2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 5
1. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.................................. 8
1.1. Развитие теории выпучивания и устойчивости сжатых элементов конструкций.......................................... 8
1.2.0боснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач.................................. 18
1.3.Современная концепция устойчивости В.Г. Зубчанинова 25
2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ................................................... 32
2.1 .Варианты связи между деформациями и перемещениями 32
2.2.Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова............. 35
2.3.Постановка задачи......................................... 45
2.4.Гипотеза единой кривой Роша и Эйхингера. Диаграмма деформирования материала..................................... 48
2.5.Касательно-модульная нагрузка бифуркации для цилиндрических панелей.......................................... 51
3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ВЫПУЧИВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ).............................................. 65
3.1.МКЭ. Основная концепция МКЭ. Преимущества и недостатки... 65
3.2.Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы. Нумерация узлов..................................... 71
3.3.Конечный элемент. Аппроксимация поля перемещений.......... 77
з
ЗАУравнения метода конечных элементов. Матрица жесткости, узловых перемещений и усилий. Алгоритм численного исследования........................................................... 81
3.5.Реализация МКЭ на ЭВМ. Построение глобальной матрицы жесткости. Система линейных уравнений............................ 88
3.6.Общая блок-схема вычислений................................ 92
3.7. Применение численного интегрирования при определении матриц элемента.............................................. 98
4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЫПУЧИВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПАНЕЛЕЙ....................................................... 102
4.1 .Описание программного комплекса (ПК).................... 102
4.2.Решение тестовых задач 107
4.2.1. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругих пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых
по контуру.............................................. 107
4.2.2. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругопластических пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру.................................... 115
4.3.Экспериментальное исследование выпучивания и устойчивости упругопластических квадратных пластин.................... 119
4.3.1. Образцы для испытаний, механические свойства материала испытуемых пластин.......................................... 119
4.3.2. Методика проведения экспериментальных исследований. Сопоставление результатов эксперимента с теоретическими расчетами................................................... 122
4
4.4.Результаты численного исследования процесса выпучивания и устойчивости упругих и упругопластических прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру....................................... 125
4.4.1. Исследование влияния густоты сетки КЭ на точность численного решения задачи................................. 125
4.4.2. Исследование влияния начального прогиба на поведение пластин и цилиндрических панелей....................... 127
4.4.3. Исследование влияния стрелы подъема на поведение пластин и цилиндрических панелей.......................... 129
4.4.4. Исследование влияния гибкости на поведение пластин и цилиндрических панелей................................. 132
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ.................. 136
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................... 138
ПРИЛОЖЕНИЯ.................................................. 155
5
ВВЕДЕНИЕ
В условиях современной рыночной экономики большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности научно-исследовательских работ, ускорению внедрения их результатов в промышленное производство. Главной целью научных исследований должно быть повышение несущей способности элементов конструкций и сооружений, снижение их материалоемкости и себестоимости при одновременном обеспечении надежности и долговечности. Одним из путей для достижения этой цели является усовершенствование методов расчета, т.к. все создаваемые инженерные сооружения требуют предварительного расчета, обеспечивающего надежность и долговечность их эксплуатации.
На решение этих задач направлено современное развитие и совершенствование механики деформируемого твердого тела (МДГТ).
Современные конструкции, применяемые в строительной индустрии, машиностроении, авиастроении, кораблестроении и т.п. состоят, как правило, из основных конструктивных элементов: стержней, пластин и оболочек (в частности цилиндрических панелей). Пологие цилиндрические панели входят в состав различных конструкций (крыла самолета, корпуса корабля, кузова вагона и т.д.) обычно в виде панелей обшивки, усиленных подкрепляющими ребрами. Обшивка в этих конструкциях воспринимает вместе с другими элементами основные усилия (от общего изгиба крыла самолета, корпуса судна или вагона и т.п.). Во многих случаях эти усилия могут вызвать сжатие, изгиб либо сдвиг панели в ее плоскости и привести, при известных условиях, к ее выпучиванию и потере устойчивости. Поэтому расчет цилиндрических панелей на устойчивость представляет собой неотъемлемую часть общего расчета конструкции.
Цилиндрические панели, подкрепленные по краям, способны и после начала выпучивания нести возрастающую нагрузку. Следовательно, инженера должно интересовать не только явление начала выпучивания панели, но и
6
ее дальнейшее поведение, поскольку при возрастании нагрузки основная ее часть начнет передаваться на подкрепляющие элементы, что вызовет в них быстрый рост напряжений.
Многие цилиндрические панели, входящие в состав конструкций и сооружений (при значительной пологости эти оболочки применяются в качестве междуэтажных перекрытий), имеют относительно небольшие размеры в плане и относительно большую толщину. Исследование устойчивости таких пластин может быть проведено лишь с использованием теории пластичности. Учет упругопластической стадии деформирования значительно повышает надежность инженерного расчета даже тогда, когда панель работает в пределах упругости.
Таким образом, исследование процесса выпучивания прямоугольных упругопластических цилиндрических панелей имеет весьма важное практическое значение для выяснения их истинной несущей способности и поэтому является актуальным. Это и является целью данной работы.
Поставленная задача решается на базе концепции устойчивости, разработанной В.Г. Зубчаниновым. Поэтому при решении исследуется процесс нагружения панели, начиная от исходного состояния и вплоть до момента потери устойчивости. Для исследования процесса нагружения производится учет геометрической нелинейности и больших деформаций. Геометрическая нелинейность учитывается при помощи использования тензора Лагранжа-Грина, который связывает деформации точек конструкции с их перемещениями.
В качестве основного варианта, связь между напряжениями и деформациями описывается на базе теории упругопластических процессов Ильюшина - Зубчанинова в рамках гипотезы компланарности. Все зависимости гипотезы компланарности записываются для общего случая объемного напряженно-деформированного состояния (НДС). В этом случае выявлена необходимость учета сжимаемости материала в виде гипотезы об упругом изменении объема.
7
Учет геометрической нелинейности имеет ряд преимуществ. Во-первых, в отличие от линейной задачи, в которой по существу определяются только бифуркационные значения нагрузок, нелинейный подход позволяет исследовать процесс нагружения. Во-вторых, в отличие от линейной задачи, в которой рассматриваются только идеальные конструкции, нелинейный подход позволяет исследовать конструкции любой конфигурации с любыми начальными несовершенствами. В-третьих, именно нелинейная постановка дает возможность получить максимально приближенные к действительности значения критических нагрузок, что имеет большое значение для инженерной практики.
Решение геометрически и физически нелинейных задач о нагружении оболочек возможно только численными методами. Поэтому рассматриваемая задача решается методом конечных элементов (МКЭ) как пространственная задача МДТТ [20, 21, 22, 24, 25]. Для ее решения сконструирован пространственный восьмиузловой изопараметрический геометрически нелинейный конечный элемент [23, 25]. МКЭ на сегодняшний день является одним из наиболее эффективных методов решения задач механики деформируемого твердого тела, который позволяет моделировать конструкции практически любой конфигурации.
Применение МКЭ, в котором используется объемный КЭ, дает возможность отказаться от традиционных в таких задачах гипотез Кирхгофа-Лява. В этом случае имеет место общее объемное НДС, при котором в тензорах напряжений и деформаций присутствуют все компоненты. Присутствие всех компонент значительно усложняет задачу и увеличивает объем вычислений. Кроме того, в этом случае необходимо учитывать сжимаемость материала, что вносит дополнительные трудности.
Таким образом, в работе предпринята попытка подойти к задаче о выпучивании и устойчивости конструкций с общих позиций, привлекая минимум упрощающих гипотез и используя по возможности самые общие соотношения.
8
I. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА
1.1. Развитие теории выпучивания и устойчивости сжатых элементов конструкций.
Устойчивость элементов конструкций в пределах и за пределом упругости - один из важных и быстро развивающихся разделов механики деформируемого твердого тела. Научные результаты, полученные в этой области, достаточно полно отражены большом количестве обзоров, например, [7, 8,35, 36, 37, 50,59,63, 71, 72,94,96] и др.
Основы теории упругой устойчивости, заложенные в 18-ом и 19-ом столетиях Л.Эйлером, Ж.Лагранжем, Дж.Брайаном, Ф.С.Ясинским, относились к бифуркационной постановке. В исследованиях С.П.Тимошенко, В.З.Власова и других ученых [16, 151... 153] проблема линейной упругой устойчивости в этой постановке была, по существу, решена. История развития теории устойчивости пластин восходит к 1891 г. [6], когда Г. Брайан опубликовал свое исследование о прямоугольной упругой пластине, находящейся под действием равномерно распределенной сжимающей нагрузки. Брайан был первым ученым, который применил энергетический критерий устойчивости к решению задачи о выпучивании, в чем и состоит важность его классической работы. В дальнейшем значительный вклад в развитие теории упругих пластин внесли И.Г. Бубнов, Б.Г. Галеркин, С.П. Тимошенко, Г. Рейс-снер, П.Ф. Папкович и др. Их работы обобщены в монографиях [132, 153]
В 1910 г. Т.Карман впервые получил систему нелинейных уравнений для исследования послебифуркационного поведения упругих прямоугольных пластин [160]. Обобщение уравнений на цилиндрические оболочки дали Л.Доннел (1943 г. и 1950 г.) и Цзян [44, 160]. Нелинейный вариант теории пологих оболочек рассмотрел Маргерр (1938 г.) [27]. Первая попытка распространить теорию устойчивости упругих пластин на неупругую область
9
была сделана Ф. Блейхом [6] в 1924 г. Он предложил рассматривать пластинку как анизотропную, в предположении, что ее пластическое деформирование в направлении сжатия не влияет на упругое поведение в другом направлении. Хотя коэффициент анизотропии выбирались без достаточного обоснования, на начальном этапе развития проблемы они позволили получить приближенные решения.
Благодаря трудам В.З.Власова [16] теория пологих оболочек стала широко применяться в задачах устойчивости. Общая теория нелинейной устойчивости, в основе которой лежит анализ послебифуркационного поведения, была построена в 1945 г. В.Койтером и развита в работах Б.Будянского, Дж.Хатчинсона, Э.И.Григолюка, И.И.Воровича, Х.М.Муштари, Дж.Томпсона и других исследователей [12, 36, 121, 157]. Теория устойчивости при пластических деформациях берет свое начало в конце 19-го и первой половине 20-го века в трудах Ф.Энгессера, Т.Кармана, П.Бийлаарда, Е.Хвала, К.Ежека, Ф.Шенли, А.А.Ильюшина и других [5, 88, 89]. Дальнейшие наиболее существенные результаты в развитии теории устойчивости упругопластических систем были получены Е.Стоуэллом, Э.И.Григолюком, Ю.Р.Лепиком, В.Г.Зубчаниновым, В.Д.Клюшниковым, Л.А.Толоконниковым и рядом других авторов [34, 50, 56,59,94,98, 108, III, 154, 155].
Современная концепция неупругой устойчивости берет свое начало в первоначальных работах Т.Кармана и Ф.Шенли по устойчивости стержня. Изучая теоретически и экспериментально процесс выпучивания сжатого стержня с малыми начальными несовершенствами, Карман отчетливо осознавал, что его приведенно-модульная нагрузка является лишь оценкой границы устойчивых состояний процесса упругопластического деформирования. Об этом он писал в 1947 г. в комментарии к статье Ф.Шенли. Там же он охарактеризовал значение работы Шенли и существование касательно-модульной нагрузки как указание на необходимость пересмотра подходов к определению границы устойчивых состояний в связи с необратимостью процесса деформирования в неупругом случае.
10
До 1946 г. исследования устойчивости неупругих оболочек базировались на концепции Энгессера-Ясинского-Кармана. Здесь используется понятие устойчивости Л.Эйлера, обобщение на неупругие системы в свете второй элементарной концепции понятия устойчивости. Учитывается разгрузка материала. При такой постановке задачи найденные критические напряжения определяют верхнюю границу устойчивости оболочек, выпучивание которых начинается за пределом упругости.
В 1946 г. Ф.Шенли опубликовал работу, где отмечалось, что для неупругих систем следует ввести понятие критической силы, отличное от того, которое используется в теории упругой устойчивости. Эта работа послужила началом нового этапа в развитии теории устойчивости за пределом упругости, в котором выпучивание упругопластических систем исследуется как процесс, развивающийся с ростом внешней нагрузки (концепция продолжающегося нагружения).
Идеи Кармана и Шенли о необходимости исследования устойчивости процесса нагружения большинством ученых сразу осознаны не были ввиду еще не вполне сформировавшегося понятия устойчивости.
Первые работы в данном направлении были сделаны Ю.Р. Лепиком [109, 110, 111], В.Г.Зубчаниновым [55, 64, 68, 69, 70] и касались процесса потери устойчивости пластин. Общее число исследований, посвященных оболочкам, невелико из-за математической сложности задачи, кроме того ряд авторов использует упрощающие предположения.
Изучение несовершенств формы и нагружения на поведение неупругих оболочек содержится в единичных работах. Предел устойчивости, достигаемый в процессе выпучивания оболочек, оказался весьма чувствительным к начальным несовершенствам формы.
А.А.Ильюшин [82] получил общий закон, связывающий вариации напряжений и деформаций при потере устойчивости пластин и оболочек в случае сложного нагружения и дал соотношения , связывающие вариации уси-
11
лий и моментов с вариациями деформаций и искривления серединной поверхности оболочек, а также дифференциальные уравнения задачи.
В.Г.Зубчаниновым [55, 57, 64, 70] на основе обшей математической теории упругопластических процессов А.А.Илыошина [82] разработана теория выпучивания и устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости с учетом сложного нагружения; построена теория устойчивости идеальных пластин и оболочек с учетом сложного нагружения в момент потери устойчивости, как задача о собственных числах ; предложена модифицированная теория устойчивости пластин и оболочек; разработаны концепция устойчивости упругопластических систем, учитывающая историю нагружения. Одновременно исследования В.Г.Зубчанинова и его учеников были направлены на построение аппроксимаций определяющих функции N и Р, использующиеся в теории упругопластических процессов, с целыо применения их в решении конкретных задач устойчивости.
Другой подход к данной проблеме предложен Г.А.Тетсрсом [148, 149], на основе теории локальных деформаций А.К.Малмсйстера [116]. Г.А.Тетерс и И.В.Кнетс показали, что при решении задачи на основе компоненты тензора податливости в момент выпучивания существенно зависят от пути докри-тического нагружения.
При исследовании оболочечных конструкций часто используют квадратичный вариант нелинейных уравнений тонких пологих оболочек. В современной отечественной и зарубежной литературе эти уравнения обычно называют уравнениями Маргера [63].
К. Маргер предложил эту систему уравнений применительно к исследованию проблем прочности, жесткости и устойчивости тонкостенных конструкций типа авиационных крыльев. Если посмотреть на предложенную им систему уравнений с позиций современного знания, то совершенно очевидно, что он выполнил естественное обобщение известных уравнений нелинейной квадратичной теории пластин Феппля - Кармана на случаай пологих искривленных пластин произвольной формы [33].
Вычисления в рамках уравнений Маргера показывают, что незамкнутая оболочка может считаться пологой в том случае, когда отношение высоты подъема оболочки к ее наименьшему размеру в плане не превышает 1/5. Кроме того, эти уравнения можно использовать для исследования устойчивости непологих оболочек, когда в процессе потери устойчивости образуются короткие волны, размеры которых малы по сравнению с радиусом кривизны срединной поверхности оболочки. Более четких критериев применимости уравнений Маргера в литературе неизвестно [33].
Создание полной строгой теории пологих оболочек является заслугой выдающегося ученого В.З. Власова, который в 1944 г. опубликовал свою первую работу, содержащую исходные уравнения этой теории [17]. Эта работа и появившаяся в 1949г. монография В.З. Власова «Общая теория оболочек и ее приложения в технике» [15] послужили толчком для развития теории пологих оболочек в последующих работах. Только с появлением работ В.З. Власова теория пологих оболочек получила наиболее полное развитие.
Построением уравнений устойчивости теории пологих оболочек на основе квадратичных соотношений занимались Л.Х. Доннел, Х.М. Муштари, Ю.Н. Работнов [120, 136].
В 1957г. была опубликована монография [121] Х.М. Муштари и К.З.Галимова. В этом капитальном труде с большой строгостью исчерпывающей полнотой изложены все разделы нелинейной теории оболочек. В ней же получило развитие теория пологих оболочек: методы решения задач теории пологих оболочек, в частности, большие прогибы цилиндрических панелей.
Подвергнув тщательному анализу, различные варианты нелинейной и линейной постановок проблемы, авторы получили такие результаты.
Если повороты нормалей к срединной поверхности оболочек при изгибе пренебрежимо малы по сравнению с единицей (0 <\,0.< I ), то изгиб оболочки предлагается называть слабым и можно пользоваться линейной теорией. При этом перемещения и, V, \у могут быть, самое большое, величинами
13
одного порядка с толщиной h оболочки, если эти функции являются медленно меняющимися по х и у и их производные по х и у меньше самих функций или одного с ними порядка. Отмечено, что уже при wmax. «О.ЗА линейная теория приводит к заметной погрешности.
Пели квадрат поворотов нормалей при изгибе всюду пренебрежимо малы с единицей (0; <l,0j <1), а если величины 0„0, не являются малыми по
сравнению с единицей, то изгиб оболочки предлагается называть средним. При этом максимальный прогиб может быть одного порядка с толщиной оболочки даже значительно её превышать, но малым но сравнению с другими размерами оболочки. В данном случае допустимо пользоваться общепринятым аппаратом нелинейной теории пологих оболочек и ему аналогичным. Этот вариант теории применим и к не пологим оболочкам, если рассматривается такая их деформация, при которой оболочка делится на большое число пологих участков.
Наконец, если прогибы оболочки велики по сравнению с её толщиной и соизмеримы с характерным линейным размером, то изгиб оболочки можно назвать сильным. При этом повороты нормалей к срединной поверхности оказываются порядка единицы. Кроме того, чтобы гарантировать работу материала в упругой области и, таким образом, иметь возможность пользоваться физической линейной теорией, должно выполняться условие: 1\2 h аэ< о,щ. В этом случае приходится пользоваться геометрически нелинейными уравнениями, при выводе которых все величины отнесены к деформированному состоянию.
Уравнения состояний равновесия пологих оболочек в послекритиче-ской стадии изучал H.A. Алумяэ [1,2,3].
В книге В.М. Никереева и B.JI. Шадурского [124] изложены приближенные способы расчета оболочек, применяемых в промышленном и гражданском строительстве. Расчету прямоугольных в плане пологих оболочек как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны посвящена вторая часть книги. Даны приближенные методы расчета с разнообразными
- Київ+380960830922