Синхронизация и формирование структур во взаимодействующих системах с локальными связями

-2-
Оглавление
Введение 8
1 Механизмы формирования и разрушения режимов полной синхронизации хаоса 31
1.1 Введение................................................................ 31
1.2 Исследование синхронизации в диффузионно связанных логистических отображениях .................................................................... 32
1.2.1 Исследуемая система, свойства симметрии и анализ устойчивости
синхронных колебаний.............................................. 32
1.2.2 Этапы разрушения синхронизации хаоса............................. 35
1.2.2.1 Разрушение хаотической синхронизации при уменьшении коэффициента связи 35
1.2.2.2 Разрушение хаотической синхронизации при увеличении коэффициента связи.................................................. 45
1.3 Влияние иеидентпчноети подсистем на разрушение хаотической синхронизации ....................................................................... 46
1.3.1 Исследуемая система, предельные множества и аттракторы синхронных колебаний............................................................ 47
1.3.2 Динамика в окрестности полосы синхронизации...................... 50
1.3.3 Бифуркации периодических орбит, ответственные за десинхронизацию колебаний............................................................ 55
1.4 Двупараметрический анализ формирования и разрушения синхронизации хаоса в связанных бистабильных системах...................................... 61
1.4.1 Исследуемая система и ее свойства................................ 61
1.4.2 Анализ синхронных колебательных режимов.......................... 63
1.4.3 Бифуркационные механизмы разрушения полной синфазной синхронизации хаоса............................................................ 68
1.4.4 Бифуркационные механизмы формирования мультистабильности в
окрестности синфазного подпространства............................ 74
1.5 Закономерности формирования мультистабильности и разрушения синхронизации в связанных обратимых отображениях................................... 78
1.5.1 Динамика связанных отображений Эно................................ 79
1.5.2 Бифуркационный анализ разрушения хаотической синхронизации и
формирования мультистабильности................................... 90
1.0 Мультистабильность и синхронизация хаоса в отображениях с однонаправленной "внутренней" связью.............................................. 95
1.6.1 Исследуемая система, синхронные колебания и их устойчивость ... 95
1.6.2 Двупараметрический бифуркационный анализ основного семейства
периодических орбит............................................... 98
1.6.3 Механизм формирования мультистабильности..........................102
1.6.4 Последовательность разрушения синхронизации хаоса................106
1.7 Выводы по главе.........................................................111
Механизмы формирования и разрушения противофазной синхронизации 112
2.1 Введение................................................................112
2.2 Противофазная синхронизация и фазовая мультистабильность в бистабильных осцилляторах с диффузионной связью .................................114
2.2.1 Исследуемая система, свойства симметрии и устойчивость противофазных решений .........................................................114
2.2.2 Бифуркации синхронных колебаний .................................118
2.2.3 Формирование мультистабильности в окрестности инвариантного подпространства ...........................................................123
2.3 Управляемая противофазная синхронизация хаоса...........................130
2.3.1 Исследуемая система и устойчивость противофазных колебаний . . . 130
2.3.2 Синхронизация развитого хаоса....................................132
2.3.3 Бифуркационный механизм потери управляемой противофазной синхронизации .............................................................138
2.4 Влияние асимметрии связи на бифуркационные механизмы разрушения противофазной синхронизации хаоса..........................................143
2.4.1 Исследуемая система и устойчивость синхронных колебаний...........143
2.4.2 Бифуркационный сценарий разрушения синхронизации при малой
асимметрии связи.................................................3 45
- 4 -
2.4.3 Изменения в механизме разрушения синхронизации с ростом асимметрии ..................................................................152
2.4.4 Эволюция структуры бассейна притяжения хаотического аттрактора
с увеличением асимметрии управляющей связи........................154
2.5 Противофазная синхронизация хаоса в симметрично связанных автогенераторах ..................................................................... 161
2.5.1 Исследуемая система...............................................161
2.5.2 Эволюция синхронных колебаний и их устойчивость...................163
2.5.3 Разрушение синхронных режимов.....................................168
2.6 Выводы по главе.........................................................174
3 Синхронизация и формирование пространственных структур в ансамблях локально связанных осцилляторов 175
3.1 Введение................................................................175
3.2 Полная и частичная синхронизация в кольце из трех осцилляторов с дискретным временем \ . . 176
3.2.1 Исследуемая система, свойства симметрии, классификация симметричных решений 177
3.2.2 Режимы полной синхронизации.......................................179
3.2.2.1 Трапсверсальиая устойчивость режимов полной синхронизации ............................................................179
3.2.2.2 Бифуркации режимов полной синхронизации...................181
3.2.2.3 Явления, сопровождающие разрушение полной синхронизации хаоса.........................................................186
3.2.3 Режимы частичной синхронизации....................................192
3.2.3.1 Трансверсальная устойчивость режимов частичной синхронизации ..........................................................192
3.2.3.2 Бифуркационный анализ режимов частичной синхронизации 192
3.2.3.3 Колебательные процессы, наблюдаемые при формировании
и разрушении режимов частичной синхронизации.............200
3.2.4 Выводы............................................................212
3.3 Пространственно-периодические структуры в кольце ангармонических осцилляторов ..................................................................212
3.3.1 Исследуемая система и возможные пространственно - периодические
режимы............................................................213
3.3.2 Исследование бегущих волн в квазигармопическом приближении ... 214
-5-
3.3.3 Влияние ангармоничности на режимы бегущих волн.....................221
3.3.4 Исследование областей притяжения бегущих волн......................228
3.3.5 Волны с движущимися фазовыми дефектами.............................234
3.3.6 Переключения между волновыми режимами мод действием внешнего
шума ..............................................................239
3.3.7 Выводы.............................................................241
3.4 Эволюция пространственно периодических режимов в цепочке генераторов
с бифуркациями удвоения периода..........................................243
3.4.1 Исследуемая система.............................................. 243
3.4.2 Эволюция пространственно-временных режимов с изменением параметров ..................................................................245
3.4.3 Области устойчивости пространственно - периодических режимов . . 249
3.4.4 Типичные бифуркационные переходы и структура пространства параметров для семейства пространственно - периодических режимов
с к = 2............................................................252
3.4.5 Хаотическая синхронизация в ансамбле осцилляторов..................254
3.4.6 Выводы............................................................ 263
3.5 Выводы по главе...........................................................263
4 Синхронизация колебаний под действием высокочастотной модуляции параметра связи 265
4.1 Введение .................................................................265
4.2 Параметрически индуцированная стохастическая и хаотическая синхронизация в двух бистабильных осцилляторах..................................266
4.2.1 Исследуемая система................................................266
4.2.2 Стабилизация синхронных движений при периодической модуляции
связи .............................................................267
4.2.3 Индуцированная параметрическим воздействием стохастическая синхронизация ..............................................................275
4.3 Параметрическая синхронизация в цепочке осцилляторов......................278
4.4 Выводы по главе...........................................................285
5 Формирование и развитие пространственных структур в моделях химических реакций на двумерной каталитической решетке 286
5.1 Введение .................................................................286
5.2 Исследование формирования пространственных структур и глобальной синхронизации в системе ЬЬУ.....................................................288
5.2.1 Уравнения реакций.................................................288
5.2.2 Описание методом среднего поля....................................289
5.2.2.1 Уравнение системы и свойства фазового пространства . . . . 289
5.2.2.2 Поведение в зависимости от параметров и навальных условий292
5.2.3 Моделирование поведения системы при помощи метода КМС 292
5.2.3.1 Описание используемого алгоритма КМС.....................292
5.2.3.2 Общие свойства динамики системы..........................296
5.2.3.3 Пространственно-временная динамика модели КМС............300
5.2.3.4 Модель LLV с внешним перемешиванием .......................312
5.3 Динамика и образование кластеров в модели LLC ...........................320
5.3.1 Исследуемая система реакций и ее динамическое описание............320
5.3.2 Моделирование процессов на решетке методом Монте-Карло............326
5.4 Выводы по главе..........................................................337
6 Измерение и диагностика хаотической синхронизации 339
6.1 Введение ................................................................339
6.2 Количественный анализ хаотической синхронизации при помощи функции
когерентности ...........................................................341
6.2.1 Индекс хаотической синхронизации основанный па когерентности колебаний ..................................................................341
6.2.2 Количественный анализ разрушения полной синхронизации хаоса в
связанных осцилляторах с дискретным временем.......................343
6.2.3 Количественный анализ разрушения полной синхронизации в связанных осцилляторах с непрерывным временем...................................353
6 2.3.1 Связанные осцилляторы Ресслера.............................353
6.2.3.2 Процесс разрушения хаотической синхронизации в симметрично связанных осцилляторах Чуа ..................................368
6.3 Диагностика и количественный анализ синхронизации хаоса на основе функции количества информации 379
6.3.1 Количественный анализ хаотической синхронизации в связанных отображениях .................................................................380
6.3.2 Количественный анализ фазовой синхронизации хаоса.................384
6.4 Выводы по главе..........................................................390
Заключение 392
Литература
395
Публикации но теме диссертации
Введение
Синхронизация колебаний взаимодействующих систем - одно из фундаментальных свойств природы, имеющее широкое применение в различных областях науки и техники. Впервые научное описание этого явления было сделано в 17 веке X. Гюйгенсом |1], который исследовал взаимную подстройку хода двух маятниковых часов, висящих на общей балке. В радиофизике работы по синхронизации начинаются в первой половине 20 века, когда было обнаружено свойство захвата частоты колебаний триодного генератора периодическим сигналом [2,3|. Подробный теоретический анализ данного явления был сделай в работах A.A. Андронова [4,5]. Существенную роль в исследовании задач синхронизации взаимодействующих периодических осцилляторов при наличии исчезающе малых связей сыграли фундаментальные работы А. Пуанкаре (6] и А.М. Ляпунова [7], развитие которых приведено в монографии И.Г. Малкина |8|. Фундаментальные результаты по синхронизации периодических колебаний с точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений и теории бифуркаций были сделаны В.И. Арнольдом [9]. В дальнейшем, синхронизация периодических автоколебаний была описана во множестве научных работ, включая ряд монографий [10-12]. Обзор основных результатов, а также библиографию по этому вопросу можно найти в [13-15].
Явление синхронизации имеет множество разнообразных проявлений в природе, технике. экономике и обществе, поэтому ему трудно дать достаточно строгое и полное определение. Наиболее удачным представляется определение, данное в монографии И.И. Блех-мана [10]: “синхронизацию можно определить как свойство материальных объектов самой различной природы вырабатывать единый ритм совместного существования, несмотря на различие индивидуальных ритмов и на подчас крайне слабые взаимные связи”. Выработка единого ритма заключается в том. что, при синхронизации:
1) происходит “захват собственных частот” автоколебаний, когда система N осцилляторов, каждый из которых имеет свою индивидуальную частоту шг (г = 1,2,
при наложении связей начинает колебаться с некоторой единой для всех частотой Inf {и>ЬЦ>2 ,...,<*>*} < £up{wi,W2,.",Wjv};
2) устанавливаются определенные стационарные значения разностей текущих фаз меж-
-9-
ду колебаниями осцилляторов: (рг(<) — ру(Ь) = = соп.<Л, не зависящие в опреде-
ленных пределах от начальных условий (“захват мгновенных фаз").
Ясно, что пункты (1) и (2) не являются независимыми, поскольку из захвата фаз автоматически следует захват частот (это свойство лежит в основе работы систем фазовой автоподстройки частоты [16]); обратное в общем случае не верно. Поэтому, ключевым пунктом при определении синхронизации является захват фаз колебаний. Однако, поскольку фазу труднее измерить, а также, поскольку в случае колебаний, далеких от гармонических, ее достаточно непросто корректно определить - для диагностирования синхронизации обычно используют именно подстройку собственных частот осцилляторов.
При синхронизации периодических осцилляторов может существовать несколько значений стационарных разностей фаз, соответствующих разным устойчивым синхронным состояниям (в этом случае и устанавливаемые общие частоты и будут, как правило, также разными). Выбор между сосуществующими синхронными состояниями определяется начальными условиями. Данное явление получило название “фазовой мультистабильности" [17]. Если взаимодействует два осциллятора, то при форме колебаний близкой к гармонической, обычно наблюдается одно синхронное состояние - синфазное или противофазное (хотя и здесь возможны исключения, см, например, [18]). Однако, если форма колебаний начинает усложняться, то число сосуществующих режимов увеличивается. Классическим примером этого является развитие фазовой мультистабильности в системе двух взаимодействующих осцилляторов при субгармоническом каскаде [17,19—26). Так, при исследовании динамики двух идентичных систем с симметричной связью, каждая из которых демонстрирует переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, было обнаружено, что в ходе каскада бифуркаций происходит последовательное увеличение числа предельных циклов в два раза: в фазовом пространстве существует один устойчивый однооборотный предельный цикл (1С°) с некоторым исходным периодом Т (одна периодическая орбита периода один в случае дискретных отображений); два устойчивых двухоборотных предельных цикла (2С° и 2С1) с периодом 2Т (две периодические орбиты периода два в случае дискретных отображений), четыре цикла (4С°, 4С1, 4С2 и 4С3) с периодом 4Т и т.д. 1. Па границе перехода к хаосу число сосуществующих синхронных режимов стремится к бесконечности. Для любого из указанных режимов 2**СМ (Аг = 0,1,2,..., М = 0,1,...,2^ - 1) форма колебаний в каждом из осцилляторов
1 Здесь и далее будет использована система обозначений мультистабильных состояний, впервые примененная в работе [20] и затем ставшая традиционной при описании фазовой мультистабильности: пЯ' первый числовой индекс п означает “тактность” режима, то есть число петель аттрактора, или число связных областей в сечении Пуанкаре; Я- тип колебаний (С - цикл, Т - тор, А- хаотический аттрактор); верхний числовой индекс г - задержку колебаний одного осциллятора относительно колебаний второго в периодах однооборотного цикла.
- 10 -
идентична колебаниям одиночной системы, а их временные реализации отличаются на некоторый временной интервал г: х2(£) = Х1(г - г). Причем, как показали исследования, величина временного сдвига между колебаниями подсистем равна целому числу периодов исходного однооборотного цикла: г = МТ. Подробный анализ этого свойства фазовой мультистабильности и его объяснение с точки зрения захвата Фурье-фаз в спектрах колебаний осцилляторов приведен в работе [25]. Закономерности формирования фазовой мультистабильности, бифуркационный сценарий этого явления, как будет показано далее, имеют непосредственную связь с механизмами формирования и разрушения синхронизации сложных непериодических колебаний в системах с удвоениями периода. Выявлению этой взаимосвязи посвящена первая и, частично, - вторая глава диссертационной работы.
В ансамблях из большего чем два числа осцилляторов сосуществование множества синхронных режимов с разными фазовыми сдвигами наблюдается уже для гармонических колебаний. Одними из характерных режимов, которые могут возникать в цепочках локально связанных осцилляторов с периодическими граничными условиями, являются автоволны, бегущие вдоль ансамбля с постоянной фазовой скоростью [27 -30]. При этом, колебания в соседних осцилляторах имеют равную амплитуду и отличающуюся на постоянное значение фазу колебаний. В цепочках конечной длины число возможных режимов бегущих воли конечно. Аттракторы, соответствующие режимам с разной длиной волны, могут сосуществовать в фазовом пространстве при одних и тех же значениях параметров, демонстрируя тем самым явление мультистабильности.
Синхронизация колебаний в ансамблях осцилляторов с регулярным поведением - одна из традиционных областей исследований для радиофизики. Первые работы в этом направлении известны с середины прошлого века [31] и рассматривали, как иравнло, задачу частотной синхронизации в цепочке осцилляторов с гармоническим поведением [32-35]. В работе [34] было обращено внимание, что в подобных системах возможны режимы с разными фазовыми сдвигами между осцилляторами - то есть сосуществуют разные пространственные моды. Исследование мультистабильных состояний в ансамбле идентичных замкнутых в кольцо осцилляторов подробно описано в монографии П.С. Ланда [36]. Условия существования и устойчивости разных пространственных мод в ансамблях осцилляторов, колебания в которых возникают через бифуркацию Андроиова-Хопфа, были получены для разных типов связей в цикле работ Эрментроута 137-39]. Детальное описание динамики пространственно-однородных и неоднородных волн, возникновение пространственно - разуиорядоченных колебательных режимов и особенности переходов между режимами с разными длинами волн для ансамбля автогенераторов с жестким возбуждением молено найти в работе [40]. Рассмотрение процессов образования частотных кластеров при различных видах расстройки собственных параметров гармонических осцилляторов было
-11 -
проведено в работах [41-43]. В работах (44-46) было обнаружено явление подавления автоколебаний, когда в цепочке осцилляторов появляются области с пренебрежимо малой амплитудой колебаний. Это явление получило название “вымирание автоколебаний” или “амплитудная смерть".
Большинство указанных работ используют в качестве модели либо фазовые уравнения, либо укороченные уравнения для амплитуд и фаз, решениями которых являются гармонические колебания. В то же время, представляется интересным вопрос, как ведут себя ансамбли "реальных” регулярных осцилляторов, в которых присутствуют такие явления, как ангармоничность и нсизохроипость. Одной из попыток ответить на данный вопрос можно считать работу Даидо [47], в которой он моделирует ангармоничность введением дополнительного слагаемого в уравнение для фазового осциллятора. При этом, при большой ангармоничности в кольце осцилляторов наблюдается появление пространственной разупорядоченности (т.н. “странные волны”). Моделирование ангармоничности в работе Даидо носит достаточно искусственный характер. Кроме того, обнаруженные эффекты наблюдаются в его модели при очень больших значениях ангармоничности, не наблюдаемых в более реалистичных моделях. Будут ли подобные режимы возникать в реальных ангармонических осцилляторах? Какие еще особенности поведения там возможны? Как постепенный переход от гармонических колебаний к релаксационным влияет на формирование мультистабильности в цепочках осцилляторов? Пространственно - периодические режимы не исчерпывают всего разнообразия структур, которые могут возникать даже в небольших цепочках. Возникает вопрос - насколько типичными являются эти режимы. Будут ли они возникать при случайных начальных условиях из некоторой окрестности однородного состояния? Какова структура их бассейнов притяжения? Все эти вопросы оставались открытыми на момент начала работы над данной диссертацией. Их рассмотрение проводится в третьей главе диссертации.
Усложнение формы колебаний в ансамбле осцилляторов может быть связано не только с переходом от гармонических колебаний к релаксационным, но и с уже отмеченным ранее каскадом бифуркаций удвоения периода в каждой из подсистем, который ведет к появлению хаотических колебаний в каждом из осцилляторов, то есть к хаотическим бегущим волнам в ансамбле. Возможность существования подобных колебательных режимов рассматривалась в ряде работ [48-51] (в работах (48,50) они были названы как “rotating waves” - “вращающиеся волны”). Тем не менее, детальный анализ эволюции таких режимов с изменением параметров системы не был сделан. Представляется интересным, каким образом усложнение временной динамики влияет на пространственную упорядоченность колебаний в ансамбле. Сохраняется ли пространственная периодичность вдоль всего каскада субгармонических бифуркаций? На каком этапе при переходе к временному хаосу
- 12-
и как именно происходит разрушение пространственной периодичности и переход к пространственному хаосу? Решение этих вопросов также рассматривается в третьей главе диссертационной работы.
После открытия динамического хаоса, когда было обнаружено, что детерминированные динамические системы могут демонстрировать сложное непредсказуемое поведение, внимание исследователей было обращено на возможность синхронизации взаимодействующих хаотических осцилляторов. Такую синхронизацию стали называть “синхронизацией хаоса” или “хаотической синхронизацией”. На сегодняшний день нет единого подхода к определению хаотической синхронизации. Этот термин объединяет несколько разных способов взаимной подстройки колебаний хаотических осцилляторов: полная синхронизация хаоса (ПС) [52-55), частотная синхронизация хаоса (ЧС) [56 58], фазовая синхронизация (ФС) [59,60], обобщенная синхронизация (ОС) [61-63], синхронизация с задержкой но времени (lag-svnchronization в англоязычной литературе) [64]. В последнее время появилась попытка рассмотреть разные виды синхронизации с единых позиций, как постепенный взаимозахват фаз вейвлет-образов в разных частотных диапазонах [65-67]. Данный метод анализа получил название “синхронизация временных масштабов”.
Одним из видов хаотической синхронизации является “полная синхронизация хаоса" [52-55], при которой в ансамбле идентичных осцилляторов в результате действия связей колебания всех подсистем становятся одинаковыми: Х](£) = х2(£)--. = хл-(£)- Этот вид синхронизации подразумевает наличие в фазовом пространстве системы инвариантного симметричного подпространства /, : Xi = х2 = ... = xjv, что, в свою очередь, является следствием инвариантности системы уравнений, описывающей ансамбль, к взаимным перестановкам динамических переменных х, *-* xJ5 i,j — 1,2,...,АГ. Прилагательное “полная" отражает тот факт, что при данном виде синхронизации происходит максимально возможное согласование поведения всех осцилляторов ансамбля. Несмотря на достаточно жесткое условие, полная синхронизация - типичное явление, наблюдаемое не только в специально созданных математических моделях, но и в реальных природных, технических и социальных системах [68-75].
Первыми работами по исследованию режимов полной синхронизации хаоса были статьи Ямады и Фуджисаки [52], A.C. Пиковского [53], С.П. Кузнецова [76]. Было установлено, что полная хаотическая синхронизация наблюдается в системе двух идентичных осцилляторов при диффузионной связи. Был определен критерий устойчивости синхронных колебаний по отношению к возмущениям, трансверсальным к симметричному подпространству Ii через трансверсальный показатель Ляпунова Aj_. Как оказалось, полная синхронизация хаоса реализуется при достаточно сильной связи (коэффициент диффу-
- 13-
ЗИОИПОЙ СВЯЗИ 7 должен быть больше некоторого КрИТИЧССКОГО значения 7с), где транс-версальный показатель Ляпунова отрицателен. При переходе через критическое значение связи 7с трансверсальный показатель Ляпунова становится положительным, при этом синхронные колебания теряют трансверсальиую устойчивость и перестают наблюдаться в эксперименте (данный переход называется бифуркацией прорыва [77|). Граница области синхронизации на плоскости управляющих параметров имеет достаточно сложный характер. В ее окрестности наблюдается перемежаемость Ямада-Фуджисака [78,79| (также называемая “переключающейся синхронизацией” или “оп-оЙГшЬеггшиенсу” в англоязычной литературе): интервалы почти синхронного поведения чередуются с короткими “всплесками” несинхронных колебаний.
При более детальном исследовании разрушения полной синхронизации хаоса было установлено (77,80-91), что рассинхронизация колебаний возможна и при отрицательном значении трансверсального показателя Ляпунова. Это связано с наличием в хаотическом аттракторе трансверсально неустойчивых траекторий, с положительными трансверсаль-ными показателями Ляпунова (данное свойство получило название “локальная изрешечен-иость хаотического аттрактора” ), из окрестности которых фазовая точка, при наличии сколь угодно малых несимметричных возмущений, выбрасывается в сторону от симметричного подпространства. При наличии локальной изрешеченности хаотический аттрактор перестает быть аттрактором в традиционном понимании и становится т.н. аттрактором Мил нора [92,93]2 Локальная из решечен ность ведет к двум возможным последствиям в наблюдаемой динамике системы:
• если, области трансвсрсальной неустойчивости аттрактора направлены в сторону ссдловых предельных траекторий, то фазовая точка, уйдя от симметричного подпространства вдоль этих областей, через некоторое время вследствие глобального притяжения к аттрактору вернется в его окрестность. Поскольку хаотический аттрактор в среднем остается трансверсально притягивающим, то после каждого ухода она будет все ближе и ближе подходить к подпространству при этом следующие “выбросы” будут происходить все реже и реже. В итоге, режим хаотической синхронизации оказывается асимптотически орбитально устойчивым. Однако, добавление в систему малейшего шума или малейшая неидентичность взаимодействующих осцилляторов делают режим перемежаемости перманентным. Таким образом, полная синхронизация продолжает существовать, но перестает быть грубой. Такой характер синхронизации получил название “слабой синхронизации”, а поведение системы
2Аттрактор в смысле Милнора - это наименьшее замкнутое множество, имеющее область притяжения ненулевой меры. В отличие от классического определения, здесь не требуется, чтобы любая точка прикосновения аттрактора входила в его область притяжения.
- 14-
в этом режиме - “пузырящимся поведением” (перекрестная проекция фазового аттрактора как бы “вскипает” иод действием малого шума).
• Если области трансверсальпой неустойчивости направлены в сторону других аттракторов, то фазовая точка, уйдя по ним от симметричного подпространства, притягивается к другому аттрактору. При этом, режим хаотической синхронизации заменяется другим колебательным режимом. Поскольку области неустойчивости исходят из самого аттрактора, в его непосредственной окрестности оказываются области из бассейнов других аттракторов. Данное явление называется “изрешеченностью бассейна притяжения хаотического аттрактора”.
Как было показано в ряде работ [86,94], потеря синхронизации непосредственно связана с бифуркациями седловых циклов, встроенных в хаотический аттрактор. Как известно, в хаотический аттрактор может быть встроено бесконечное число седловых циклов. В связи с этим, представляется интересным вопрос: какие именно циклы являются определяющими при потере хаотической синхронизации. Этот вопрос рассматривался в работе [95], где авторы обнаружили, что потеря трансверсальпой устойчивости начинается, как правило, с бифуркаций седловых циклов малого периода. Однако, детального исследования бифуркационного сценария процессов разрушения полной синхронизации сделано не было. Каковы типичные бифуркационные переходы, ведущие к постепенной потере хаотической синхронизации? Как они связаны с бифуркациями, ответственными за формирование синхронного хаоса и с бифуркациями, ответственными за формирование фазовой мультистабильности? Как меняется бифуркационный сценарий и наблюдаемые явления (если меняются) при переходе к неидентичным системам? Существуют ли различия в полной синхронизации для обратимых и необратимых систем? Эти вопросы рассматриваются в первой главе диссертационной работы на примере связанных осцилляторов, переход к хаосу в которых происходит через каскад бифуркаций удвоения периода.
Естественным обобщением понятия полной синхронизации стала “обобщенная синхронизация” (“generalized synchronization”), при которой между сигналами, генерируемыми подсистемами, существует некоторая детерминированная взаимосвязь:
х2(0 = F(xj (*))
Первое определение обобщенной синхронизации было дано в работе Афраймовича [54]. Открытая в середине 90-х годов в работах Рулькова и Кокарева [61-63,96], она затем была обнаружена во множестве различных динамических систем (97-103], включая синхронизацию распределенных сред (67,104] и систем с задержкой по времени (106]. Детерми-
- 15-
нированная функция Г(х), связывающая состояния подсистем, может иметь достаточно сложный характер и даже быть недифференцируемой [107], что подразумевает нетривиальные методы диагностирования данною вида синхронизации. Обобщенная синхронизация наблюдается, как правило, в связанных неидентичных осцилляторах. Однако, как будет показано в третьей главе, режимы обобщенной синхронизации могут существовать и в ансамблях идентичных осцилляторов с симметричной диффузионной связью.
Полная синхронизация, как это видно из ее определения, является частным случаем обобщенной синхронизации, если в качестве детерминированной функции взять тривиальную зависимость: Г(х) = х. Другим частным случаем обобщенной синхронизации, получившим, однако, свое собственное название, является “противофазная синхронизация хаоса” (108-112), при которой временные реализации, генерируемые подсистемами, удовлетворяют соотношению Х](£) = — х2($). Соответственно, синхронные траектории лежат в симметричном инвариантном подпространстве 1а : Х\ = — х23
Противофазная синхронизация - типичное явление для регулярных осцилляторов. Достаточно вспомнить, что именно эго явление было впервые описано X. Гюйгенсом, как пример синхронизации. Однако, для хаотических осцилляторов противофазная синхронизация гораздо более редкое явление, механизмы которого оставались не изученными на момент создания данной работы. Как происходит формирование хаотического предельного множества, соответствующего режиму противофазной синхронизации? Каков сценарий и бифуркационный механизм потери синхронизации? Сходен ли он с соответствующим сценарием для полной синхронизации хаоса или имеет свои особенности?
Как показывают исследования, противофазная синхронизация хаоса не реализуется в системах с диффузионным типом связи, поскольку соответствующие предельные множества трансверсально неустойчивы. Однако, для реализации таких режимов можно использовать методы принудительной синхронизации (или методы синхронизации посредством управления). Задача принудительной синхронизации колебаний - есть задача стабилизации траекторий в симметричном подпространстве по отношению к трансверсальным к этому подпространству возмущениям. Метод решения этой задачи - добавление в систему цепи дополнительной обратной связи, либо внешнего, явным образом зависящего от времени воздействия, которые меняют характер устойчивости синхронных колебаний. При этом управляющее воздействие не должно оказывать влияния на динамику системы внутри симметричного подпространства, то есть не должно менять форму синхронных
3Существует и другое определение для противофазной хаотической синхронизации (см., например, (113)), которое ближе к понятию фазовой синхронизации: противофазной синхронизацией считается такой хаотический режим, при котором текущие фазы оказываются захвачены около значения Ар — -к, или, что тоже самое, колебания в одном из осцилляторов отстают от колебаний во втором на половину среднего периода. В настоящей работе указанный вид синхронизации рассматриваться не будет.
-16 -
колебаний. В противном случае мы имеем дело не с синхронизацией (в том смысле, в котором она определяется в работе), а с индуцированными в системе новыми колебательными режимами при воздействии на нее. Известно, что устойчивые и грубые режимы полной синхронизации хаоса во взаимодействующих системах могут быть реализованы только нри определенных типах связи выше некоторого порогового значения. Часто независимо от величины коэффициента связи в системе существуют синхронные хаотические движения, которые являются неустойчивыми к несимметричным возмущениям. В этих случаях в системе можно осуществить переход из режима несинхронных хаотических колебаний к режиму синхронизации, используя методы управления хаосом [114-124]. Под управлением хаосом обычно понимают целенаправленное воздействие на систему, с помощью которого различные непритягивающие предельные множества можно превратить в устойчивые по определенным собственным направлениям. В большинстве работ, посвященных синхронизации посредством управления хаосом, рассматривается простейший случай синхронизации - синфазная синхронизация (125-135). Возможно также распространить методы принудительной синхронизации хаоса для случая противофазной синхронизации. Синхронизация и принудительная синхронизация противофазных колебаний рассматривается во второй главе диссертационной работы.
В качестве метода управления хаосом можно рассматривать предложенный в ряде работ [136-139] подход, предусматривающий периодическую модуляцию одного из параметров системы. Аналитически и методами численного и физического экспериментов в этих работах было показано, что периодическая модуляция парамегра может привести к подавлению хаоса и к переходу на периодический режим, на базе которого возник исходный хаотический аттрактор. Указанный эффект оказывается возможен, если частота модуляции кратна частоте предельного цикла, то есть данное явление носит резонансный характер. В другой работе для подавления хаоса и перехода на регулярный режим использовалась высокочастотная модуляция парамегра системы, когда частота модуляции много больше собственной частоты осциллятора (140|. Выло показано, что движение системы с высокочастотным воздействием может быть представлено как сумма “медленного” движения с характерной частотой системы без модуляции и “быстрого” движения с характерной частотой параметрического воздействия. Уравнение для полной системы разделяется на уравнение для “быстрых” и для “медленных” переменных, прячем параметры уравнения для “быстрых” переменных оказываются зависящими от амплитуды и частоты высокочастотного воздействия. Таким образом, можно говорить о том, что высокочастотная модуляция параметра может менять средние значения параметров системы и таким образом индуцировать переход к другим колебательным режимам. Можно ли этот способ управления использовать для принудительной синхронизации хаотических колсба-
- 17-
ний? Идея использования параметрического воздействия для синхронизации хаотических систем связана с хорошо известной классической задачей о маятнике с вибрирующей точкой подвеса [141,142]. В ней было показано, что высокочастотная модуляция параметра может изменить устойчивость состояния равновесия. Следуя этой идее в работах (143,144] было показано, что периодическая модуляция параметра связи приводит к синхронизации двух диффузионно связанных осцилляторов Дуффинга в хаотическом режиме. Возможно ли этот метод использовать для синхронизации в больших ансамблях осцилляторов? Есть ли ограничения на число взаимодействующих осцилляторов в ансамбле? Данные вопросы рассматриваются в четвертой главе диссертации.
Как известно, в ансамблях из большего чем два числа элементов, наряду с полной синхронизацией может наблюдаться кластерная синхронизация, при которой существуют наборы осцилляторов (кластеры), работающие в режиме полной синхронизации, между которыми полная синхронизация отсутствует. Если число осцилляторов в ансамбле невелико, то вместо термина “кластерная синхронизация” принято использовать термин “частичная синхронизация” [145] (термин “частичная синхронизация” представляется не совсем удачным, поскольку, между “несинхронными” осцилляторами может существовать другой тип синхронизации). Теоретические исследования режимов кластерной синфазной и кластерной противофазной синхронизации колебаний были проведены в работе |109], где были установлены конфигурации инвариантных множеств, соответствующих разным случаям частичной синхронизации при разном числе осцилляторов в системе. В работе [146] методом Ляпунова были найдены условия асимптотической устойчивости для частично синхронных режимов. Простейшая модель для систем, в которых возможно наблюдать явление частичной синхронизации - кольцо из трех осцилляторов. На сс примере проще всего рассмотреть сосуществование режимов полной и частичной синхронизации, закономерности их появления и разрушения и соответствующие бифуркационные механизмы. "Сильная” и "слабая” (то есть грубая и негрубая) частичная синхронизация хаоса в системах с различными топологиями рассматривалась в работе [147]. В работе [148] исследовался режим частичной синхронизации в системе из трех и четырех связанных осцилляторов Рёсслера. Тот же подход был применен к системе из большего числа осцилляторов, в результате была выяснена зависимость числа элементов системы, совершающих синхронные колебания, от величины связи между элементами.
Явление частичной синхронизации в системе, состоящей из трех связанных логистических отображений с несимметричной связью, исследовалась в работе [149], в которой был проведен детальный бифуркационный анализ механизмов разрушения полной и формирования частичной хаотической синхронизации. Однако для систем с симметричной диффузионной связью такая задача решена не была. Возникновения и исчезновение ре-
- 18-
жимов частичной синхронизации регулярных и хаотических колебаний в кольце из трех отображений с симметричной диффузионной связью рассматривалось в работе [150]. В ней в качестве основного метода анализа использовался расчет трансверсальных показателей Ляпунова. Подобный подход дает возможность оценить область устойчивости доя некоторых синхронных режимов на плоскости управляющих параметров, но не позволяет выявить бифуркационные механизмы их формирования, а также не может дать достаточно полной картины устройства пространства параметров при исследовании систем с развитой мультистабильиостью. Чтобы ответить на эти вопросы необходимо проведение детального бифуркационного анализа седловых периодических орбит, формирующих скелет синхронного хаотического аттрактора. Проведение такого анализа, включая сопоставление механизмов формирования и разрушения режимов частичной и полной синхронизации, представляется интересной задачей, важной доя понимания процессов синхронизации хаоса в больших ансамблях локально связанных элементов.
Наличие разных видов синхронного поведения хаотических осцилляторов, а также тот факт, что выход из режима синхронизации хаоса происходит постепенно, через частично синхронное состояние к полностью несинхронному, делает актуальным задачу диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации. Для каждого из видов синхронизации вводились свои количественные меры. Легче всего ввести меру полной синхронизации или синхронизации с задержкой, как степень “схожести55 временных реализаций взаимодействующих осцилляторов. В работе [64] для этих целей предлагалось использовать минимальное значение функции подобия 5(т)
В случае полной синхронизации минимум функции 5(г) достигается при г = 0, при синхронизации с задержкой - при некотором положительном т. В обоих случаях свидетельством полностью синхронного поведения является равенство нулю индекса синхронизации /г. Постепенное разрушение синхронизации, например, через процесс перемежающейся синхронизации, будет выражаться в монотонном росте //. Функция подобия естественным образом может быть использована и для количественного анализа обобщенной синхронизации. Однако, в этом случае необходимо знать в явном виде функцию детерминированный связи между колебаниями подсистем.
В случае фазовой синхронизации, когда “амплитуды” колебаний оказываются некор-
ц, = тт(5(т))
г
где
5(т)= ((^({ + т)
- 19-
релированными, а “фазы” - захвачены, можно ввести формальное определение в виде неравенства:
lim \ipx(t) - <p2(t)\ < М С1)
I—«оо
гдо <Р\, <Р2 ’ мгновенные фазы первого и второго осцилляторов, а М некоторая положительная константа. Формула (1) означает, что разность фаз двух осцилляторов остается ограниченной во времени, то есть, что средние “периоды” колебаний одинаковы. Слабым местом указанного определения является само понятие мгновенной фазы v(t) в применении к хаотическим колебаниям. Если в случае периодических колебаний, когда аттрактор одномерен, фаза однозначно характеризует установившееся состояние системы (что собственно и является основанием для использования термина “фаза” как синонима термина “состояние”), то уже при квазипериодическнх колебаниях можно говорить о нескольких независимых фазах (например, фаза несущей и фаза огибающей). Что касается хаотических колебаний, то хотя формальное введение мгновенной фазы тем или иным способом возможно, ее физическая интерпретация остается неясной. Поэтому, на сегодняшний день концепция мгновенной фазы хорошо работает лишь для “слабою” то ость когерентного хаоса, который близок к периодическим колебаниям и не работает для развитого хаоса, при котором спектр не содержит выраженных пиков.
Естественной количественной мерой для фазовой синхронизации может служить коэффициент эффективной диффузии разности мгновенных фаз [151):
Д*// = \jt - ч>\№)2) - ((^2(*) - <М*))>2]
Эта величина показывает насколько быстро происходит диффузия разности фаз взаимодействующих осцилляторов и связана, таким образом, со средним временем, в течение которого имеет место захват фаз. Для полной фазовой синхронизации Д// = 0. При разрушении фазовой синхронизации, когда длительные интервалы синхронного поведения прерываются внезапными “проскальзываниями” фаз, Д>// начинает монотонно расти по мере ухода от режима синхронизации. В работе [152] было предложено использовать для анализа фазовой синхронизации “параметр порядка” Я, введенный Курамото [153) для определения степени упорядоченности ансамбля фазовых осцилляторов, связанных через среднее поле:
1
r=n
N-1
У^ехрО'Д^(гДО)
i=0
где Д^(гДі) представляет собой разность текущих фаз колебаний подсистем в момент времени гД£.
Указанные количественные характеристики хаотической синхронизации являются част-
-20-
ными, поскольку применимы лишь для определенного вида синхронизации. Кроме того, получаемые из них величины имеют относительный характер: их конкретные значения ничего не скажут исследователю, насколько сильной или слабой является синхронизация в каждом рассматриваемом случае. Имеет смысл лишь сопоставление значений одной и той же величины на разных этапах перехода от синхронного состояния к несинхронному. Хотелось бы иметь универсальную количественную меру синхронизации, позволяющую сравнивать степень согласованности движений для разных проявлений взаимоподстройки осцилляторов. Разумно потребовать, чтобы эта количественная характеристика удовлетворяла следующим критериям:
1) Универсальность, то есть применимость к разным видам синхронного поведения.
2) Ясный физический смысл, позволяющий легко интерпретировать получаемые результаты.
3) Инвариантность к виду конкретных уравнений, описывающих колебательную систему. Это означает, что количественная мера должна рассчитываться только на основе сигналов, генерируемых осцилляторами, без привлечения какой-либо информации о структуре ее уравнений.
4) Устойчивость по отношению к действию малых возмущающих факторов, таких как внешний шум или малые искажения генерируемых сигналов.
5) Кроме того, количественная характеристика должна представлять собой вещественное число, принимающее значение в заданном интервале, например, от нуля до единицы. Причем выбранный интервал определения должен быть единым для всех рассматриваемых динамических систем и видов синхронного поведения.
Первыми работами, рассматривающими задачу количественной меры хаотической синхронизации, можно, по-видимому, считать работы П.С. Ланды и М. Розенблюма [154,155], в которых для этой цели прелагалось использовать размерность аттрактора (речь шла о корреляционной размерности, однако, предполагалось, что можно применять и другие определения размерности хаотического аттрактора). В частности, полностью синхронными полагались такие колебания, для которых размерность аттрактора в полном фазовом пространстве системы совпадала с “частичной размерностью”, то есть с размерностью, подсчитанной в проекции фазового подпространства на один осциллятор. В дальнейшем появились и другие подходы к построению количественной характеристики хаотической синхронизации, которые базировались на измерении взаимной информации между подсистемами [156], измерении “близости” фазовых точек в синхронизируемой подсистеме,
- 21 -
отвечающих соседним фазовым точкам в синхронизирующем осцилляторе (так называемый метод “нелинейных взаимозависимостей”) [156-160]. а также на анализе отображений возврата ( “recurrent plots approach”) [161]. Все указанные методы основывались на непосредственном анализе временных реализаций сигналов, генерируемых взаимодействующими подсистемами. С другой стороны, в радиофизике часто используется спектральный анализ сигналов, то есть переход от временного представления сигналов к частотным. Соответственно, появились алгоритмы построения количественной меры синхронизации, основанные на анализе спектров сигналов. Так в работе [162] для количественного измерения степени синхронности колебаний применялось построение распределений разностей Фурье-фаз.
Наличие большого числа разнообразных алгоритмов, дающих подчас противоречивые результаты свидетельствует о том. что задача нахождения “хорошей” универсальной количественной меры хаотической синхронизации пока не решена. 13 диссертационной работе проводятся количественные исследования полной и фазовой хаотической синхронизации, при использовании нормированной функции взаимной информации. Кроме того, в работе предлагается собственный метод подсчета степени согласования колебаний в подсистемах, использующий усредненную взвешенную функцию когерентности.
Методы нелинейной динамики носят универсальный характер и применяются для исследования колебательных и волновых процессов в системах самой различной природы. Традиционной областью применений для нелинейной динамики является химия (153,163. 164]. Химические процессы могут демонстрировать колебательный характер, когда концентрации веществ, участвующих в реакциях, регулярно или хаотически меняются во времени. Колебательный характер многих химических реакций неоднократно наблюдался в экспериментах, начиная со знаменитой реакции Белоусова-Жаботинского [165,166]. Кроме того, при определенных условиях, возможно построение динамических моделей таких реакций, которые позволяют выявлять их закономерности аналитически или методами численного эксперимента. Один из подходов к моделированию реакций - метод среднего поля, при котором вероятность реакции в каждой точке пространства одинакова и зависит от средних концентраций реагирующих веществ. Использование данного метода оправдано, если благодаря тем или иным процессам (например, сильная диффузия, конвекция или перемешивание) в пространстве реакций поддерживается все время однородная концентрация всех компонентов. Использование метода среднего поля позволяет построить модель реакций в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, переменными которых являются концентрации химических реагентов. Если в ходе реакций существенными является диффузия веществ, то учет процессов диффузии приводит к моделям в виде системы уравнений в частных производных (уравнение “реакция - диффузия”). Суще-
- 22-
ствует, однако, класс реакций, в которых перемешивания компонент не происходит. При этом в пространстве реакций формируется сильно неоднородная среда из компонентов реакций. В этом случае методы среднего поля перестают адекватно описывать процессы превращений, поскольку теперь необходимо учитывать их локальный характер. Возможным подходам для построения модели становится использование различных клеточных автоматов (167-169), одним из которых является метод Монте-Карло (МК) 1170,171]. В МК пространство реакций моделируется дискретной решеткой определенных размеров и размерностей. Если реакции идут на плоской поверхности, то размерность решетки выбирается равной двум, если в пространстве - то трем. Существуют модели с одномерными решетками [172,173], а также с фрактальными решетками, обладающими нецелыми размерностями [174]. Каждая “клетка” решетки заполняется той или иной “частицей” или же остается “вакантной”. В ходе реакций на случайно выбранных клетках происходят взаимопревращения частиц, их “рождения” или “уничтожение”, в соответствии с схемой реакций, при этом учитывается состояние соседних клеток. Сами превращения носят случайный характер, то есть они либо происходят, либо не происходят в соответствии с выбранными вероятностями. Модели МК достаточно полно учитывают случайный и локальный характер химических превращений и дают более реалистическую картину происходящих процессов. Кроме того, они позволяют получить нс только значения средних концентраций, но их локальное распределение но всему пространству реакций. Детальный анализ образования пространственно-временных структур в таких моделях, изучение процессов синхронизации в них, а также исследование возможности сопоставления результатов МК моделирования с результатами более простых моделей среднего поля, - все это является актуальной и интересной задачей для нелинейной динамики.
Изложенные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в выявлении типичных закономерностей и бифуркационных механизмов синхронизации и формирования фазовой мультистабильности в ансамблях осцилляторов с локальными связями, а также в разработке универсальных критериев для диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, позволяющих с единых позиций рассматривать разные проявления согласования хаотической динамики взаимодействующих автоколебательных систем.
В ходе проведения исследований, изложенных в диссертации, решались следующие научные задачи:
1) Выявление типичных бифуркационных механизмов формирования и разрушения режимов полной и противофазной синхронизации хаоса в двух связанных осцилляторах, переход к хаосу в которых осуществляется через каскад бифуркаций удвоения
- 23 -
периода. Определение взаимосвязи между этими механизмами и наблюдаемыми явлениями. Определение влияния неидентичности взаимодействующих систем на указанные бифуркационные механизмы.
2) Определение бифуркационных механизмов формирования и разрушения полной и частичной синхронизации хаоса в малых ансамблях дискретных отображений с симметричной диффузионной связью.
3) Исследование закономерностей формирования фазовой мультистабильности в ансамблях негармонических осцилляторов. Определение влияния усложнения временной динамики колебаний осцилляторов 1} ходе перехода от гармонических колебаний к релаксационным, а также в ходе каскада бифуркаций удвоения периода, на пространственную упорядоченность в ансамбле.
4) Исследование возможности принудительной синхронизации хаотических колебаний, а также процессов переключений в бистабильных осцилляторах посредством нерезонансного параметрического воздействия. Выявление ограничений на число осцилляторов в ансамбле для данного метода управления хаосом.
5) Разработка универсальных методов диагностирования и количественного анализа хаотической синхронизации на основе использования функции взаимной информации и функции когерентности. Тестирование этих методов на примерах взаимодействующих осцилляторов с разными тинами синхронного поведения.
6) Исследование процессов синхронизации и образования пространственных структур в системах химических превращений, моделируемых с помощью метода Монте-Карло. Сопоставление результатов, полученных этим методом с результатами использования метода среднего ноля.
Научная новизна
В диссертационной работе впервые
• показано, что различные системы с дискретным временем, объединенные общим сценарием формирования хаоса через каскад бифуркаций удвоения периода и общим типом диффузионной связи, обладают также общим сценарием формирования и разрушения режима полной синхронизации хаоса, который практически не зависит от индивидуальных особенностей подсистем, таких, как, например мультистабильность/ моностабильность и обратимость/ необратимость;
-24-
• проведен детальный бифуркационный анализ процесса разрушения синхронизации и формирования мультистабильности в снизанных системах с дискретным временем, переход к хаосу в которых происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода;
• выявлено влияние слабой неидентичности подсистем на бифуркации, ведущие к разрушению полной синхронизации;
• показано, что в диффузионно связанных отображениях с бифуркациями удвоения периода наблюдаются только регулярные противофазные колебания с любым периодом, поскольку противофазные хаотические колебания оказываются трансверсально неустойчивыми;
• исследован механизм формирования фазовой мультистабильности на базе противофазных колебаний;
• продемонстрирована возможность управляемой противофазной синхронизации хаоса в двух диффузионно связанных отображениях, исследован бифуркационный механизм управляемой противофазной синхронизации;
• проведен детальный бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов полной и частичной синхронизации в кольце из трех дискретных отображений с симметричной диффузионной связью;
• построена структура областей существования пространственно - периодических режимов с разными длинами волн на плоскости параметров “связь - возбуждение” для ангармонических осцилляторов и выявлено качественное различие в устройстве пространства параметров для гармонических и негармонических автоколебаний;
• обнаружены и описано новое явление в ансамблях ангармонических осцилляторов, заключающееся в появлении на фоне волнового режима движущихся локальных сбоев фазы;
• проведен анализ закономерностей перехода к пространственному беспорядку от пространственной периодичности при усложнении формы колебаний в ходе каскада бифуркаций удвоения периода в кольце осцилляторов, показано, что разрушение пространственной упорядоченности связано с разрушением фазовой синхронизации хаоса между соседними осцилляторами;
• показана возможность принудительной синхронизации в цепочках конечной длины посредством высокочастотной модуляции параметра связи;
-25-
• предложен метод диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, основанный на усредненной но диапазону частот функции когерентности, показана его применимость для разных видов синхронного поведения и слабая чувствительность к искажениям экспериментальных данных;
• показана принципиальная разница в хаотической синхронизации систем с непрерывным и дискретным временем: в последнем случае в режиме когерентного хаоса отсутствует порог синхронизации по параметру связи;
• показана возможность диагностирования фазовой синхронизации посредством функции когерентности;
• предложен метод расчета, степени синхронизации хаотических колебаний, основанный на нормированной функции взаимной информации. Показано, что этот метод дает возможность анализировать разные виды синхронного поведения: полную и фазовую синхронизацию хаоса, включая синхронизацию на гармониках.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
1) Диффузионно связанные системы с удвоениями периода обладают общим сценарием разрушения полной синхронизации хаоса, кагорый практически не зависит от особенностей индивидуальной динамики осцилляторов. Разрушение полной синхронизации происходит через два промежуточных этапа: “пузырящееся поведение” и “изрешечивание бассейна притяжения синхронного аттрактора”. Бифуркационный сценарий этих явлений совпадает с механизмом формирования в данных системах фазовой мультистабильности.
2) В диффузионно связанных отображениях режим противофазной синхронизации наблюдается лишь для регулярных колебаний. На плоскости параметров “связь - возбуждение” области устойчивости периодических противофазных колебаний сужаются по мере увеличения периода колебаний, и на пороге перехода к хаосу их ширина становится равной нулю.
3) Для полной и противофазной синхронизации слабая неидентичность подсистем, а также малая асимметрия связи не меняет сценарий разрушения синхронизации и структуру фазового пространства в окрестности синхронного аттрактора, но меняет его бифуркационный механизм в части бифуркаций, обусловленных симметрией системы.
-26-
4) Индекс синхронизации, построенный на основе усредненной взвешенной функции когерентности может служить универсальной характеристикой для измерения разных типов синхронного поведения: полной, обобщенной или фазовой синхронизации. Данная характеристика нечувствительна к малым шумам и искажениям сигналов, имеющим место в процессе измерения.
5) Функция когерентности может служить средством диагностики фазовой синхронизации хаоса как для идентичных автоколебательных систем, так и систем с расстройкой но параметрам. Данный метод позволяет уйти от использования расчета мгновенных фаз хаотических колебаний, которые нельзя корректно определить в случае развитого хаоса.
Научно-практическая значимость результатов
Проведенные исследования относятся к фундаментальным проблемам радиофизики и нелинейной динамики. Научно-практическая значимость результатов заключается в том, что
• проведен детальный бифуркационный анализ и построены карты динамических режимов для ряда колебательных систем, представляющие интерес в радиофизике;
• предложен метод принудительной синхронизации противофазных хаотических колебаний и определены области значений параметров, где эта синхронизация реализуется;
• предложен и апробирован метод принудительной синхронизации хаотических колебаний в ансамбле осцилляторов посредством параметрического воздействия;
• разработан простой метод диагностирования и количественного анализа синхронизации хаоса, применимый для разных типов синхронизации;
• проведено сопоставление методов среднего ноля и Монте-Карло для исследования динамики химических реакций на поверхности каталитической решетки, показаны границы применимости метода среднего поля.
Результаты работы используются в учебном процессе в Саратовском государственном университете при чтении общих курсов (“Теория колебаний”), а также спецкурсов по специальности “радиофизика”.
Структура и объем работы
Работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она содержит 416 страниц, включая 155 рисунков. Библиография содержит 216 ссылок на литературные источники.
-27-
Апробация работы и публикации
Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:
1) 5-th international school on chaotic oscillations and pattern formation CHAOS-98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998.
2) 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos", vol. 3, July 5-7, St. Petersburg, Russia, 2000.
3) Международная межвузовская конференция "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ", Саратов, Российская Федерация, 20-24 марта 2001 г.
4) 6-tli International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS’Ol", Saratov, Russia, October 2-7, 2001.
5) International conference "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations", Saratov, Russia, September 22-28, 2002.
6) International conference "Physics and Control" , S. Petersburg, Russia, Aug. 20-22, 2003.
7) International conference "Physics and Control (PhysCon2005)", S. Petersburg, Russia, Aug. 20-22, 2005.
8) CECAM Workshop on Dynamics at the Mesoscale: Theory, Modelling and Experiments September 8-11, Lyon, France, 2004.
9) VII международная школа “Хаотические автоколебания и образование структур”, 1-6 октября 2004 г. Саратов
10) Научная школа-конференция “Нелинейные дни в Саратове для молодых”. 2005.
11) Международная конференция молодых учёных по фундаментальным наукам “Ломоносов 2006”. Москва.
Результаты работы неоднократно обсуждались на научных семинарах:
• кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ;
• центра нелинейной динамики и биофизики при СГУ;
• института физической химии национа!ьного научного центра республики Греция “Demokritos” (Греция, Афины);
-28-
• лаборатории нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия, Потсдам);
• кафедры нелинейной динамики технического университета г. Лодзь (Польша);
• кафедры нелинейных систем университета г. Лозанны (Швейцария).
По материалам работы опубликовано 46 работ: 33 статьи в реферируемых научных журналах (из них 27 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций), 4 статьи в сборниках международных научных конференций и 9 тезисов докладов. Результаты работы использованы при выполнении госбюджетных тем “Радиофизика”, “Радиофизика-2”, “Радиофизика-3”, при выполнении грантов РФФИ, совместного гранта министерства Образования и науки РФ и американского фонда развития гражданских исследований (СЯЕЖ).
Работа выполнена в докторантуре на кафедре радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета (научный консультант - доктор физ.-мат. наук профессор Астахов В.В.).
Краткое содержание работы
В первой главе исследуются бифуркации, ведущие к разрушению полной синхронизации хаоса в двух связанных системах с удвоениями периода. В качестве моделей используются дискретные отображения, демонстрирующие при изменении управляющего параметра переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода: логистические отображения, кубические отображения, отображения Эно. Проводится двухнарамстриче-ский бифуркационный анализ на плоскости параметров “коэффициент связи - параметр возбуждения”. Результаты анализа сопоставляются с наблюдаемыми явлениями, которые сопровождают разрушение синхронного состояния: пузырение хаотического аттрактора и его изрешечсшюсть бассейна притяжения. Исследуется влияние неидентичности на бифуркационный сценарий и наблюдаемые явления. Сопоставляется процесс разрушения синхронизации в обратимых и необратимых системах.
Вторая глава посвящена исследованию и регги вофазной синхронизации в отображениях с дискретным временем и потоковых системах. Проводится бифуркационный анализ формирования противофазных синхронных режимов и формирования фазовой мульти-сгабильности в окрестности инвариантного симметричного подпространства, содержащего аттракторы противофазных колебаний. Проводится анализ устойчивости противофазных режимов для диффузионно связанных отображений. Строятся области существовании для устойчивых периодических орбит раличных периодов и исследуются бифуркации, в результате которых, они теряют трансверсальную устойчивость. Предлагается
- 29-
алгоритм управления, стабилизирующий трансверсально неустойчивые хаотические предельные множества и тем самым обеспечивающий принудительную синхронизацию противофазных хаотических колебаний. Исследуется бифуркационный механизх* разрушения управляемой прагивофазной синхронизации. На примере связанных осцилляторов Чуа с симметричной емкостной связью исследуются процессы противофазной синхронизации регулярных и хаотических колебаний в осцилляторах с непрерывным временем. Исследуется сценарий выхода из режима хаотической синхронизации.
Третья глава посвящена вопросам синхронизации в небольших ансамблях отображений с дискретным временем и осцилляторов. На примере трех логистических отображений исследуются механизмы формирования и разрушения режимов полной и частичной синхронизации хаоса. Строятся двупараметрические бифуркационные диаграммы для семейств режимов, удовлетвояряющих условиям полной или частичной синхронизации. Исследуются режимы бегущих волн в ансамбле связанных периодических осцилляторов при переходе от гармонических к релаксационным колебаниям. Строятся области устойчивости для мультистабильных состояний с разными пространственными периодами. Рассматриваются новые колебательные режимы - полны с движущимися фазовыми дефектами. Определяются области притяжения для воли с разными пространственными периодами. Исследуется переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в цепочках генераторов Чуа.
В четвертой главе изучается возможность полной синхронизации хаоса в ансамблях осцилляторов при периодическом изменениии коэффициента связи. Аналитически решается задача постосния области устойчивости синфазных колебаний в зависимости от амплитуды и частоты параметрической модуляции. Исследуется синхронизация переключений в связанных осцилляторах Дуффинга при параметрическом воздействиии. Определя-ется максимальная длина цепочки осцилляторов, при которой возможна принудительная синхронизация при заданной амплитуде воздействия.
Пятая глава посвящена задаче количественного анализа хаотической синхронизации. Предлагается использовать для этой цели усредненную функцию когерентности, а также, нормированную функцию взаимной информации. Проводится тестирование предлагаемых алгоритмов на связанных осцилляторах с дискретным и непрерывным временем. Рассматриваются явления полной и фазовой синхронизации. Исследуется влияние внешнего шума, а также искажений обрабатываемых данных в канале связи. Предлагается новый метод диагностирования фазовой синхронизации, основанный на использовании функции когерентности.
В шестой главе проводится моделирование сложной пространственно - временной динамики химических реакций на поверхности катализатора при помощи метода Монте-
-30-
Карло. Исследуется процесс образования гомогенных кластеров и определяется связь этого процесса с колебаниями средних концентраций реагирующих веществ. Проводится статистический анализ пространственного распределения веществ на решетке. Исследуется влияние малого перемешивания на динамику системы. Проводится сопоставление полученных результатов с результатами моделирования методом среднего ноля.
- 31 -
Глава 1 Механизмы формирования и разрушения режимов полной синхронизации хаоса
1.1 Введение
В данной главе рассматривается явление полной синхронизации хаоса в двух связанных осцилляторах, при котором их состояние в каждый момент времени одинаково. Основная часть исследований посвящена бифуркационным механизмам формирования и разрушения режимов синхронных хаотических колебаний, в системах, переход к хаосу в которых происходит через каскад бифуркаций удвоения периода. Рассматриваются системы с дискретным временем, динамика которых задается отображениями последования. В качестве моделей используются логистические отображения, кубические отображения и отображения Эно. Первая из этих систем представляет собой классическую модель нелинейной динамики для рассмотрения явлений синхронизации и формирования мультистабильно-сти. Именно на ее примере Ямада и Фуджисака [52] впервые исследовали явлепие полной синхронизации хаоса, а С.П. Кузнецов, Б.П. Безручко, В.В. Астахов и др. [19.20] провели детальный анализ развития фазовой мультистабильности. Исследования дайной главы показывают, что оба явления связаны друг с другом посредством единого бифуркационного механизма. Одни и тс же бифуркации участвуют в рождении новых устойчивых режимов и индуцируют явления “пузырения” и “изрешечивания бассейна притяжения синхронного аттрактора”, которые являются этапами на пути разрушения синхронизации. Кубические отображения, как и логистические, представляют собой систему с бифуркациями удвоения периода, но отличаются от нее тем, что (а) являются бистабильными, и (б) демонстрируют также и иной тип синхронизации - противофазную синхронизацию. Отображения Эно
-32-
- двумерные обратимые отображения. Сопоставление обратимых и необратимых систем важно для понимания того, насколько выявленные в дискретных моделях закономерности действительны для систем с непрерывным временем. В качестве методов исследования используется линейный анализ устойчивости посредством характеристических показателей Ляпунова, двухпараметрический бифуркационный анализ периодических орбит на плоскости параметров “коэффициент связи - параметр возбуждения”, численное моделирование нелинейных колебаний.
Результаты исследований по данной главе опубликованы в работах (1,3,4,6-9,13,21, 23,29] из списка работ по теме диссертации.
1.2 Исследование синхронизации в диффузионно связанных логистических отображениях
1.2.1 Исследуемая система, свойства симметрии и анализ устойчивости синхронных колебаний
Будем рассматривать систему двух идентичных дискретных отображении с симметричной диффузионной связью:
Хп+1 = /(*п)+7 (1(Уп)-
Уп+1 = /Ы + ^/Ы-ЛЫ). (1-1)
где хП} уп - динамические переменные первой и второй подсистемы, п = 0,1,2,3,... -дискретное время, 7 - коэффициент связи. Динамика парциальной системы описывается отображением
*п-и = /Ы = А - а£,
где А - управляющий параметр парциальной системы. Одиночное логистическое отображение является одной из базовых систем нелинейной динамики, позволяющей моделировать на качественном уровне сложное поведение реальных радиофизических систем. При изменении управляющего параметра. А в интервале от -0.25 до 2 оно демонстрирует переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода, подчиняющийся универсальным закономерностям, называемый сценарием Фейгенбаума. В закритической области наблюдается последовательность слияния лент хаотических аттракторов. Области хаотических колебаний чередуются с “окнами устойчивости” периодических орбит, в которых наблюдаются
- 33-
регуляриые колебания. На базе этих периодических колебаний через каскад бифуркаций .удвоения периода возникают новые хаотические предельные множества.
Система связанных отображений ведег себя более сложным образом. Вследствие идентичности отображений и симметрии связи система (1.1) инвариантна к преобразованию симметрии Яо : х *-* у (отражение фазовых координат на линии х = у) . Поэтому:
• в фазовом пространстве существует инвариантное подпространство Д, задаваемое уравнением х = у, которое в дальнейшем будет называться “симметричным подпространством”. Траектории (орбиты) системы (1.1), лежащие в этом подпространстве, будут называться в дальнейшем синхронными траекториями, а соответствующие им предельные множества и аттракторы - синхронными предельными множествами и аттракторами, соответственно.
• Все предельные множества, существующие в фазовом пространстве (1.1), либо (а) самосимметричны1 относительно преобразования /?о> либо (б) имеют симметричного относительно данного преобразования “двойника”.
Если выбрать начальные условия траектории в симметричном подпространстве, то вследствие его инвариантности вся траектория целиком будет располагаться в этом подпространстве, то есть будут наблюдаться установившиеся синхронные колебания. Однако, если начальные условия заданы в окрестности подпространства или на систему действует малый внешний шум, то синхронные колебания будут наблюдаться только если, соответствующее им предельное множество является аттрактором. Поскольку я эксперименте шум и малая исидентичиость по начальным условиям всегда присутствуют, последнее условие является обязательным для того, чтобы синхронные колебания могли быть реализованы в реальных колебательных системах.
Рассмотрим вопрос об устойчивости синхронной траектории в полном фазовом пространстве системы. Вследствие инвариантности подпространства 7, можно по отдельности определить устойчивость в касательном и трансверсальном к 7, направлениях. Устойчивость к тангенциальным возмущениям принято оценивать с помощью “тангенциального показателя Ляпунова” Лт, а устойчивость к трансверсальным возмущениям - с помощью “трансверсадьного показателя Ляпунова” Ат. В работах [52,53) было показано, что таи-
1 Самосиммстричными относительно 7?о называются множества М. удовлетворяющие следующему свойству: для любой точки — (ху1\у^) е М всегда найдется симметричная ей точка х1-2) = Ло(хФ) = € М. Ясно, что синхронные предельные множества самосим-
метричны, при этом точки х1'- и х'“: совпадают. Симметричными предельными множествами М\ и М2 называются такие множества, что из = (®^,у^) € М\ следует, что существует х.(2) = € М2.
-34-
гснциальный и трансверсальный показатель Ляпунова связаны выражением:
А± = Ат + /п|(1 - 2а)|
(1.2)
Поэтому, в диапазоне связи 7 € [0; 0.5[и]0.5; 1] < 1 Ал. < Ат и следовательно [76]:
• синхронные периодические колебания трансверсально устойчивы при любом коэффициенте связи из указанного диапазона;
• синхронные хаотические колебания трансверсально устойчивы только при достаточно сильной связи:
где 7с = 0.5(1 - ехр(-Лт)) - критическое значение связи;
• 7 = 0.5 - особое значение параметра связи, при котором синхронные колебания абсолютно устойчивы (трансверсальный показатель Ляпунова равен минус бесконечности).
Если ограничиться рассмотрением относительно малой связи (0 < 7 < 0.5), то из соотношения (1.2) можно сделать вывод, что любые локальные бифуркации, сопровождающиеся сменой знака показателей Ляпунова, будут встречаться дважды: вначале в тангенциальном направлении, при этом меняет знак тангенциальный показатель Ляпунова, затем - в трансверсальном направлении, при этом меняет знак трансверсальный показатель Ляпунова. Поскольку в одиночном осцилляторе при увеличении А имеет место каскад субгармонических бифуркаций, в связанных отображениях будет наблюдаться два таких каскада. Первый - каскад тангенциальных бифуркаций удвоения периода: 2Л’С° -> 2ДГ+1С°. После каждой из таких бифуркаций соответствующая синхронная орбита 2лг6'° теряет устойчивость в касательном к Я направлении и в ее окрестности, внутри появляется устойчивая орбита удвоенного периода 2ЛГ+1С°. Каскад тангенциальных бифуркаций ведет к формированию в симметричном подпространстве синхронных хаотических аттракторов 2ЛЛ". Второй каскад - каскад трансвсрсальных (нормальных) бифуркаций удвоения периода: 2‘УС° —» 2лг+1С2Л. После каждой из таких бифуркаций седдовая орбита (уже потерявшая устойчивость после тангенциальной бифуркации) теряет устойчивость в перпендикулярном к Я направлению, становясь репеллером, и в ес окрестности вне симметричного подпространства рождается седловая орбита удвоенного периода. Колебания, соответствующие этой несинхронной орбите, имеют ту особенность, что временная реализация одного отображения опережает на пол-периода временную реализацию второго отображения (что отмечается в обозначении орбиты 2^С2*). Эта закономерность была отмечена в
7с < 7 < 1 - 7с
(1.3)
-35-
работах [17,19,20,22], а в работе [25] было дано объяснение этому явлению с точки зрения фазовых спектров колебаний. В дальнейшем вновь появившиеся несинхронные орбиты приобретают устойчивость и порождаю!' новые семейства регулярных и хаотических несинхронных колебаний, формируя тем самым развитую мультистабильность.
Таким образом, в соответствии с неравенством (1.3) для любого синхронного режима всегда можно выбрать значение коэффициента связи, при котором этот режим трансверсально устойчив, а значит синхронные колебания будут наблюдаться в эксперименте. При изменении коэффициента связи в сторону увеличения или уменьшения будет наблюдаться переход от синхронных колебаний к несинхронным, то есть разрушение синхронизации. Рассмотрим последовательность этапов разрушения синхронизации хаоса при изменении коэффициента связи.
1.2.2 Этапы разрушения синхронизации хаоса
Выберем значение параметра Л = 1.56, соответствующее режиму развитого одно-ленточного хаоса в одиночном отображении. На рис. 1.1 представлены временная реализация и спектр мощности данного колебательного режима. Вид колебаний и характер спектра свидетельствуют о режиме развитого временного хаоса. Значение показателя Ляпунова Л = 0.344 подтверждает это. Соответствующие данному показателю Ляпунова критические значения коэффициента связи:
7с1 = 0.1455
7с2 = 1 - 7ы = 0.8545
То есть, в интервале значений связи 0.1455 < 7 < 0.8545 можно ожидать существование устойчивых синхронных колебаний. Однако, как показывает анализ, грубый режим хаотической синхронизации наблюдается в более узком диапазоне по 7. Выберем значение коэффициента связи в середине указанного диапазона и рассмотрим но отдельности выход из режима синхронизации (а) при уменьшении связи и (б) при ее увеличении.
1.2.2.1 Разрушение хаотической синхронизации при уменьшении коэффициента связи
Выберем значение связи 7 = 0.21 при котором трансверсальный показатель Ляпунова как для самого аттрактора, так и для всех периодических орбит 2ЛС°, на базе которых он сформирован, отрицателен. В системе наблюдается устойчивый режим хаотической синхронизации (синхронный хаотический аттрактор 1Л°), сохраняющийся при малом шумовом воздействии на систему. В подтверждении этому на рис. 1.2а показана временная
- 36-
а)
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Рис. 1.1: Временная реализация (а) и спектр мощности (Ъ) хаотических колебаний в одиночном логистическом отображении при Л = 1.56
-37-
реализация для разности динамических переменных х - у при воздействии на систему малого аддитивного шума с равномерным распределением и интенсивностью 10-'1 (до вертикальной пунктирной линии) и без шума (после пунктирной линии). Из рисунка видно, что шум слабо влияет на синхронизацию в системе. Начнем уменьшать коэффициент связи 7. Уменьшение связи ведет к последовательности трансверсальных бифуркаций удвоении периода орбит 2Л'С°, имеющих место еще до потери трансверсальной устойчивости хаотическим аттрактором 1 А°. Так, при 7 = 0.2043 происходит трансверсальная бифуркация удвоения периода синхронной орбиты 1 С0: 1(7° —* 2С1, в результате которой в ее окрестности появляется седповая орбита 2С'\ а сама она превращается в репеллер. С дальнейшим уменьшением связи точки орбиты 2С1 отходят от симметричного подпространства. Структура фазового пространства в окрестности подпространства /* представлена на. рис. 1.3а Здесь изображены точки орбит коротких периодов: (о) - синхронная орбита периода один 1С°, ставшая репеллером, (и) седповая синхронная орбита периода два 2С°, (Л) - седловая синхронная орбита периода четыре 4С° и (х) - седловая несинхронная орбита периода два 2С1, появившаяся после трансверсальной бифуркации удвоения периода. С уменьшением связи при 7 = 0.1659. 0.1614, 0.1628 и 0.1622 происходят трансверсальные бифуркации удвоения периода орбит 2С°, 4СЮ, 8С° и 16С° соответственно. Бифуркации орбит больших периодов происходят вблизи 7 = 0.16. Указанные бифуркации не приводят к смене знака трансверсального показателя Ляпунова дня аттрактора: он остается отрицательным, но они влияют на процесс синхронизации в системе. Поскольку внутри аттрактора 1 Л° появились репеллерные периодические орбиты, то при попадании в их малую окрестность, фазовая точка, при наличии трансверсальных возмущений, будет уходить от инвариантного подпространства в сторону вновь появившихся орбит 2С1, 4С2. 8С4 и т.д. а затем, так как эти орбиты седловые, фазовая точка вернется в окрестность трансверсально устойчивого аттрактора 1.4°. Появление внутри аттрактора точек, из которых траектория выбрасывается в сторону от инвариантного подпространства, а затем возвращается обратно к аттрактору, называется локальной изрешеченностыо хаотического аттрактора. Таким образом, первая из трансверсальных бифуркаций 1С° —+ 2С1 индуцирует локальное изрешечивание хаотического аттрактора 1Л°, а последующие бифуркации усиливают его. При отсутствии внешнего шума локальная изрешечениость не разрушает синхронизацию, поскольку аттрактор в среднем остается притягивающим в трансверсальном направлении и при отсутствии шума “выбросов” не происходит. Однако, режим синхронизация перестает быть грубым, в том смысле, что очень малый внешний шум приводит к постоянному возобновлению выбросов и динамика с малым шумом и без шума начинает кардинально отличаться друг от друга. На рис. 1.4 показано различие в фазовых портретах колебаний с шумом (а) и без него (Ь). Наблюдаемый хаотический аттрактор как бы “вскипает”
- 38-
15000
50000
100000
n
150000
20000
20000
-| 1
1 . 1 J і і
20000
200000
Рис. 1.2: Временная реализация х - у
- 39-
х
х
Рис. 1.3: Структура фазового пространства в окрестности симметричного подпространства /: (а) после первой трансверсальной бифуркации удвоения периода, (Ь) после бифуркации вил