2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. Основное содержание работы и обзор литературы... 5
1. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ИЗОТРОПНЫХ
ТЕЛАХ, СОДЕРЖАЩИХ СИСТЕМУ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ СФЕРИЧЕСКИХ КОНЦЕНТРАТОРОВ ............................................. 24
1.1. Введение................................................ 24
1.2. Представление напряжений и перемещений пространственного напряженного состояния через аналитические функции........... 28
1.3. Периодическая задача для упругой среды с бесконечной системой сферических полостей......................................... 33
1.4. Решение основных задач теории упругости для пространства с двумя полостями.............................................. 42
1.5. Численная реализация задач.............................. 51
1.5. Анализ напряженного состояния........................... 62
2. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ТРАНС-ВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ, СОДЕРЖАЩИХ СИСТЕМУ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ПОЛОСТЕЙ ИЛИ ВКЛЮЧЕНИЙ......................................................... 84
2.1.Представления перемещений и напряжений через аналитические функции...................................................... 85
2.2. Построение аналитических функций в случае двух концентраторов ....................................................... 89
2.3. Формула переноса........................................ 93
2.4. Решение первой основной задачи теории упругости для пространства с двумя эллипсоидальными полостями................. 99
2.5. Решение второй основной задачи для упругой среды с двумя эллипсоидальными полостями......................... 104
2.6. Определение напряжений................................. 106
3
2.7. Периодическая система полостей........................... 111
2:8. Исследование напряженного состояния...................... 114
2.9. Некоторые особенности численной реализации исследуемого класса задач......................................................... 124
3. РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ............................ 138
3.1. Осесимметричная задача теории упругости для бесконечного кругового цилиндра............................................ 139
3.2. Осесимметричная задача для упругой среды с бесконечной цилиндрической полостью...................................... 142
3:3. Определение напряженного состояния в сплошном цилиндре и
в бесконечной среде с цилиндрической ПОЛОСТЬЮ.......;.... 143
3.3.1. Напряженное состояние в сплошном цидиндре......... 143
3.3.2. Напряженное состояние в бесконечной упругой среде с цилиндрической полостью.................................... 147
3.4. Осесимметричная задача для бесконечного полого цилиндра .... 150
3.5. Смешанные задачи для бесконечного цилиндра и упругой среды
с цилиндрической полостью................................. 152
3.6. Смешанная задача для бесконечного полого цилиндра....... 157
3:7. Особенности численной реализации задачи.................. 167
4. СТАТИЧЕСКИЕ И СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ИЗОТРОПНЫХ И ТР АН СВЕРС АЛЬНО-И ЗОТРОПНЫХ Щ1ЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
166
4.1. Осесимметричная задача для кругового цилиндра и бесконечной упругой среды с цилиндрической полостью.................. 167
4.2. Бесконечный сплошной цилиндр, находящийся под действием внешней нагрузки............................................. 171
4.3. Осесимметричная задача для бесконечного полого цилиндра 174
4.4. Напряженное состояние в полом двухслойном цилиндре....... 177
I
4
4.5. Смешанная задача для сплошного цилиндра.............. 187
4. 6. Смешанная задача для двухслойного трубопровода...... ] 88
5. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОГО ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕН НОГО СОСТОЯНИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИНАХ С ОТВЕРСТИЯМИ
............................................................... 199
5.1. Постановка задачи.................................... 202
5.2. Определение эффективных характеристик многослойной пластины................................................... 215
5.3. Решение плоской задачи теории упругости.............. 221
5.4. Определение межслойных напряжений методом конечных элементов.................................................. 223
5.5. Анализ полученных результатов.........................228
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................................252
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ............................ 254
ПРИЛОЖЕНИЕ. Акты внедрения результатов работы................. 275
5
ВВЕДЕНИЕ
Основное содержание работы и обзор литературы
В современном машиностроении важнейшими критериями при проектировании и анализе работы конструкций в сложных эксплуатационных условиях являются прочностные, усталостные и жесткостные свойства отдельных ее элементов. Одним из основных факторов, влияющих на эти свойства, является концентрация напряжений, представляющая собой локальное увеличение напряжений, возникающих как в процессе эксплуатации конструкции, так и при ее изготовлении.
Основные виды источников концентрации напряжений (концентраторов) можно условно разделить на три группы:
а) геометрические разрывы в материале, образованные полостями;
б) неоднородность материала;
в) разрывный характер нагрузки.
Каждый из этих видов связан с определенным классом задач учитывающих специфику моделируемого объекта и требующих индивидуальных методов их решения.
Наличие полостей может быть связано как с присутствием технологических дефектов в элементе конструкции, так и с особенностями структуры материала.
Неоднородность материала имеет множественный характер. В диссертационной работе рассматриваются два типа неоднородностей. К первому относятся жесткие включения, которые, как и в случае полостей могут моделировать либо технологические дефекты, либо армирующие элементы композиционного материала. Второй тип неоднородности связан с многослойными композиционными материалами, образованными слоями с различными механическими характеристиками.
Разрывный характер нагрузок может возникать как при эксплуатации конструкции в результате контактного взаимодействия отдельных ее элементов
6
на ограниченной области поверхности, так и в результате конструктивных особенностей этих элементов. Как отмечалось выше, правильный учет влияния перечисленных видов концентраторов на напряженное состояние в элементах конструкции играет важнейшую роль при оценке прочности и долговечности конструкции в целом.
В настоящей работе предлагаются численно-аналитические методы исследования концентрации напряжений, инициируемых перечисленными выше типами концентраторов в трехмерных телах с позиций линейной теории упругости. В основе предлагаемых подходов к исследованию индивидуального локального характера концентрации напряжений, вызванной данным типом концентраторов, лежит использование решений задач плоской и пространственной теории упругости для бесконечных тел, что существенно упрощает решение поставленной задачи. Следует отметить, что решение перечисленных типов задач связано со значительно большими сложностями, чем решение аналогичных плоских задач. Это связано как с отсутствием такого же широкого круга аналитических методов, которые разработаны для решения плоских задач, так и с существенно большим объемом вычислений при использовании приближенных численных методов.
В I, II главах источниками концентрации напряжений являются системы сферических, эллипсоидальных полостей или жестких включений в бесконечных изотропных и трансверсально-изотропных телах. В главах III и IV концентратором напряжений является разрывный характер внешней нагрузки, приложенной к цилиндрическим поверхностям. В главе V концентрация напряжений обусловлена разнородностью материалов, объединенных в единый массив.
В первой главе исследуется концентрация напряжений, вызванная системой непересекающихся и несоприкасаюшихся сферических концентраторов в виде полостей или жестких включений с центрами на одной прямой в бесконечном упругом теле. Основная задача заключается в построении аналитического решения и создании на базе этого решения устойчивого численного алгоритма, позволяющего исследовать взаимное влияние сферических концентра-
I
7
торов на величину концентрации напряжений. Получены решения первой и второй основных задач пространственной теории упругости для бесконечных тел, ограниченных конечным или бесконечным числом замкнутых непересе-кающихся поверхностей с центрами на одной прямой.
Общие вопросы связанные с решением трехмерных задач для многосвязных тел с достаточной полнотой были исследованы в работах Т.В. Бурчуладзе [31], Перлина П.И. [117,118]. Шермана Д.И. [155]. В основе этих работ лежат результаты, полученные для аналогичных задач теории гармонических функций Н.М. Гюнтером [61], Н.И. Мусхелешвили [93], Д.И. Шерманом [156] и В.Д. Купрадзе [84].
Первая основная задача теории упругости для многосвязных тел решалась Д.И. Шерманом и Т.В. Бурчуладзе. Различными методами эти авторы свели задачу к решению сингулярных интегральных уравнений, показав их разрешимость. Бурчуладзе Т.В. получил аналогичный результат так же и для второй основной задачи. Перлин П.И. предложил метод решения задач теории упругости для случая, когда область ограничена двумя поверхностями. С помощью этого метода задача сводится к решению двух сингулярных уравнений. В работе [141], C.J1. Соболев предложил использовать альтернирующий метод Шварца при решении задач теории упругости для тел ограниченных системой замкнутых поверхностей. Описание алгоритма этого метода дано в монографии Л.В. Канторовича и В.И. Крылова [65]. По своей сути близким к этому методу является метод фиктивных областей, изложенный в работах Л.Н. Ясницкого [158,159], который так же может быть использован при решении подобного класса задач. Несмотря на теоретическую полноту исследования основных пространственных задач теории упругости для тел ограниченных несколькими поверхностями, фактическая численная реализация интегральных уравнений, полученных в работах перечисленных выше авторов, сопряжена с существенными трудностями вычислительного характера, которые значительно возрастают при сближении поверхностей. Этим можно объяснить отсутствие работ по исследованию концентрации напряжений, использующих методы, предлагаемые пере-
8
численными выше авторами. Исключение составляют работы Перлина П.И. [119,120], где автор на основе предложенного им метода решает конкретные осесимметричные задачи для области, ограниченной эллипсоидом и сферой.
Различные формы решения задачи теории упругости для одного сферического концентратора рассматривались широким кругом авторов. Решение задачи в замкнутом виде для сферической полости при одноосном напряженном состояния на бесконечности принадлежит Саусвеллу Р.В. и приводится в монографии Ю.Н. Работнова [137]. В дальнейшем, общие решения задач для пространства, содержащего одну сферическую полость или одно инородное включение, были получены в работах А .Я. Александрова и Б.Л. Абрамяна[2],
А.Я. Александрова и Ю.И. Соловьева [18], B.C. Вольперта [47], А.И. Лурье [90,91], Г.Я. Попова [130], Э. Штернберга [157]. В двух последних работах дан анализ и обширный обзор результатов, посвященных данной проблеме.
Первые работы по решению задач теории упругости для тел, ограниченных системой (конечной или бесконечной) сферических полостей с центрами на одной прямой в осесимметричной постановке принадлежат K.Mikata [182,183], Н. Miyamoto [179-181], Е. Tsuchida [201], М.А, Sadovsky Е. и Е.Sternberg [200]. Последние два автора получили решение задачи теории упругости для бесконечного тела, содержащего две сферические полости одинакового радиуса при осесимметричном однородном напряженном состоянии на бесконечности. Решение строилось в биполярных координатах и приводилось к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Аналогичная задача была решена Н. Miyamoto [179,180], в предположении, что внешняя нагрузка возникает за счет центробежного поля инерционных сил. В дальнейшем этот же автор исследовал, приближенно, влияние более чем двух полостей на напряженное состояние в теле [181]. В работе [201] решена задача для бесконечного тела с несколькими полостями. Решение разыскивалось в форме Папковича и с помощью преобразования Лежандра сводилось к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Для случая двух полостей проведен численный анализ. Задача для пространства с двумя полостями в осесимметричной поста-
9
новке решалась так же в работе M.Hamada [170] с помощью итерационного метода, использующего решение задачи с одной полостью. В этой работе было проведено сравнение величины концентрации напряжений, полученной предлагаемым методом и методом конечных элементов. Эта же задача, с помощью метода конечных элементов рассматривалась в работе [134]. Осесимметричная задача для случая бесконечной периодической системы полостей рассматривалась в работах [171,181-183]. Следует отметить, что с формальной точки зрения решение задачи о пространстве с двумя сферическими концентраторами и решение задачи об упругой сфере с неконцентрической полостью или включением могут считаться эквивалентными.
Р.Н. Кауфман [79] рассматривала первую основную задачу теории упругости о всестороннем сжатии упругого шара с неконцентрической полостью. Решение уравнения равновесия в смещениях разыскивалось в форме рядов и с помощью формул переноса задача сводилось к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Значительно позже аналогичная задачи рассматривалась в работах A.A. Капшивого [68,70] с помощью обобщенных аналитических функций Г.Н. Положего [124-126] и так же сводилась к решению беско-несчных систем линейных алгебраических уравнений. Этим же автором и тем же методом решалась и осесимметричная задача о пространстве с двумя полостями [69]. Как и предыдущие, эта задача была сведена к решению аналогичной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, что подтверждает формальную эквивалентность решения обоих типов задач. Приближенное решение этой же задачи на основе асимптотического метода возмущения формы границы получено в работе B.C. Колесова и др. [42]. Следует отметить работу JI.B. Баева и др. [28], в которой решение задачи для пространства, содержащего полые сферические включения с центрами на одной прямой, строится с помощью представлений Н. Miyamoto [179] в виде рядов. На базе полученного решения для случая взаимодействия полого включения и полости авторами проводится количественный и качественный анализ влияния межцен-тренного расстояния и отношения радиусов концентраторов на величину кон-
10
центрации напряжений при осесимметричном нагружении. Численноаналитическое решение для неоднороднй среды со сферической полостью или включением, основанное на методе возмущений, предлагется в работе Д.В. Василенко и II.Д. Панкратова [39].
Исследованию взаимного влияния системы сферических полостей на напряженное состояние в теле в неосесимметричной постановке посвящено значительно меньше работ. Общие вопросы решения задач статики упругого тела, ограниченного сферическими поверхностями, исследовал Головчан В.Т. [57,58]. В работе Е. Tsuchida [202] решается задача о пространстве, содержащем три непересекающиеся полости с центрами на одной прямой, подверженном равномерному растяжению па бесконечности в направлении перпендикулярном к оси симметрии. Решение сводится к двум бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, первая из которых соответствует осесимметричной задаче, а вторая учитывает асимметрию напряженного состояния. Следует отметить работу G.Rodin [198], в которой на базе решения Эшелби для пространства с одним включением строится приближенное решение для пространства с N включениями. В качестве примера рассматривается задача одноосного растяжения пространства с двумя одинаковыми полостями. Проводится сравнение величины концентрации напряжений в полярных точках полостей, полученной предлагаемым методом и с помощью МКЭ. Удовлетворительное совпадение сравниваемых величин отмечается при отношении радиуса полости R к величине межцентренного расстояния/большем 0.4. Тем не менее, величины потенциальной энергии определенные с помощью этих двух методов отличаются не более чем на 5% при значениях RJf, близких к 0.5.
Большинство цитируемых выше работ можно разделить на две группы. В первой решение задач тем или иным способом сводится к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и проводится исследование этих систем, связанное с существованием и единственностью их решения. При этом, пути их численной реализации не указываются и вопросы, связанные с концентрацией напряжений не исследуются. Ко второй группе относятся рабо-
11
ты, не затрагивающие вопросы существования и единственности полученных решений, но рассматривающие конкретные задачи по определению концентрации напряжений и использованию полученных решений для определения эффективных модулей композиционных материалов, моделируемых упругой средой со сферическими включениями. Однако, в большинстве работ исследования концентрации напряжений относятся к осесимметричным напряженным состояниям и ограничиваются диапазоном изменения параметра оо >Я//>0.4 (при равных радиусах концентраторов). Исключение составляют работы [28,197], где этот диапазон шире.
Автором диссертации получены решения пространственных задач теории упругости для бесконечной среды содержащей: периодическую систему сферических полостей, две полости, два включения, полость и включение с центрами на одной прямой. На базе метода суперпозиций, использующего комплексные потенциалы в форме Колосова-Мусхелишвили, задача сводится к ряду бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Показано, что полученные системы вполне непрерывны, а число этих систем зависит от вида граничных условий. Предложен и применительно к конкретным задачам реализован эффективный алгоритм решения этих систем, позволяющий определять концентрацию напряжений при любой толщине перемычки между концентраторами. Основные результаты этой главы изложены в работах [13,14,15,50,104,106,109].
Во второй главе получены решения первой и второй основных задач теории упругости, позволяющие проводить исследование концентрации напряжений в трансверсально-изотропных телах, содержащих систему непересекаю-щихся эллипсоидальных концентраторов в виде полостей или жестких включений. С помощью эллипсоидальных полостей или включений, в зависимости от расстояния между их центрами и геометрическими параметрами, можно моделировать широкий круг концентраторов, являющихся технологическими дефектами или армирующими элементами. Задачи подобного типа, как и задачи главы I, возникают при оценке прочностных, усталостных и жесткостных ха-
12
рактеристик трехмерных элементов конструкций, выполненных из композиционного материала, моделируемого трансверсально-изотролной упругой средой.
Наряду с этим, построенные решения позволяют с высокой степенью точности исследовать концентрацию напряжений и в изотропном материале содержащем такие же концентраторы. Полученные решения могут быть использованы при оценке влияния разрыва волокон на прочность композиционного материала, моделируемого изотропной матрицей с абсолютно жесткими волокнами в виде сильно вытянутых эллипсоидальных включений.
Исследованию концентрации напряжений вблизи эллипсоидального концентратора в изотропных и трансверсально-изотропных телах посвящено значительное число работ, в которых получены как точные, так и приближенные решения. Среди них, прежде всего, следует отметить работы А .Я. Александрова [6,7,17,18], Ю.И. Соловьева [142,144], B.C. Вольперта [482,51], И.А. Кунина [81-83], Ю.Н. Подильчука [121-123], К.В. Соляник-Краса [146,147]. В этих работах различными методами получены общие решения первой и второй осно-вых задач теории упругости, с помощью которых можно исследовать концентрацию напряжений вблизи единичного эллипсоидального концентратора, представляющего собой полость или инородное включение. В работах [82,83] концентрация напряжений определяется для предельных случаев (игольчатая трещина или игольчатое включение) при общем виде анизотропии материала.
Вопросы, связанные с исследованием взаимного влияния на концентрацию напряжений нескольких эллипсоидальных концентраторов, особенно при их близком расположении, изучены значительно меньше. В работе В.И. Куща [85] получено решение, позволяющее определять эффективные упругие модули изотропной упругой среды, армированной периодически расположенными эллипсоидальными включениями. Влияние сфероидального включения или полости, заключенных в упругом изотропном шаре, на концентрацию напряжений рассматривалось в работах П.И. Перлина [119,120] и А.Г. Николаева [103]. Построение решения этих задач, с формальной точки зрения, аналогично построе-
13
нию решения задач о взаимодействии сферического и эллипсоидального кон-центркторов и может быть использовано для решения последних.
В работах N.Noda [187,188] задача о концентрации напряжений в окрестности двух вытянутых эллипсоидальных полостей или включений в изотропной среде с фокусами на одной оси, сведена к системе сингулярных интегральных уравнений. При этом, полученное решение иллюстрирует частный случай одноосного растяжения на бесконечности под углом к общей оси симметрии концентраторов.
Автором диссертации было получено общее решение первой и второй основной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной среды, содержащей периодическую систему эллипсоидальных непересекающихся и несо-прикасающихся полостей, а так же двух непересекающихся и несоприкасаю-щихся эллипсоидальных полостей или жестких включений, при некоторых ограничениях на их взаимное расположение. Использование подхода, основанного на методе суперпозиций с использованием комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого [88,89], позволило получить решение имеющее единую форму как для сферических, так и для эллипсоидальных концентраторов. Как и в главе I решение рассматриваемых задач сводится к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, численная реализация которых осуществлялась с помощью того же алгоритма, что и в первой главе. Основные результаты главы II изложены в работах [97,102,105,109,113,116,191].
В третьей и четвертой главах получены решения задач исследования осесимметричного напряженного состояния в изотропных и трансверсально- изотропных бесконечных телах, ограниченных цилиндрическими полостями. Осесимметричные задачи теории упругости для изотропных тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями в различных постановках рассматривались в работах В.М. Александрова [19,20], A.A. Баблояна [26], A.B. Белоконя [27], Г.М. Валова [37], И.И. Воровича [44], Колтунова [74], А.И. Лурье [90,91] , Т.Н. Положего [126,127], ГЛ. Попова [130], H.A. Ростовцева [135] и ряда других авторов [34,45,62,71,73,92,147,148,152]. В перечисленных работах строятся общие
14
аналитические решения основных задач теории упругости. Как правило, решения первой и второй основных задач получено с помощью функций напряжений Лява, а решение смешанной (контактной) задачи с помощью найденных решений первой и второй основных задач сводится к решению интегральных уравнений специального вида. М.Я. Беленький [34] получил формулы, связывающие компоненты осесимметричного напряженного состояния с двумя аналитическими в плоскости осевого сечения тела вращения функциями, которые можно использовать при решении краевых задач для сплошного цилиндра.
Задачи исследования напряженного состояния в цилиндрических телах от действия осесимметричной ступенчатой нагрузки решались М.А. Колтуновым [74] и Б.МаБао [150]. В этих работах определение напряжений и смещений с помощью функций напряжений Лява и преобразования Фурье [148] сводилось к вычислению несобственных интегралов. Полученные в этих работах результаты можно использовать для решения широкого класса осесимметричных задач, при любом виде нагрузки, аппроксимируемой кусочно непрерывными функциями. Наиболее сложным представляется решение смешанной задачи. Для сплошного цилиндра, заключенного в жесткую втулку конечной длины при тугой посадке, и пространства с цилиндрической полостью с жестким вкладышем большего диаметра, в работах [19,20,21,22,37,133,174] задача сводится к интегральным уравнениям с ядрами специального вида. В этих работах предлагаются методы приближенных решений полученных уравнений, однако, исследование концентрации напряжений не проводится. С практической точки зрения значительно больший интерес представляет задача о взаимодействии полого бесконечного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления, с жесткой втулкой. Задача в подобной постановке может быть рассмотрена как модельная для элемента трубопровода. Сведение этой задачи к интегральным уравнениям не представляет особенных затруднений. Но ядра полученных уравнений имеют достаточно сложный вид, что не позволяет получить решения интегральных уравнений теми же методами, что и в случае сплошного цилиндра или пространства с цилиндрической полостью. Исследование напряженного
15
состояния, вызванного взаимодействием жесткой втулки и полого цилиндра, моделирующих реальные элементы трубопроводов, представляется целесообразным проводить с помощью метода граничных элементов и его модификаций [32,33,63,75,78,150].
Работ посвященных решению задач теории упругости для трансверсаль-но-изотропных тел значительно меньше. Из них отмстим работы Ф.А. Вайнштейна [35,36], Р.Я. Сунчелеева [143], А.Ф. Хрусталева [151], Н.Каэапо [175], ]>Шо<За [186]. Три последние работы посвящены решению контактных задач для полых трансверсально-изотропных цилиндров. Практический интерес представляет работа [175], в которой задача сведена к сингулярному интегральному уравнению, решение которого ищется в виде рядов по полиномам Чебышева. Полученное решение позволило авторам провести анализ напряженного состояния для полого эпоксидного цилиндра, со стекло или графитовыми волокнами, при заданных постоянных перемещениях на кольцевом участке внешней поверхности. Этот же автор решал аналогичную задачу для полого изотропного цилиндра, которую привел к системе четырех парных интегральных уравнений [174]. Различные формы решения задач с однотипными граничными условиями свидетельствуют об отсутствии единого подхода к решению задач для изотропных и трансверсально-изотропных полых цилиндров.
В третьей и четвертой главах диссертации, на основе метода суперпозиций, разработан единый подход к решению задач теории упругости для изотропных и трансверсально-изотропных тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями. С помощью полученных решений можно исследовать осесимметричные напряженные состояния в сплошном бесконечном цилиндре, пространстве с цилиндрической полостью и в полом однослойном или многослойном цилиндрах как при заданных на поверхности усилиях или смещениях, так и при смешанных граничных условиях. Использование комплексных потенциалов при решении подобных задач методом суперпозиции сводится к отысканию аналитических функций в бесконечных полосах. Кроме того, этот же подход применяется в главе IV и к решению стационарно динамических задач термо-
16
упругости, когда внешние силовые возмущения и температурные поля распространяются вдоль оси симметрии цилиндрического тела с постоянной скоростью. Задачу о распространении возмущений с постоянной скоростью вдоль границы изотропной полу плоскости методами теории функций комплексного переменного рассматривали Л.Л. Галин [53] и J. Radoc [197]. Задача о движущейся с постоянной скоростью нагузке вдоль полосы рассматривалась В.М.Александровым и Е.В.Коваленко [21]. Плоская задача о движущемся штампе с учетом тепловыделения рассматривалась в работе И.И. Воровича и др. [52]. Для трансверсально-изотропной полуплоскости решение задачи о движущемся с постоянной скоростью вдоль границы штампе было получено B.C. Вольпертом [49]. Используя решения плоской задачи, в диссертационной работе получено решение задачи об осесимметричном напряженном состоянии в изотропных и трансверсально-изотропных сплошных и полых цилиндрах вдоль оси симметрии которых распространяются с постоянной скоростью возмущения. Следует отметить, что впервые связь между решением волнового уравнения в плоском и осесимметричном случаях была установлена, повидимому,
В.И. Смирновым и С.Л. Соболевым [138]. Формально, решения осесимметричных стационарных динамических задач имеют ту же форму, что и решения осесимметричных статических задач для трансверсально-изотропных тел и сводятся к отысканию аналитических функций в полосе. Это позволяет при решении задач обоих классов использовать одни и те же вычислительные алгоритмы. Основные результаты автора диссертации, относящиеся к 3 и 4 главам опубликованы в работах [ 10,11,101,107,108,109,115].
Пятая глава диссертации посвящена разработке метода исследования межслойных напряжений в многослойных пластинах вблизи ненагруженных кромок круговых и эллиптических технологических отверстий.
Одно из наиболее эффективных направлений оценки прочности многослойных пластин с отверстиями основано на понятии характеристического размера и использовалось в работах Б.Д. Аннина и В.Н. Максименко [24,25]. Вместе с тем, на несущую способность многослойной пластины с отверстиями ока-
17
зывает влияние и трехмерное напряженное состояние вблизи ненагруженных кромок отверстий, учет которого выходит за рамки данного подхода. Достаточно полный обзор основных методов исследования напряженно- деформированного состояния пространственных неоднородных конструкций, к которым относятся многослойные пластины с вырезами, дан в монографии В.О. Каледина [66].
Наличие межслойных напряжений характерно для многослойных пластин состоящих из однонаправленно армированных слоев при их различной взаимной ориентации. В большинстве работ по исследованию межслойных напряжений рассматриваются прямолинейные свободные кромки. Впервые полный трехмерный анализ в многослойной полосе при одноосном растяжении с использованием основных уравнений теории упругости проводился N.J. Pagano [193] методом конечных разностей. Было выявлено наличие нормальных и касательных напряжений, действующих на границе разделов слоев в узкой зоне, прилегающей к свободной кромке. Ширина зоны (пограничного слоя) примерно равнялась толщине пластины. В дальнейшем задача о межслойных напряжениях вдоль прямолинейной кромки пластины, в силу независимости напряженного состояния от осевой координаты направленной вдоль кромки, была сформулирована как двумерная и подробно исследовалась методом конечных элементов в работах К.Гераковича [54,172] и S.S. Wang [203,204]. Уменьшение размерности задачи позволило более детально исследовать напряженное состояние в слое. Полученные этими авторами результаты дают хорошее качественное согласование с результатами экспериментальных исследований описанных в работах [54,136,168,169].
Влияние свободных криволинейных кромок на напряженное состояние в пограничном слое менее изучено. Решение этой проблемы развивается в двух направлениях.
К первому относятся работы основанные на построении приближенного решения трехмерной задачи для бесконечной многослойной области, состоящей из однородных ортотропных слоев, с круговым отверстием. Прежде всего,
18
это работы Zanq К. [206] и Avrashi J. [161], в которых заранее задан характер поведения межслойных напряжений вблизи отверстия. Несмотря на то, что полученные решения удовлетворяют уравнениям равновесия, полнота этих решений не исследуется и о их достоверности можно судить только путем сравнения с результатами решения аналогичных задач другими методами. В работах A.S. Wang [203,204] с помощью комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого задача о межслойных напряжениях вблизи прямолинейной кромки сводится к решению системы дифференциальных уравнений, решение которых позволяет исследовать характер сингулярности в угловых точках контуров слоев. К этому же направлению можно отнести работы L. Chien-Chung [166,167], но для пластин с круговыми вырезами.
Второе направление исследования межслойных напряжений вблизи криволинейных отверстий полностью связано с применением метода конечных элементов. В большинстве работ [160,163,166,167,176,199] исследуются меж-слойные напряжения для пластин с круговыми отверстиями при одноосном растяжении. Схемы армирования пластин выбираются такими, что эффективные модули упругости пластины соответствуют ортотропному материалу, а направление растяжения совпадает с одной из осей ортотропии. Основная задача заключается при этом в детальном исследовании пограничного слоя, что требует значительного числа используемых конечных элементов. Одним из способов приводящих к сокращению объема вычислений является использование суперэлементов, как это сделано в работе Jones R. [173]. Несмотря на значительные усилия, направленные на исследование межслойных напряжений, общей теории, позволяющей прогнозировать характер поведения этих напряжений до сих пор нет и основное направление исследований связано с построением максимально эффективных алгоритмов по расчету межслойных напряжений на базе метода конечных элементов. Основные результаты, полученные автором диссертации по решению этой проблемы, содержатся в работах [1,29,98-100,110-112,114,190,192].
19
Актуальность проблемы. Широкий круг проблем конструирования, эксплуатации, оценки долговечности и надежности реальных элементов конструкций, в значительном ряде случаев, связан с необходимостью максимально адекватно учитывать трехмерность напряженного состояния этих элементов. Одной из основных задач в этом направлении является расчет концентрации напряжений, возникающей как при создании этих элементов (технологические дефекты, неоднородность материала, и т.д.), так и в процессе эксплуатации (внешние нагрузки, контактное взаимодействие). В силу ярко выраженного индивидуального характера источников концентрации напряжений не существует единого метода к их определению. Несмотря на то, что в ряде случаев найдены простые замкнутые (в виде формул) решения, в целом разработка методов расчета концентрации напряжений остается актуальной. Мощным аппаратом при решении данной проблемы являются методы конечных и граничных элементов, позволяющие с высокой точностью определять концентрацию напряжений. Однако, при необходимости исследования концентрации напряжений для заданного класса концентраторов, зависящего от геометрических параметров, изменяющихся в широком диапазоне, применение этих методов становится мало эффективным. Это связано со значительным ростом объема подготовки исходных данных, учитывающих особенности изменения геометрических параметров. Особенно, это относится к задачам исследования концентрации напряжений вызванной взаимодействием ряда концентраторов, в зависимости от расстояния между ними и их формы. Поэтому, наряду с МКЭ и МГЭ представляется перспективным развивать аналитические методы и численноаналитические методы, позволяющие получать устойчивые решения данной проблемы для широкого диапазона изменения геометрических параметров концентраторов.
Цель работы заключается в разработке аналитических и численноаналитических методов исследования концентрации напряжений различной природы в элементах конструкций, находящихся в условиях трехмерного напряженного состояния, и разработке на основе этих методов эффективных ал-
20
горитмов расчета как напряженного состояния в целом, так и концентрации напряжений.
Научная новизна работы.
• Проведено обобщение метода суперпозиций на решение пространственных задач теории упругости для многосвязных тел следующего вида: изотропная упругая среда, содержащая систему непересекающихся и несопри-касающихся сферических полостей или включений с центрами на одной прямой;
трансверсально-изотропная упругая среда, содержащая систему непересекающихся и несоприкасающихся эллипсоидальных полостей или включений симметричных относительно общей оси.
• На основе полученных решений в виде бесконечных систем линейных алгебраических уравнений разработаны устойчивые, эффективные численные алгоритмы расчета концентрации напряжений, в окрестности полостей или включений. Определены области применения полученных решений в зависимости от геометрических и жесткостных параметров. Проведено исследование концентрации напряжений в широком диапазоне изменения этих параметров.
• Разработан общий подход к решению ряда основных осесимметричных задач теории упругости для изотропных и трансверсально-изотропных тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями. Получены решения статических задач для бесконечного сплошного цилиндра, бесконечной цилиндрической полости в упругой среде, полого бесконечного многослойного цилиндра. Для этого же класса цилиндрических тел получены осесимметричные решения задач стационарной динамической термоупругости, в предположении, что внешние нагрузки и температурные поля распространяются в направлении оси цилиндра с постоянной скоростью.
• Разработан численно-аналитический метод расчета межслойных напряжений вблизи ненагруженных кромок круговых и эллиптических отверстий в многослойных пластинах из композиционных материалов. Исследованы границы
21
применимости метода для пластин с круговыми и эллиптическими отверстиями.
Методы исследований основаны на: использовании теории функций комплексного переменного, позволяющей представить искомое в заданной области решение в виде аналитических функций заранее известной формы, соответствующих этой области; численных итерационных алгоритмах; применении метода конечных элементов.
Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на:
• корректном использовании основных уравнений теории упругости, аппарата теории функций комплексного переменного и метода конечных элементов;
• исследовании сходимости и устойчивости разработанных численных алгоритмов;
• совпадении с известными численными результатами в частных случаях.
Практическая значимость и реализация результатов исследований
заключается:
• в разработке численных алгоритмов расчета трехмерного напряженного состояния и концентрации напряжений, порожденной различного типа концентраторами;
• в численных результатах позволяющих проводить анализ влияния геометрических параметров концентраторов напряжений и характера внешней нагрузки на концентрацию напряжений;
• во внедрении результатов и пакетов программ в расчетную практику заинтересованных организаций.
Работа проводилась по договорам с ФГУП СибНИА им С.А. Чаплыгина и другими предприятиями Минавиапрома в соответствии с правительственными научно-техническими программами "Икарус-МАП", программой Минвуза
22
РСФСР "Полет", а так же выполнялась в рамках федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997-2000 годы".
На защиту выносятся:
• разработанный метод определения концентрации напряжений в окрестности системы сферических или эллипсоидальных концентраторов с общей осью симметрии в изотропных и трансверсально-изотропнных средах, а так же алгоритмы и результаты расчета полученные на основе этого метода;
• единый метод определения осесимметричного напряженного состояния в изотропных и трансверсально-изотропных телах, ограниченных цилиндрическими поверхностями в статической и квазистатической постановке;
• численно-аналитический метод расчета межслойных напряжений в окрестности круговых и эллиптических вырезов в многослойных пластинах.
Апробация работы. Основное содержание работы и отдельных ее разделов докладывалось в "Летней научной школе по вопросам прочности конструкций из стекла и керамики "(Обнинск, 1976 г.); на Всесоюзной конференции по теории упругости (Ереван, 1979 г.); на научно-технической конференции по статической прочности авиационных конструкций в ЦАГИ (Жуковский 1980 г.); на Республиканской научно-технической конференции “Концентрация напряжений” (Донецк, 1983г.); на X и XI Всесоюзных конференциях "Конструкции и технология получения изделий из неметаллических материалов" (Обнинск, 1986 г., 1988г.)); на Межвузовских научно-технических конференциях “Композиционные материалы в конструкциях глубоководных технических средств” (Николаев, 1989 г., 3991г.); на XI Дальневосточной научно-технической конференции “Повреждения и эксплуатационная надежность судовых конструкций” (Владивосток, 1990); на IX Бубновских чтениях по эксплуатационной конструктивной прочности судовых конструкций (Нижний Новгород, 1991); на международной научно-технической конференции “Расчетные методы механики деформируемого твердого тела” (Новосибирск, 1995
23
г.); на 1У Всероссийской научно-технической конференции “Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций” (Новосибирск, 1997); на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск 1996 г.), на I, II, III Международных российско-корейских научно-технических конференциях ССЖШ "Научные основы высоких технологий" (Ульсан, Корея, 1997 г., Томск 1998 г., Новосибирск 1999 г.): на межвузовской научной конференции "Численно - аналитические методы решения краевых задач" (Новокузнецк, 1998 г.); на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование процессов в синергетических системах" (Улан-Удэ, 1999 г.); на III школс-семинаре СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, (1999 г.), на международной научно-технической конференции КиБСО "Научные основы высоких технологий" (Новосибирск 2001 г.);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 38 печатных работ. Результаты исследований автора, выполненные по заказам промышленности и отраслевых КБ, отражены более чем в 30 научно-технических отчетах.
24
1. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ, СОДЕРЖАЩИХ СИСТЕМУ СФЕРИЧЕСКИХ КОНЦЕНТРАТОРОВ
1.1. Введение
Настоящая глава посвящена решению задач исследования концентрации напряжений в телах, содержащих систему сферических непересекающихся и не-соприкасающихся концентраторов в виде полостей или абсолютно жестких включений с центрами на одной прямой.
Решение таких задач различными аналитическими методами проводилось многими авторами [68,70,179-183,200,201]. Тем не менее, анализ перечисленных работ не позволяет сделать заключение о полноте исследования данного класса задач.
Независимо от способа решения, в конечном итоге во всех приведенных работах задача сводится к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), численная реализация которых связана с существенными трудностями, связанными с устойчивостью решения в зависимости от величины расстояния между центрами двух соседних концентраторов. В цитируемых выше работах получены решения для частных видов заданных на бесконечности однородных напряженных состояний, в основном, осесимметричных. При этом, исследование концентрации напряжений, проводимых с помощью этих решений, относится к ограниченному диапазону толщин перемычек между концентраторами, исключающему возможность исследования взаимного влияния концентраторов на напряженное состояние при малых толщинах перемычек.
В этой главе получены решения указанного типа задач свободные от перечисленных выше недостатков. Рассматриваются следующие типы концентраторов: периодическая система полостей, две полости, два включения, полость и включение.
25
Решение строится методом суперпозиций [3-8,18], с помощью которого получены аналитические решения широкого круга задач для тел вращения. В частности, для изотропного тела, содержащего одну сферическую полость или одно включение. В этом случае решение, имеет достаточно простой вид и при однородном напряженном состоянии на бесконечности может быть представлено в замкнутой форме. Наличие дополнительных концентраторов существенно усложняет задачу и исключает возможность получения решения такого же простого вида как в случае одной полости. Построенные в этой главе решения являются обобщением решения [9] на задачи для тел, содержащих две полости (два включения) или бесконечную периодическую систему сферических полостей с центрами на одной прямой. Полученные решения сводятся к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Исследован характер этих систем, а для их численной реализации разработан эффективный алгоритм, позволяющий определять напряженное состояние в окрестности концентраторов при любой степени близости соседних непересекающихся и несоприкасающихся концентраторов.
Проведены численные эксперименты, позволяющие судить об устойчивости полученных решений относительно погрешности исходных данных и числа используемых элементов в матрицах бесконечных СЛАУ. Сравнение отдельных результатов с результатами, приведенными в работах [170,171,179] дало их полное совпадение. С помощью полученных решений проведен анализ влияния межцен-тренного расстояния между концентраторами на величину концентрации напряжений при следующих видах однородных напряженных состояний на бесконечности: одноосное растяжение в направлении оси симметрии и перпендикулярном к ней, круговое растяжение относительно оси симметрии и чистый изгиб.
В первых четырех главах решение рассматриваемых краевых задач базируется на методе суперпозиций [5,6]. В основе метода лежат интегральные связи между компонентами напряжений и смещений пространственного напряженного состояния в осесимметричном теле, представленными в цилиндрической системе
- Київ+380960830922