., Григоренко Я.М., Мукоеда А.П., Корнишина М.С., Петухова П.П., Крысько В.А., Столярова H.H. и др. изложены способы построения разностных схем [43, 44, 68, 69, 70, 113, 114-146, 160,212, 241].
Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии посвящен цикл работ Корнишина М.С., Паймушина В.Н., Якупова Н.М. и их учеников [79, 147, 202, 204, 276]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.
Одним из универсапьных методов решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. По этому методу опубликовано очень большое число работ, в том числе известные монографии и работы Бате К., Вилсона E., Голованова А.И., Корнишина М.С., Зенкевича О., Моргана К., Постнова В.А., Рикардса К. и других [27, 83-86, 125, 126, 217, 219].
Значительное применение в теории пластин и оболочек получили методы коллокации. Их развитию и реализации посвящены работы Корнишина М.С., Рогалевича В.В., Григоренко Я.М. [112, 144, 220, 221] и др.
В работах Артюхина Ю.П., Ссразутдинова М.Н. дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной формы, рассматриваются вопросы подкрепления пластин и оболочек сложной конфигурации ребрами, построения координатных функций для сложных областей [230, 231, 277].
Одним из эффективных методов, позволяющих исследовать НДС и устойчивость пластин и оболочек сложной формы, является теоретико-экспериментальный метод, предложенный Саченковым A.B. [227] и развитый в работах [153, 196].
Отметим также ряд оригинальных численных методов, эффективных при решении определенного круга задач. К ним относятся методы изопарамстрических неравенств, методы, основанные на применении специальных координат, теории вероятности, специфических разложений и представлений решений [160], метод электрического моделирования [132].
Развитию и применению метода продолжения по параметру для исследования нелинейного деформирования пластин и оболочек посвящены работы Вольмира A.C., Воровича В.В., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Баженова В.А., Валишвили Н.В.,
13
Петрова 13.В., Крысько В.А., Корнишина М.С., Столярова H.H., Ганеевой М.С.и др. [45, 68-71,80, 111, 157-159,211,239-243].
Как отмечает Григолюк Э.И. в предисловии к переводу монографии [38], историческим предшественником и основой метода граничных элементов является теория инте-гральных уравнений. Впервые Грин Г. получил интегральное уравнение в теории потенциала, которое является альтернативой дифференциальному уравнению. Существенный вклад в становление и развитие теории граничных интегральных уравнений принадлежит Фредгольму. Он использовал метод теории потенциала и теорию линейных интегральных уравнений для решения статической задачи теории упругости [300]. В дальнейшем теоретические исследования в области граничных интегральных уравнений проводились главным образом в приложении к теории поля. Фундаментальные исследования в этом направлении принадлежат математикам Михлину С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвили Н.И., Смирнову В.И. и др. [164, 177-179, 185, 186]. Так, Михлин С.Г. рассматривал интегральные уравнения не только со скалярными подынтегральными функциями, но и с векторными, что в значительной мере расширяет область применения теории интегральных уравнений. Кроме того, подынтегральные функции могли содержать различные особенности и разрывы непрерывности в области интегрирования. Большое внимание уделено представлению гармонических потенциалов через комбинацию поверхностных потенциалов простого и двойного слоя, что автоматически приводит к интегральным уравнениям Фредгольма. В дальнейшем, как оказалось, такого рода представление стало возможным использовать в качестве основы для формулировки непрямого метода г раничных элементов (НМГЭ).
В работе Купрадзе В.Д. [164] разрабатываются подходы к формулировке и решению задач теории упругости на основе сингулярных граничных интегральных уравнений. Исходя из теории потенциала, получены векторные интег ральные уравнения, характеризующие поведение упругих тел. Приведены основные сингулярные решения в виде фундаментальных решений для некоторых видов дифференциальных уравнений теории упругости. Подробному изучению и анализу подверглись сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Предложены подходы в вопросе регуляризации сингулярных интегралов. Введенное понятие распределенной поверхностной плотности потенциала источника позволило установить зависимость перемещений и напряжений на границе упругой среды, что представляет большие потенциальные возможности в решении основных задач формулировки метода граничных интегральных уравнений и приведено, видимо первое, доказательство их эквивалентности.
В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорогно разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Партона В.З., Перлина П.И. и др. [50, 81, 177, 178, 208, 209].
Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.
В этом направлении выполнены фундаментальные работы Корнейчука A.A., Белоцерковского С.М., Лифанова И.К., Габдулхасва Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. [30,35-37, 72, 143, 197,214,215].
В работах Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [73-76, 330] построены интегральные уравнения, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично
14
совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных представлений принадлежит: Купрадзе В.Д. и применялась Гавелей • С.П.,=-
Мельниковым Ю.А. и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.. . . • ; у '• -*•
Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю:В., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С., Бснерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф:, Теллеса Ж., Вроубела Л., Громадки Т., Лея Ч. и др. [38, 39, 65, 118,156, 208, 209, 257, 293^ 294,248]. .. Л ' >г 7 •
Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основанный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ Бетти, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический, смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения и усилия. С прикладной точки зрения впервые этот метод описан в работе Круза Т. и Риццо Ф. [293]. В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности, не обладают каким-либо физическим смыслом,, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов, отвечающих рассматриваемой задаче. ‘ у.
. Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок.. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или но некоторому контуру, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом Направлении выполнены Кореневым Б.Г. [137];..и дальнейшее развитие этот метод ’ получил в .работах Толкачева В.М., Артюхина Ю:П., Венцеля Э.С. и др. [20т22, 56-64, 252-254].
Монография Верюжского Ю.В! [65] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел при статическом-нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам.' Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочнолинейных и сплайновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.
Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В.М. [252-254], где особое, внимание уделено* теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения-ядер в-особых точках, определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей. Заложены теоретические основы к анализу интегралов с сильной особенностью типа 1 /г2 ;при г —> 0, которые позволяют опреде-
' • М» , " 9 •* V * *
лить подходы по приданию определенного смысла таким интегралам и их последующего вычисления. . . ;■./ ‘ ;; V • 1 V • •
Работы Венцеля Э.С. и его соавторов [56-64] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сферических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины,, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [60].-.
15 . ■ .■ ■. ‘ ’.••••
Существенное развитие по многим направлениям метод компенсирующих нагрузок получил в работах Артюхина Ю.П. с учениками [6, 14, 15-18, 20-23], в которых метод компенсирующих нагрузок был применен к решению задач изгиба тонких изотропных пластин произвольного очертания при различных способах опирания и произвольном нагружении; выполнен детальный анализ и решены возникающие проблемы при получении и вычислении различных сингулярных интегралов; применен метод компенсирующих нагрузок к задаче изгиба пластин средней толщины, при решении данной проблемы получены основные граничные интегральные соотношения с ядрами в виде функций Макдональда нулевого порядка и дан исчерпывающий анализ возникающих при этом особенностей. Решен вопрос об учете температурного воздействия на пластину совместно с силовым нагружением. Метод граничных элементов получил развитие не только применительно к линейным, но и к нелинейным задачам теории пластин и оболочек. Рассмотрены и решены методом граничных элементов задачи изгиба ортотропных пластин, контактные задачи изгиба для тонкостенных элементов и плоских тел. Метод получил развитие в приложении к расчету пологих сферических оболочек и оболочек положительной двоякой кривизны. Итогом исследований по целому ряду направлений явились диссертационные работы Крамина Т.В. [155], Крамина М.В. [154] и Малкина С.А. [174], которые свидетельствуют о применении метода граничных элементов к новым типам задач.
Заметный вклад в развитие метода граничных элементов внесен Грибовым А.П. В ряде работ [14-18, 91-95, 98-107] с соавторами проведено исследование большого круга проблем, связанных с расчетом пластин и оболочек, как в линейной, так и в нелинейной постановках с использованием прямого и непрямого вариантов метода граничных элементов. Для решения конкретных задач производился детальный анализ предельных значений потенциалов. На основе проводимого анализа сингулярных ядер предложен ряд методик по вычислению сингулярных интегралов. В наиболее полном виде результаты исследований изложены в диссертационной работе [95] и последующей за ней монографии [17] в соавторстве с Артюхиным Ю.П. и в 1103-105] с Малаховым В.Г.
Основой построения ГИУ являются фундаментальные решения. Построению и исследованию фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Артюхина Ю.П., Бслоносова С.М., Власова В.З., Григолюка Э.И., Даревского В.М., Жигалко Ю.П., Куканова Н.И., Лукасевича С., Мельникова Ю.А., Нерубайло Б.В., Ольшанского В.П., Толкачева В.М., Хижняка В.К., Чернышева Г.Н., Шевченко В.П., Образцова И.Ф., Мораря Г.А., Buchwald V.T., Kwang Chien Ho, Fu Chen, Sanders J.L., Sim-monds J.G., Bradly M.R. и др. [6, 17, 29, 100, 172, 264, 265, 269, 271, 272]. Отметим, что в [17, 172, 269] приведены существенно отличающиеся друг от друга представления фундаментальных решений задачи изгиба ортотропных пластин, в результате чего возникла задача отыскания истинного фундаментального решения.
В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [264, 265, 272] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения для пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.
16
В работах Мораря Г.А. [181-184] разработан метод разрывных решений, который позволяет решать методом граничных интегральных уравнений задачи расчета пластин и пологих оболочек с дефектом типа трещин, включений. Для плоской задачи теории упругости этот метод излагается также в монографии [156].
Метод построения граничных интегральных уравнений теории оболочек сложной геометрии на основе формулы Сомилиана предложен Паймушиным В.Н. и Сидоровым И.I I. [203].
Синтезу метода граничных элементов и вариационного метода при расчете пластин и оболочек посвящены работы Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [26, 231, 232]. Предложенный подход использует основные достоинства МГЭ - возможность удовлетворить краевым условиям на линии сложной формы, а также известные достоинства вариационных методов. Решение основано на известном фундаментальном решении некоторого дифференциального оператора (в частности, задачи изгиба изотропной пластины).
В [334] Сидоровым И.Н. предложен метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко, основанный на: записи уравнений равновесия для фундаментального решения трехмерной теории упругости - вектора Кельвина; выделении из точных уравнений равновесия для вектора Кельвина дифференциального оператора, соответствующего дифференциальному оператору рассматриваемой теории оболочек; построении интегрального представления решения уравнений равновесия рассматриваемой теории оболочек с помощью формулы Грина дифференциального оператора этих уравнений.
В настоящее время широкое использование МГЭ для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) как изотропных, так и в особенности ортотропных оболочек сопряжено со значительными вычислительными трудностями, связанными с невозможностью определения фундаментальных решений дифференциальных уравнений в явном аналитическом виде для оболочек произвольной геометрии (если для изотропных оболочек частного вида такие фундаментальные решения существуют, то для ортотропных оболочек они вообще отсутствуют).
В работе [271] отмечается, что для пологих оболочек двоякой кривизны получение фундаментальных решений в замкнутом виде связано с большими трудностями. Для пологих сферических оболочек матрицы фундаментальных решений существенно упрощаются и выражаются через функции Кельвина-Томпсона [271, 183].
В работах [323, 325] построены фундаментальные решения пологих сферических оболочек теории Рейснера с учетом поперечного сдвига. Фундаментальные решения для пластин средней толщины приведены в монографии Мораря Г.А. [183].
Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [17, 278, 279, 282, 291, 292, 295, 301, 302, 304-306, 313, 314, 319, 321, 346, 349]. В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных нагружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения. Решению задач изгиба ортотропных пластин посвящено гораздо меньшее число работ (в основном статей) [17, 41, 47, 48, 136, 167, 168, 260, 345], из них решению МГЭ - [17, 136].
Работ, посвященных решению задач изгиба пластин сложной формы, лежащих на сложном упругом основании Пастернака-Власова, практически нет, а на упругом основа-
17
нии Винклера - сравнительно мало [46, 61, 93, 98, 137, 175, 203, 269, 280, 324]. В своей работе [137], Коренев Б.Г. приводит решение задачи изгиба круглой пластины, лежащей на упругом основании типа Винклера и находящейся под действием сосредоточенной силы или распределенной поперечной нагрузки. В работе [93] Грибовым А.П. предлагается решать задачи изгиба пластин и пологих оболочек, лежащих на упругом основании типа Винклера, методом граничных элементов. Ядрами разрешающих интегральных уравнений являются фундаментальное решение задачи изгиба пластины и его производные. Такой подход позволяет решать задачи для контура пластины сложного очертания. В [269] рассматривается прямоугольная плита на упругом однослойном основании, шарнирно опертая но краям, под действием нагрузки, равномерно распределенной по части длины плиты. В [280] в программе расчета толстых плит на упругом основании по МГЭ проведен анализ свойств несингулярного фундаментального решения. Исследуются найденные граничные интегралы в случаях однородного и линейного распределения нагрузки. Под действием обобщенной нагрузки выявлены внутренние силовые факторы с оценкой погрешности полученных результатов.
В работах [99, 102, 161] приведена методика расчета пологих оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановках на основе предварительно найденного фундаментального решения задачи изгиба пластины, лежащей на упругом основании Винклера, и известной матрицы фундаментального решения Кельвина.
Вопросы применения МГЭ к решению задач плоского напряженного состояния пластины достаточно разработаны и отражены в многочисленных публикациях. Приведем лишь некоторые из них [ 17, 284, 290, 293, 311,317, 329, 335, 348].
Решению задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [10, 12,38,41, 157,51-54, 186,212, 190, 202, 127].
Применение непрямого МГЭ к расчету пологих сферических оболочек рассматривается в работах Венцеля Э.С., Трофимова М.А. [60, 63]. В работах [60, 255] используется фундаментальное решение, полученное на основе плосковолнового разложения дельтафункции Дирака. Оно характеризуется алгоритм и чностью и единообразной формой представления фундаментального решения и его производных, а также представлением последних в виде суммы регулярного быстро сходящегося ряда и расходящейся части, записанной в аналитическом виде.
В публикациях Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [73-76] матрицы фундаментальных решений оболочек строятся в виде тригонометрических рядов. Решение задач сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Получено решение ряда задач статики и динамики оболочек.
Среди известных ученых, занимающихся вопросами развития метода граничных элементов, особое место принадлежит Бреббия К., который с рядом соавторов имеет большое число публикаций в этой области. Именно ему часто приписывают авторство в названии метода граничных элементов, которое было вынесено в качестве заголовка одной из его книг. Так, одной из первых работ Бреббия К. в соавторстве с Уокером С. является книга [39]. В ней, прежде всего, предпринята попытка дать некую классификацию известных приближенных методов и определить место метода граничных элементов в этом ряду. На примере классической задачи о потенциале приводится прямая и непрямая формулировки метода граничных элементов. Обсуждается роль фундаментальных решений исходных дифференциальных операторов в данном методе. Рассматривается вопрос установления фундаментальных решений для некоторых типов известных дифференциальных уравнений, в
18