Фокусирующие дифракционные решетки и их аберрационные свойства. Приборы на их основе

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................5
ГЛАВА 1 МЕТОДЫ РАСЧЁТА КАЧЕСТВА СПЕКТРАЛЬНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ, ДАВАЕМОГО ДИФРАКЦИОННЫМИ РЕШЕТКАМИ.. 15
1.1. Теория плоской дифракционной решётки............................15
1.1.1 Электромагнитная теория....................................15
1.1.2 Скалярная теория...........................................24
1.2. Расчет хода лучей...............................................28
1.3. Функция оптического пути........................................33
1.3.1 Разложение функции оптического пути........................33
1.3.2 Аберрации 1-го - 3-го порядков.............................40
1.4. Критерии качества спектрального изображения.....................44
1.5. Выводы..........................................................50
ГЛАВА 2 ЗАВИСИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ШТРИХОВ ОТ МЕТОДА ИЗГОТОВЛЕНИЯ ВОГНУТЫХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЁТОК........................................................ 51
2.1. Параметры вогнутой решетки с произвольным расположением штрихов..............................................................51
2.2. Нарезные дифракционные решетки..................................57
2.2.1. Параметры дифракционных решеток, изготовленных при наклоне плоскости резания...........................................58
2.2.2. Методы изготовления решеток с переменным шагом............65
2.3. Голограммные дифракционные решетки..............................79
2.3.1. Запись в гомоцентрических пучках........................80
2.3.2. Запись в астигматических пучках.........................89
2.4. Распределение эффективности по поверхности вогнутых дифракционных решеток................................................96
2.5. Выводы.........................................................110
ГЛАВА 3 ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ВОГНУТЫХ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЁТОК........................................................111
3.1. Расчёт параметров стигматических дифракционных решёток........112
3.1.1. Стигматические голограммные решетки......................112
3.1.2. Стигматические нарезные решетки.........................117
3.2. Минимизация аберраций 1-го порядка в различных схемах спектральных приборов.......................................................132
3.2.1.Схемы с постоянным углом падения.........................133
3.2.2.Схемы с поворотом решетки................................138
3.3. Компенсация аберраций 2-го и 3-го порядков.....................141
3.3.1.Оценочные функции.........................................141
3.3.2. Оптимизация параметров...................................145
3.4. Минимизация ширины аппаратной функции спектрального прибора 151
3.5. Расчёт различных оптических схем спектральных приборов с фокуси-рующими дифракционными решётками....................................159
3.5.1. Схема спектрографа на круге Роуланда......................159
3.5.2. Схема спектрографа с плоским полем........................167
3.5.3. Схема спектрографа с фокусировкой на окружности...........170
3.5.4. Схема монохроматора с простым вращением решётки...........173
3.5.5. Схема монохроматора с вращением решётки и одновременным перемещением щели в направлении решётки.....................181
3.5.6. Схема монохроматора с одновременным вращением и перемещением решётки в направлении щели.............................185
3.6. Выводы..........................................................189
ГЛАВА 4 ИНТЕГРАЛЬНО-ОПТИЧЕСКИЕ ДИФРАКЦИОННЫЕ
РЕШЕТКИ....................................................192
4.1. Основные характеристики решетчатых элементов связи..............192
4.1.1. Методы расчёта энергетических характеристик...............193
4.1.2. Влияние формы штрихов решетки на эффективность УВВ 197
4.1.3. Расчет энергетических характеристик УВВ с максимальной эффективностью ...............................................201
4.2. Дифракционные решётки на планарном волноводе....................207
4.2.1. Аберрационные характеристики..............................207
4.2.2. Расчёт оптической схемы интегрально-оптического устройства дискового звукоснимателя....................................211
4.3. Фокусирующая решетка на вогнутой поверхности оптического волновода...........................................................216
4.3.1. Аберрационные характеристики..............................217
4.3.2. Результаты расчётов.......................................220
4.4. Круговые дифракционные решётки на поверхности волновода.........223
4.4.1. Аберрации круговой решётки, стигматизм....................225
4.4.2. Аксиально-симметричные поверхностные волны................230
4.4.3. Дифракционный интеграл....................................233
4.4.4. Дифракционная эффективность...............................235
4.5.Вывод ы..........................................................239
ГЛАВА 5 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОТРАЖАТЕЛЬНЫХ ФОКУСИРУЮЩИХ
ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЁТОК В ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРАХ И УСТРОЙСТВАХ.........................................240
5.1. Приборы атомно-эмиссионного спектрального анализа...............240
5.1.1. Дифракционные спектрографы ДФС-460, ДФС-461, ДФС-462......243
5.1.2. Многоэлементные эмиссионные спектрометры МЭС-1000 и МЭС-500.................................................... 255
5.1.3. Спектрометр ББ-ОІ.........................................266
5.2. Приборы атомно-абсорбционного спектрального анализа.............270
5.2.1. Атомно-абсорбционный спектрофотометр СА-12................271
4
5.2.2. Атомно-абсорбционный спектрофотометр СА-13..............275
5.2.3. Монохроматор для атомно-абсорбционных спектрофотометров «Спираль-19» и «Атомик-2000»...............................278
5.3. Приборы для анализа спектров флюоресценции и комбинационного рассеяния..........................................................284
5.3.1. Спектрофлюориметры......................................284
5.3.2. Анализатор природного газа на основе комбинационного рассеяния света............................................294
5.4. Приборы для анализа спектров мягкого рентгеновского излучения 301
5.5. Устройства для волоконно-оптических линий связи...............312
5.5.1. Мульти/демультиплексоры.................................312
5.5.2. Устройства деления мощности излучения в ВОЛС............330
5.6. Выводы........................................................338
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................342
ЛИТЕРАТУРА.........................................................345
ВВЕДЕНИЕ
Дифракционные решётки известны уже более двух веков. Первые сто лет использовались плоские пропускающие решётки, обладающие низкой эффективностью и требующие использования фокусирующей оптики. Объединить функции диспергирующего и фокусирующего элементов в одном оптическом элементе с высокой эффективностью впервые удалось Роуланду, когда он создал вогнутую сферическую отражательную дифракционную решётку [1]. Ввиду отсутствия прозрачных материалов, до середины прошлого века, вогнутая решётка являлась основным инструментом для получения информации в вакуумной ультрафиолетовой области спектра. Однако, к середине 50-х годов прошлого века выяснилось, что скалярной теории дифракции, основанной на дифракционном интеграле Френеля - Кирхгофа, недостаточно для объяснения свойств решёток, и началась разработка векторной теории, в основе которой лежат уравнения Максвелла [2-4]. Препятствием широкому применению вогнутых решёток является астигматизм,
, удлиняющий изображение входной щели спектрального прибора [5,6]. В 70-х годах прошлого века начали получать распространение дифракционные нарезные и голограммные решётки с неравноотстоящими искривлёнными штрихами, астигматизм которых может быть исправлен. В работе [7] нами изучены аберрационные свойства отражательных дифракционных решёток с компенсированным астигматизмом. В дальнейшем наши работы, обзор которых дан в [8], были направлены на создание методов расчёта отражательных и волноводных дифракционных решёток, учитывающих современные требования к оптическим приборам, а также важнейшие достижения в технологии изготовления, произошедшие с момента опубликования работы [7].
Актуальность работы.
За последние годы складывается новое научное направление -исследование, разработка и внедрение в оптическое приборостроение новой элементной базы - фокусирующих дифракционных решёток (ФДР).
Использование ФДР позволяет разработать новые типы оптических систем спектральных приборов, а также новые классы оптических устройств для волоконно-оптических и интегрально-оптических систем.
Успешное применение новой элементной базы невозможно без развития теории формирования спектрального изображения с помощью ФДР, создания методов расчёта и оптимизации их аберрационных и энергетических характеристик, исследования возможностей и модернизации методов изготовления дифракционных решёток, а также разработки оптических систем приборов и устройств, максимально полно реализующих преимущества ФДР. Решению этих актуальных вопросов посвящена настоящая работа.
Цели и задачи работы.
Целью настоящей работы является создание универсальных методов расчёта характеристик и оптимизации параметров ФДР и разработка на этой основе оптических систем приборов и устройств с повышенными оптическими и эксплуатационными характеристиками.
Для достижения указанной цели требовалось решить следующие задачи:
1. Разработать теорию аберраций дифракционных решёток, нанесённых на планарный или искривлённый волновод.
2. Разработать теорию образования стигматического спектрального изображения вогнутыми нарезными решётками.
3. Разработать методы расчёта и оптимизации характеристик для произвольно заданной оптической схемы с использованием отражательных и волноводных решёток.
4. Рассчитать новые оптические схемы с максимальным использованием преимуществ, даваемых ФДР.
5. Предложить новые модификации способов изготовления нарезных и голограммных решёток.
6. Разработать оптические системы нового поколения приборов и устройств с учётом их применения в различных областях науки и техники.
7
Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:
1. В рамках теории аберраций третьего порядка получены выражения геометрических параметров нарезных и голограммных решёток, а также уравнения связи между параметрами записи и нарезки.
2. Установлено, что вогнутая сферическая нарезная дифракционная решетка с искривленными неравноотстоящими штрихами может, подобно голограммной решетке, давать стигматическое изображение для трех длин волн, две из которых могут быть выбраны произвольно. Указано на принципиальную возможность создания уникальных многоканальных трёхдиапазонных демультиплексоров.
3. Установлено, что стигматическое изображение произвольной длины волны может быть получено с помощью нарезной асферической решетки с переменным шагом и прямолинейными штрихами. Показана возможность получения стигматического изображения при скользящих углах падения и дифракции излучения.
4. Разработан численно - аналитический метод оптимизации параметров ФДР в произвольной оптической схеме, основанный на нахождении минимума полуширины аппаратной функции, вычисленной с учётом функции пропускания прибора.
5. Развита скалярная теория эффективности вогнутой дифракционной решётки с переменным шагом с учётом непараллельности падающего и дифрагированного пучков, а также изменения профиля штриха и затенения по поверхности решётки. Полученные результаты подтверждены расчётами с помощью методов, основанных на электромагнитной теории.
6. Доказана принципиальная возможность компенсации всех аберраций до третьего порядка включительно с помощью голограммной дифракционной решётки, в одном из пучков записи которой используется цилиндрическое зеркало. Разработана методика расчёта записи таких решёток.
7. Предложены методы получения переменного шага с коэффициентом,
пропорциональным третьей степени координаты на решётке, а также с заданным законом изменения радиуса кривизны штриха.
8. Разработана теория аберраций плоских, вогнутых и концентрических волноводных решёток.
9. Показана принципиальная возможность создания на основе нарезных дифракционных решеток устройства ввода-вывода с эффективностью, близкой к 100%.
10. Предложены устройства с секционной дифракционной решёткой и разработаны принципы построения обратной связи для разделения излучения по каналам связи с заданным спектральным составом.
Пра!стическая ценность работы заключается в:
1. Рекомендациях по применению тех или иных видов отражательных и интегрально-оптических ФДР в различных схемах оптических приборов и устройств.
2. Методах расчёта:
■ оптимальных параметров отражательных нарезных и голограммных решёток в произвольно заданной оптической схеме спектрального прибора;
• оптимальных параметров и характеристик интегрально-оптических плоских и вогнутых решёток;
■ энергетических характеристик вогнутых нарезных и голограммных решёток.
3. Методике расчёта технологических параметров установки механизмов получения искривлённых штрихов и переменного шага, полностью определяющих аберрации нарезной решётки до третьего порядка включительно.
4. Новых типах интегрально-оптических элементов:
■ дифракционной решётке на геодезической планарной линзе;
* паре концентрических решёток на одном планарном волноводе.
5. Новых схемах монохроматоров с различными способами сканирования
спектра:
■ с вращением решётки и перемещением щели по направлению к решётке;
■ с одновременным вращением и перемещением решётки в сторону щели;
• с неподвижной решёткой и перемещением щели по прямой, параллельной касательной к поверхности решётки.
6. Оптических системах серийных, опытных и макетных образцов
спектральных приборов и устройств волоконной оптики, изготовленных в НПО
ГИПО и на других предприятиях:
• атомно-эмиссионных спектрометров: ДФС-460, ДФС-461, ДФС-462, МЭС-500, МЭС-1000, 88-01;
■ атомно-абсорбционных приборов: СА-12, СА-13, монохроматора спектроаналитического комплекса «Атомик-2000»;
■ флюориметра «Флора», флюоресцентных датчиков по определению фенола, бензола и нефти в воде;
■ анализатора природного газа на основе комбинационного рассеяния света;
■ серии монохроматоров скользящего падения для анализа спектров в мягком рентгеновском диапазоне;
■ гаммы пяти- и десятиканальных мульти/демультиплексоров волоконно-оптических линий связи и устройств на их основе: модового селектора, оптической муфты, делителя мощности со спектральной селекцией и т. д.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту.
1. Геометрическая теория аберраций 1-3-го порядков плоских, вогнутых и кольцевых интегрально-оптических решёток.
2. Теория формирования стигматического изображения вогнутыми сферическими и асферическими нарезными дифракционными решётками.
3. Метод расчёта оптимальных параметров вогнутых неклассических дифракционных решёток на основе интегральных критериев качества спектрального изображения и минимизации полуширины аппаратных функций с учётом функции пропускания прибора.
4. Методы расчёта технологических параметров настройки делительных
10
машин для изготовления решёток с заданными аберрационными характеристиками. Способы изготовления нарезных дифракционных решёток с заданным изменением шага пропорционально третьей степени координаты на решётке.
5. Методика расчёта голограммной дифракционной решётки с исправленными аберрациями 1-3-го порядков. Способ записи решётки с помощью цилиндрического зеркала.
6. Разработки новых оптических схем: монохрохматоров со сложным перемещением оптических элементов, волоконных делителей мощности со спектральной селекцией, устройств ввода-вывода излучения на основе вогнутой интегрально-оптической решётки, преобразователей лазерного пучка на основе пары концентрических решёток.
7. Оптические схемы и результаты испытаний изготовленных приборов и устройств: приборов для различных видов спектрального анализа (атомноэмиссионного, атомно-абсорбционного, флюоресцентного,
комбинационного рассеяния, фотоэлектронного), устройств для волоконно-оптических линий связи (мульти/демультиплексоров и изделий на их основе) и устройств ввода-вывода излучения из планарного волновода.
Личный вклад автора.
Все принципиальные предложения по теории расчёта, метода»м изготовления решёток и новым схемам оптических приборов с ФДР принадлежат автору. Им детально разработана большая часть методов и алгоритмов расчёта оптических систем. Под руководством автора проведены проектирование и разработка некоторой части приборов. Он принимал участие в анализе результатов испытаний приборов.
Публикации и апробация работы.
По результатам настоящей работы опубликованы 70 работ в научных журналах, материалах конференций, 9 авторских свидетельств и один патент. Основные работы докладывались и обсуждались на XII научи.-техн. конф.
молодых специалистов (Красногорск, 1975), Всесоюз. научн-техн. конф. "Современная прикладная оптика и оптические приборы" (Ленинград, 1975), Всесоюз. симпозиуме по голографии (Львов, 1976), семинаре, посвященном 100-летию со дня рождения А.И. Тудоровского (Ленинград, 1976), Всесоюз. конф. "Формирование оптического изображения и методы его коррекции" (Могилев, 1979), Всесоюз. конф. "Приборы и методы спектроскопии" (Новосибирск, 1979), Всесоюз. семинаре по теории и расчету оптических схем (Ленинград, 1982), IV Всесоюз. конф.по голографии (Ереван, 1982), Всесоюз. семинаре "Голографические оптические элементы и их применение в оптических приборах" (Москва, 1987), VII Конф. по физике вакуумного ультрафиолета и его взаимодействию с веществом "ВУФ-86" (Рига, 1986), Всесоюз. семинаре "Физика быстропротекающих плазменных процессов" (Гродно, 1986), Всесоюз. конф. "Теоретическая и прикладная оптика" (Ленинград, 1988), VIII Всесоюз. конф. по физике вакуумного ультрафиолета и его взаимодействию с веществом "ВУФ-89" (Иркутск, 1989), научн.-техн. конф. "Оптическая коммутация и оптические сети связи" (Суздаль, 1990), Всесоюз. конф. "Проблемы измерительной техники в волоконной оптике" (Нижний Новгород, 1991), семинаре "Дифракционная оптика. Новые разработки в технологии и применение" (Москва, 1991), Conférence "ISFOC 93" St. Petersburg, 1993, Междунар. конф "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления" (Гурзуф, 1993), Российской научно-технич. конф. "Датчик-94"(Гурзуф, 1994), EFOC&N "The Book of Abstracts" (Brighton, 1995), Conférence Proceedings "Photonics-95" (Prague, 1995), Proceedings SPIE "Optical Information Science & Technology" (Moscow, 1997), III Респ. конф. "Актуальные экологические проблемы республики Татарстан" (Казань, 1997), "Второй конференции разработчиков и пользователей программного обеспечения для автоматизации оптических расчетов и испытаний оптических систем" (Москва, 2000), XI Всеросийском семинаре "Проблемы и достижения люминесцентной спектроскопии" (Саратов, 2001), XXII съезде по спектроскопии (Звенигород, 2001), XV Уральской конференции
12
по спектроскопии (Екатеринбург 2001), V международной конференции "Прикладная оптика" (Санкт-Петербург, 2002), XI конференции по лазерной оптике (С Петербург, 2003), XVI Уральской конференции по спектороскопии (Новоуральск, 2003).
Структура и объём диссертации.
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.
В первой главе рассмотрены методы расчёта качества спектрального изображения, даваемого дифракционными решётками. Приведён обзор методов расчёта дифракционной эффективности решёток, методов расчёта хода лучей. Приводятся формулы с использованием функции оптического пути. Приводятся формулы для расчёта аберраций, учитывающие влияние величины дефокусировки и астигматизма первого порядка на аберрации второго.
Во второй главе показана зависимость аберрационных и энергетических характеристик от геометрических параметров профиля и расположения штрихов решёток, изготовленных различными методами. В рамках теории аберраций, до третьего порядка включительно, получены геометрические параметры штрихов нарезных дифракционных решёток с асферической формой поверхности в случае, когда решётка с переменным шагом изготавливается при наклоне плоскости резания. С точностью до аберраций 3-го порядка включительно получены геометрические параметры штрихов голограммной решетки. Разработаны методы расчёта и исследовано изменение эффективности по поверхности вогнутой решётки переменного шага при различной форме штрихов.
В третьей главе рассмотрены методы расчёта оптимальных параметров дифракционных решёток. Теоретически исследованы условия формирования идеального геометрического (стигматического) изображения точечного источника вогнутой нарезной дифракционной решеткой. Показаны варианты использования стигматических решёток. Получены формулы для оптимальных параметров вогнутой решётки при минимизации дефокусировки и
13
астигматизма 1-го порядка вогнутой дифракционной решетки в базовых схемах спектральных приборов. Задаваясь способом сканирования спектра (видом фокальной поверхности), можно получить оптимальные результаты для произвольной схемы спектрального прибора. Приводится аналитическая методика компенсации аберраций 2-го и 3-го порядков с использованием критерия в виде величины, выражающей усредненную по зрачку системы сумму квадратов аберраций и функции передачи модуляции. На заключительной стадии расчётов проводится численная минимизация полуширины аппаратной функции спектрального прибора. Приведены примеры расчётов оптимальных параметров в базовых схемах спектральных приборов. Предложены новые схемы монохроматоров с одновременным перемещением дифракционной решётки и щелей прибора.
В четвёртой главе приводятся результаты исследования аберрационных и энергетических характеристик дифракционных решеток, нанесённых на планарный волновод. Рассчитана решётка с треугольным профилем штрихов и переменной глубиной по её поверхности, показана возможность достижения эффективности, близкой к 100%. Развита теория аберраций плоских и вогнутых интегрально-оптических решёток. Отмечено, что для вогнутой решётки влияние отклонений параметров от их оптимальных значений на фокусирующие свойства решетки гораздо меньше, чем для плоской. Показано, что кольцевая решётка с концентрическими штрихами при её освещении источником, находящимся в её центре, фокусирует стигматическим пучком. Рассмотрена энергетическая эффективность такого устройства, а также дифракционное распределение в фокальной плоскости.
В пятой главе описаны спектральные приборы и устройства с использованием фокусирующих дифракционных решёток, которые либо в единичных экземплярах, либо серийно, были изготовлены и использовались в различных областях науки, техники и производства. Представлены краткие описания приборов для различных видов спектрального анализа: атомноэмиссионного, атомно-абсорбционного, флюоресцентного, комбинационного
14
рассеяния, фотоэлектронного. Дана краткая характеристика устройств для волонно-оптических линий связи: мульти/демультиплексоров для различных областей спектра, оптической муфты, делителей мощности и т.д.
В заключении обобщены основные результаты работы.
15
ГЛАВА 1
МЕТОДЫ РАСЧЁТА КАЧЕСТВА СПЕКТРАЛЬНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ, ДАВАЕМОГО ДИФРАКЦИОННЫМИ РЕШЕТКАМИ
В настоящей главе приводится краткий обзор методов оценки качества изображения, даваемого вогнутой дифракционной решеткой, основанных на электромагнитной и скалярной теориях дифракционной решётки, точном расчете хода лучей и на выражениях для аберраций различных порядков.
1.1. Теория плоской дифракционной решётки
Длительное время анализ свойств рассеянных дифракционной решёткой электромагнитных полей ограничивался либо длинноволновым приближением, когда длина волны намного превосходит период, либо приближением геометрической оптики, когда она значительно меньше характерных размеров структуры. Благодаря совершенствованию технологии производства в пятидесятых годах прошлого века, стало возможным получение высокочастотных решеток, имеющих период одного порядка с длиной волны. Экспериментальные исследования таких решеток в поляризованном свете [3] показали, что получаются кривые дифракционной эффективности для различных поляризаций излучения. Появилась необходимость в строгой теории решеток, учитывающей векторный характер света. Такая теория была получена исходя из уравнений Максвелла. За последнее время опубликовано большое число теоретических работ по дифракции волн на периодических структурах в строгой постановке. Прежде чем дать краткую характеристику основных методов расчета волновых полей от решетки с учетом поляризации кратко сформулируем проблему.
16
1.1.1. Электромагнитная теория
Предположим, что на идеально проводящую решетку под углом (р падает плоская волна единичной амплитуды (рис. 1.1). Бесконечно широкая дифракционная решетка представлена цилиндрическими поверхностями с направляющими Р, которые описываются уравнением х = /(у). При этом штрихи параллельны оси 02, а периодическая функция /(у) делит пространство на две области £,(*> /(у)), Я.(х< /(у)). Падающий волновой вектор к' = £,м лежит в плоскости ХОУ, следовательно, электромагнитное поле не зависит от 2. Обычно рассматривается случай конкретной поляризации: Е или Я. В случае ^-поляризации (ТМ- мода) вектор электрического поля параллелен штрихам, при Я-поляризации (ТЕ- мода) вектор магнитного поля параллелен штрихам. Для того, чтобы рассматривать оба случая совместно, можно использовать функцию и(х,у) (иногда обозначается и), которая определяется как £. при £-поляризации, Я. при Я-поляризации. Эта функция, которую можно назвать общим полем, равна нулю при у < /(х). Из уравнений Максвелла [3] следует, что в области Я. поле удовлетворяет уравнению Гельмгольца
Ды+ *•,*!/ = О для (1.1)
со следующими граничными условиями: при £-поляризации граничное условие Дирихле
“[*,/(*)]= 0. (1-2) при Я-поляризации граничное условие Неймана
■у-(х,/(х))=0. (1.3)
с/п
Дифрагированное поле определяется как разность между общим полем и падающим полем и :
и*=и-и\ (1.4)
17
Рис. 1.1. Сечение дифракционной решётки произвольного
профиля штрихов.
18
Из линейности оператора Лапласа следует, что дифрагированное поле ии удовлетворяет также уравнению Гельмгольца:
Д*/ + к*и* =0 в (1.5)
Из (1.2), (1.3), (1.4) получается, что и11 удовлетворяет одному из следующих граничных условий:
«'[*,/(*)]= -и [*,/(*)] (1.6)
при Е-поляризации,
уЧ*. /М)=- “Ч*. /(*)) 0-7)
ап ап
при //-поляризации. Чтобы выразить математически известные экспериментальные факты, необходимо добавить условие излучения: при х—><х> и" должно быть ограничено.
Итак, математическая формулировка задачи дифракции на идеально проводящей решетке: найти функцию, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца (1.5), граничным условиям на Р (1.6) и (1.7) и условию излучения.
Как видим, математически задача дифракции излучения на плоской решётке сводится к решению волнового уравнения с граничными условиями на её поверхности. Волновое уравнение решается в зависимости от формы профиля аналитически или численно. Аналитическое решение существует для отдельных частных случаев, поэтому не представляет большого интереса для настоящей работы, а с помощью численных методов можно решить задачу дифракции на решётке произвольного профиля.
Существует два основных численных метода решения задачи дифракции на решетке: интегральный и дифференциальный. Любой метод, способный привести задачу дифракции к решению линейного интегрального уравнения или системы связанных линейных интефальных уравнений, называется интегральным методом. Если точное вычисление электромагнитного поля, дифрагированного на решетке, сводится к решению системы уравнений в частных производных с подходящими граничными условиями, такой метод называется диффе-
19
ренциальным.
Интегральные методы
Наиболее полное изложение интегрального метода, его развития применительно к различным типам дифракционных решеток можно найти в монографии [3]. Задача дифракции на решетке в строгой постановке может быть сведена к решению интегральных уравнений Фредгольма первого или второго рода с сингулярными или регулярными ядрами; как правило, предпочтение отдается решению Фредгольмовых интегральных уравнений с регулярными ядрами.
На первом этапе ограничивались исследованием решеток, обладающих бесконечно большой проводимостью, которые неплохо представляют применяемые в оптике решетки (за исключением УФ области спектра). Интегральные методы для идеально проводящих решеток были предложены одновременно несколькими авторами, первые численные результаты для Е- поляризации были получены R. Petite, впоследствии они были приведены в монографии [3]. В работе [9] проведен расчет дифракционной эффективности эшелетта с различными параметрами профиля штрихов и показано, что методы, аналогичные [3], не применимы для решеток, углы наклона плоских граней которых превышают 25-30°. Точный интегральный метод для ТМ поляризации был получен в работах Pavageau [10,11].
Первые теоретические исследования для решеток с конечной проводимостью привели ряд авторов к решению двух связанных интегральных уравнений, численная реализация которых на ЭВМ представляла существенные трудности. Прогресс в технологии изготовления дифракционных решёток позволил создать высокочастотные дифракционные решётки для УФ области. В этих областях металл становится слабо проводящим и модель абсолютно проводящей решетки в этом случае непригодна. D. Maystre предложил метод расчета диэлектрических и металлических решеток, который сводился к решению одного интегрального уравнения. Впоследствии этот метод был реализован на ЭВМ, программа позволяла получать результаты для любой поляризации, произвольной формы по-
20
верхности по всему спектру [12]. Этот факт стал толчком для дальнейшего развития интегральных методов. В настоящее время на основе интегрального метода создана теория решеток в схеме конической дифракции, решеток с диэлектрическим покрытием, а также многослойных решеток.
Несмотря на столь значительные успехи, достигнутые в разработке интегральных методов, в настоящей работе используется довольно простой и не требующий большого времени счёта интегральный метод Рауа§еаи [11,12]. Это связано с тем, что для расчёта эффективности вогнутой решётки необходимо проводить расчёт для многих точек на её поверхности, а при численной оптимизации параметров этот процесс должен повторяться многократно.
В качестве модели в указанной работе рассматривается идеально проводящий цилиндр, а затем периодическая структура, состоящая из ряда таких цилиндров. Для двух основных случаев поляризации получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с несингулярным ядром. В результате дифракционная эффективность рр в порядке р вычисляется как
где X - длина волны, Нр - амплитуда магнитного поля, г = /(х)- уравнение профиля штрихов с периодом е, а (р- угол падения плоской волны на решётку.
В случае Е-поляризации:
= {\/{2е))[ф(х){\-{ар/уг)/'(х)}ехр]{рКх + ку1,/(х)]рЬс, (1.10)
где а ,ур - направляющие косинусы, К = 2я/е, а Ф(х)- решение интегрального
уравнения Фредгольма для плотности тока индукции.
Функция / (х) удовлетворяет неоднородному векторному интегральному уравнению Фредгольма. Для двух основных случаев поляризации получаются скалярные формы похожие:
(1.8)
н, = №еу Л[Ф{х)ехр ]{рКх + ку„Г{х)\ы,
(1.9)
в случае //-поляризации:
21
Ф(х)= Ф0{х)+(\/е)[ Ы{х,1)ф№.
(1.П)
Для £-поляризации:
Ф(х)= |(хУ(1 + /,г(х))ехрОка0х);
Ф» (*) = 2у0Я' {1 + (а0/у„ )/'(х)}ехр{]куи/(х));
(1.12)
(М3)
Я'-амплитуда падающего поля, ядро имеет вид:
М*.')= 'Ц.Л!!-(аг/гг)Г{х))ехр]{рК{1-х)-кГ'\А1)-/{х)}. (1.14)
Ф„ (*) = -2 Н' ехр(]кус/(х)); ядро М(х,г) имеет вид как в случае ^-поляризации с изменением /'(*)-* /'(')» s=signe[z-f(t)].
В работе [13] изложены результаты численной реализации метода Pavageau. Для численного решения интегрального уравнения был выбран метод простой итерации, свободный член уравнения использовался в качестве начального приближения. Сходимость решения проверялась численно. Для вычисления интегралов использовалась квадратурная формула трапеции. Для решеток, профиль которых представляет кусочно-гладкую кривую, функция, описывающая профиль, заменялась через ряд Фурье. Проверка численной реализации алгоритма проводилась с использованием закона сохранения энергии и принципа обратимости. Элементарный контроль точности вычислений состоял в проверке сходимости: числу шагов итерации, числу точек дискретизации профиля и сохраняемых членов в бесконечных суммах для ядра придавали возрастающие значения и по результатам судили о сходимости. Значения квадратов амплитуд дифракционных гармоник и полной энергии отраженного поля для решеток синусоидального и треугольного профилей штриха, полученные по разработанной программе для схемы нормального падения, были сопоставлены с результатами расчетов других авторов. Экспериментальная проверка результатов была проведена при исследовании энергетических характеристик ре-
В случае Я-поляризации:
Ф(х) = 1'(х)ехр(]1са0х);
(1-15)
22
шеток трапецеидального профиля, которые предназначались для использования в качестве ответвителей энергии в лазерах. Получено хорошее соответствие в результате теоретической и экспериментальной проверки.
Дифференциальные методы
С математической точки зрения вычисление электромагнитного поля, дифрагированного на решетке, сводится к решению системы уравнений в частных производных с подходящими граничными условиями. Выше было показано, что эта задача может быть эквивалентна решению интегральных уравнений Фредгольма, однако можно прямо решать эти дифференциальные уравнения. В монографии [3] дифференциальные методы классифицируются следующим образом:
1. Уравнения Максвелла проектируются на декартовы координаты, что дает систему связанных уравнений в частных производных. Эти уравнения решаются методом конечной разности. Решение простое, но требует большого времени вычисления и наблюдается неустойчивость алгоритма для глубоких по сравнению с периодом штрихов.
2. Проекция волнового уравнения на подходящий базис функций дает систему обыкновенных дифференциальных связанных уравнений. Псевдопериодичность поля приводит к использованию экспоненциального базиса, так как неизвестная функция является функцией одной переменной, можно использовать алгоритм Рунге-Кутта.
3. Используя технику конформного отображения, можно отобразить профиль решетки на плоскость. После такого координатного преобразования получаются новые волновые уравнения, которые можно спроектировать на экспоненциальный базис и вычислить по дифференциальному алгоритму.
Вышеперечисленные интегральные методы были реализованы различными авторами, однако наибольшее распространение получил метод Ыеу1еге [14]. В случае параллельной поляризации (моды ТМ) этот метод расчёта включает два связанных дифференциальных уравнения первого порядка. В случае
23
перпендикулярной поляризации (моды ТЕ) берётся одно дифференциальное уравнение второго порядка.
Chang [15] было установлено, что для мод ТМ аналогичный метод решения дифференциальных уравнений второго порядка также приемлем, однако он требует определения нескольких обратных матриц большого размера, что значительно снижает точность расчётов из-за накопления ошибок.
Chang, Shah, и Tamir разработали метод (метод CST) [16J, сходный с методом Neviere. Основная идея метода состоит в использовании периодичности оптических свойств решетки, разложении функции диэлектрической проницаемости в ряд Фурье, и представлении функции дифракционного поля, являющейся квазипериодической с периодом, равным периоду решетки, в виде суперпозиции распространяющихся и затухающих плоских волн. Таким образом, в качестве базиса выбирается полная система экспоненциальных функций, при этом произведение поля и диэлектрической проницаемости, встречающееся в уравнениях Максвелла, оказывается функцией, разложимой по тому же базису.
В отличие от метода Neviere в методе CST моды ТЕ и ТМ рассматриваются вместе, кроме того данный метод включает случай профилей решеток с прямолинейными горизонтальными участками, где нормальная составляющая электрического поля имеет разрыв. Таким образом, метод приемлем для произвольных профилей решёток и, следовательно, обобщает решения Neviere.
В работе [17] метод CST был реализован численно. Для решения дифференциальных уравнений был использован метод Адамса-Мултона, который относится к многошаговым методам четвертого порядка типа «предсказание-коррекция». Для начала работы, как и любой многошаговый метод, он требует знания значений интегрируемой функции в нескольких первоначальных точках разбиения интервала интегрирования. С этой целью были использованы формулы метода Эйлера. Установлено, что дифференциальный метод позволяет с приемлемой точностью (порядка 10%) рассчитывать дифракцию на рещетке, глубина которой почти вдвое превышает длину волны света.
24
1.1.2. Скалярная теория
Первые теоретические исследования дифракционных свойств решеток проводились в скалярном приближении и приближении геометрической оптики. Формула распределения интенсивности в скалярном приближении была впервые выведена Роуландом с помощью принципа Гюйгенса. Для плоской решётки типа эшелетт, имеющий треугольный профиль штрихов, распределение интенсивности в определённом порядке спектра даётся известной формулой [5]:
где Я - длина волны, Ь - ширина рабочей грани штриха, а / и г - углы, образованные падающим и дифрагированным лучами с нормалью № к рабочей площадке штриха, определяемые соотношениями:
в которых у - угол блеска; а <р и (р' - углы падения и дифракции (рис. 1.2).
В работах [18-21] формулы распределения интенсивности, выведенные Роуландом, уточняются с использованием теории Кирхгофа. В этом случае интенсивность будет пропорциональна квадрату проекций граней на фронт дифрагированной волны. Кроме этого в полученных формулах учитывается вторая нерабочая грань штриха. Приведём эти формулы в виде, полученном [20,
Пусть плоская волна падает на решетку с периодом е, волновой вектор к лежит в плоскости хОу , перпендикулярной штрихам и плоскости решетки, а, р,а\ Р' - направляющие косинусы падающей и дифрагированной волн. Форма штрихов решетки задается уравнениями
(1-16)
(1.17)
(1.18)
21].
х = -с,у, О <У<У„,
(1.19)
25
Рис. 1.2. Плоская решетка с треугольным профилем штриха.
26
х = с2(у-е), 0 <у<е, (1.20)
Л=с,«/(с, +с;),
где с, = tgy^, с2 = tgy2, а уу2 - углы наклона граней штрихов (см. рис 1.2). Для распределения интенсивности излучения, дифрагированного каждой гранью решетки, справедлива формула (1.16), таким образом, суммарное распределение выражается в виде Ф(м,) + Ф(и2), при этом аргументами функций будут
". = я{м~с1б)у,/Я, О-21)
и,=л{^ + сг8\е-уа)/Л, (1.22)
где
6 = а + а'= соб (р + соя (р'; /л =/3 +/3'= зт<р + эту?'. (1-23)
Поскольку дифракционные функции имеют значительную величину лишь в ограниченной области углов, заключенной между первыми нулями этих функций, то величина распределения интенсивности от одной грани штриха не будет влиять на распределение от другой грани. При 6, =Ь2 интенсивности от обеих граней будут совпадать, а так как в спектральных приборах используются решетки с несимметричными штрихами, то интенсивность от рабочей фан и значительно выше. Как видим, достаточно рассмотрения одной дифракционной функции (и,). Выражение (1.21) для аргумента этой функции с помощью формул (1.19), (1.20) и (1.23) приводится к выражению (1.17). Последнее означает, что в скалярном приближении профиль штрихов дифракционной решётки определяется лишь длиной рабочей фани штриха и её углом блеска, и для практических расчетов эффективности дифракционной решётки нет необходимости использовать формулы (1.21) и (1.22), а могут быть использованы более простые формулы (1.17) и (1.18).
Как показывает опыт, скалярная теория дает хорошее представление о принципе действия решеток. Она позволяет вывести большинство необходимых уравнений, рассчитать большинство характеристик решеток, которые необходимы для консфуирования приборов с вогнутыми решетками. Однако не-
27
достатки скалярной теории становятся очевидны, когда переходим к точным расчётам дифракционной эффективности. Чтобы полностью описать работу решетки, необходимо решить уравнения Максвелла с учетом граничных условий и материала решетки. Главное достоинство строгих численных методов решения задач дифракции на решетке - их точность и универсальность, однако, численная реализация этих методов наталкивается на ощутимые трудности, связанные со сложностью обоснования алгоритмов расчета, большим объемом вычислений даже для современных компьютеров.
Таким образом, в настоящей работе для оценочных расчётов и аналитической оптимизации параметров фокусирующих решёток должны использоваться скалярные методы, а именно соотношения (1.17) и (1.18), для расчётов в ИК-области спектра (в области идеальной проводимости материала) и для численной оптимизации - метод Pavageau в реализации [13], а для МР и УФ областей спектра окончательных расчётов дифракционной эффективности - метод CST с использованием реализации [19].
28
1.2. Расчет хода лучей
Известно, что формулы, используемые при расчете обычных центрированных систем, не могут быть применимы к системам с произвольным расположением оптических поверхностей и имеющим вогнутые дифракционные решетки.
Общая методика расчета лучей, отраженных вогнутой сферической решеткой, дана А.И. Тудоровским [22]. По этой методике направление дифрагированного луча определяется векторным уравнением
а и а' - единичные векторы лучей, падающего на решетку и дифрагированного, соответственно, к - порядок спектра, Я - длина волны, е- расстояние между соседними штрихами в данной точке М(х,у,г) решетки, измеренное вдоль вектора
причем единичный вектор р направлен по касательной к штриху решетки в данной точке, вектор п - по нормали к решетке (рис. 1.3).
Вычисления производятся в следующем порядке. Сначала по формулам аналитической геометрии определяется величина п. Вектор р перпендикулярен п и лежит в плоскости хОу, следовательно, он тоже может быть вычислен. Затем по формулам (1.24-1.27) рассчитываются составляющие вектора а’. Данная методика оказалась очень удобной для расчета хода лучей на компьютере и до настоящего времени используется при рассмотрении различных типов дифракционных решеток.
а' = а + Оп + ед,
(1.24)
где
(1.25)
кЛ
(1.26)
£ ----
е
Ч = [пр\
(1.27)
29
Рис. 1.3. К вычислению лучей, дифрагированных вогнутой дифракционной решеткой.
30
В работах [23, 24] были сделаны попытки обобщения расчета лучей в оптических системах, содержащих асферические дифракционные решетки. Первые численные результаты расчета лучей через дифракционные решетки в некоторых схемах спектральных приборов были опубликованы в статьях [25, 26]. Методика [22] была использована в работах [27] с некоторыми уточнениями для расчета лучей, дифрагированных плоскими, сферическими, тороидальными и эллипсоидальными решетками. При этом отличие в вычислении дифрагированных лучей для различных видов асферических решеток заключается только в определении вектора п.
На основе этой методики была составлена универсальная программа для расчета хода лучей в оптических системах, содержащих произвольно расположенные в пространстве плоские, сферические и асферические отражающие и преломляющие поверхности, а также отражательные дифракционные решетки с прямолинейными штрихами [28].
В работе [10] на основе методики [22,27] приведены формулы для расчета лучей, отраженных решетками, имеющими либо прямолинейные штрихи с переменным расстоянием между ними, либо круговые равноотстоящие штрихи. Показано, что, если расстояние между штрихами изменяется по заданному закону е(у) = е0/(у)у где ((0)=1, то величина е в формуле (1.26) равна
и направляющие косинусы пир определяются так же, как и в
[22].
Метод расчета хода лучей через вогнутую решетку с круговыми штрихами, приведенный в работе [29], отличается от рассмотренного в статье [27] способом нахождения составляющих вектора р и определения расстояния е между соседними штрихами. Авторами [29] рассматриваются два случая решеток с круговыми штрихами: концентрическими и штрихами одинакового радиуса. Частный случай концентрических штрихов рассмотрен также в [24, 30]. Расчет лучей через решетки, радиус штрихов которых изменяется по любому заданному закону, приведен в [31].
31
Искривление штрихов у нарезных дифракционных решёток достигается с помощью наклона плоскости резания, в которой перемещается резец. Расчёт хода лучей через такие решётки возможен с помощью метода [31 ], если использовать параметры, характеризующие искривление штрихов, полученные в п. 2.2. Для более точных расчётов необходимо использовать методы расчётов, специально разработанные для нарезных решёток, например, изложенные в работах [32, 33].
Вогнутые голограммные решетки в общем случае имеют искривленные неравноотстоящие штрихи. В этом случае выражение для постоянной решетки е(у>г) становится громоздким и требует для своего вычисления использования итерационной процедуры. Поэтому методы (например, [30]), аналогичные [24,29,30], неудобны для расчета лучей, дифрагированных вогнутой голограммной решеткой. Намиока [34], применив способ [35] к голограммным решеткам, получил формулы, в которых не требуется определение в явном виде постоянной решетки в точке падения. Поперечные составляющие аберраций в этом случае определяются следующим образом
является расстоянием от произвольной точки на решетке с координатами (х, у, г) до точки изображения, при этом с1'0 и (р[ - расстояние от вершины решетки и угол дифракции идеального изображения, а Ь\М\Ы' - направляющие косинусы дифрагированного луча, которые определяются через известные параметры, характеризующие падающий луч, форму и расположение штрихов решетки. В работе [36], использующей результаты [22], дана методика расчета лучей через голограммные решетки, включающая случай записи с использованием дополнительных оптических элементов. В несколько иной форме методика расчета хода лучей через отражательные и пропускающие решетки развита в [37,38].
ду' = {у + МТ - Бт<р0 )зес(р[ &' = г + АТ.
(1.28)
В уравнениях (1.28) величина
{ХС^<Р1 + У^П(р\ ) V соэ /?0 + М' &т /?0
(1.29)
32
В настоящей работе для расчёта хода лучей через вогнутую дифракционную решетку, главным образом, используются методики [31], а через голограммную - [34]. Эти методики в своё время были реализованы в виде программ для персональных компьютеров в комплексе CAPO. Нами эти проірам-мы модифицировались для расчёта:
■ нарезных решёток с дополнительными коэффициентами, определяющими расположение штрихов на поверхности решётки;
■ стигматических нарезных решёток, картина штрихов которых задаётся в аналитическом виде;
■ дифракционных решёток с поверхностью, имеющей одну плоскость симметрии.
Кроме этого использовался также комплекс программ wDEMOS”[38], а также специально разработанные нами программы для расчёта хода лучей через плоские и вогнутые интегрально-оптические решётки.
33
1.3. Функция оптического пути
Впервые ФОП к изучению фокусирующих и аберрационных свойств вогнутых дифракционных решеток была применена Цернике [39]. В дальнейшем теорию вогнутых дифракционных решеток, основанную на ФОП, развил Бойт-лер [40]. Однако эта работа содержит ряд ошибок и полностью справедлива лишь для астигматизма, поэтому результаты более поздних работ, основанных на [40], также содержат неточности в выражениях для аберраций. Намиока [41] внес исправления в эту теорию и обобщил ее на случай небольших отступлений центров щелей прибора от плоскости дисперсии. Случай, когда щели прибора находятся на значительном расстоянии от плоскости симметрии, рассмотрен в работах [42-45]. Оказалось, что, например, в схемах на круге Роуланда изображение фокусируется не на цилиндре, опирающемся на этот круг, а на более сложной поверхности.
Применение ФОП является наиболее распространенным и удобным способом для изучения фокусирующих и аберрационных свойств вогнутых дифракционных решеток. Рассмотрим сущность этого метода подробнее.
1.3.1. Разложение функции оптического пути
Совместим начало О прямоугольной системы координат с вершиной поверхности вогнутой решетки и направим ось х по нормали к поверхности в точке О, ось у - в направлении дисперсии, а 2 - перпендикулярно плоскости хОу. Плоскость дисперсии хОу называется меридиональной, а перпендикулярная ей плоскость хОг - сагиттальной (рис. 1.4).
Пусть (р и <р' - углы падения и дифракции "нулевого" луча, выходящего из точки А в меридиональной плоскости, а-ОА и а' = ОА' - расстояния от входной щели и плоскости изображения Q до вершины решетки, Л'0 - расстояние от точки В'0 пересечения главного луча с плоскостью £2 до плоскости
34
Рис. 1.4. К вычислению функции оптического пути.