Оглавление
Введение......................................................... 4
1 Теория пластического течения дилатирующей среды с зависящими от вида наиряжсипого состояния свойствами 26
1.1 Определяющие уравнения.................................... 27
1.2 Основные еооіношения для условии плоской деформации .... 31
2 Аналитическое решение конкретных задач 38
2.1 Расіяжспис полосы ослабленной угловыми вырезами .... 40
2 2 Полоса с круювым о і вереї нем .............................56
2.3 Расіяжспис полосы с вырезами с круглым основанием .... 67
2.4 Клик под цейсівисм односюрониею давления.................... 78
3 Численные методы решения задач для упруго-пластических дилатирующих тел 88
3 1 Ме і од конечных элемеи 1ов..................................80
3 2 Алі ори гм построении численної о решения....................01
3.3 Численное интегрирование уравнений пласі ИЧНОС1И...........100
4 Построение численных решений задач 108
4.1 РасІЯЖСНИС полосы ослабленной угловыми вырезами .. .110
2
4 2 Полоса с крутвым отверстием .................................. 134
4 3 Рапиженне полосы с вырезами с круглым основанием 147
Выводы.............................................................101
Список лиюрд1уры .........................100
3
Введение
В механике деформируемых твердых тел наиболее известны и широко используюіея чакис крніерии пласіичпоеги как кршерий Треска и криіерий Мизеса. Суіцееівуег же доеіаточно большой класс маїериалов, для коюрых данные криіерии не согласую!ей с экснеримешами. Данные маюриалы являюіся микроигоднородными — имеют трещины, поры, включения и друїие особенное ги сірукіурьі. 'Гакие маюриалы будучи досіаючно хрупкими в обычных условиях при больших гидросіагичееких напряжениях могу г проявлять пласі ичсскне евойе і ва и наоборот при большом веесюроннем раеіяжении ма сериал в обычных условиях нласіичньїи может прояви і ь свойства дос таї очно близкие хрупким. Деформирование чаких маїериалов может сопровождаться иеобрашмыми обьемными деформациями. Эюг эффект получил название дилаїансии и впервые жсіісрименіально был обнаружен Рейнольдсом [95] и проявляемся наиболее ярко в деформировании сыпучих сред.
Основные снопе і ва материалов, коюрыс рассматриваются в данной работе эю оісучсівие "единой кринойпдли зависимости меж/іу иніенсивносіью напряжении и интенсивное!ыо деформации и несправедливоеіь обычно принимаемых гинонм об упругой сжимаемости материала и пластической несжимаемое і и. Для многих маїериалов диаграммы зависимосіи ишенсивности деформации от инюнсивносги
напряжений при кропом раеіяжении, сжатии, єдиніе, двухосном сжатии и других видах нагружения различны, причем расхождение диаграмм может быть весьма значительное. Такими свойствами обладают некоюрыс композиционные материалы, конструкционные графиты, чугун, беюн, некоюрыс полимерные маюриалы, конпрукционные ехали, керамические маюриалы и другие
Приведенные свойства маїериалов, выявление которых невозможно с использованием классических подходов, засіавлясг вводить в кршерии и определяющие соошошение новые иарамсірьі, коюрые характеризуют вид напряженною еосюяния в деформируемой ОрРДС. Одно из первых исследований іакою рода на примере деформирования сыпучих сред сделал К. Кулон еще в 1773 і оду.
Пропые и наглядные иредсіавления об эффектах изменения м(‘ханиче(‘ких свойспз такою рода сред при различных видах нагружения иродсмонсфированы в рабоїах Уипиа |97-99|. Цель данных работ еосюяла в изучении сжимаемое пі юрных пород при дсйсівии весе юрой неї о ежашя, а также модуля Юша и козффициента Пуассона при сжатии в зависимое і и or КОПЦСІП рации і ропщи. Если предположи п,, следуя [97-99], чю маюриал тела изохронный, идеально упругий, тещины ориентированы случайным образом и расположены на досіаючном рассхоянии друг от друїа, чюбы можно было пренебречь их взаимным влиянием, то есть случаіі доеіаіочно малой концешрации трещин, то чакой материал іакже обладает* изотропными свойствами. Весь обьем чела можно разбип» на объемы - ячейки содержащие каждый только одну трещину, и решая задачу только для одной ячейки можно получить осредненные характеристики для всею обьема. При определении своисів такою материала можно рассмаїрнвнть трещины в
виде вьиянуплх эллипсоидов вращения.
При рассмотрении 1ела, содержащею 1рещины с нулевым расхождением береюв, для ')ффек! явного модуля обьемпою расширения К+ в условиях плоскою напряженною сосюянии получаем сле;^ующую формулу [97|*
1 I
Ку К
4тг Р
1 +
3(1-2и)у\ ’
где К и и — модуль обьемного ежа!ия и коэффициент Пуассона сплошного материала, I средняя нолудлина трещин, и - средний обьем выделенных ячеек мела. 01 ношение Р/у харакюризусг концсш рацию трещин в теле.
При деисчвии веесюрониею ежа!ия трещины закрыты, и относи юльное перемещение береюв равно нулю. В эюм случае модуль 'эффективною обьемпою сжашя К~ равен модулю обьемиого сжатия маюриала
/Г = К.
При одноосном рас1яжении происходит раскрыто болыпинста трещин, за исключением трещин, орпентрованных вдоль направления дейспшя нагрузки При эюм мо^ль Юны при раетжении в условиях плоского напряженною сосюяния онределнеюн выражением
_ _1_
Е' ~Е
где Е — модуль Юта в сплошном материале.
В условиях одноосною сжашя все эрещины закрыты, но при эюм возможно о гноен юльное перемещение К0Н1ЛК1ИРУЮЩИХ береюв 1РСЩИН Ксюспзенное предположение ошосшельно взаимодействия кон актирующих береюв трещин эю закон сухою трения, при коюром касательное напряжение трения т/ связано с нормальным напряжением на иоверхносш 1 ретины а,г С001 ношением
V = 11СТп1 б
, 47Г Р
где ц — коэффициент чрения. Коли на новерхносш трещины возникает касаюльнос напряжение г, чо 01 постельное перемещение берегов чрещин будет происходить только вчом случае, если г > г/. Касательное напряжение на новерхносш ч рощи нм т = нормальное напряжение
ап = (ть\п2(1, здесь а от сжимающие напряжения заданные на границе тела, в зю уюл определяющий орисшацшо трещины. Поз 1 ому условие 01 постельною перемещения береюв трещин можно предемвигь так — р < а!Ч^(1//х). Нслодпвне полученною условия не все берет трещин ос мну I си неподвижными, чю ослабит эффективный модуль Юнга /£~, и для случая плоскою напряженною сосюяния получим
Придавая различные значения параметрам ц и Р/у можно показан», чю влияние ко)ффицисіпа трения // и изменение концешрации дефектов Р/у досмчочно слабо влияют на различие между /Д и Е~, при эюм изменение концешрации Р/у влияет значні ельно па различия эффективных коэффициешов обьемною расіяжения К* и сжатия К~. Разница может бы п» более чем 1,5 раза, стоит оімеїить, что эю рассмаїривался ату чай только малой концешрации трещин, при эюм при больших концов і рациях эффек і ы усиливаюіся [60|.
Можно привес ш досіаіочно мною примеров сред, деформационные харакісристики коюрых зависят от вида напряженною сосюяния [1-3, 7-9, 25-27, 79]. Причина эюю явления заключатся в наличии связей, реакция коюрых различна на разные виды нагружения.
Данный пример демонстрирует природ зависимости харакісрисіик маїериала от вида напряженною сосюяния Далее буду г приводится примеры подходов уже более близких к иластичносіи. Досыючно близок
7
к предыдущему кршерий равновесия сыпучих сред сформулированный Кулоном, о влжиоеіи работ ко юрою уже упоминалось.
\тп\ = 1?>ро„ + к, (1)
где иосюянные /> и к налывакиея, как правило, угол суп ого трения и сцепка соси иен* твои но, '-ног криіерий отличаеіея от используемою ранее •юлько наличием сцепки. Такой кршерий как правило называют гииоіезой Мора-Кулона. Сооївсісівуюіцим обобщением данною кршерин являєіся следующее условие чсчсиия
сП\) + С(7 = к, (2)
где С и к являю їси положи і ел ьными консіаніами для каждой чочки среды, а = (7и/3 — среднее нормальное напряжение, = у/3/2 — шпенсивносгь клсачельных напряжении, где
дсвиаюр чеіпорл напряжении. Данное» условие, обобщение испольювалоеь в рабоїах Д Друккера и В. ГІраіера наиболее ишенсивно, и в современное время досіаючно часі о модель пласі ичносгн сданным кршерием чечения называемся моделью пласіичности Друккера-Праіера. Далее в данной рабоїс 'лот кршерий воде будет называйся кршерием Кулона-Мора. К чакому виду сооіношения пришло мною авюров 111, 52, 53, 61, С9, 83| .
В рабоїе Р. Дж Грина |21| условие пласіичности для порисіьіх маїериолов принималось в виде
°о + = ваї> (;і)
где (т3 предел іекучесіи маїериала плотной фазы при расіяжсиии, коэффициенты а и () зависели от пористости среды. Результаты Грина использовались для анализа процесса пласіическою деформирования пористою лисіа в условиях плоскою напряженного сосюяиия с целью
8
определения влияния норме юс I и па форму продольною кон I ура иллсшчпосгн [37). Рассмотрены чакже различные моди(|)икации модели Грина для упрочняющихся материалов [23, 51, 55, 62) .
В работах С С.Вялова |15, 16) примениюльно к механике груиюв учи I ывалось взаимное влияние на инюиоивносаь деформации и обьомную до(|)ормацию среднею напряжения и ишенеивносп! напряжений. При описании деформации полухруиких чел предлагалось предо ишляи» полные деформации в виде суммы упруюй, плапическои и деформации разрыхления [34, 40, 56)
£и = £\) + еу +£1У
Упруг ие компоиешы определялись законом Гука, пласшческис удовлетворяли условию несжимаемости и определялись условием пропорциональное!и девилчоров пластических деформаций и напряжений
з 4
4 2^(4»
где функция упрочнения Р(£ц,сг) о сражала зависимость сонрошвления сдвшу 01 уровня пласшческой деформации и среднею нормального напряжения [34, 56), — ишеисивность илагтнчеекнх деформаций. При
этом компоиешы разрыхления е* предлагалось учи 1ыва1ь пропорционально абсолюшым величинам соогвсююующих компонент девиаюра напряжений г твиеимос1ыо от шиснсивиоеги напряжений [40] или ишснсишюсш деформаций [34, 56|, а также от среднею напряжения
,, _ ЗеЦФ(£р) I _ _ г I ,
еи - 2Ф(еР I ^ у! ^
Допаючно мною работ примени юльно к иориешм средам посвящено теории нласшческою течения и введению в определяющие соотношении первою шшарпашл чей юра напряжений [4, 14, 29, 30, 39, 50, 59)
9
В рабою Л Л. Толоконпикова [05| нрсдыавлсн криюрий илас1ИЧН0С1и в виде полинома но о и сто с коэффициентами, зависящими о г 0 - иарамо1ра вида девиаюра напряжений
Л(0)<го2 + и(в)о0 + С{в)а = 1.
В раГммах [48,49| для описания дилатирующей среды использовалось условие
(7() - Л - 0(7 — Су/а — (7 — О у/р + (7 = О,
где ко)ффициешы предо 1ЯВЛЯЛИ собой функции плоIпост среды.
Можно сказан», чго количество подходов описывающих деформирование
среды и учшывающих способ и вид шпружения дог шч очно разнообразно
[4-17, 19-23, 38, 39, 50, 59, 80, 89|, поскольку в данной рабою речь пойдет
о кршериях и соо!ношениях зависящих от параметров вида напряженною
сосюяния и будет продемонс1рирован один и * подходов 1акою рода, чо
для более ясной картины необходимо выяснись основные харакюристки и
свойства чаких параметров. В самом общем случае чаких иарамсс ров три - эю
ери главных напряжения сть с2 и Главные напряжения можно выразись
черсч среднее напряжение, ишенсивногть напряжений и уюл 0 [58]
2 2
(7\=(7 + —<Т0 СО.з(0), (72 = (7 + — СТ(, СОь(0 - 2/37г),
() о
2
о* = о \ -(70 соь(0 - 4/Зтг),
и
где а = 1/3(7,, среднее напряжение, (тп = \/3/25г;5,; - ишенспвносп» напряжений, Бц = сХ) - аЬхз девиаюр напряжении Угол 0 называемся углом подобия девиаюровчен юра напряжении и определяйся соотношением
003 0 = 9/2(5////^),
где 5/// = третий инвариант девиаюра напряжений
10
О і носи і единые величины главных напряжений можно предеіавшь в виде
— = € + \ с«ь (0), — = f + I cos (0 - 2/Зтг),
(То о (То о
— = £+^с<>.ч(0-4/Зтг),
(То о
где £ = ff/ffn-
Иніенсивиоеіь напряжений од можно выразить через шорой инвариант 'ієн юра напряжений 5// = аХ)оХ} и параметр £ таким образом (То = yJSu{2/3 I-3£2) и после иодсіановки
(Ті £ + 2/3cos(0) (72 £ Ь2/3cos(0 - 2/37г)
~ ч/2/з + 3£2 ’ 7^7 ” \/2/з + зс2 ’
(7з £ + 2/3 cos (0 - 4/Зтг)
у/2/3 + 3£2 '
Инвариант S'// в последних e<x>iношениях прсдсіашіяст собой квадрат модуля вектора напряжений, ю есіь данные cooiношения предсіавляюг собой направляющие косинусы зюю вектора в главных осях юнзора напряжений. Таким образом, вид напряженною сосюяния опрсдслясюя только двумя парамеїрами £ и 0. Имеек'я ввиду, чю количесі венная характеристика напряжений обычно включена в криюрий, коюрый иеполыуеюя в конкрстых моделях, а вид вектра напряжений при учсіс ею в кршерип опрсдслясюя данными двумя параметрами.
Сюит оі.мстить что иарамеїр 0 довольно близок к известному нарамеїру Лоде, и имеет следующее выражение
Ца = S——— - 1 = -v/3ctg(0 + 7г/3).
(Ті — (7,3
Фишчеекий смысл иарамеїров вида напряженною сосюяния |54|, можно предсіавляїь іак: а - среднее нормальное напряжение в ючке сплошной среды, (70 определяет значение среднею каеаіельною напряжения в той же
11
'і очко Таким образом, парамоїр £ характеризує г и сродном соо і ношение между окладом касаюльных напряжений и вкладом нормальных. Параметр
0 или, чютоже самое, парамоїр Лоде /га определяют сроднееоіклонснис от оюю напряжения
В последнее время и* работ, выполненных в данном направлении, сюит упомянуть следующие. В рабою [92| иосіросио некоюроо усовершенствование модели Кулона-Мора. И {начальные cooiношения
(1) были испольюваны в качесівс криюрия Запишем их том виде, как *ю было сделано авюрами
5 + <тп sin ф - с cos ф = О,
где s = 1/2(сГ| - <7j) - максимальное касаіельное напряжение, ап =
1 /2(<гі +<тз) — максимальное нормальное напряжение, ф как и ранее уюл вну іреннсю ч рения, а с сцепка, ко і оран зависит от параметра упрочнения єvl, скорость коюроїо определяеіся через мощносіь рябоїы пластических деформаций следующим образом:
•jd j>i сє =(Гг/їґ
Далее критерий был переписан с помощью выражений главных напряжений через иарамеїрьі вида напряжений
llmr<Ttt + atg<j> = C, (4)
где
П,пс = ~гГ ГЬІП (0 + 7г/3) f- ^COS(0 + 7г/3) tg ф.
V «1 cos ф о
Связь меж;іу напряжениями и пластическими деформациями сі роилась на основе теории пласшческою гсчсиия, но в качесівс потенциала
12
попользовалась функция, отличная от той, коюрля описывает поверхность чекучести. Выражение дли приращений деформации было следующим:
где (j предоIявлялось сле^ющим образом:
1 0G
У = -Оц—• с JotJ
Сам же поюнциал G выглядит чак
G ~ v/(cc|utg^)'2 + (/?mlI,o'o)2 -I- a tg ф, (5)
где ф — унт деламнсии, чо осп» существует возможное!ь организовать чеченце о дру[ им углом отличным от ф угла внуч реннп о трения, например, если ф выбран» равным 0, чо течение будет происходип» по классической модели Мизеса, кршерии начала чечеиин чем не менее будет оставаться зависимым от иарамстров вида напряженною состояния Далее с от нарамеф, коюрый линейную зависимость между сг и <то при постоянном 0 превращает в гиперболическую, с линией аоеимиюгы, коюрая при линейной связи, чо есть при значении с = 0, была бы линией крнчерия для <7о и о Нарамстр г|о зю начальное значение сценки до какою-либо чечеиия. Параметр lltnw определястся следующим образом
«„.(в,,) =----------------■!(!-c3)cosa e+ (2,-1)'' ^ .
(1 - с2) соь0 + (2с - 1 )-у/4( 1 -V2) cos2 0 4- 5с2 - 4с ^3 /
еде Rmr при 1лких значениях выглядит чак
3 - sin ф
/7Г \ 3-S]
R-inc ( «1^1 — г
\ 3 / о cos
i cos ф
Параметр limw 01 нечаст за приближение поверхности пончщиала G к поверхности чекучести, но в девиаюрной части при различных значениях
13
а. Параметр е шпорами нредлаиинся брать равным
3 - БН1 ф
3 4- ьтф
Идею введении такою поичщиала как С досьпочно иросю ионя1ь ГрафиЧССКИ В 11ЛОСКОС1И 11пШ0О О- На рисунке 1 изображен кршерий — нприхованная линия , и ноичщиал С — сплошная линия .
Также стоит выдели 1Ь широко используемую модель [70] для I ранулированпых сред и полимеров. Данная модель базируемся на рабсмах Д Друкера и В. Пра1сра [82] и получила название расширенная модель Друкера-Праи'ра. Здесь предлагаемся 1ри кршерия пластичное!и. Первый из них линейный
здесь параметр К управляет видом поверхности ючения в пространстве девиаюров. Выпуклость повсрхиосш критерия накладывает ограничения на данный иарамеф 0.778 ^ К ^ 1.0. Данный кршерий отличаемся от описанного ранее (4) видом зависимое 1 и от сг0 При К равном единице видно, что здесь пренебрежемся множшелем Нтс. Также» предлаысчся
—I «II— с
Рис. 1: Пошсциал Кулона - Мора в плоское!и ИтиРо
14
э.
Рис 2. Вид поворхиоеіи криіерия Друкера-1Іраком дли различных К. гиперболический кри герий
Р = \І{сІ% + (Ті\а^[1)'2 + <т'сі + О - (Iі = 0
и криюрий в обобщенной экспоненциальной формо
Р = (Шц І- (7 + 01= 0.
Параметры (/,(/' и <т/ зависят от иарамсіра упрочнения єр1 и характеризуют собой изменение иоверхносіи при упрочнении маюриала
Приращение парамеїра £** определяеюя из следующею еооіношения
я?1 =
где а — заранее определенная функция от е1. В качесівс связи между деформациями и напряжениями проддаїаоїея исиользоваїь также гиперболический ноіенциал, но сути такой же как и в предыдущей модели (5), только с пренебрежением множиюля Іїтич на рисунке 3 схематически изображены данные критерии.
В рабоїах [85, 86] онисьіваеіся модель для исследования пласшческою деформирования чуіуиньїх маїериалов. В качесіве криіерия предлагался
15
- Київ+380960830922