Развитие асимптотических и численных методов моделирования дифракционных полей сигналов в средах с дисперсией

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.....................................................5
1. НЕРАВНОМЕРНАЯ АСИМПТОТИКА НОЛЯ СИГНАЛА В СРЕДЕ С ДИСПЕРСЕЙ..........................................31
1. 1. Неравномерная двухчленная асимптотика задачи Коши для многомерного нестационарного волнового уравнения и его
физическая интерпретация.....................................33
У. 2. Неравномерная асимптотика интегралов Фурье для поля
радиосигнала в среде с дисперсией (одномерная задача).........45
У. 3. Неравномерная асимптотика поля плоского видеосигнала
в плазме.....................................................61
У. 4. Выводы.................................................66
2. ОДНОМЕРНЫЕ РАНОМЕРНЫЕ АСИМПТОТИКИ ПОЛЯ СИГНАЛА В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ.................................67
2.1. Полутеневая асимптотика поля радиосигнала в среде
с дисперсией.................................................68
2.2. Равномерная асимптотика поля радиосигнала при его обработке полосовым частотным фильтром.................................79
2.3. Каустическая асимптотика поля радиосигнала в среде
с монотонной зависимостью групповой скорости Угр(со).........82
2.4. Каустическая асимптотика радиосигнала в случае среды
с немонотонной зависимостью групповой скорости У.р.(а).......88
2.5. Равномерные асимптотические интегральные представления.... 93
2.6. Выводы.................................................105
3. МНОГОМЕРНЫЕ РАВНОМЕРНЫЕ АСИМПТОТИКИ ПОЛЯ РАДИОСИГНАЛОВ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ........................106
3.1. Равномерная асимптотика поля сигнала вблизи мировой линии.. 106
2
3.2. Равномерная асимптотика радиосигналов с частотной модуляцией в области сложной каустики ВГ'О лучей................114
3.3. Равномерная асимптотика радиосигналов в области
сложной каустики краевых ВГТД лучей........................... 122
3.4. Полугпеневая асимптотика поля сигнала в диспергирующей среде, принимаемого фильтром с полубесконечной частотной
характеристикой................................................126
3. 5. Выводы.................................................. 129
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛОВ В ПЛОСКОСЛОИСТОЙ ПЛАЗМЕ (ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА)...................................130
4.1. Распространение радиосигналов в однородной среде с плазменным законом дисперсии...............................................131
4.2. Распространение видеосигналов в однородной плазме..........142
4.2.1. Строгое решение и обсуждение численных результатов........142
4.2.2. Асимптотика строгого решения.............................153
4.3. ВГТД радиосигналов, отраженных от плоскослоистой неоднородной плазмы............................................ 157
4.4. Расчет и интерпретация искажений радиосигналов отраженных от модельных плазменных слоев с монотонным законом
изменения со2р{г).................................................165
4.5. Расчет и интерпретация искажений радиосигналов отраженных от модельных плазменных слоев с немонотонным
профилем со2Р(г)..................................................181
4.6. Отражение широкополосных сигналов плоскослоистой
диспергирующей средой с потерями..................................208
4. 7. ВГТД интерферометрия........................................221
4. 8. Выводы......................................................232
3
5. РАСЧЕТ СТРУКТУРЫ ПОЛЕЙ СИГНАЛОВ ВБЛИЗИ ОСОБЕННОСТЕЙ ЛУЧЕВЫХ КАРТИН (МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ) 234
5. /. Расчет поля КВ гармонического сигнала вблизи зоны молчания.. ..234
5.2. Искажения сигналов в окрестности пространственной каустики 253
5.3. Влияние крупномасштабных возмущений Г области ионосферы
на характеристики отраженного сигнала.........................262
5.3.1. Гармоническая задача...................................262
5.3.2. Нестационарная задача..................................279
5.4. Рассеяние Е и Н поляризованных гармонических волн вогнуто-выпуклым идеально проводящим экраном..........................286
5.5 Рассеяние Ей Н поляризованных гармонических волн вогнуто-выпуклым замкнутым цилиндром больших электрических размеров.. .305
5.6 Фокусировка и рассеяние поля цилиндрической волны линзой
Веселого конечных размеров с потерями.........................319
Выводы........................................................344
ЗАКЛЮЧНИЕ.....................................................345
ЛИТЕРАТУРА....................................................347
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Представляемая диссертация посвящена разработке асимптотических и численных методов описания искажений негармонических и гармонических полей в линейных средах в случаях, когда необходимо учитывать искажения частотного или пространственного (углового) спектра сигнала (дисперсию среды). Интерес к подобным задачам связан с интенсивным развитием техники экспериментальных исследований в различных областях прикладной радиофизики, развитием средств вычислительной техники и математики, а также потребностями и внутренней логикой развития теоретических исследований. Во многих приложениях радиофизики уже нельзя считать волновые процессы узкополосными, а свойства среды и устройств, осуществляющих прием (обработку) сигналов не влияющими на искажения частотного или пространственного (углового) спектра сигнала. Актуальность возникающих при этом проблем определяется возросшими требованиями к экспериментальным и научным исследованиям, а так же открывающимися возможностями практического использования явлений, возникающих при нестационарном взаимодействии сигналов с диспергирующей средой или дифракции гармонических волн на телах сложной формы в квазиоптической области частот. Так, например, анализ и интерпретация данных, получаемых современными цифровыми ЛЧМ ионозондами или цифровыми ионозондами типа "Сойка-6000", "Авгур"; разработка их дальнейших модификаций; расширение информативности действующих ионозондов и станций вертикального (ВЗ) и наклонного (НЗ) зондирования ионосферы Земли; увеличение потенциала станций загоризонтной радиолокации; ряд задач антенной техники и волоконной оптики, связанных с рассеянием, фокусировкой и канализацией энергии радиоволн в естественных средах и метаматериалах (искусственных средах); диагностика плазменных образований различной природы приводят к необходимости создания теоретического аппарата, адекватного возросшим требованиям и запросам практики и теории, связанным с учетом неста-
5
ционарности, способов излучения и обработки сигналов, частотной дисперсии и неоднородности среды, а так же преобразованием углового (пространственного) спектра сигналов вследствие сложной геометрии рассе-вающего тела (поверхности) или особых свойств искусственно созданной среды - метаматериалов. Отметим, что активное освоение техникой СВЧ все более высокочастотного диапазона волн, создание новых СВЧ устройств, использование нанаимпульсов и искусственных сред (метаматериалов) для создания новых приборов так же связано с необходимостью учета дисперсии среды, широкополосностью сигналов и дифракционных эффектов, обусловленных как особенностями геометрии рассеивающих тел (поверхностей), так и типом среды компактных рассеивателей. Все эго приводит к необходимости создания как эффективных методов численного расчета дисперсионных искажений широкополосных сигналов, так и развития теории нестационарных и гармонических процессов, позволяющей наглядно интерпретировать, предсказывать и рассчитывать структуру искажений полей сигналов в средах с дисперсией.
К аналогичной проблеме приводят задачи, возникающие в активно развивающихся в настоящее время теоретических и экспериментальных исследованиях распространения радиоволн коротковолнового (КВ) диапазона; при вертикальном зондировании (ВЗ) или наклонном зондировании (НЗ) ионосферы Земли; загоризонтной радиолокации; работы линий КВ радиосвязи в условиях возмущения ионосферы Земли мощным радиоизлучением различного происхождения; при радиолокации атмосфер и поверхности Земли и планет солнечной системы.
Заметим, что подобные задачи и проблемы возникают и в других областях физики, например, в квантовой механике, космической физике, акустике, гидродинамике.
В последнее время особую актуальность приобрели задачи, возникающие при исследовании взаимодействия электромагнитных волн с метама-
6
териалами - искусственной средой, у которой диэлектрическая и магнитная проницаемости одновременно являются отрицательными величинами.
Нестационарная теория распространения сигналов в диспергирующих средах должна не только объяснить в наглядных физических образах существующий экспериментальный материал, не только эффективно решать прикладные задачи, но и предсказывать результаты будущих экспериментов, а также давать ответы общетеоретического характера. Например, для плазменной среды это - изучение возможностей асимптотического описания дисперсионных искажений сигналов, исследование основных закономерностей в искажениях характеристик полей сигналов при изменении параметров среды и сигнала, анализ связи параметров среды с характерными искажениями полей сигналов.
Цель работы состоит в создании и разработке аппарата асимптота- • ческого метода решения прямых и обратных задач распространения негармонических и гармонических сигналов, взаимодействующих с диспергирующей средой, а так же создании эффективных методов решения задач рассеяния на диэлектрических телах и идеально проводящих телах (экранах) сложной формы в квазиоптической области частот, которые включают в себя:
1. в создании и разработке метода пространственно-временной геометрической теории дифракции (ВГТД), позволяющей в наглядных физических образах интерпретировать, предсказывать и в областях своей применимости рассчитывать дисперсионные искажения широкополосных сигналов;
2. в разработке равномерных модификаций асимптотической теории искажений сигналов конечной длительности в диспергирующих средах, позволяющих рассчитывать особенности пространственно временной фо-
кусировки широкополосных сигналов в условиях многолучевости, каустик лучей ВГО и ВГТД;
3. в создании и разработке асимптотического подхода к решению обратной задачи - определение параметров модели неоднородности плазмы по искажению первоначальной временной формы огибающей сигнала ВЗ (ВГТД интерферометрия) или его спектра;
4. в создании и разработке методов расчета полей, рассеянных ограниченными идеально проводящими и диэлектрическими ( в том числе и из метаматериалов) телами сложной формы или компактными рассевателями в квазиопгической области частот в случаях образования каустик (фокусов) лучей ГО и ГТД различного типа.
При этом предполагается, что сигнал взаимодействует с регулярной, стационарной диспергирующей средой, диэлектрическим или идеально проводящим телом (экраном), а радиофизические свойства среды (тела), в которой происходит распространение (дифракция) сигнала, полностью характеризуются относительной диэлектрической проницаемостью £(со) и относительной магнитной проницаемостью ц. Это позволяет рассматривать распространение нестационарных полей на основе линейных волновых уравнений, являющихся следствием уравнений Максвелла и материальных уравнений.
Асимптотическое и численное исследование решений таких уравнений, дополненных соответствующими начальными и граничными условиями, и составляет математическую основу рассматриваемых в работе задач.
Отметим, что первые работы по изучению распространения нестационарных полей в диспергирующих средах относятся к 1914 г. и выполнены Зоммерфельом [1] и Бриллюэном [2, 3] . С тех пор появилось большое число публикаций и в исследованиях, посвященных проблеме распростра-
нения сигналов в диспергирующей среде, можно условно выделить три периода. Первый период связан с публикациями, в которых рассматривались частные задачи, допускающие представление решения в виде интегрального преобразования Фурье-Лапласа. Хотя число таких публикаций в отечественной и зарубежной литературе весьма велико [4 - 26]1 проблема эффективной численной реализации алгоритмов, позволяющих рассчитывать структуру сложных АМ-ЧМ сигналов, долгое время оставалась не решенной. Кроме того, частный характер результатов не создавал общей картины закономерностей дисперсионных искажений сигналов и не позволял интерпретировать структуру сигналов в наглядных физических образах.
Второй период связан с предположением о квазимонохроматичности исходного и наблюдаемого сигналов и использовании техники локальных асимптотических разложений. Под последним подразумевается использование в интегральном представлении Фурье для поля сигнала в среде разложения фазовой функции интегранды в ряд Тейлора и удержание в нем нескольких членов. Среди работ этого направления отметим работы пионерские работы Гинзбурга В.Л. [17], Жекулина А.Л. [18, 19], Вайнштейна Л.А. [20, 21], Уэйта [22], Гершмана Б.Н. [23] и Попова A.B. [24]. Тесно связанным с таким подходом оказался метод параболического уравнения, использованный Блиохом П.В. [25] и впервые установивший общность явления дифракции на границе свет-тень гармонических полей и дисперсионных искажений временной формы огибающей радиосигнала полу бесконечной длительности, проявляющуюся в затягивании его переднего фронта. Тем не менее, ограничения, связанные с частным характером сигналов
1 См. также список литературы, приведенный в [4 - 16]. Кроме того, отметим подход, сочетающий в себе численное решение гармонической задачи с последующим использованием интеграла Фурье, развитый применительно к ионосферным задачам Куницыным ВВ [184-185].
9
и сред, а также наглядной интерпретацией их искажений, остались присущими и этому кругу работ.
Здесь уместно еще на одну проблему, связанную с неоднозначностью определения понятия сигнала. Мы имеем в виду работы Вайнштейна JI.A. и Вакмана Д.Е. [26, 27], в которых такие понятия как амплитуда, фаза и частота сигнала анализируются с позиций "аналитического" сигнала и связанного с ним преобразования Гильберта.
Наконец,.третий этап связан с созданием, развитием и использованием неравномерного одночленного асимптотического метода - пространственно-временной геометрической оптики (ПВГО или ВГО). Основные результаты здесь получены в работах Островского Л.А. [28, 29], Кравцова Ю.А. [30 - 32], Степанова И.С. [33, 34], Лыоиса [35, 36], Фелсена [37, 38], Бабича В.М. [39, 40], Вакмана Д.Е. [11].
Метод ВГО, использующий понятие о пространственно-временных лучах, позволил дать наглядное качественное описание ряда эффектов; сопровождающих распространение частотно-модулированных (4M) сигналов в диспергирующих средах и мутных средах [93-95]. Однако он не учитывал процессы пространственно-временной дифракции, связанные с конечной длительностью сигналов и способов его обработки. Дальнейшим развитием метода ВГО является неравномерная двухчленная асимптотика, получившая (по аналогии с пространственным случаем гармонических полей [41, 42]) название - временная геометрическая теория дифракции (ВГТД). Подчеркнем, что впервые двухчленная неравномерная асимптотика была получена Люисом Р. в работе [43] для одномерного уравнения Кляйна-Гордона (одномерного волнового нестационарного волнового уравнения с S(t)'- образной правой частью). Далее, одномерная задача Коши в таком приближении исследовалась Фелсеном Л. [44] и нами в [45, 46]. Кроме того, ряд примеров решения одномерных задач приведены в [47 - 52], которые выполнены нами совместно с Орловым Ю.И. Обобщению ВГТД на трехмерный случай задачи Коши посвящены наши работы
ГО
[53,204], а на случай видеосигналов - [54]. Итоги работ [30,35,35,46-52] излагались Ю.И. Орловым в лекции на Всесоюзной школе по теории дифракции и распространению волн [55].
Следует особо отметить цикл работ по развитию равномерной пространственно-временной геометрической теории дифракции, выполненный в последние десять лет Крюковским A.C., Лукиным Д.С. и Растягаевым Д.В. [91,115-123], приведшим к созданию теории пространственно-угловых катастроф. Приложения: ВГТД к различным задачам исследовалось нами в [56-71] и другими авторами-в [72-76].
Научная новизна работы заключается в том, что впервые:
- построена пространственно-временная геометрическая теория дифракции (ВГТД);
- проведено детальное исследование пространственно-временных лучевых картин лучей ВГО и ВГТД, позволявшее наглядно объяснять и предсказать особенности временных искажений широкополосных сигналов конечной длительности связанные:
а/ с затягиванием и асимметрией переднего и заднего фронтов сигнала;
б/ с существованием и развитием осцилляций на фронтах сигнала и его вершине;
в/ "лепестковый" характер изменения амплитуды сигнала для случая, когда его несущая частота близка к критической частоте плазмы, а также уменьшение числа и амплитуды лепестков при обработке сигнала преемником с ограниченной частотной полосой пропускания( сначала эти эффекты, бы л и нами предсказаны, а затем экспериментально обнаружены нами совместно с Кольцовым В.В на цифровом ионозонде); г/ отличие в эффективной длительности обыкновенного и необыкновенного сигналов ВЗ при его отражении от окрестности максимума F области ионосферы;
д / степенной характер убывания -поля сигнала за каустикой ВГО лучей;
11
е / уменьшение уровня осцилляций огибающей сигнала при наличии амплитудной модуляции;
ж / особенности фокусировки широкополосных сигналов на каустиках лучей ВГО;
- указан способ построения специальных функций, описывающих дисперсионные искажения сигналов в областях неприменимости ВГТД;
- получены новые равномерные по положению точки наблюдения асимптотические формулы для поля сигнала в одномерном и многомерном случаях, позволяющие оценить границы применимости метода ВГТД и определить поле сигнала:
а / вблизи мирового конуса будущего (случай трехмерной плазмы);
б / вблизи фронта сигнала (случай трехмерной неоднородной диспергирующей среды);
в / вблизи "оборванных" сложных каустик лучей ВГО и ВГТД; г / при обработке сигнала фильтром с конечной частотной полосой пропускания;
д / при идеальной фокусировке (когда все лучи ВГО сходятся в одну пространственно-временную точку) сигнала конечной длительности;
- разработаны эффективные алгоритмы расчета характеристик полей сигналов ВЗ и ИЗ в пределах одного скачка, учитывающие неоднородность; потери анизотропию ионосферы; кривизну фронта волны и диаграмму направленности (ДН) излучающей антенны; конечную длительность, закон модуляции излученного сигнала и способ его обработки приемным устройством;
- предложен и разработан способ асимптотического решения обратной задача - определение параметров модели неоднородности плазмы по искажению первоначальной временной формы огибающей сигнала ВЗ (ВГТД интерферометрия), частотной (ЧХ) характеристике сигнала ВЗ, те-
12
кущего частотного спектра сигнала НЗ или пространственной структуре поля сигнала НЗ в окрестности границы мертвой зоны;
- предложен метод продолженных граничных условий - универсальный метод решения задач рассеяния гармонических волн ограниченными телами (экранами) сложной геометрии, сводящий исходную задачу дифракции к решению интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма первого рода с гладким ядром и на основе использования вейвлетных базисов разработан эффективный алгоритм решения задач рассеяния полей идеально проводящими и диэлектрическими телами (экранами) сложной геометрии и больших электрических размеров (совместно с Кюркчаном А.Г.);
- в строгой постановке получено решение и исследована задача пространственной фокусировки волн плоской линзой Веселаго конечных размеров с учетом потерь и значений показателя преломления мстемате-риала. Установлено, что особенности лучевых картин и структура каустик для такой линзы определяются значениями модуля показателя преломления. Показана принципиальная ограниченность разрешающей способности таких линз.
Научная и практическая значимость работы заключается в разработке асимптотических методов теории взаимодействия сигналов с неоднородной диспергирующей средой и развитии численных методов решения задач дифракции ограниченными телами в строгой постановке, которые позволили:
- уточнить ряд результатов традиционной теории гармонических полей и широкополосных сигналов В;условиях образования сложных каустик, геометрии и среды компактного рассеивателя;
- обобщить результаты традиционной асимптотической теории гармонических полей на негармонические поля;
- поставить и решить ряд новых важных для практики прямых и обратных задач;
13
I
- создать и развить методы расчета полей, рассеянных идеально проводящими и диэлектрическими телами (экранами) сложной геометрии и больших электрических размеров в строгой постановке и контролируемой точностью.
К числу последних относятся: анализ и интерпретация временной структуры сигналов ВЗ и НЗ ионосферы-с учетом способа излучения и обработки в приемном устройстве; определение параметров модели неоднородности ионосферной плазмы по искажениям пространственной структуре КВ сигнала вблизи мертвой зоны; ВГТД интерферометрия; расчет диаграмм рассеяния полей вогнуто-выпуклых идеально проводящих цилиндров и экранов в условиях образования волн шепчущей галереи, их фокусировки на каустиках и учетом взаимодействия с краями экрана; исследование структуры поля в областях фокусировки линзы Весе-лаго конечных размеров с учетом потерь и значений показателя преломления метаматсриала линзы.
Полученные в работе результаты могут найти приложение в других разделах радиофизики, физики, а так же таких, как антенная техника, физика плазмы, акустика, физика космоса, теория упругости, гидромеханика;.
Достоверность положений^ результатов, выводов является следствием: использования моделей, учитывающих основные процессы, происходящие при излучении, приеме и распространении сигналов в диспергирующей среде, а так же рассеянием волн на ограниченных телах, использовании адекватного математического аппарата - уравнений Максвелла, согласия теоретических результатов с результатами измерений.
Реализация результатов работы.
Полученные в диссертации результаты, алгоритмы и разработанные численные методы были использованы при проведении научно-исследовательских работ: "Скала", "Интерференция", ЗОКР и "Гипербола", выполненных по постановлению директивных органов, а так же научных
14
грантов РФФИ N00-02-17639, N02-02-06129, N 03-02-16336, N 06-02-16804, N06-02-16483.
Получено свидетельство о изобретении: "Способ определения параметров максимума электронной концентрации ионосферы".
Апробации -работы. Результаты диссертации докладывались на УП, УШ и IX Всесоюзных симпозиумах по дифракции и распространению волн (Ростов-на-Дону, 1977 г.; Львов, 1981 г.; Телави, 1985 г. на ХП, ХШ и XIУ Всесоюзных конференциях по распространению волн (Горький, 1981 г.; Ленинград, 1984 г.; Алма-Ата, 1987 г.); на Ш Всесоюзной конференции по взаимодействию электромагнитных излучений с плазмой (Алма-Ата, 1982 г.); Всесоюзной конференции "Машинное проектирование устройств и систем СВЧ (Тбилиси, 1979г.); Всесоюзной конференции НТОРЭС им. А.С «Попова (Москва, 1976 г.}; 10 и 12 Всесоюзной школе-семинаре по дифракции а распространению волн ( Москва-Волоколамск, 1984 г., Москва 2001 г.); Всесоюзных совещаниях но проблеме "Распространение декамет-ровых радиоволн в ионосфере" (Звенигород, 1978 г.; Троицк, 1988 г.); Всесоюзном семинаре "Исследование неоднородностей ионосферы радиофизическими методами (Душамбе, 1986 г.); 16 International Conference on Applied Electromagnetics and Communication, Croatia, Dubrovnik, 2001; 3 WSEAS Symposium on Mathematical Methods and Computational, Athens, Greece, 2001; 6 International Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Non-spherical Particles, University of Florida, Gainesville, USA 2002; Seville, Spain, 2005; XX Всероссийской Конференции по Распространению Радиоволн, H. Новгород, 2002 ; XXVII General Assembly of URSI, Maastricht, 2002; WSEAS Int. Conf. on Microwaves, Antennas and Radar Systems , Spain,2002; WSEAS Int. Conference on Applied Mathematics and Computer Science (AMCOS 2002), Rio de Janeiro, Brazil, 2002; International Symposium on Antennas, France, Nice, 2002; 2002 Asia-Pacific Microwave Conference (APMC 2002), Japan, Kyoto, 2002, 2003; MATA 2003 Conference, Can-cun, Mexico, 2003; IV ISAAC Congress, Toronto, Canada, 2003; International
15
Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA03), Torino, Italy,2003; XIV and XV Simposio Intemacional de Matematicos Aplicados a las Ciencias, San Jose, Costa Rica,, 2004, 2006; International Symposium on Electromagnetic Theory, Pisa, Italy, 2004 (2004 URSI EMTS); International Symposium on Antennas and Propagation , Sendai, Japan, 2004 (2004 URSI ISAP’04); WSEAS Int. Conference on Applied Mathematics and Computer Science (AM-COS 2004), Rio de Janeiro, Brazil,2004; 4th International Symposium on Information and Communication Technologies (ISICT05), Cape Town International Convention Center, Cape Town, South Africa , 2005 ; XXI Всероссийская научная конференция по Распространению радиоволн, Йошкар-Ола, 2005.
Полученные в диссертация результаты неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах в РосНОУ, ИРЭ АН СССР, РА АН УССР, ИЗМИР АН СССР.
В 1981, 1984 и 1985 гг. материалы диссертации включались в список важнейших достижений по секции 5а Научного Совета по комплексной проблеме "Распространение радиоволн" АН СССР.
На защиту, выносятся:
I. Основные положения диссертации.
1.1. Построена и развита асимптотическая теория распространения негармонических полей в плавнонеоднородной диспергирующей среде (пространственно-временная геометрическая теория дифракции (ВГТД)), позволяющая эффективно рассчитывать сложные явления пространственно-временной дифракции сигналов, а также их интерпретировать в наглядных физических образах. Исследованы особенности лучевых семейств и каустик, образованных лучами ВГО или ВГГД. Благодаря этом)', теория дает возможность адекватно ставить и исследовать процессы распространения и приема сложных широкополосных сигналов в присутствии неоднородной диспергирующей среды (плазмы).
16
1.2. Предложен метод ВГТД-интерферометрии - способ определения параметров модели неоднородности плазменной среды по характерным дисперсионным искажениям первоначальной формы сигнала или его частотного спектра. Это позволяет решать задачи прогноза модели профиля неоднородности плазмы и ее потерь по наблюдаемым экспериментально характеристикам отраженных от плазмы сигналов.
1.3. Предложен метод продолженных граничных условий - универсальный метод решения задач рассеяния гармонических волн ограниченными телами (экранами) сложной геометрии, сводящий исходную задачу дифракции к решению интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма первого рода с гладким ядром (совместно с Кюркчаном А.Г.). Впервые для решения таких ИУ были использованы вейвлетные базисы (Хаара и Батла-Лемарье) и на их основе разработан эффективный алгоритм решения таких ИУ в квазиоптической области частот, позволивший впервые в строгой постановке численно решить задачу рассеяния полей вогнуто-выпуклых идеально проводящим цилиндром и экраном в условиях образования волн шепчущей галереи, их фокусировкой и взаимодействием с краями экрана;
1.4. Разработан модифицированный метод дискретных источников (совместно с Кюркчаном А.Г.) и на его основе впервые в строгой постановке получено решение задачи дифракции волн плоской линзой Веселаго конечных размеров с учетом потерь и значений показателя преломления ме-тематериала и исследованы особенности фокусировки таких линз. Установлено, что особенности лучевых картин в линзе Веселаго связаны с образованием каустики с одной точкой возврата и двумя точками прекращения, пространственное расположение которой зависит от значений модуля показателя преломления. Показана принципиальная ограниченность разрешающей способности таких линз.
2. Основные результаты.
2.1 Сформулированы четыре универсальных постулата пространственно временной геометрической теории дифракции (ВГТД) и получена
17
асимптотика задачи Коши для трехмерного нестационарного волнового уравнения поля радиосигнала в плазме .
2.2 Исследованы особенности лучевых семейств, образованных лучами ВГО и ВГТД. Дана классификация критических точек интегральных представлений Фурье для поля сигнала в среде с дисперсией и установлена их связь с лучами ВГО и ВГТД, что позволило сформулировать путь построения эталонных функций, описывающих поведение поля сигнала вблизи сложных каустик лучей ВГО и ВГТД.
2.3 Получены равномерные асимптотические формулы для поля сигнала в областях неприменимости ВГТД - вблизи кустик лучей ВГО и ВГТД.
2.4 Предложен и разработан асимптотический подход к решению задачи определения параметров модели неоднородности плазмы и ее потерь по искажениям временной формы сигнала ВЗ; частотной характеристике сигнала ВЗ, пространственной структуре поля гармонического сигнала НЗ вблизи границы мертвой зоны.
2.5 Разработан комплекс алгоритмов расчета характеристик полей и сигналов, взаимодействующих с плазмой с учетом ее неоднородности, потерь, анизотропии, способа обработки сигнала в приемнике и ДН излучающей антенны.
2.6 Предложен метод продолженных граничных условий - универсальный метод решения задач рассеяния гармонических волн ограниченными телами (экранами) сложной геометрии, сводящий исходную задачу дифракции к решению интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма первого рода с гладким ядром (совместно с Кюркчаном А.Г.) и на основе вейвлет-ных базисов разработан эффективный алгоритм решения таких ИУ в ква-зиоптической области частот. На основе такого алгоритма впервые решена задача рассеяния полей вогнуто-выпуклых идеально проводящим цилиндром и экраном в условиях образования волн шепчущей галереи, их фокусировкой и взаимодействием с краями экрана;
18
2.7 Впервые в строгой постановке получено и решение задачи фокусировки волн плоской линзой Веселаго конечных размеров с учетом потерь и значений показателя преломления метематериала. Установлено, что особенности лучевых картин и структура каустики для такой линзы зависят от значений модуля показателя преломления. Исследована структура поля как в ближней зоне линзы - в окрестности точек фокусировки и каустик внутри и вне линзы, так и в ее дальней зоне. Показана принципиальная ограниченность разрешающей способности таких линз.
2.8 Таким образом, в работе исследованы новые явления и процессы, связанные с искажениями частотных и пространственных спектров широкополосных сигналов в средах с частотной и пространственной дисперсией и искусственных средах (метаматериале), предложена теория — временная геометрическая теория дифракции (ВГТД), позволяющая интерпретировать, предсказывать и рассчитывать дисперсионные искажения сигналов конечной длительности, предложен и разработан универсальный метод решения задач рассеяния волн на компактных телах и экранах сложной формы - метод продвинутых граничных условий. В целом, совокупность предложенных и разработанных автором методов можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии важного научного направления: создание и развитие асимптотической теории, описывающей дисперсионные искажения сигналов конечной длительности в диспергирующих средах, а так же изучение распространения и дифракции сигналов в средах с частотной и пространственной дисперсией.
Таким образом, предложенные и разработанные методы, а также развитые на их основе алгоритмы и полученные результаты формируют новое направление в радиофизике - асимптотический подход к решению прямых и обратных задач взаимодействия сигналов с плавно-неоднородной диспергирующей средой. Кроме того, они позволяют продвинуть строгие методы численных расчетов дифракции гармонических полей на ограниченных телах сложной формы, или среда которых представляет собой диэлектрик или метаматериал в высокочастотную область.
19
Перейдем к изложению содержания работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.
Во введении сформулированы проблемы, рассматриваемые в диссертации, обосновывается актуальность, научная новизна, практическая ценность, реализация результатов и основные научные результаты диссертации.
В первой главе построена неравномерная двухчленная асимптотика поля сигнала в плавно-неоднородной диспергирующей среде.
В п. 1.1 получена неравномерная двухчленная асимптотика задачи Коши для поля радиосигнала в плазме и сформулированы эвристические положения ВГТД (неравномерной асимптотической теории) распространения сигналов в диспергирующей среде.
В п. 1.2 исследована неравномерная асимптотика.интегралов Фурье, описывающих поле сигнала в среде с дисперсией, и физически (в лучевых терминах) проинтерпретированы асимптотические вклады критических точек различного типа. Введено понятие о "ближней", "промежуточной" и "дальней" зонах радио сигнала.
В п. 1.3 рассмотрена ВГТД (неравномерная двухчленная асимптотика) поля видеосигнала воднородной плазме. Введено понятие о "ближней", "промежуточной" и "дальней" зонах видеосигнала.
Вторая глава посвящена построению равномерных асимптотик поля сигнала в среде с дисперсией на основе асимптотического вычисления одномерных интегральных представлений Фурье точного решения.
В п. 2.1 получена равномерная асимптотика поля радиосигнала в произвольной диспергирующей среде, когда точка стационарной фазы расположена вблизи полюса интшранды или в окрестности края области интегрирования. Физически, при этом точка наблюдения оказывается расположенной вблизи границы свет-тень лучей ВГО или краевых ВГТД лучей. Показано, что в обоих случаях поле сигнала выражается через интеграл Френеля. Показана регулярность коэффициентов равномерной асимптотики.
20
В п. 2.2 построена равномерная асимптотика поля радиосигнала в диспергирующей среде, принимаемого фильтром с полосовой частотной характеристикой, в случае произвольного расположения несущей частоты сигнала относительно стационарной точки фазовой функции и края области интегрирования. Показано, что равномерная асимптотика поля сигнала в этом случае выражается через обобщенный интеграл Френеля С(Х,у):
и ее две частные производные.
Показано, что условия применимости ВГТД определяются не одним, а двумя соотношениями, связывающими разности фаз одного луча ВГО и двух дифракционных (краевого и вершинного) лучей ВГТД.
В п.2.3 получена равномерная асимптотика поля сигнала водномерной диспергирующей среде для случая, когда две стационарные точки интеграла суперпозиции могут произвольно, в том числе и близко, располагаться относительно края области интегрирования. Физически, такая ситуация соответствует случаю расположения точки наблюдения {г,/} вблизи границы свет-тень лучей ВГО и простой каустики лучей ВГО. Показано, что равномерная асимптотика поля сигнала при этом выражается через неполную функцию Эйри
и ее две частные производные. Показана регулярность коэффициентов в формулах равномерной асимптотики.
В п. 2.4 построена равномерная асимптотика интеграла Фурье для поля радиосигнала в одномерной диспергирующей среде в случае, когда две
стационарные точки произвольно расположены относительно полюса ин-тегранды. Физически, такая ситуация возникает, когда точка наблюдения
21
{г,/} расположена в окрестности границы свет-тень лучей ВГО и каустики краевых ВГТД лучей. Показано, что формула равномерной асимптотики в этом случае выражается через функцию Эйри-Френеля
ее две частные производные и функцию Эйри.
В п. 2.5 предложены асимптотические формулы равномерных интегральных представлений для поля сигнала в одномерной диспергирующей среде. Такие интегральные представления физически представляют собой суперпозицию "временных" или "частотных" мод и не требуют предварительного анализа картин лучей ВГО и ВГТД. Поэтому они удобны для численных расчетов. На основе аппроксимации амплитудной функции ин-тегранды с помощью гауссовых функций (вэйвлеттов типа “мексиканская шляпа”) получены соотношения одномерного метода временных гауссовых пучков, удобного для численных расчетов искажений сигналов с плавным законом изменения первоначальной амплитуды (спектра).
В третьей главе на основе метода эталонных функций получены равномерные асимптотики поля сигнала, распространяющегося в произвольной трехмерной плавно-неоднородной диспергирующей среде ( скалярный случай).
В п. 3.1 построена равномерная асимптотика поля сигнала в неоднородной плазме для точек наблюдения {г,/}, расположенных вблизи мирового конуса будущего. Асимптотика поля сигнала в этом случае выражается через функцию Бесселя Jm{£) и ее производную :
и(г,1)=^еМ{Л^+1и'т(£)}.
Для коэффициентов А;В аргументов асимптотики получена система дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что решение такой системы выражается через амплитуды и фазы краевых лучей
22
І
і
ВГТД. Установлено, что индекс функции Бесселя определяется характером изменения огибающей сигнала в момент его возникновения.
В п. 3.2 получена равномерная асимптотика скалярного волнового уравнения для поля сигнала в произвольной диспергирующей среде, справедливая в случае образования сложной каустики ВГО лучей с одной точкой обрыва (возникновения). На основе эталонной функции - неполной многомерной функции Эйри:
со
М+1
т М-1 Т1
ш*1(ч
и ее частных производных. Получены уравнения для неизвестных коэффициентов и аргументов асимптотики. С использованием принципа асимптотической эквивалентности указана связь коэффициентов и аргументов равномерной асимптотики с амплитудами и фазами лучей ВГО и краевого луча ВГТД.
В п. 3.3 построена равномерная асимптотика скалярного волнового уравнения для поля сигнала в произвольной среде с дисперсией, справедливая в случае, когда произвольная каустика краевых лучей ВГТД располагается в окрестности границы свет-тень лучей ВГО. Асимптотика поля сигнала при этом выражается многомерную функцию Эйри-Френсля
У(£,л) ■
оо
= |ехр
—00
.М+1
/
М-1 г
м+Г/5 ^7
с!т
Т-71 ’
и ее частные производные. С помощью техники метода эталонных функций получены уравнения для неизвестных коэффициентов и аргументов асимптотики. На основе принципа асимптотической эквивалентности проиллюстрирована связь коэффициентов и аргументов асимптотики с амплитудами и фазами краевых лучей ВГТД и луча ВГО.
23
В п. 3.4 получена равномерная асимптотика скалярного волнового уравнения для поля сигнала в произвольной диспергирующей среде, справедливая в случае, когда границы свет-тень лучей ВГО и ВГТД близки друг к другу. В качестве эталонной функции здесь используется обобщенный интеграл Френеля:
б’(х^) = ^ ехр {(У2}] ехр {//2 Ь ■
2к х Г+у2
Неизвестные коэффициенты и аргументы асимптотики найдены с помощью метода асимптотической эквивалентности и выражены.через амплитуды и фазы лучей ВГО и ВГТД краевых и вершинных лучей.
В четвертой главе приводятся-и обсуждаются результаты численного и асимптотического исследования одномерных задач взаимодействия радиосигналов и видеосигналов со средой с плазменным законом дисперсии.
В п. 4.1 анализируются.искажения радиосигналов с амплитудной и частотной модуляцией, распространяющихся в однородной плазме с потерями. Показано, что неравномерная двухчленная асимптотика интеграла Фурье для поля сигнала в такой среде совпадает с приближением ВГТД. Приведены результаты расчетов временной структуры огибающей'и фазы АМ-ЧМ радиосигналов для различных значений пройденной дистанции г , времени нарастания фронтов сигнала Тф и его длительности Г, скорости изменения девиации локальной частоты сигнала в окрестности плазмен-ной частоты среды и ширины частотной-полосы приемника. Показано, что уменьшение длительности фронтов сигнала, как и общей длительности сигнала Т приводит к уменьшению значения пройденной дистанции ггр,
определяющей положение границы применимости метода ВГО: Получено асимптотическое интегральное представление для поля АМ-ЧМ сигнала для точек наблюдения, расположенных в окрестности временного фокуса.
В п. 4.2 обсуждаются полученные результаты расчетов искажений различных видеосигналов, распространяющихся в однородной плазме с потерями. Алгоритмы расчета поля видеосигнала основаны на использовании
24
метода сеток, вычислении асимптотики соответствующих интегралов Фурье и представлении поля сигнала в виде ряда Неймана по функциям Бесселя. Показано, что закон изменения поля видеосигнала в момент его включения (выключения) определяет характер осцилляции "хвоста" сигнала. Введено понятие ближней (5 — (оРх!с «1), промежуточной ( 8 «1) и дальней ( 8 »1) зонах видеосигнала.
Кроме того, обнаружено; что если точка наблюдения находится в ближней зоне видеосигнала, то потери среды уменьшают влияние плазмы, на искажения первоначальной формы видеосигнала, а в дальней зоне они приводят к уменьшению; как числа осцилляции сигнала, так и их максимальных значений. Установлено, что при условии 8 > У приближение ВГТД с точностью не хуже 5% описывает искажения видеосигнала с первоначальной формой в виде единичной ступеньки и отсутствии потерь. Кроме того, учет, внешнего постоянного магнитного поля приводит к развитию сложных разномаштабных осцилляции обыкновенной: и необыкновенной компонент видеосигнала.
В п. 4.3 построено ВГТД приближение для поля плоского радиосигнала, отраженного от неоднородной плоскослоистой плазмы. Полученные выражения для амплитуд и фаз лучей ВГО и ВГТД конкретизированы: на монотонных эталонных и немонотонных законах изменения квадрата плазменной частоты от одной пространственной координаты. Установлено существование временного аналога пространственного луча Педерсона.
В п. 4.4 приводятся результаты расчета и интерпретируются искажения, плоских АМ-ЧМ радиосигналов, отраженных от плазменных слоев, квадрат плазменной частоты со2р{г) которых изменяется по линейному и эксг поненциальному законам. Тенденции в изменении характера искажений* огибающей фазы отраженного АМ-ЧМ сигнала, предсказанные на основе ВГТД анализа, проиллюстрированы примерами строгих численных расчетов. Алгоритм расчета структуры.отраженных сигналов основан на использовании метода быстрого преобразования Фурье и созданных про-
грамм расчета функции Эйри и гамма функции произвольного комплексного аргумента. Показано, что одночленная локальная асимптотика поля сигнала может приводить к значительным погрешностям при расчете формы отраженного сигнала, а учет малых потерь среды вызывает дополнительное несимметричное уменьшение амплитуд лучей ВГО и ВГТД без нарушения их взаимных фазовых соотношений.
В п.4.5 анализируются результаты расчета и интерпретируются . искажения плоских ЛМ-ЧМ радиосигналов, отраженных от плазменного слоя Эпштейна и полу бесконечного параболического плазменного слоя. Строгие решения таких задач использованы для нахождения асимптотики поля отраженного сигнала и для строгих численных расчетов. Ыа основе разработанных алгоритмов подробно исследованы искажения радиосигналов с первоначальной трапециидалъной огибающей, ЛЧМ и АМ радиосигналы, несущая частота о)0 которых близка к критической частоте сот плазменного слоя. Показано, что при малых длительностях Тф фронтов сигнала (Т/Тф <0.2; где Т - общая длительность сигнала) отраженный сигнал имеет "лепестковую" структуру. При этом, конечность частотной полосы пропускания приемника приводит к ограничению числа "лепестков" - эффекту временного окна. Сопоставление результатов теоретических расчетов с данными проведенных экспериментов по вертикальному радиозондированию невозмущенной Р области ионосферы показывает их хорошее совпадение друг с другом. Кроме того, теоретически и экспериментально показано, что учет внешнего постоянного магнитного поля (в продольном приближении) приводит к уменьшению в 2,3 раза максимального расплывания необыкновенной компоненты сигнала по сравнению с обыкновенной компонентой. Исследована зависимость расплывания сигналов от типа неоднородности среды и параметров амплитудной модуляции.
В п.4.6 приводятся результаты исследования искажений широкополосных видеосигналов, отраженных от слоистой среды с потерями. Получены строгие формулы, позволяющие интерпретировать временную струк-
туру отраженных сигналов. Разработан алгоритм расчета искажений временной структуры сигналов отраженных от трехслойной диспергирующей среды с потерями, моделирующей ситуацию зондирования поверхности Земли или моря, покрытых слоем снега или льда конечной толщины. Исследованы особенности искажений отраженных сигналов, в том числе связанные с наличием угла Брюстера.
В п.4.7 предложен и реализован метод ВГТД интерферометрии, позволяющий по характерным дисперсионным искажениям огибающей радиосигналов определять параметры модели диспергирующей среды. Приводится и обсуждается примеры использования этого метода к задаче определения параметров параболической модели невозмущенной Б области ионосферы для радиосигналов с частотой близкой к критической частоте такой области и задаче зондирования среды ЛЧМ сигналом при образовании каустики отраженных ВГО лучей .
В пятой главе приводятся результаты расчетов гармонических и негармонических полей сигналов для точек наблюдения, расположенных вблизи каустик и фокуса ГО лучей (многомерные задачи). В основе разработанных алгоритмов лежит метод быстрого преобразования Фурье и созданная программа вычислений интеграла от быстроосциллирующей функции.
В п. 5.1 обсуждаются результаты расчетов структуры поля КВ гармонического сигнала вблизи невозмущенной границы зоны молчания, полученные на основе строгих формул, приближения геометрической оптики и локальной одночленной каустической асимптотики. В качестве модели Б области ионосферы использовался полу бесконечный параболический плазменный слой. Сравнение результатов расчетов с данными эксперимента показало высокую точность такой аппроксимации, необходимость учета потерь среды и формы диаграммы направленности излучающей антенны.
27
В п. 5.2 приводится численное и асимптотическое решение негармонической задачи п. 5.1. При этом полагается, что точка наблюдения располагается в окрестности границы зоны молчания, образованной на несущей частоте сигнала. В результате асимптотического анализа строгого решения получены условия, при которых исходная многомерная задача может быть сведена к решению более простых - двухмерных по пространственным координатам или по пространственной и временной координате задач. Показано, что структура текущего спектра сигнала носит осциллирующий характер, зависящий от длительности сигнала и близости точки наблюдения-к каустике, а его временная форма и дисперсионное расплывание существенно зависит от положения точки наблюдения относительно границы мертвой зоны.
В п. 5.3 приводятся и обсуждаются результаты.экспериментов и теоретического исследования поля КВ гармонического сигнала и радиосигнала в условиях возмущения мертвой зоны. В качестве модели возмущенной Р области ионосферы использовался плазменный слой с двумя параболическими законами изменения сэ2Р(г). Показано, что небольшое (-5%) возмущение основного параболического слоя приводит к качественному изменению структуры мертвой-зоны - появлению дополнительных двух точек выхода каустики на поверхность Земли. На основе сравнения полученных результатов расчетов и данных экспериментов показано, что такая аппроксимация возмущений области ионосферы позволяет интерпретировать наблюдаемые в эксперименте типе искажений полей КВ гармонических сигналов. Учет потерь среды не вызывает нарушения взаимных фазовых соотношений полей интерферирующих лучей, а сказывается лишь на1 их амплитудах. Установлено, что для точек наблюдения; расположенных вблизи зоны молчания, уменьшение длительности радиосигнала не приводит к увеличению разрешения "мод" (лучей) сигнала.
В п.5.4 приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов диаграмм рассеяния (диаграмм направленности) для плоских и цилиндри-
ческих Е (или Н) поляризованных волн двухмерными вогнуто-выпуклыми идеально проводящими незамкнутыми одиночными экранами и системой, состоящей из двух экранов (“двух зеркальная” антенна). Расчет диаграмм рассеяния для таких случаев (диаграмм направленности) осуществлялся с помощью разработанного алгоритма, в основе которого лежат предложенный метод продвинутых граничных условий (в действительном и комплексном вариантах) и использование вэйвлетов Хаара и Батла-Лемарье в качестве системы базисных функций при численном решении интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма первого рода с гладким ядром. Показано, что использование вэйвлетов Батла-Лемарье в качестве системы базисных функций приводит к снижению точности решения граничной задачи на один-два порядка по сравнению с использование вэйвлетов Хаара. Подробно исследовано изменение структуры диаграммы рассеяния в зависимости от положения источника, его поляризации и формы экрана в условиях, когда образуются волны шепчущей галереи; В случае системы, состоящей из двух параболических экранов (малого и большого) - двухзеркальной антенны, расчет диаграммы рассеяния показал существенное влияние
1
малого зеркала на структуру диаграммы направленности в области ее первых боковых лепестков.
В п.5.5 приводятся результаты расчетов диаграмм рассеяния Е и Н поляризованных плоских и цилиндрических волн вогнуто-выпуклым замкнутым контуром больших электрических размеров (до Ш<1500, где к-волновое число свободного пространства, £) - максимальный размер рассеивающей области) в условиях образования волн шепчущей галереи. В* основе полученных результатов лежит использование модифицированного метода дискретных источников. Исследовано влияние типа падающей волны, вида ее поляризации и места расположения источника на структуру рассеянного поля.
В п.5.6 приводятся результаты исследования диаграмм рассеяния и пространственной фокусировки поля цилиндрической волны линзой Веселаго
29
конечных размеров при различных значениях модуля показателя преломления и потерь метаматериала линзы. Расчеты выполнены на основе использования модифицированного метода дискретных источников. Показано существование предельных значений для разрешающей способности такой линзы. Дана геометрооптическая интерпретация результатов расчетов поля при его фокусировке как в ближней, так и дальней зонах. Приведены результаты строгих расчетов диаграммы рассеяния поля гауссова пучка призмой из метаматериала, подтверждающие прогноз В.Г. Веселаго об отклонении максимума рассеянного поля в левую сторону от нормали к
поверхности скошенной части призмы.
30
ГЛАВА I. НЕРАВНОМЕРНАЯ АСИМПТОТИКА ПОЛЯ СИГНАЛА В СРЕДЕ С ДИСПЕРСИЕЙ.
Традиционный метод асимптотического описания негармонических полей в плавно-неоднородньгх диспергирующих средах базируется на представлении главного члена асимптотического ряда в одночленной форме. Такой метод известен в литературе под названием пространственно-временной геометрической оптики (ПВГО или ВГО) [10,11, 29 - 40] и представляет собой перенос идеи геометрической оптики (ГО), описывающей асимптотику поля гармонической волны, на случай негармонических полей. В отличие от такого традиционного описания полей сигналов конечной длительности в настоящей главе развивается подход, основанный на построении главного члена асимптотики в форме двух слагаемых (двухчленной асимптотики). Аналогом такого представления асимптотического решения задачи для случая гармонических полей является приближение геометрической теории дифракции (ГТД) [41, 42]. Поэтому результаты данной главы следует рассматривать как обобщение и развитие идей ГТД на случай негармонических полей в диспергирующих средах. Естественно, что при этом приходится заново получить не только уравнения, определяющие величины, входящие в двухчленную форму записи решения соответствующего волнового уравнения, но и заново осмыслить основные универсальные положения (постулаты) ГТД и переформулировать их для случая негармонических сигналов. Полученные в главе уравнения и сформулированные универсальные положения составляют основу приближения временной геометрической теории дифракции (ВГТД).
Цель ВГТД - создать систему наглядных физических образов, позволяющую интерпретировать, предсказывать и рассчитывать влияние дисперсии среды, приводящей к искажению таких первоначальных характе-
31
ристик сигнала как форма фронтов сигнала, асимметрия его огибающей и наличии осцилляции в окрестности основного тела сигнала и его фронтов, временная фокусировка сигнала (дисперсионное сжатие сигналов) - то есть тех эффектов, которые наблюдаются в реальных экспериментах и являются наиболее сильным проявлением дисперсии среды. Как показано ниже, такая цель достигается путем введения понятия "краевых” пространственно-временных лучей (дифракционных лучей ВГТД). Лучи ВГТД излучаются началом (концом) сигнала и вместе с лучами ВГО описывают процесс распространения сигнала в диспергирующей среде.
Как и ГТД для гармонических волн, так и ВГТД дает неравномерную по положению точки наблюдения в пространстве-времени асимптотику поля сигнала в диспергирующей среде. Это означает, что существуют такие точки {г,/}, где ВГТД не применимо. Использование метода эталонных функций позволяет обойти эту трудность. При этом возникает задача нахождения типа эталонной функции, соответствующей заданной лучевой картине. Частично эта задача в настоящей главе решена с помощью установления связи между типом лучей ВГО или ВГТД и критическими точками соответствующих интегралов Фурье.
Новыми результатами, принадлежащими автору, здесь являются найденная двухчленная асимптотика задачи Коши для многомерного нестационарного волнового уравнения, описывающего поле радиосигнала в плазме; формулировка системы универсальных положений ВГТД в многомерном случае; физическая интерпретация совокупности критических точек интеграла Фурье, описывающего одномерный процесс распространения сигнала в диспергирующей среде; двухчленная асимптотика поля видеосигнала в плазме. Результаты данной главы опубликованы в [45,53,54,61,62,67,86,204].
32
1.1. Неравномерная двухчленная асимптотика задачи Коши для многомерного нестационарного волнового уравнения и его физическая интерпретация.
Рассмотрим задачу о нахождении асимптотики задачи Коши для трехмерного нестационарного волнового уравнения с плазменным законом дисперсии и осциллирующими начальными условиями. Пусть скалярное поле и =и(х9у9г^) = 1}(>',0 радиосигнала в плавно-неоднородной плазме удовлетворяет волновому уравнению:
д
с2 д(2 с2 ’ (1ЛЛ)
и /7=0 при ^ < ^0 >
где с - скорость света в вакууме; - плазменная частота; г - декар-
товы координаты х, у, г; X - большой параметр задачи (Я »1) пропорциональный, например средней плазменной частоте или средней
несущей частоте радиосигнала; t - время; - время возникновения радиосигнала.
Будем считать, что для пространственной точки г = г0 и временной точки t = тJ>t0 поле /7 задано на гладкой, односвязной, выпуклой замкнутой поверхности С в форме:
и = ио(г= Т})ехр[а<р0(г,1 = Г/)] , (1.1.2)
где г0,77 - декартовы координаты поверхности (7 .
Отмстим, что физически функция /70(г0?7) представляет собой первоначальную амплитуду радиосигнала, а величина Я<р0(г0,Г) - его первоначальную фазу. Выражение (1.1.2) будем рассматривать в пространствен-но-временой области как начальное условие для уравнения (1.1.1), заданное на начальной гиперповерхности:
33
/ = 77,
где rj е[/0,оо), € G (см. Рис. 1.1.1).
В частном случае двух пространственных переменных гиперповерхность (1.1.3) представляет собой поверхность 50 полу бесконечного цилиндра (см. рис. 1.1.1). Физически каждая точка поверхности такого цилиндра является источником излучения поля радиосигнала, а линия пересечения торцевой и боковой поверхностей цилиндра (линия разрыва кривизны начальной гиперповерхности) соответствует одновременному мгновенному включению источников радиосигнала.
Если искать главный (при Я» 1) член асимптотического решения уравнения (1.1.1) в одночленной форме:
= ^лго(?>0ехр[1’Мго(Р,/)],
то мы придем к приближению ВГО [29 - 40]. Поясним кратко физический смысл метода ВГО на примере, когда начальное поле радиосигнала с постоянной несущей частотой и полу бесконечной (ступенчатой) временной огибающей возникает при t = t0, представляет в плоскости t = const цилиндрический пространственный фронт, а при / > /0 - распространяющийся в однородной изотропной плазме сигнал. В силу пространственной цилиндрической симметрии такая задача относится к случаю двухмерной ВГО и ее легко проиллюстрировать графически (в трехмерном пространственном случае четырехмерные картины изображать на плоскости можно только в виде трехмерных сечений, что весьма громоздко). Начальная гиперповерхность S0 в таком случае представляет собой поверхность кругового полу бесконечного цилиндра (см. рис. 1.1.1) Соотношение (1.1.2) задает в каждой точке начальной гиперповерхности S0 значение
34