СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.........................................................5
1. РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ, СВЯЗАННЫХ С ИЗЛУЧЕНИЕМ ДВУМЕРНЫХ ПРОВОДЯЩИХ СТРУКТУР..................................................19
1.1. Физическая интерпретация и формализация сторонних источников в электродинамических задачах, сводимых к интегральным уравнениям. 19
1.1.1. Задача дифракции электромагнитных волн. Потенциалы. Сторонние источники.....................................19
1.1.2. Граничные условия. Постановка краевой задачи.....21
1.1.3. Интегральное уравнение в теории антенн...........23
1.2. Общие принципы построения физических и математических моделей двумерных излучающих структур ........................25
1.2.1. Постановка задачи................................25
1.2.2. Вывод исходных уравнений.........................26
1.3. Выводы по разделу 1 ....................................31
2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ТОКА НА ЗЕРКАЛАХ РАЗЛИЧНОЙ КОНФИГУРАЦИИ....................................................33
2.1. Общие подходы к решению интегральных уравнений второго рода на двумерных проводящих структурах........................33
2.1 Л. Метод моментов...................................34
2.1.2. Приближенные методы..............................39
2.2. Применение различных базисов к аппроксимации токовых функций на проводящих поверхностях................................49
2.2.1. Системы базисных функций полной области..........50
2.2.2. Системы базисных функций подобластей.............52
2.3. Численное решение сформулированной электродинамической задачи .......................................................58
2
2.4. Выводы по разделу 2........................................61
3. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ТОКА НА ЗЕРКАЛАХ РАЗЛИЧНОЙ КОНФИГУРАЦИИ.................................62
3.1. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на идеально проводящий плоский экран .....62
3.1.1. Вертикальный элементарный электрический излучатель (ЭЭИ)........................................................67
3.1.2. Горизонтальный элементарный электрический излучатель (ЭЭИ)..................................................76
3.1.3. Вертикальный элементарный магнитный излучатель (ЭМИ)..................................................82
3.1.4. Горизонтальный элементарный магнитный излучатель (ЭМИ)........................................................88
3.2. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра ...93
3.2.1. Вертикальный ЭЭИ......................................94
3.2.2. Горизонтальный ЭЭИ....................................96
3.2.3. Вертикальный ЭМИ......................................97
3.1.4. Горизонтальный ЭМИ...................................101
3.3. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболоида вращения.........................................................105
3.4. Выводы по разделу 3.......................................112
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ РЕАЛЬНЫХ ИЗЛУЧАЮЩИХ СТРУКТУР.................................................113
4.1. Расчет распределения тока на зеркале параболической антенны при различных распределениях возбуждения........................113
4.2. Определение характеристик излучения параболической антенны (определение пространственной характеристики направленности и ее огибающей)..................................................117
4.3. Расчет диаграммы направленности параболической антенны...............................................................126
4.4. Выводы по разделу 4............................................130
Заключение.............................................................132
Список литературы......................................................133
4
Введение
Антенны являются важнейшей составляющей частью любой радиотехнической системы (РТС), в значительной степени определяющей как ее качественные показателя, так и стоимость. Наиболее распространенным типом направленных антенн в сантиметровом, дециметровом и отчасти метровом диапазонах волн являются зеркальные антенны.
Зеркальные антенны, применяемые в радиолокационных системах, позволяют легко получить равносигнальную зону, допускают одновременное формирование суммарных и разностных диаграмм направленности общим зеркалом. Отдельные типы зеркальных антенн могут обеспечивать достаточно быстрое качение луча в значительном секторе углов. Такой тип антенн является наиболее распространенным в космической связи и радиоастрономии.
Широкое использование данного вида антенн обт>ясняется следующими факторами:
- простотой конструкции;
- возможностью получения почти любого применяемого типа диаграммы направленности;
- высоким к.гт.д.
- хорошими диапазонными свойствами.
При анализе действующих зеркальных антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения следующих параметров: распределения поверхностной плотности тока по зеркалу, диаграммы направленности, гарантированной огибающей и др.
С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с
5
макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.
Задачи анализа излучения зеркальных антенн в форме параболоида вращения, параболического цилиндра, идеально проводящего плоского экрана, облучаемых элементарными излучателями, являются базовыми в теории антенн и решение их в строгой математической и электродинамической постановке является крайне важным.
Актуальность работы
При моделировании различных антенных устройств большое значение имеют задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Поэтому интерес к теории дифракции электромагнитных волн резко вырос за последнее время. Данная теория превратилась в самостоятельную область, в которой работает большое число ученых различных специальностей: математики, математической физики, вычислительной математики, радиофизики, специалисты в области антенн, радиолокации, техники СВЧ, распространения радиоволн и др. [1,6,7,8,22,31,42,52,54,56,61,62,63,67,74,75,79-88,91-99,113,129,136,141,150].
Под задачей дифракции понимают задачу определения влияния рассматриваемого объекта на структуру электромагнитного поля. При исследовании дифракции радиоволн на реальных объектах возникают сложные задачи электродинамики, решение которых сопряжено с большими математическими трудностями и практически осуществимо только на основе построения математических моделей реальных объектов. В настоящее время существует некоторая система математических моделей, в большей или меньшей степени соответствующих реальной ситуации [42,63,97,137]. При постановке дифракционной задачи делают ряд упрощающих предположений: ограничиваются исследованием дифракции монохроматических полей, пренебрегают
6
влиянием соседних тел, считаюг окружающее пространство безграничным и заполненным однородной изотропной средой, металлические объекты считают идеально проводящими, максимально упрощают форму объекта.
Задача дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности допускает аналитическое решение на основе классических методов лишь в ограниченном числе случаев, когда рассматриваемая поверхность полностью совпадает с какой-либо координатной поверхностью системы координат, допускающей разделение переменных в уравнении Гельмгольца. В данном случае иногда удается получить решение в замкнутом виде, выраженное через известные функции (Драбкин А.Л., Зузенко В Л. [61]). Например, решение в замкнутой форме задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей полуплоскости представлено в работах Гринберга [51 ].
Для нахождения решения задачи, заданной на незамкнутой поверхности более сложной формы (например, параболоид вращения или параболический цилиндр) метод Фурье и его обобщения непосредственно не применимы. Поэтому для решения таких задач применяются асимптотические методы: геометрическая оптика, физическая оптика, геометрическая теория дифракции, метод краевых волн, метод теневых токов и др. [42,62,96-98,129]. Данные методы имеют общий недостаток: до сих пор перешей вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости (Фрадин А.З. [137]). Этот факт заставляет искать новые пути решения задач дифракции радиоволн. Один из таких методов - численный анализ задач дифракции [42,631.
Разработка численных методов решения задач дифракции открыла широкие возможности для анализа влияния поверхностей произвольной конфигурации на структуру электромагнитного поля. При этом возникла проблема создания общих вычислительных алгоритмов, позволяющих исследовать широкий класс задач. Методы, разработанные на основе применения различного математического аппарата [63], жестко связаны с определенными клас-
7
сами незамкнутых поверхностей и неприменимы для поверхностей произвольной формы. В этом отношении универсальным математическим аппаратом являются ингегро-дифференциальные уравнения, которые позволяют подойти с единых позиций к анализу дифракции радиоволн на поверхностях произвольной формы.
Граничные задачи электродинамики допускают сведение к инте1раль-ным уравнениям различной размерности и различного типа.
Еще В.Д. Купрадзе в 50-х годах свел плоские задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих цилиндрических телах к одномерным интегральным уравнениям второго рода [63]. В. А. Фоком в 70-х годах было получено векторное ин тегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем трехмерном теле относительно плотности электрического тока [136], наводимого на теле падающей волной. Примерно в то же время К. Мюллером та же задача была сведена к векторному интегральному уравнению по поверхности тела относительно плотности магнитного тока, были сформулированы условия, однозначные разрешимости интегральных уравнений, и доказаны теоремы существования и единственности. Интегральные уравнения имеют меньшую размерность, чем краевая задача, и универсальны по отношению к форме тела [63]. Они оказались удобными для построения численных методов решения задач дифракции. Например, алгоритмы решения задач дифракции для трехмерных тел, обладающих симметрией вращения, представлены в работах Е.Н. Васильева [44-46]. В данных работах задачи сводились к системе одномерных интегральных уравнений, которые получались из уравнений Фока и Мюллера. Однако данные алгоритмы приводят к довольно большому объему вычислений.
Проблемы возникают при численном исследовании задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Применением формулы Грина или ее векторных аналогов эту задачу можно свести к векторному интегро-дифференциальному уравнению первого рода.
В общем случае алгоритмизация таких уравнений наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью аппроксимации дифференциального оператора, удовлетворения условий на контуре, ограничивающем поверхность, и неустойчивостью решения интегральных уравнений первого рода с вполне непрерывным оператором [22,63,96-98]. Один из возможных пугей преодоления указанных трудностей состоит в преобразовании ин-тегро-дифференциального уравнения к интегральным уравнениям Фредголь-ма второго рода [42,63].
Общая процедура решения граничной задачи для трехмерной области состоит в сведении трехмерной задачи к двумерной путем замены неизвестных функций, заданных в некотором объеме, неизвестными функциями, заданными на некоторой поверхности. Таким образом, вместо решения простого на вид волнового уравнения с очень сложными граничными условиями мы выражаем искомое решение через неизвестные функции, заданные на двумерной поверхности. Такой подход является более общим, чем непосредственное решение волнового уравнения, хотя он и приводит к интегральным уравнениям, которые, более трудны для решения.
Итак, преимущества данного подхода очевидны:
- появляется возможность отказаться от специальных систем координат;
- отпадает необходимость выбирать среди всех возможных решений дифференциального уравнения частное решение, удовлетворяющее данной задаче;
- уменьшаются ограничения, накладываемые на неизвестные функции (они должны лишь удовлетворять интегральному уравнению).
Однако трудности возникают при решении непосредственно самих двумерных интегральных уравнений.
Самыми распространенными методами численного решения интегральных уравнений являются различные модификации известного метода моментов. Наиболее полное описание данного метода применительно к элек-
тродинамическим задачам представлено в работе Р.Ф. Харрингтона [146]. Кроме того, описание численных методов решения интегральных уравнений можно встретить в работах Бахвалова Н.[25], Завьялова Ю.С., Квасова Б.И., Мирошниченко В.Л. [66], а также в ряде других работ [39,40,41,42,50,89,90,118,119,120].
Однако даже самые большие ЭВМ еще в конце прошлого века не обладали достаточной мощностью. Этот факт давал некоторые ограничения при решении задач дифракции, сводимых к двумерным интегральным уравнениям Фредгольма. Порядок матриц импедансов, получаемых при дискретизации данных уравнений в методе моментов, был неприемлемо велик, поэтому система полученных уравнений решалась довольно долго. Данные задачи решались при помощи численных методов путем уменьшения порядка матриц, используя некоторый математический аппарат [38,42,101]. В частности подобный подход к решению задачи описан в работах Poggio А. 1., Mayes Р. [150], где исходя из некоторого физического смысла предлагается понизить порядок интегрирования в уравнении. В работах Е.В. Захарова и Ю.В. Пименова [63] также приводится метод решения задачи дифракции на поверхностях вращения, где задача сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Однако в данных трудах не приведены результаты численных расчетов.
В последние годы возможности для решения двумерных задач дифракции существенно расширились: во - первых, увеличилась мощность вычислительных машин, во - вторых, появился новый математический аппарат пригодный для решения задач такого класса (например, разработан новый класс базисных функций — вейвлеты [139]).
Вейвлет-функции появились сравнительно недавно, в середине 80-х годов, и завоевали популярность в связи с рядом преимуществ перед классическими ортогональными системами функций, включая тригонометрические полиномы, ряды Фурье, алгебраические полиномы, для широкого круга задач. Математическая теория wavelet-систем была описана в работах
10
[18,32,43,59,99,100,139,144,147]. Если использовать вейвлет-функции в качестве базисных, то матрицы линейных систем, возникающих при дискретизации интегральных уравнений, оказываются псевдоразреженными (т.е. близкими к разряженным матрицам [101]). Это обстоятельство делает перспективным применение Л¥аус1е1-систем для численного решения многомерных интегральных уравнений. Методы работы с псевдоразреженными матрицами широко отражены в трудах Блатова И.Д.[26-28].
Кроме того, все описанные методики встречаются в литературе в последнее время в основном для решения задач дифракции, сводимых к одномерным интегральным уравнениям. Методы решения подобных уравнений, например, рассмотрены в работах Неганова В.А., Нефедова Е.И, Матвеева И.В. [91-94]. Анализ решения задач такого класса приведен в работах Юдина В.В.[141].
Однако практически нигде не присутствуют оценки эффективности существующих алгоритмов и четкие разработки методик, соответствующие современному развитию науки и техники, направленные на решение задач дифракции, сводимых к двумерным интегральным уравнениям.
Итак, в свете научно - технического прогресса в таких областях, как математика и информатика появились новые возможности для решения задач о дифракции электромагнитных волн. Поэтому проблема достаточно акчу-альна в настоящее время.
Данная диссертационная работа посвящена изучению некоторых методов решения задач дифракции, сравнения их по сложности и быстродействию алгоритма, выбору оптимального базиса. В работе приводится расчет некоторых модельных задач (распределение тока на идеально проводящем плоском экране, на зеркалах в формах параболоида вращения и параболического цилиндра с источниками в виде элементарных излучателей). Кроме того, в работе присутствует расчет некоторых реальных электродинамических задач: расчет нормального распределения тока на зеркале параболической антенны, а также диаграммы направленности и гарантированной огибающей.
Цель работы
Целыо диссертационной работы является разработка математических моделей двумерных идеально проводящих излучающих структур на основе математического аппарата двумерных интегральных уравнений, а также разработка нового эффективного алгоритма решения двумерных интегральных уравнений, к которым сводятся внутренние электродинамические задачи для данных излучающих структур. В диссертации рассмотрены:
- идеально проводящий плоский экран;
- зеркало в форме параболического цилиндра;
- зеркало в форме параболоида вращения,
возбуждаемые элементарным электрическим излучателем (ЭЭИ) и элементарным магнитным излучателем (ЭМИ).
Основные задачи работы:
- разработка экспериментальных алгоритмов для решения задачи об излучении двумерной идеально проводящей структуры различными методами: методом Галеркина с использованием базиса полной области (двумерный ряд Фурье), методом Галеркина с использованием базисов подобластей (сплайнового и вейвлет - базиса);
- разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на идеально проводящий плоский экран;
- разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра;
- разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболоида вращения.
12
- Київ+380960830922