Электродинамика направляющих и резонансных структур, описываемых несамосопряженными краевыми задачами

Введение,
-2-
6
Глава 1. СПЕЦИФИКА НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ КРАЕВЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
1.1. Введение.....................................................25
1.2. Определение типа электродинамического оператора..............27
1.3. Дисперсионные задачи для направляющих структур, описываемых самосопряженными и несамосопряженными операторами !.................39
1.4. Необходимые и достаточные условия существования в направляющих структурах комплексных волн..........................; 44
1.5. Спектр волн открытых направляющих структур..................53
1.6. Целенаправленный поиск комплексных решений дисперсионных уравнений волн направляющих электродинамических структур..............61
1.7. Распределенный разворот потока мощности в неоднородных электродинамических структурах.............................................71
1.8. Взаимные потоки мощности комплексных волн...................77
1.9. Выводы......................................................81
Глава 2. ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРА ВОЛН КРУГЛОГО ОТКРЫТОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА
2.1. Введение....................................................83
2.2. Краевая задача для открытого диэлектрического волновода. Виды возможных решений....................................................84
2.3. Критические частоты НЕ и ЕН волн двухслойного открытого диэлектрического волновода.................................................89
2.4. Трансформация поверхностных волн в комплексные..............92
2.5. Круглый диэлектрический волновод, помещенный в диссипативную Среду.............................................................97
2.6. Расчет структур электромагнитных полей и распределений плотностей потоков мощности волн в круглом диэлектрическом волноводе..........106
2.7. Классификация волн открытого диэлектрического волновода.....122
-3-
2.8. Вытекающая волна НЕп оптического волокна с депрессированной оболочкой............................................................125
2.9. Выводы.......................................................133
Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКТИВНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН ДЛЯ ЛАЗЕРОВ И УСИЛИТЕЛЕЙ
3.1. Введение.....................................................135
3.2. Определение типов электродинамических операторов, соответствующих используемым моделям активных оптических волокон..................139
3.3. Трехслойный волоконный световод. Эффективность накачки активного оптического волокна...............................................140
3.4. Анализ эффективности накачки активного волокна на основе расчета распределений плотностей потоков мощности волн по поперечному сечению открытого диэлектрического волновода..............................154
3.5. Экспериментальная проверка полученных результатов............160
3.6. Оценка эффективности накачки активного оптического волокна при легировании кольцевого слоя, охватывающего сердцевину...............162
3.7. Краевая задача для модели трехслойного активного оптического волокна с внутренней оболочкой произвольной формы.........................164
3.8. Исследование внутренней сходимости решений, получаемых методом коллокаций для модели активного оптического волокна с разнокоординатными границами....................................................169
3.9. Исследование влияния формы внешней границы внутренней оболочки активного оптического волокна на эффективность его накачки........177
3.10. Выводы......................................................186
Глава 4. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА О ВОЛНАХ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ОТКРЫТОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА, ПОКРЫТОГО ДИССИПАТИВНОЙ ПЛЕНКОЙ
4.1. Введение.....................................................187
4.2. Постановка краевой задачи
187
-4-
4.3. Обоснование применимости метода поверхностного тока в задаче о расчете характеристик передачи прямоугольного открытого диэлектрического волновода, покрытого пленкой воды.............................193
4.4. Результаты расчета характеристик передачи прямоугольного открытого диэлектрического волновода, покрытого пленкой воды...............200
4.5. Выводы......................................................203
Глава 5. ЭКРАНИРОВАННЫЕ НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
5.1. Введение....................................................207
5.2. Спектр собственных волн волноводно-щелевой линии............213
5.3. Спектр собственных волн экранированной микрополосковой линии 222
5.4. Исследование спектра собственных волн круглого двухслойного экранированного волновода..............................................231
5.5. Постановка дифракционной задачи о стыке двух волноводно-щелевых линий............................................................244
5.6. Расчет характеристик полосио-пропускающего фильтра на отрезке нерегулярной волноводно-щелевой линии................................250
5.7. Комплексный резонанс в двухслойном круглом экранированном волноводе. СВЧ (КВЧ) устройства на основе явления комплексного резонанса........................................................258
5.8. Экспериментальное определение добротности комплексного резонанса........................................................272
5.9. Комплексные волны во внутренних задачах дифракции...........281
5.10. Выводы.....................................................307
Глава 6. ЭКРАНИРОВАННЫЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ С РЕЗИСТИВНЫМИ ПЛЕНКАМИ
6.1. Введение....................................................309
6.2. Исследование поведения электромагнитного поля в точке обобщенной геометрической сингулярности.....................................310
6.3. Собственные волны микрополосковой линии с резистивными пленками 325
-5-
6.4. Собственные волны прямоугольного волновода с продольной анизотропно проводящей резистивной пленкой...................................331
6.5. Собственные волны прямоугольного волновода с диэлектрической пластиной, имеющей одностороннее анизотропное резистивное покрытие............................................................341
6.6. Расчет микрополоскового аттенюатора с резистивными пленками 348
6.7. Выводы.........................................................361
Глава 7. РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ БАЗОВОЙ СТРУКТУРЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СВЧ МОДУЛЕЙ
7.1. Введение.......................................................363
7.2. Краевые задачи о собственных колебаниях резонансных объемов в формулировке метода частичных областей.................................365
7.3 Расчет спектра собственных колебаний базовой резонансной структуры на основе отрезков Т-образных волноводов............................372
7.4. Уточнение значений резонансных частот типовой базовой структуры функциональных СВЧ модулей..........................................378
7.5. Расчет спектра собственных колебаний базовой структуры функциональных СВЧ модулей на основе отрезка экранированной полосковой линии...............................................................383
7.6. Расчет спектра собственных колебаний резонатора на основе отрезка экранированной полосковой линии......................................,392
7.7. Особенность алгебраизации задачи с уравнениями Фредгольма 1-го рода................................................................398
7.8. Расчет входного сопротивления базовой структуры функционального СВЧ модуля..........................................................403
7.9. Выводы.........................................................410
Заключение..........................................................412
Список литературы. Приложение..........
.415
443
ВВЕДЕНИЕ
Развитие радиоэлектроники в последние десятилетия охарактеризовалось интенсивным изучением и техническим освоением миллиметрового, субмил-лиметрового и оптического диапазонов волн [1-4]. Очевидно, что освоение указанных диапазонов невозможно без создания элементной базы, основу которой составляют волноводные и резонансные структуры, открытые и экранированные, содержащие различные диэлектрические, анизотропные, металлические и поглощающие включения [5,8]. Открытые направляющие структуры [8,9] в общем случае многослойные, неоднородные в поперечном сечении и продольнонерегулярные. Расчет базовых направляющих и резонансных структур и функциональных узлов на их основе сводится, как правило, к решению различных краевых электродинамических задач, особенности которых определяются спецификой рассматриваемых структур.
В последнее время в электродинамике СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн наблюдается возрастание математического уровня решения краевых задач [10-12] при общем повышении строгости к расчету антенно-фидерных устройств [12,13] в целом. Стал активно использоваться математический аппарат сингулярных интегральных уравнений [12], более обоснованным стал подход к вопросам постановки и решения краевых задач [8,11], повышается уровень строгости изложения фундаментальных вопросов прикладной электродинамики в учебной литературе [14,15].
Актуальность проблемы. Одним из важнейших вопросов, возникающих при постановке и решении краевых задач электродинамики, является определение типа оператора, соответствующего рассматриваемой задаче. В понятие оператора входят [16] дифференциальное уравнение и система граничных условий, конкретизирующая особенности электромагнитного поля, описывае-
мого этим уравнением. В широком смысле электродинамические операторы подразделяются на самосопряженные и несамосопряженные [16].
Обычно [17] самосопряженность оператора Ь устанавливается на основе проверки выполнения равенства
(Ьи,и) = (и,Ьи),
где и - решение прямой задачи, о - решение сопряженной задачи. Однако такой подход является апостериорным: установить тип оператора с помощью приведенного равенства можно, как правило, лишь решив краевую задачу. С точки зрения определения предмета исследований представляет значительный интерес предварительно (до решения краевой задачи) классифицировать оператор. Это позволяет предсказать возможные типы решений, области их существования и качественный характер, благодаря чему последующие исследования будут целенаправленными.
Известно [16], что собственные значения самосопряженной краевой задачи являются действительными, несамосопряженной - как действительными, так и комплексными величинами. В краевых электродинамических задачах собственные значения определяют волновые числа. Таким образом, по характеру априорно определенных возможных собственных значений можно судить о спектре волн, которые могут существовать в рассматриваемой структуре. Следовательно, после постановки краевой задачи для целенаправленного поиска ее решений требуется первоначально определить тип оператора, соответствующего ей.
Тип электродинамического оператора определяет спектр возможных решений краевой задачи. В силу того, что собственные значения несамосопряженных краевых задач в общем случае - комплексные величины, главной особенностью направляющих структур, описываемых ими, являются волны с комплексными волновыми числами. При этом в структурах с диссипацией энергии это обычные волны, затухание которых вызвано активными потерями, в структурах без диссипации - это так называемые комплексные волны (КВ)
[8,11,18,19], являющиеся принципиальным «продуктом несамосопряженности» краевой задачи.
Помимо существования различных видов КВ направляющим структурам, описываемым несамосопряженными операторами, присущи такие явления, как аномальная дисперсия [20-22], инверсия критических частот собственных волн [23], образование встречных потоков мощности [24-26], существование на дисперсионных характеристиках точек жордановой кратности волновых чисел нормальных волн и возникновение в этих точках присоединенных волн [27] и т.д.
Таким образом, характеристики любой направляющей структуры, особенности волн, распространяющихся в ней, неразрывно связаны с типом электродинамического оператора, описывающего структуру. При расчете функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн всегда так или иначе производится их декомпозиция, в результате чего выделяются элементы базовых структур, для каждой из которых решается (решена) краевая задача. Если хотя бы одна из базовых структур описывается несамосопряженой краевой задачей, краевая задача для функционального узла в целом оказывается несамосопряженной со всеми присущими ей особенностями. В связи с этим можно сказать, что специфика решений несамосопряженных краевых электродинамических задач сказывается как на характеристиках отдельных направляющих структур, описываемых этими задачами, так и на дифракционных базисах функциональных узлов, компонуемых из элементов этих структур, определяя характеристики функциональных узлов в целом. Это указывает на необходимость исследования специфики несамосопряженных краевых задач, учета ее при разработке методов расчета канонических функциональных узлов и создании функциональных узлов нового типа, использующих принципиальные особенности структур, описываемых несамосопряженными операторами.
В настоящее время становится все более очевидным, что эффективные расчет и проектирование СВЧ-, КВЧ-, оптических устройств, интегральных схем возможны лишь в том случае, если в основу системы проектирования за-
кладываются адекватные электродинамические модели как базовых элементов, так и функциональных узлов в целом. Построение адекватных электродинамических моделей невозможно без предварительного исследования особенностей базовых структур, «порождаемых» несамосопряженностью описывающих их (структур) операторов. Отсутствие исчерпывающей информации о специфике решений несамосопряженных краевых электродинамических задач делает исследования в этой области (в области разработки методов решения несамосопряженных краевых задач, физической трактовки и практического использования этих решений) исключительно актуальными.
Следует отметить, что исследованию типов электродинамических операторов и особенностей решений краевых задач, им соответствующих, до последнего времени должного внимания не уделялось. Упор на специфику несамосопряженных краевых электродинамических задач, по-видимому, впервые стал делаться в работах [28-30]. Развитие это направление получило в исследованиях, результаты которых опубликованы в [8,31-35].
Подход к определению типа оператора заключается [8,11,16] в следующем. Однородная краевая задача образуется дифференциальным уравнением:
Ди)=Е/У',) = о,
у=0
где / - порядок дифференциального уравнения, и системой граничных условий:
С/т=0;/п = 1,2...^.
Сопряженная ей краевая задача образуется [36] дифференциальным уравнением:
*•(«)=£(-Ой«)00=о
у=0
(черта над функцией/ означает комплексную сопряженность) и системой граничных условий:
ик =0;* = 1,2...ЛГ;ЛГ =2?/-АГ, где q - число интервалов, на которые делится область определения функции и. Однородная краевая задача называется [16] самосопряженной, если:
- 10-
1. Ь(и) = и(и).
2. Краевые условия прямой и сопряженной задач эквивалентны.
В диссипативных структурах первое условие самосопряженности не выполняется. Поэтому все диссипативные направляющие структуры описываются несамосопряженными электродинамическими операторами и, как следствие, волны в них (структурах) имеют комплексные волновые числа. Ког да в направляющих структурах без диссипации энергии поле описывается однородным уравнением Гельмгольца (уравнением четного порядка), первое условие самосопряженности для всех краевых задач, получающихся после разделения переменных, как правило, удовлетворяется. Для выполнения второго условия необходимо [8,28], чтобы имело место равенство: Лг* = ./V. Таким образом, это равенство является необходимым условием самосопряженности краевой задачи. Если хотя бы одна из краевых задач, на уравнениях, полученных после разделения переменных в уравнении Гельмгольца, оказывается несамосопряженной, несамосопряженной является краевая задача для направляющей структуры в целом.
В соответствии со сформулированной процедурой определения типа оператора подавляющему большинству электродинамических структур соответствуют [8,28] несамосопряженные краевые задачи. Это определяет актуальность исследования принципиальных особенностей последних и учета их при постановке задач, связанных с электродинамическим расчетом устройств СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн.
Цель диссертации:
- исследование спектров волн (колебаний) базовых (на которых строятся широко распространенные линии связи и функциональные узлы СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн) электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами. Исследование спектров волн (колебаний) включает в себя определение возможных типов волн (колебаний), изучение их дисперсионных свойств, распределений по пространству волновых чисел и частотному диапа-
зону, особенностей физических процессов, определяющих их свойства, расчет структур полей и энергетических характеристик. К настоящему времени достаточно хорошо изучена лишь та часть спектра решений несамосопряженных краевых задач, которая по своим свойствам эквивалентна получаемым для структур, описываемых самосопряженными электродинамическими опрераторами;
- формулировка на основе полученных результатов исследования спектров волн (колебаний) базовых структур методов расчета ряда функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов с учетом особенностей, «порождаемых» несамосопряженностью электродинамических операторов, построение на их (методов) основе алгоритмов и программ компьютерного проектирования указанных узлов.
Исследование спектров волн (колебаний) базовых электродинамических структур преследует своей целью создание математической основы для решения с использованием различных проекционных методов [17,37-39] дифракционных задач [1,40-47], связанных с расчетом функциональных узлов, планарных и объемных [48] интегральных схем СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн.
Методы исследования. Основные теоретические результаты, представленные в диссертации, получены на основе строго обоснованного метода частичных областей (МЧО), метода поверхностного тока (МПТ) [8,49,50] и метода коллокаций [9], корректность которых в применении к решаемым задачам обосновывается в диссертации.
Задачи, решаемые в диссертации:
1. Формулировка подхода к исследованию спектров решений несамосопряженных краевых электродинамических задач, определение их специфических особенностей. Разработка метода целенаправленного поиска указанных решений как основы процедуры исследования спектров волн (колебаний), описываемых ими. Формулировка критериев
оценки корректности решения краевых несамосопряженных электродинамических задач, поставленных в незамкнутой форме.
2. Исследование спектров волн (колебаний) открытых и экранированных неоднородных электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами: слоистых металло-диэлектрических волноводов, волноводно-щелевых и полосковых линий, волноводов с резистивными пленками, открытых диэлектрических волноводов и волоконных световодов.
3. Исследование свойств комплексных волн, существование которых является главной особенностью направляющих структур, описываемых несамосопряженными операторами. Определение условий существования КВ и перспектив их практического применения. Выявление общих физических закономерностей, связанных с комплексными волнами. Определение роли КВ в базисах дифракционных задач.
4. Определение оптимальных структур волоконных световодов для современных лазерных технологий.
5. Создание алгоритмов и программ для проектирования функциональных узлов СВЧ и КВЧ диапазонов широкого назначения на основе структур, описываемых несамосопряженными электродинамическими операторами, с учетом специфических особенностей последних.
Содержание работы
Во Введении сформулирована цель диссертационной работы, обоснована ее актуальность, сформулированы задачи исследований, определена новизна полученных результатов и их практическая значимость, обоснована их достоверность, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.
В первой главе диссертации рассматриваются принципиальные вопросы, связанные с решением несамосопряженных краевых электродинамических задач, основной особенностью которых является комплексность (в общем случае)
их собственных значений. Для полуоднородных краевых задач (задач на однородных уравнениях с неоднородными граничными условиями) это понятие (собственные значения) в диссертации расширено: следует говорить уже не о комплексности собственных значений, а о комплексности волновых чисел, являющихся решениями дисперсионного уравнения, получаемого из граничных условий. При этом комплексность волновых чисел, имеющая четкую физическую подоплеку, правильно обнаруживается лишь при корректной формулировке граничных условий.
В главе описывается методика определения типа оператора, основанная на анализе совокупности дифференциального уравнения и граничных условий. Отдельно анализируются структуры с диссипацией и без диссипации энергии. Показывается, что для структур с диссипацией энергии краевые задачи в любой корректной постановке всегда несамосопряженные. Для рассмотрения одной и той же электродинамической структуры могут использоваться различные математические модели. Выбор математической модели влияет на тип электродинамического оператора, описывающего структуру. В качестве примеров рассматриваются круглый экранированный волновод с неидеально проводящей внутренней поверхностью и металлический цилиндр, материал которого имеет конечную проводимость. Сравнивается два подхода к составлению математических моделей: на основе импедансного метода и на основе метода согласования полей.
В 1-ой главе с использованием того факта, что комплексные волны должны возникать в точках жордановой кратности нормальных волн, сформулированы необходимое и достаточное условия существования КВ в направляющих структурах. Предложенный подход к определению достаточных условий существования комплексных волн может быть распространен на все направляющие структуры, для которых в уравнении Гельмгольца можно произвести разделение переменных. На основе сопоставления краевых задач с соответствующими интегральными уравнениями в главе определен возможный состав спектра волн открытых направляющих структур. Показано, что в общем случае поле
открытой направляющей структуры представляется спектром полей собственных и присоединенных волн и непрерывным спектром вдоль действительной оси поперечного волнового числа. Показано, что волн с чисто действительными поперечными волновыми числами открытые направляющие структуры поддерживать не могут.
В главе представлена разработанная автором диссертации процедура целенаправленного поиска в пространстве волновых чисел решений краевых задач, описывающих комплексные волны в направляющих электродинамических структурах, основанная на известном из теории функций комплексного переменного принципе аргумента. Демонстрация применения указанной процедуры производится на примерах решений дисперсионных уравнений волн круглого двухслойного экранированного волновода (КЭДВ) и открытого диэлектрического волновода (ОДВ).
С целью объяснить природу возникновения в направляющих структурах комплексных волн рассмотрен процесс возникновения распределенного разворота мощности. Рассмотрение производится с позиций учета взаимодействия парциальных волн. При определенных условиях взаимный и собственные потоки мощности парциальных волн могут быть разнонаправленными, в результате чего образуется отрицательный поток мощности.
Показывается, что отсутствие переноса собственными комплексными волнами в неоднородных направляющих структурах мощности в среднем за период, наличие в любом реальном тракте нерегулярностей по продольной оси приводит к тому, что взаимный поток мощности комплексных волн, «порождаемых» комплексно сопряженными (в плоскостях поперечных волновых чисел) решениями дисперсионного уравнения, в общем случае может быть отличен от нуля.
Во второй главе диссертации рассматриваются особенности спектра волн круглого ОДВ. Данная модель открытой направляющей структуры, обеспечивая возможность точной записи (в замкнутой форме) дисперсионных уравнений, гарантирует адекватность представления процессов в реальных диэлек-
трических волноводах используемой математической модели реальной направляющей структуре. Математическая модель ОДВ позволяет выявить основные особенности волн, направляемых открытыми диэлектрическими волноводами. В главе на основе анализа дисперсионного уравнения ОДВ делаются выводы о возможных видах его решений, соответствующих различным волнам: поверхностным, вытекающим, собственным комплексным, а также медленным несобственным. Определяются области их существования в пространстве волновых чисел. На основании асимптотической записи дисперсионного уравнения ОДВ вблизи критических частот поверхностных волн аналитически показывается несовпадение реальных критических частот волн ЕН1т и НЕ|(ГП+|, которое тем больше, чем больше т.
При рассмотрении ОДВ, находящегося в поглощающей среде, показывается, что при определенном уровне потерь характеристика поверхностной волны НЕ 12 на некоторой частоте соединяется с характеристикой несобственной комплексной волны ОДВ, волновые числа которой в отсутствии потерь находятся как решения дисперсионного уравнения ОДВ во всем частотном диапазоне. Вследствие этого можно утверждать, что в реальной направляющей структуре (например, волоконный световод в защитной оболочке) волны НЕ!ш также имеют продолжение в виде вытекающих волн. Кроме того, показывается, что в ОДВ, помещенном в среду с потерями, вытекающие волны начинают удовлетворять условию излучения. Это позволяет включать их в дифракционные базисы открытых направляющих структур.
Во второй главе также рассматриваются вопросы оптимизации параметров исследуются структуры электромагнитных полей и распределений по поперечному сечению ОДВ плотностей потоков мощности различных типов волн, на основании чего с использованием анализа решений дисперсионного уравнения предлагается подход к классификации волн ОДВ. Кроме того, в главе приводятся результаты решения дисперсионного уравнения для основной волны НЕ п волоконного световода с «депрессированной» оболочкой. Показывается,
что эта волна на определенной частоте претерпевает отсечку, что не наблюдается в световодах со ступенчатым профилем показателя преломления.
В третьей главе диссертации рассматриваются вопросы оптимизации параметров активного оптического волокна (АОВ) с целью эффективного использования его в лазерных технологиях. О степени эффективности предлагается судить по доле потока мощности излучения накачки, приходящейся на сердце-вину, легированную ионами Ег3+. Накачка производится во внутреннюю оболочку. В предположении равномерного распределения мощности накачки между всеми волнами рассчитывается средняя по всем волнам доля потока мощности, приходящейся на сердцевину. Расчет производится с учетом «усеченного» набора оболочечных волн. Дается обоснование этому усечению и определяется какой набор волн необходимо учитывать. Исследуются зависимости доли потока мощности накачки, приходящейся на сердцевину, от радиуса внутренней оболочки. Показывается, что легирование активными ионами кольцевого слоя вокруг сердцевины нецелесообразно, так как дает меньшую эффективность накачки.
С целью оптимизации формы поперечного сечения внутренней оболочки решается краевая задача для волокна, у которого внутренняя оболочка имеет разнокоординатную с сердцевиной форму боковой поверхности. Расчет волновых чисел собственных волн производится методом коллокаций. Производится обоснование данного метода применительно к рассматриваемой структуре. Исследуется состав спектра волн такого АОВ. На основе расчета средней доли потока мощности учитываемого набора волн делается вывод, что для изготовления волоконных лазеров и усилителей АОВ, вытянутое из заготовки с сошли-фованными симметрично с четырех сторон гранями более предпочтительно, нежели АОВ с круглой границей внутренней оболочки.
В четвертой главе диссертации приводятся результаты расчета характеристик передачи открытого прямоугольного диэлектрического волновода (ОПДВ) как базовой структуры для изготовления чувствительного элемента датчиков влажности газа. При выпадении на отрезок ОПДВ пленки воды резко
увеличивается затухание волны, распространяющейся в нем. Задача о расчете дисперсии ОПДВ решается методом коллокаций. Исследуется сходимость метода. Учет пленки воды производится с помощью метода поверхностного тока (МПТ). Обосновывается применимость МПТ в данной задаче. Приводятся результаты расчета зависимости затухания в ОПДВ при различных значениях толщины пленки воды от длины волновода.
В пятой главе диссертации приводятся результаты расчета спектров собственных волн круглого экранированного диэлектрического волновода (КЭДВ), экранированной микрополосковой линии (МПЛ) и волноводно-щелевой линии (ВЩЛ). Особое внимание уделяется комплексным волнам, как соответствующим наиболее общему классу решений несамосопряженных краевых задач. Задачи о расчете дисперсии МПЛ и ВЩЛ ставятся в незамкнутой форме. На их примере демонстрируется процедура применения предложенного в диссертации метода оценки корректности решений задач, записываемых в незамкнутой форме.
В главе описывается расчет полосового фильтра (ПФ), выполненного на базе продольно-нерегулярной ВЩЛ с «подвешенной» подложкой в Е-плоскости прямоугольного волновода. Алгоритм составлен с использованием аппарата обобщенных матриц рассеяния (ОМР) многополюсников. Для отыскания элементов ОМР ПФ предварительно рассчитываются элементы ОМР стыка двух регулярных ВЩЛ с различной шириной щели.
Решение дифракционной задачи о стыке двух ВЩЛ с различной шириной щели с использованием МЧО приводит к системе функциональных уравнений относительно амплитуд собственных волн с последующим сведением ее к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Последняя процедура в диссертации выполняется с использованием условия модовой (энергетической) ортогональности собственных волн стыкуемых систем.
В результате численной реализации алгоритма расчета ОМР ФНЧ определяются его характеристики в полосах пропускания и заграждения. Формулируется задача синтеза ФНЧ, с использованием которой разработана методика
машинного проектирования фильтров нижних частот на основе волноводнощелевых линий.
При решении дифракционных задач расчета функциональных СВЧ- и КВЧ-устройств наряду с обычными волнами необходимо учитывать и комплексные волны (КВ), если они существуют в рабочем диапазоне устройства. Для обоснования необходимости и правил учета КВ в дифракционных задачах приводятся результаты расчета Б-матрицы стыка двух ВЩД с учетом КВ и без их учета. Для подтверждения результатов и сформулированных рекомендаций аналогичное рассмотрение правил учета КВ в дифракционных задачах производится на основе дифракционной задачи о стыке двух КЭДВ, отличающихся диаметром диэлектрического стержня.
Большое внимание в главе уделено теоретическому и экспериментальному исследованию до сих пор мало изученного явления комплексного резонанса. Дается физическая его трактовка. Рассматриваются условия возникновения. Рассчитывается и измеряется добротность. Предлагаются варианты практического использования.
Шестая глава диссертации посвящена исследованию экранированных структур с резистивными пленками (РП): ЭМПЛ с РП, прямоугольных волноводов с РП на тонкой полиамидной пленке и с РП на диэлектрической подложке. Исследуется поведение электромагнитного поля в области контакта резистивной пленки с внутренним проводником МПЛ. На основании произведенных расчетов делается вывод, что в области указанной геометрической сингулярности не возникает особенностей в поведении компонент поля, требующих их специального учета. Составляются математические модели для ряда широко используемых на практике направляющих структур, на основе которых исследуются волновые спектры последних. В частности, решается с использованием МПТ задача о нахождении спектра волн МПЛ с резистивными пленками. На основании доказанного отсутствия принципиальных особенностей поля в месте геометрической сингулярности при записи решений уравнения Гельмгольца в выделенных частичных областях специальные приемы, обеспечивающие улуч-
шение сходимости, не используются. Приводятся результаты расчета дисперсии и затухания собственных волн МПЛ с резистивными пленками.
Описываются постановки и решения с использованием МПТ краевых задач для прямоугольных волноводов с анизотропно проводящими резистивными пленками. Исследуются дисперсия и затухание собственных волн рассматриваемых волноводов. Даются рекомендации по их применению.
Результаты расчета дисперсии МПЛ с РП используются при расчете аттенюатора на базе МПЛ с РП. Приводятся частотные зависимости КСВ и ослабления при различных параметрах МПЛ и значениях проводимости резистивной пленки. Производится экспериментальная проверка результатов.
В седьмой главе диссертации приводятся результаты исследования спектров колебаний базовых СВЧ модулей: резонансной структуры на отрезке неоднородно заполненного волновода со сложным поперечным сечением и прямоугольного резонатора с диэлектрической подложкой, имеющей частичную металлизацию в виде прямоугольника, имитирующего интегральную схему функционального СВЧ узла. Алгоритмы расчета спектров колебаний составляются с использованием МЧО. Металлизация подложки полагается бесконечно тонкой, поэтому в записи граничных условий поверхностная плотность тока проводимости представляется в виде рядов по полиномам Чебышева первого и второго рода, учитывающих требуемую асимптотику полей на ребрах проводника. В результате реализации алгоритмов получены зависимости резонансных частот собственных колебаний от конструктивных особенностей базовых структур. Рассчитано распределение электромагнитного поля в плоскости подложки. Сформулированы рекомендации по управлению спектром колебаний базовых резонансных структур. Произведен расчет входного сопротивления отверстия связи интегрального СВЧ модуля. Показано, что за исключением узких частотных интервалов, прилегающих к резонансным частотам собственных колебаний, рассматриваемые базовые резонансные структуры не оказывают сильного шунтирующего действия на работу функциональных узлов.
-20-
Научная новизна. В результате выполнения работы:
> произведена классификация краевых задач электродинамики для типовых базовых структур с позиций само- и несамосопряженности соответствующих им операторов;
> разработан общий подход к постановке и решению дисперсионных задач для направляющих структур, описываемых несамосопряженными операторами;
> сформулированы необходимые и достаточные условия существования в направляющих структурах комплексных волн;
> объяснен процесс возникновения встречных потоков мощности в поперечно-неоднородных направляющих структурах;
> рассмотрены вопросы ортогональности комплексных волн и образования их взаимных потоков мощности в поперечно-неоднородных экранированных направляющих структурах;
> разработан метод целенаправленного поиска комплексных решений дисперсионных уравнений волн направляющих электродинамических структур;
> предложен новый метод оценки корректности постановки и решения краевых задач, формулируемых в незамкнутой форме;
> уточнена классификация типов волн в открытых направляющих структурах;
> исследованы особенности спектра волн открытого диэлектрического волновода в поглощающей среде;
> показано принципиальное несовпадение критических частот волн НЕ 12 и ЕНп в двухслойном ОДВ;
> показано, что в волоконном световоде с «депрессированной» оболочкой основная волна НЕц имеет частоту отсечки;
> исследованы структуры электромагнитных полей и распределения по поперечному сечению плотностей потоков мощности волн ОДВ, на основе чего предложен подход к классификации волн в ОДВ;
> разработан электродинамический подход к оценке эффективности накачки активного оптического волокна, применяемого для изготовления волоконных лазеров и усилителей; на основе него произведены расчеты спектров волн волокон с круглыми и разнокоординатными границами между слоями;
> произведено обоснование применимости метода поверхностного тока в применении к задаче о расчете дисперсии открытого прямоугольного диэлектрического волновода, покрытого пленкой воды;
> получено условие на резистивном ребре; обосновано граничное условие в точке сингулярности, образуемой контактом идеально проводящего и резистивного ребер;
> исследованы дисперсия и затухание волн прямоугольного волновода с анизотропно проводящими резистивными пленками и МПЛ с резистивной пленкой между внутренним проводником и экраном;
> разработаны алгоритмы и программы расчета базовых структур, используемых для построения полосовых фильтров и поглощающих аттенюаторов СВЧ диапазона;
> теоретически и экспериментально исследовано явление комплексного резонанса;
> показана принципиальная необходимость учета комплексных волн во внутренних дифракционных задачах электродинамики;
> разработаны алгоритм и программа расчета базовых функциональных СВЧ модулей.
Практическая ценность. Результаты исследований позволили: создать эффективные модели и алгоритмы расчета базовых электродинамических структур, используемых при построении широкого класса современных СВЧ (КВЧ) устройств и узлов оптического диапазона; получить (на основе составленных алгоритмов и программ) информацию о спектрах волн (колебаний) этих структур, необходимую для решения дифракционных задач, связанных с расче-
том и проектированием функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн, и определения диапазонных свойств этих узлов.
Результаты, полученные при выполнении диссертационной работы внесены в библиотеки стандартных программ Нижегородских НПО «Кварц» и «Салют», Нижегородского научно-исследовательского института измерительных систем, Института химии высокочистых веществ РАН, использованы в службе информации и связи Горьковской железной дороги.
Обоснованность и достоверность результатов работы. Теоретические результаты диссертационной работы получены строго обоснованными методами частичных областей и поверхностного тока и с использованием полных базисов собственных функций краевых задач Штурма-Лиувилля. Контроль результатов осуществлялся путем исследования внутренней сходимости решений, метода, основанного на стремлении к нулю среднего за период потока мощности собственных комплексных волн через поперечное сечение направляющей структуры, проверки выполнения закона сохранения энергии и граничных условий, экспериментальной проверки, на основе предельных переходов и сравнения с известными тестовыми результатами.
Публикации и апробация. По результатам диссертации опубликовано 110 печатных работ, сделаны доклады на международных научно-технических конференциях "Математическое моделирование, САПР и конструктивно-технологическое проектирование ОИС СВЧ и КВЧ диапазонов"( Тула, 1991), "Сложные антенные системы и компоненты"(Ленинград, 1991), "Фазированные антенные решетки и их элементы: автоматизация проектирования и измерений^ Казань, 1992), "Радиоприем и обработка сигналов" (Н. Новгород, 1993), Научно-технич. конф. ФРК НГТУ (Н.Новгород, 1995, 1997), «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» ( Самара, 1999), «Биофизика полей и излучений и биоинформатика» ( Тула, 1999), “Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникациях и бизнесе (1Т+8Е’2001)” ( Гурзуф, 2001 г.), «Матема-
тические методы в технике и технологиях - 2000» (Санкт-Петербург, 2000), «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001), «ИСТ-2000» (Н. Новгород, 2000), «ИСТ-2001» (Н. Новгород, 2001), «ИСТ-2002»(Н.Новгород, 2002).
Положения, выносимые на защиту:
1. Формулировка новых принципиальных положений для построения математических моделей неоднородных электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами:
а) определение типов электродинамических операторов базовых направляющих структур СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн, исследование пространств волновых чисел их спектров волн;
б) формулировка необходимых и достаточных условий существования в направляющих электродинамических структурах комплексных волн;
в) метод целенаправленного поиска комплексных волн в направляющих структурах;
г) новый метод оценки корректности решений краевых задач, формулируемых в незамкнутой форме;
д) объяснение природы возникновения встречных потоков мощности в поперечно-неоднородных направляющих структурах;
е) доказательство возможности образования взаимных потоков мощности комплексных волн в поперечно-неоднородных направляющих структурах;
ж) формулировка условий на резистивном ребре и его стыке с идеально проводящим ребром.
2. Математическое обоснование явления комплексного резонанса. Рекомендации по его практическому использованию.
3. Решение несамосопряженных краевых задач об исследовании спектров волн ОДВ, в том числе в поглощающей среде и в слоистом ОДВ с разнокоординатными границами.
4. Электродинамический подход к оценке эффективности накачки активного оптического волокна, используемого в лазерных технологиях.
5. Решение несамосопряженных краевых задач об исследовании полного спектра комплексных волн базовых экранированных электродинамических структур: экранированного двухслойного диэлектрического волновода, микрополосковой и волноводно-щелевой линий.
6. Обоснование применимости метода поверхностного тока в задаче о расчете характеристик открытого прямоугольного диэлектрического волновода как базовой структуры для датчиков влажности газа.
7. Обоснование необходимости и правил учета комплексных волн при решении внутренних дифракционных задач электродинамики.
8. Решение краевой задачи об исследовании спектров волн прямоугольных волноводов с анизотропно проводящими резистивными пленками и МП Л с резистивной пленкой между внутренним проводником и экраном.
9. Электродинамические модели и алгоритмы расчета базовых структур для построения полосовых фильтров и поглощающих аттенюаторов СВЧ и КВЧ диапазонов.
10. Универсальная электродинамическая модель и составленные на ее основе алгоритм и программа расчета базовой структуры функциональных модулей СВЧ и КВЧ диапазонов.
Глава 1
СПЕЦИФИКА НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ КРАЕВЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
1.1. Введение
В случае однородных и ступенчато-неоднородных электродинамических структур, заполненных взаимной средой, система уравнений Максвелла, как правило, сводится к уравнению Гельмгольца относительно той или иной функции поля, а краевые задачи при этом в зависимости от записи граничных условий классифицируются как задачи Дирихле, Неймана или Штурма-Лиувилля [36, 51-53]. При невзаимном заполнении из системы уравнений Максвелла можно получить [54] уравнение Гельмгольца относительно скалярной комплексной функции, связывающей электрическое и магнитное поля. В первом случае несамосопря-женность краевой задачи при действительных 8 и |Д является следствием отсутствия тождественного совпадения граничных условий прямой и сопряженной задач [36]. Во втором случае краевая задача является принципиально (при любых условиях) несамосопряженной.
Основной особенностью несамосопряженных краевых задач является [16] комплексность (в общем случае) ее собственных значений. В случае полуодно-родных краевых электродинамических задач (задач на однородных уравнениях с неоднородными граничными условиями) это понятие должно быть расширено: следует говорить уже не о комплексности собственных значений, как таковых, а о комплексности волновых чисел, являющихся решениями дисперсионного уравнения, получаемого из граничных условий. При этом комплексность волновых чисел, имеющая четкую физическую подоплеку, правильно обнаруживается лишь при корректной формулировке граничных условий. Необоснованная приближенность их записи чревата потерей решений, являющихся принципиальными для несамосопряженных задач. В этом смысле последние являются очень «чувстви-
тельными» к записи граничных условий. Несамосопряженные краевые задачи в рамках одной рассматриваемой электродинамической структуры могут давать принципиально различные решения в зависимости от записи граничных условий, выбора математической модели, описывающей структуру.
Стремление дать трактовку физических явлений, являющихся прямым следствием несамосопряженности краевых задач, в рамках устоявшихся концепций теории самосопряженных операторов часто приводило [55] к ошибочным представлениям. Примером этого является неверная трактовка феномена комплексных волн с позиции взаимодействия волн, «порождаемых» самосопряженными операторами [56].
Принципиальной особенностью решений несамосопряженных краевых электродинамических задач является (в отличие от самосопряженных) частотная зависимость их пространственных распределений. В связи с этим, в частности, классификация волн, описываемых решениями несамосопряженных краевых задач, по структурам их полей (как это делается в случае волн, описываемых самосопряженными операторами) оказывается неправомерной.
В несамосопряженных краевых задачах в общем случае отсутствует [57] непрерывность ветвей решений, соответствующих распространяющимся и запредельным волнам. Дисперсионные характеристики указанных волн соединяются [57] ветвями решений дисперсионных уравнений, соответствующих комплексным волнам.
В настоящей главе приводятся результаты исследования особенностей решений несамосопряженных краевых электродинамических задач. Формулируются условия самосопряженности ( несамосопряженности) электродинамических операторов. Рассматривается специфика дисперсионных задач, им соответствующих. Формулируются необходимые и достаточные условия существования комплексных волн в направляющих электродинамических структурах, описываемых несамосопряженными операторами. Дается физическое объяснение причинам возникновения КВ, показывается их общность для направляющих структур различного типа. Рассматривается роль взаимных потоков мощности КВ. Устанавливается
связь решений однородных и полуоднородных краевых несамосопряженных электродинамических задач. Предлагаются обобщенный подход к исследованию спектров волн поперечно-неоднородных направляющих структур и методика целенаправленного поиска решений дисперсионных уравнений, соответствующих этим спектрам.
1.2. Определение типа электродинамического оператора
Как было отмечено выше, волны в однородных и кусочно-однородных электродинамических структурах, заполненных взаимной средой, обычно описываются краевыми задачами на трехмерном уравнении Гельмгольца относительно скалярных функций электромагнитного поля, в частности, продольных компонент электрического и магнитного векторов Герца:
дя;т+ец(о2яге’'”=о, (1.1)
где 6 и - параметры сред, образующих структуру.
После разделения в (1.1) переменных образуются краевые задачи на уравнениях вида:
Д“)=ЕЛ“(у)=о, <1.2)
у=0
с граничными условиями:
ит =0;т = 1;2;...Я, (1.3)
Краевая задача (1.2), (1.3) является [16] самосопряженной при выполнении двух условий:
1. Дифференциальные уравнения, соответствующие прямой и сопряженной задачам [36], совпадают, то есть
Ь(и)^Ь‘(и) (1.4)
2. Краевые условия прямой и сопряженной задач эквивалентны.
В (1.4) Ь*(и) - дифференциальное выражение, соответствующее сопряженной задаче [36], образуемой уравнением:
£*(«)=Е(-О (Лм)(',)=0 (і-5)
(1.5)
В (1.2) и (1.5) п - порядок дифференциального уравнения; черта над функцией означает комплексную сопряженность. Число граничных условий /У* сопряженной краевой задачи, когда область определения функции и разделена на q подобластей, определяется [16] выражением
В том случае, когда указанные условия не выполняются (хотя бы одно из них) краевая задача (1.2), (1.3) является несамосопряженной. При этом несамосопряженной является и краевая задача на уравнении (1.1) для всей электродинамической структуры в целом. Следствием несамосопряженности краевой задачи является [16] комплексность, в общем случае, ее собственных значений.
Для направляющих структур без диссипации энергии (когда 8 и р - действительные величины) уравнение (1.1), записанное в одной из ортогональных систем координат, приводит после разделения переменных к уравнениям, для которых первое условие самосопряженности выполняется. Для выполнения второго
условия необходимо [8, 16], чтобы имело место равенство ТУ* = N. Как показывают результаты математического моделирования направляющих электродинамических структур, это равенство выполняется лишь в весьма ограниченном ряде случаев. В общем же случае электродинамические операторы (как отмечено во введении к диссертации, под электродинамическим оператором понимается совокупность системы дифференциальных уравнений и граничных условий), как правило, оказываются несамосопряженными.
Таким образом, условие
= 2пд- N
(1.6)
-29-
ЛГ*# (1.7)
можно определять как достаточное условие несамосопряженности электродинамического оператора. Рассмотрим конкретные примеры, соответствующие исследуемым электродинамическим структурам.
Направляющие структуры без диссипации энергии
В таких структурах параметры с и ц - действительные величины, экранирующие поверхности - идеально проводящие. Рассмотрим металлодиэлектрические волноводы круглого, рис. 1.1, и прямоугольного, рис. 1.2, поперечных сечений, экранированные полосковую, рис. 1.3, и щелевую, рис. 1.4, открытый круглый диэлектрический волновод, рис. 1.5, в общем случае многослойный.
Функции, описывающие радиальную зависимость поля в волноводах круглого поперечного сечения (рис. 1.1,1.5) удовлетворяют уравнению:
1 СІ\1/
у- +---------------------—+
СІГ Г (ІГ
(1.8)
эквивалентному в данном случае уравнению (1.2). В (1.8) п-0; 1 ;2... Сделав в (1.8) замену
х\1(г)=и(г)/у[г,
приходим к уравнению
т / \ (I и
Д«) = ТТ +
аг
1 2
П
2 , 4
а +
и = 0
(1.9)
Нетрудно показать, что дифференциальный оператор Ь(и) удовлетворяет первому условию самосопряженности (1.4). Следовательно, для выяснения вопроса самосопряженности (несамосопряженности) той или иной краевой задачи
-30-
а)
б)
Рис. 1.1
а) б)
Рис. 1.2
*Y
Рис. 1.3
AY
~*X
-31 -
AY
X
a)
Рис. 1.4
6)
a)
6)
Рис. 1.5
Рис.1.6
для цилиндрических структур (рис. 1.1,1.5) необходимо проверить выполнение эквивалентности граничных условий прямой и сопряженной задач. Рассмотрим различные варианты краевых задач для волноводов круглого поперечного сечения.
Простейшая структура - круглый экранированный однородно заполненный волновод, рис. 1.1 а. Краевая задача для волн в таком волноводе содержит два граничных условия: условие ограниченности поля на оси волновода (при г=0) и условие Дирихле (либо Неймана) на экране. В результате имеем
и„ =0;»» = 1,2;ЛГ = 2.
Для сопряженной краевой задачи
N* = 2n-N = 2;N*=N
(здесь п=2 - порядок дифференциального уравнения), то есть имеет место эквивалентность граничных условий. Таким образом, краевая задача - самосопряженная.
Краевая задача для волн в круглом волноводе, рис. 1.1 б, когда число слоев равно двум при отсутствии угловой зависимости поля содержит 4 граничных условия: условие ограниченности поля при г=0, два условия непрерывности его тангенциальных компонент на границе между слоями и нулевое граничное условие (либо Дирихле для волн типа Е, либо Неймана для волн типа Н) на экране. В результате для симметричных волн
и„=0;т = 1,2,3,4; N -4 АҐ = 2(2»і)-АГ = 4;ЛГ = ЛГ
откуда следует, что краевая задача самосопряженная.
При наличии у волн круглого двухслойного волновода угловой зависимости поля они становятся гибридными: краевые задачи ставятся для двух (электрического и магнитного) векторов Герца, связанных между собой граничными условиями на поверхности, разделяющей слои направляющей структуры. Поперечные компоненты поля и Ну у тангенциальные по отношению к границе раздела,
выражаются через оба вектора Герца. В результате для каждого из них имеем: условие ограниченности при г=0, 3 явных граничных условия на поверхности, раз-
-33-
деляющей слои, и нулевое граничное условие (Дирихле для электрического вектора Герца, Неймана - для магнитного) на экранирующей поверхности. Тогда
ит= 0;и = 1,2,...5;ЛГ = 5 Nt = 2(!п)~ N = 3;И* * N то есть краевая задача для несимметричных волн несамосопряженная.
Краевая задача для симметричных волн в волноводе с произвольным q числом слоев, рис. 1.16, самосопряженная. Действительно, при этом
N = 2(ц-\)+2 = 2д; И* = д(2п)~ N = 2д;М" = N
Краевая задача для несимметричных волн в волноводе с произвольным q числом слоев несамосопряженная потому, что в этом случае
ЛГ = 3(?-1)+2 = 3?-1;
^ =д(2п)-М = д + 1;№
Аналогичное рассмотрение можно провести для краевых задач, описывающих волны в открытом круглом диэлектрическом волноводе (ДВ), рис. 1.5. Разница будет лишь в том, что вместо граничного условия на экране будет задаваться граничное условие на бесконечности (при г —> со). Если это условие задано, то так же, как и для экранированного волновода, краевая задача, описывающая симметричные волны (при произвольном q числе слоев), будет самосопряженной, краевая задача, описывающая несимметричные волны, будет несамосопряженной. В том случае, когда граничное условие при г —» со не задается, краевая задача для волн круглого ДВ всегда несамосопряженная.
Краевая задача для волн прямоугольного волновода с плоскопараллельными слоями, рис. 1.26, ввиду эквивалентности граничных условий:
ЕХ1{у = У,)=ЕХм[у = у,) и Ег{у = у1)=Е:^у = у,)-
(1.10)
Нх, (.У = >', )= Нхы (У = У, ) И Иг, (У = >', )= Нгм (у = у,),
-34-
где \ - номер слоя, является самосопряженной. Действительно, функция описывающая зависимость поля от координаты у, удовлетворяет уравнению:
с12и 2 .
—т + а;и = 0 (1.11)
ау
и системе граничных условий
С/т=0;/я = 1,2,...ЛГ,
состоящей из условий Дирихле или Неймана на верхней и нижней экранирующих поверхностях и граничных условий (1.10). В результате имеем
N - 2(д -1)+ 2 = 2(/, И* = 2qn-N = 2q
(п=2 - порядок дифференциального уравнения). Следовательно, выполняется равенство N* = N, обеспечивающее эквивалентность граничных условий прямой и сопряженной краевых задач, что делает краевую задачу для волн прямоугольного волновода с плоско-параллельными слоями самосопряженной.
В случае однородно заполненного прямоугольного волновода, рис. 1.2а, краевые задачи по осям х и у образуются уравнениями типа (1.11) и двумя граничными условиями (либо Дирихле, либо Неймана), соответственно, на левой и правой, на верхней и нижней экранирующих поверхностях. В результате
М = 2;Ы* =2n-N = 2;N* =N,
что говорит о самосопряженности краевой задачи для волн однородно заполненного прямоугольного волновода.
На рис.1.3,1.4 показаны по две разновидности экранированных полосковых и щелевых линий. Функции, описывающие зависимости поля в выделенных слоях (частичных областях) от координаты у, удовлетворяют уравнению (1.11) и системе граничных условий, число которых ввиду гибридности поля определяется как
АГ = 4(<7-1)+2 = 2(2<зг-1)
(Я - число слоев) и включает в себя условия Дирихле или Неймана на верхней и нижней экранирующей поверхностях и равенства на границах между слоями тангенциальных компонент поля:
являются несамосопряженными.
В тех случаях, когда краевые задачи для полосковых и щелевых линий сводятся к интегральным уравнениям относительно токов на поверхностях внутренних проводников, граничные условия для магнитного поля в (1.12) включают в себя равенства тангенциальных компонент магнитного поля соответствующим компонентам плотности тока на поверхностях внутренних проводников. При этом
также ^ УУ, то есть краевая задача является несамосопряженной.
В том случае, когда направляющая структура образована средами с комплексными 8 и |Д, краевые задачи являются заведомо несамосопряженными ввиду невыполнения условия (1.4). Действительно, в этом случае, как следует из (1.2) и (1.5), дифференциальные операторы прямой и сопряженной задач ввиду комплексности коэффициентов /у и /у не совпадают. В уравнении Гельмгольца
комплексным оказывается коэффициент 8|ЛС02 при функции, относительно которой решается это уравнение.
Собственные значения краевых задач для волноводов, содержащих диссипативную среду, в общем случае являются комплексными величинами. Соответственно, волновые числа собственных волн являются комплексными функциями
(1.12)
Число граничных условий сопряженной задачи определяется как
^ =2<7/?-УУ = 2
Поскольку /V* Ф N, краевые задачи для волн полосковых и щелевых линий
Диссипативные направляющие структуры
частоты. Комплексность волновых чисел приводит к затуханию собственных волн, связанному с тепловыми потерями в диссипативной среде.
Если между диэлектрическими слоями рассмотренных выше слоистых волноводов поместить резистивные пленки и рассматривать их как самостоятельные слои с комплексными 8, краевые задачи, как отмечено выше, будут заведомо несамосопряженными. Однако, если для резистивных пленок выполняется условие 8 » А, где А - толщина пленки, 8 - толщина скин-слоя ее материала, при решении краевых задач можно [8, 49] использовать метод поверхностного тока (МПТ), учитывающий наличие резистивных пленок введением разрывных граничных условий для тангенциальных компонент магнитного поля. Правомерность использования МПТ в задачах подобного типа доказана в [8].
Покажем, что краевая задача для слоистых волноводов с резистивными пленками, формулируемая на основе МПТ, является несамосопряженной. Вопрос о типе оператора, соответствующего такой краевой задаче возникает из-за того, что во всех выделенных частичных областях при использовании МПТ параметры Виц- действительные величины, однако наличие резистивных пленок должно привести к диссипативности направляющей структуры и, следовательно, к комплексности волновых чисел ее собственных волн, то есть направляющая структура должна [16] описываться несамосопряженной краевой задачей. Посмотрим, следует ли несамосопряженность краевой задачи из самой ее постановки при использовании МПТ.
Обратимся к граничным условиям (1.10). Нетрудно видеть, что разрывные граничные условия для тангенциальных компонент магнитного поля, записанные в соответствии с МПТ в месте расположения резистивных пленок, уже не эквивалентны. В результате равенство А^ ^ N перестает выполняться. Следовательно, краевая задача при использовании МПТ, несмотря на недиссипативность выделенных слоев структуры, является несамосопряженной.
Таким образом, любой учет диссипативности направляющей структуры при постановке краевой задачи (и через комплексность параметров 8,|Д сред, обра-
зующих структуру, и путем введения поверхностных токов) делают эту задачу несамосопряженной. При этом комплексность волновых чисел (соответственно, собственных значений) связана с тепловыми потерями.
Для рассмотрения одной и той же электродинамической структуры могут быть выбраны различные математические модели. Выбор математической модели влияет на тип электродинамического оператора, описывающего структуру. Покажем это на конкретных примерах. Рассмотрим круглый экранированный волновод, рис. 1.1 а, с неидеально проводящей внутренней поверхностью и металлический цилиндр, материал которого имеет конечную проводимость, рис.1.6. И та, и другая структуры могут рассматриваться с позиций двух различных математических моделей: на основе импедансного метода и на основе метода согласования полей.
В первом случае на проводящих поверхностях записывается имнедансное граничное условие, учитывающее параметры проводящей среды. Во втором случае проводящая среда рассматривается как слой цилиндрической направляющей структуры, и на границе между слоями записываются условия непрерывности тангенциальных компонент поля.
Краевая задача для круглого экранированного волновода, заполненного недиссипативной средой, поставленная на основе импедансного метода, содержит два граничных условия: условие ограниченности функции поля при г=0 и импе-дансное граничное условие на поверхности г=а, записываемое как £ф / Н2 = IV для волн типа Н и £: / //ф = -IV для волн типа Е, где - поверхностный импеданс. В результате имеем: N = 2; № = 2п - N = 2; Лт* = N. Таким образом, краевая задача, поставленная на основе импедансной модели, с учетом того, что уравнение Гельмгольца при этом описывает поле лишь в области с действительными £ и //, является самосопряженной.
Аналогичным образом можно поставить краевую задачу для проводящего цилиндра. Разница лишь в том, что в этом случае два граничных условия образуются из нулевого граничного условия на бесконечности, что соответствует по-
-38-
верхностным волнам, и импедансного граничного условия на поверхности цилиндра г=а. Краевая задача также оказывается самосопряженной.
Комплексность волновых чисел, поскольку обе рассмотренные структуры диссипативные, является следствием комплексности поверхностных импедансов. Использованные импедансные граничные условия являются, вообще говоря, приближенными и становятся строгими лишь для симметричных волн.
В математической модели, использующей метод согласованных полей, рассматриваемые структуры разбиваются на соосные цилиндрические области (слои), на границах между которыми «сшиваются» тангенциальные компоненты полей. В этом случае при отсутствии угловой зависимости поля (симметричные волны) имеем: N - 4 ( два граничных условия при г=а, нулевое граничное условие в толще металла и условие ограниченности поля при г=0 в экранированном волноводе или нулевое граничное условие на бесконечности в открытом);
#* =2я9-ЛГ = 4(9 = 2). То есть при отсутствии угловой зависимости поля краевая задача (с позиции второго признака самосопряженности) самосопряженная так же, как и при использовании импедансной модели. Неслучайно выше было отмечено, что импедансное граничное условие является строгим лишь в случае симметричных волн.
При наличии угловой зависимости поля краевая задача, поставленная в соответствии с методом согласованных полей, становится несамосопряженной. Действительно, в этом случае на границе между областями записываются условия непрерывности 4-х тангенциальных компонент поля. В результате:
ЛГ = 6;ЛГ =2;ЛГ
В краевой задаче, формулируемой на основе математической модели, использующей метод согласованных полей, не выполняется первое условие самосопряженности, поскольку в проводящем слое (экран или цилиндр) 8 - комплексная величина. Поэтому краевая задача в любом случае (и для симметричных, и для несимметричных волн) является несамосопряженной. Таким образом, показали, что две различные математические модели рассмотрения одних и тех же направ-
-39-
ляющих структур могут приводить к принципиально различным типам краевых задач, что в общем случае влечет за собой получение различных спектров волн.
На тип оператора краевой задачи могут влиять дополнительные граничные условия, в частности, условия, учитывающие геометрические сингулярности электродинамических структур [37]. Введение дополнительных граничных условий, изменяя тип оператора, может изменять спектр волн направляющей структуры.
1.3. Дисперсионные задачи для направляющих структур, описываемых самосопряженными и несамосопряженными операторами
Как было отмечено выше, поля в однородных и кусочно-однородных направляющих структурах описываются краевыми задачами на уравнении Гельмгольца. Разделение переменных в этом уравнении приводит (в случае однородной краевой задачи) к линейному оператору, порождаемому дифференциальным уравнением:
Ци) = о (1.13)
и граничными условиями:
иу(и)= 0; v = 1,2,..., N (1.14)
Если уравнение (1.13) имеет линейно независимые решения:
где п - порядок дифференциального уравнения, решение краевой задачи (1.13),
(1.14) записывается в виде:
и = с,и, + с2и2 + ... + с„и„, (1.15)
где c,,c2v..,cw- некоторые неизвестные постоянные.
Подставляя решение (1.15) в краевые условия (1.14), получаем систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов с{ :
-40-
с,с/,(м,)+ сгі/,(м2)+ - + с„і/,0О= о;
с,и2(и,)+ с2ІГ2(и2) + ... + с„и 2(и„)= 0;
(1.16)
Обозначив через г ранг матрицы
Р Л“,Р Л“г >■ ^«(“Л
(1.17)
можем [16] утверждать, что система (1.16) имеет п — г независимых решений, которым соответствуют п — г независимых решений и краевой задачи (1.13),
(1.14). При этом краевая задача имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда г <пу а также, когда п > N. Если п = N, то однородная краевая задача имеет решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы (1-17) равен нулю. Приравнивание нулю определителя матрицы вида (1.17) или отдельных ее миноров приводит, как правило, к дисперсионным уравнениям волн направляющих структур, описываемых однородными краевыми задачами.
Поскольку уравнения (1.13), получающиеся после разделения переменных в уравнении Гельмгольца, являются уравнениями 2-го порядка, первое условие самосопряженности краевой задачи (1.13), (1.14), если коэффициенты в уравнении (1.13) вещественные функции, заведомо выполняется [16]. Следовательно, тип оператора, соответствующего краевой задаче, определяется граничными условиями (1.14). Вещественность коэффициентов уравнения (1.13) говорит об отсутствии в направляющей структуре диссипации энергии.
Если уравнение (1.13) переписать в виде:
то функции, удовлетворяющие этому уравнению и граничным условиям (1.14), будут собственными функциями краевой задачи, а соответствующие им значения X - ее собственными значениями. Таким образом, собственные значения - это те значения параметра X, при которых однородная краевая задача (1.18), (1.14) имеет нетривиальные решения, являющиеся собственными функциями этой задачи.
Ьи = Хиу
(1.18)
.41 -
Если однородное уравнение (1.18) имеет к линейно независимых решений, удовлетворяющих краевой задаче (1.18), (1.14), и этим решениям соответствует одно собственное значение X, то число к называется кратностью собственного значения.
Краевая задача (1.18), (1.14) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда [16], когда ранг г матрицы (1.17) меньше п. Если ./Ус я, то и г < п. В этом случае краевая задача имеет нетривиальное решение при любом значении X. Следовательно, при N < п любое значение X является собственным. Если N > п, то ранг матрицы (1.17) будет меньше п тогда и только тогда, когда все определители я-го порядка этой матрицы равны нулю, но каждый из этих определителей является целой аналитической функцией X. Поэтому возможны [16] только следующие два случая:
а). Все определители п-го порядка матрицы (1.17) тождественно равны нулю. При этом любое значение X является собственным.
б). Хотя бы один из определителей п -го порядка матрицы (1.17) не равен тождественно нулю. В этом случае собственными значениями краевой задачи могут быть лишь корни уравнения, получающегося приравниванием нулю этого определителя, обращающие в нуль все остальные определители п -го порядка матрицы
(1.17). При этом собственные значения краевой задачи не могут иметь предельной точки.
С точки зрения составления дисперсионных уравнений волн направляющих структур наибольший интерес представляет случай N = п. При этом матрице
(1.17) соответствует квадратный определитель:
Собственные значения краевой задачи, определяющие волновые числа собственных волн направляющей структуры, являются корнями уравнения:
(1.19)
Д(?1)=0
(1.20)
-42-
Если определитель (1.19) не обращается тождественно в нуль, то краевая задача имеет счетное число собственных значений, которые не имеют предельной точки. При этом собственное значение X может быть кратным корнем уравнения
(1.20). В этом случае одно и то же значение X соответствует различным решениям (1.15). В дальнейшем такие значения X будем называть точками жордановой кратности.
В том случае, когда уравнение (1.20) соответствует самосопряженной краевой задаче, значения X являются чисто действительными величинами. В том случае, когда это уравнение соответствует несамосопряженной краевой задаче, значения X являются [16] в общем случае комплексными величинами.
Однородные граничные условия (1.14) соответствуют либо экранированным направляющим структурам с идеально проводящей экранирующей поверхностью, либо волнам открытых направляющих структур, удовлетворяющим нулевому граничному условию на бесконечности. В том случае, когда экранирующая поверхность импедансная или в спектре волн открытой направляющей структуры рассматриваются несобственные волны, краевая задача имеет более общий вид:
Такую задачу, у которой в общем случае граничные условия являются неоднородными, в дальнейшем будем называть полуоднородной. В отличие от (1.16) ей будет соответствовать система линейных неоднородных алгебраических уравнений:
Определим условия, при которых решения полуоднородной краевой задачи
(1.21) могут быть связаны с решениями однородной краевой задачи (1.18), (1.14) и , в частности, являются продолжениями этих решений. Данный вопрос представляет интерес, по крайней мере, уже в связи с тем, что, как известно [8], в открытых направляющих структурах ветви решений дисперсионных уравнений, соот-
(1.21)
с,і7,(0+ с21/,(и2) + ... + с„1/,(«„)= у,; с,и2(и,)+ с2и2(и2)+ ... + с„и2(и„)= у 2;
(1.22)
ветствующих собственным и несобственным волнам, могут объединяться. Для того, чтобы последний факт имел место, главный определитель системы (1.22) при N = п должен обращаться в нуль при определенных значениях Ху являющихся корнями уравнения (1.20). Но в этом случае система (1.22) будет иметь нетривиальные решения только при условии, что и дополнительные определители будут обращаться в нуль при тех же значениях А..
Таким образом, условием объединения ветвей решений однородной и полу-однородной краевых задач (соответствующих этим задачам дисперсионных уравнений) является обращение в нуль главного и дополнительных определителей системы (1.22) при определенных значениях счетного множества являющихся
решениями уравнения (1.20).
Для того, чтобы, по крайней мере, главные определители систем (1.16) и
(1.22) могли обращаться в нуль при одних и тех же значениях А,, входящих в счетное множество, необходимо, чтобы решения краевых задач (1.18), (1.14) и (1.21) при этих значениях А, совпадали. Последнее может иметь место лишь при условии, что решения указанных краевых задач являются решениями интегрального уравнения Вольтерра, записываемого [58] в виде:
п
х
а
(1.23)
где фу- фундаментальная система решений уравнения
вронскианом
функция, входящая коэффициентом в правую часть уравнения (1.21); /я00 ’ коэффициент уравнения: