Равновесные осесимметричные конфигурации в ОТО и в теории потенциала

Посвящаю памяти Наиля Рахимовича Сибгатуллина, который был могил старшим товарищем и соавтором многих работ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 1
1 Основные уравнения и метод
генерирования точных решений 16
1.1 Метрика стационарного осесимметричного гравитационного поля и формализм Эрнст................... 17
1.2 Матричная запись уравнений поля и соответствующая линейная
переопределенная система..............................22
1.3 Метод Сибгатуллина построения точных
решений уравнений электровакуума......................28
2 Равновесные состояния в
солитонных решениях 40
2.1 Расширенное 2Лг-солитопиое решение электровакуума и осесимметричные конфигурации А черных дыр Керра-Ньюмена .......................41
2.2 Решения, симметричные и антисимметричные относительно экваториальной плоскости.......................... 53
3
2.3 Вакуумное солитонное решение: канонический вид, мультипольная структура и ее связь с данными на оси симметрии . . .
2.4 Двойное решение Керра в аналитически расширенном виде и условия равновесия двух керровских частиц........................
2.5 ’ Общее аналитическое решение задачи
равновесия в двойном решении Керра. Комаровские массы и угловые моменты в равновесных конфигурациях...............
2.6 Невозможность равновесия двух керровских черных дыр. Общий закон равновесия, связывающий массы и угловые моменты
с координатным расстоянием................
Примеры равновесных конфигураций
3.1 Частные равновесные состояния
в двойном решении Керра...................
3.2 Равновесие двух статических заряженных масс...............................
3.3 Закон взаимодействия двух сферических заряженных масс в ОТО ........................
3.4 Равновесные конфигурации двух вращающихся заряженных масс...................
3.5 Равновесие в бинарной системе, имеющей одну экстремальную компоненту.................
4 Сравнительный анализ точных и приближенных осесимметричных
решений в ОТО 124
4.1 Трудности сравнения точных и приближенных решений.
Возможные пути их преодоления........................125
4.2 Построение точного аналога приближенного
решения по данным на оси симметрии...................127
4.3 Генерирование приближенных решений из
точных на примере двойного решения Керра.............136
4.4 Связь параметров приближенных решений
с комаровскими величинами ...........................156
5 Равновесные распределения массы
в самогравитирующих галактических дисках 162
5.1 Задача восстановления распределения поверхностной плотности массы
в тонком галактическом диске
по известной кривой вращения.........................163
5.2 Самогравитирующие бесконечные диски
с черной дырой в центре..............................167
5.3 Самогравитирующие конечные диски и
обобщение интегральной формулы Том ре................177
5.4 О верхнем пределе для массы и радиуса диска и об эффекте накопления вещества во внешней части диска при продолжении
плоской кривой вращения..............................183
Заключение Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Существенный прогресс в области точных стационарных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, позволивший приступить к анализу сложных многокомпонентных систем и описанию полей реальных астрофизических объектов, связан с развитием в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого столетия различных генерационных методов, основанных па результатах углубленного изучения внутренних симметрий нолевых уравнений. Это современное направление точных решений развивалось разными исследовательскими коллективами, разрабатывавшими в основном четыре различных подхода.
Теорико-групповой метод, с помощью которого можно генерировать метрики, содержащие произвольное число параметров, был разработан Киннерсли [125], а затем развит в работах Киннерсли и Читра [128, 129, 130,131]. Главные достижения этого подхода связаны с отысканием группы преобразований симметрии для уравнения Эрнста [78], известных под названием преобразований Хоэнселарса-Киннсрсли-Ксантопулооа (ХКК) [114]; с их помощью был построен ряд асимптотически плоских стационарных вакуумных метрик, не имеющих, правда, шварцшильдовского предела [75, 76, 115, 110, 113, 234], а также одно электростатическое решение [111], переходящее в метрику Шварц-шильда при равенстве нулю электрического ноля. В работах [204, 205|
Ц 0-
Кеведо и Машхуи использовали преобразования ХКК для описания внешнего поля деформированной вращающейся массы, однако полученная ими метрика имеет в общем случае очень громоздкий вид из-за неудачного выбора статического “затравочного” решения (несколько более элегантные решения данного типа даны в [57, 58]).
Второе направление развивалось на пути применения к уравнениям Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла метода обратной задачи рассеяния. В основополагающих работах Белинского и Захарова [5, б| данным методом было найдено получившее широкую известность статическое TV-солитогшое решение, подробный анализ которого выполнен в [4]. Явная детерминантная форма вакуумных солитонных решений была получена Алексеевым [2], который успешно применил солитонную технику также и к уравнениям Эйнштейна-Максвелла, построив, в частности, метрику, описывающую нелинейную суперпозицию N суперэкстремальиых источников Керра-Ныомена, расположенных на оси симметрии [1]. Метод обратной задачи рассеяния взят на вооружение представителями различных гравитационных школ [70, 90,117, 219], а подробно его историю и новейшие достижения можно найти в монографии [36].
Третий подход использует для генерирования точных решений преобразования Бэклунда, существование которых для случая стационарных осесимметричных вакуумных полей было показано Харрисоном |100] и Нойгебауэром [185]. Преобразования Бэклунда, теория которых получила дальнейшее развитие в работах [141, 186, 188], позволяют генерировать новые стационарные вакуумные решения, содержащие произвольное число параметров [187]. Наиболее известный результат,
полученный данным методом -- решение Крамера-Нойгебауэра [139], описывающее нелинейную суперпозицию двух черных дыр Керра, разнесенных по оси симметрии. Это решение было обобщено Ямазаки на случай N субэкстремальных керрровских источников [235], который сумел также найти явный вид соответствующих метрических функций, что существенно облегчает анализ возможности равновесных конфигураций. В работах [133, 140, 190] данная техника генерирования была распространена на уравнения Эйнштейна-Максвелла. Особо стоит отмстить статью Крамера [134], в которой получен вариант суперпозиции решения Керра [121] с решением, описывающим поле безмас-сового магнитного диполя; однако, в этом решении невозможен переход к статическому случаю, что существенно ограничивает его физическую значимость. Физически важным результатом, полученным в вакуумном случае Нойгебауэром и Майнелем, является глобальное решение для внутреннего и внешнего гравитационного поля бесконечно тонкого самогравитирующего диска с твердотельным вращением
Важное место в теории и приложениях генерационных методов принадлежит формализму Хаузера и Эраста, который был развит в ряде работ сначала для случая вакуумных полей [101, 103], а затем и для полей электровакуума [102, 104]. В этом четвертом направлении генерационная техника Киннерсли-Читра была записана на языке теории функций комплексной переменной, а само получение новых решений из старых сведено к решению или линейного матричного интегрального уравнения типа Коши, или эквивалентной ему краевой задачи Римана (в литературе последняя известна также иод названием одно-
1191, 192, 193].
родной проблемы Гильберта). Несмотря на то, что Хаузеру и Эрнсту с сотрудниками удалось в основном лишь повторить уже известные результаты, полученные другими методами, или построить суперэкстре-мальные электровакуумные ноля [91, 65], очень важным достижением явилось доказательство гипотезы Героча [89] для вакуумного случая [105]. Отмстим, что Герочем была обнаружена бесконечнопараметри-ческая группа преобразований симметрии [88] для стационарных осесимметричных гравитационных полей, и в [89] он высказал гипотезу о возможности получения произвольного асимптотически плоского решения из пространства Минковского путем надлежащего преобразования из группы. Работа Хаузера и Эрнста [105] дала строгое обоснование возможности построения решений с произвольной мультииольной структурой и стимулировала разработку конкретных способов реализации этой возможности.
Взаимозависимость всех четырех вышеперечисленных подходов к генерированию полей вакуума и электровакуума, а также их принципиальная математическая эквивалентность, была установлена и детально проанализирована в работах [66, 67, 68, 133].
Среди решений, представляющих несомненный физический интерес и построенных генерационными методами несколько позднее, когда конкретное приложение методов генерирования наполнилось бблъшим физическим содержанием, можно отмстить результаты применения простых суперпозиционных соотношений [93] к описанию асимптотически плоского поля массивного магнитного или электрического диполя, имеющего шварцшильдовский вакуумный предел [92, 94, 97, 10], [147, 150, 28, 11]; некоторые из этих решений были затем обобщены
ira случай произвольно деформированной осесимметричной намагниченной массы [195, 156). К безусловным достижениям следует отнести также и построение новых стационарных обобщений решения Шварц-ишльда как в чисто вакуумном случае [96, 59, 18, 63, 108], так и в случае электровакуума [95, 12, 13, 213, 73, 61, 17], которые отличаются соответственно от полей Керра [121] и Керра-Ныомена [194]. Элегантные обобщения этих решений, включая метрики Керра и Керра-Иыомена, на случай бесконечного набора массовых мультивольных моментов были получены в работах [148, 60, 151, 164, 49, 50], благодаря представлению общего статического асимптотически плоского вакуумного решения в виде [149]. Различные аспекты теории черных дыр, включая квантовые, подробно освещены в монографиях [20, 7].
Важно отметить, что среди перечисленных выше решений нет ни одного, которое бы содержало три произвольных параметра, описывающих массу, угловой момент вращения и магнитный дипольный момент, обладало псевдосвклидовой асимптотикой и переходило, скажем, в субэкстрсмалыюе решение Керра (га2 > а2) при отсутствии магнитного поля (известны магнитные обобщения решений Керра и Керра-Ныомена [83, 85]. но они не являются асимптотически плоскими, а уже упоминавшееся решение Крамера [134] не допускает предельного перехода к случаю черной дыры). Впервые решение такого вида удалось построить только с помощью метода Сибгатуллина, который вполне справедливо можно назвать наиболее эффективным подходом к генерированию полей Эйнштейна-Максвелла.
Этот метод был разработан в статьях [22, 23] и подробно описан в монографии [24]. Н.Р.Сибгатуллин сумел творчески развить идеи
5
Хаузера и Эрнста и пойти дальше: он нашел общий вид матричной функции, осуществляющей перевод известного решения в любое новое решение полевых уравнений, и сумел связать параметры группового преобразования с произвольными данными на оси симметрии (в форме комплексных потенциалов Эрнста, [78, 79)). Взяв в качестве “затравочною” решения метрику Минковского, он свел задачу построения стационарных электровакуумных осесимметричных решений, регулярных на каком-нибудь участке оси симметрии, к решению линейного сингулярного (нематричного) интегральною уравнения, что позволило ему выписать формальное общее решение электровакуума в виде отношения определителей с бесконечным числом строк и столбцов [23].
В силу своей общности и рациональности, интегральный метод Си-бгатуллина позволил получить многочисленные принципиально новые результаты, которые в течение длительного времени не удавалось получить другими генерационными техниками. В первую очередь это касается описания внешнего ноля вращающихся намагниченных компактных источников; в работах [179, 177, 178, 180] впервые были построены асимптотически плоские стационарные электровакуумные решения, содержащие произвольные параметры вращательного углового и магнитного дипольного моментов и допускающие предельный переход к метрике Шварцшильда [211]. Решения, включающие дополнительный массовый квадрупольный параметр и поэтому пригодные для описания внешних полей нейтронных звезд, получены в статьях [29, 157, 158, 163, 176]; их физическая интерпретация подтверждена недавними работами, в которых исследуется возможность сшивания
6
внешних и внутренних решений для нейтронных звезд численными методами [27, 217, .37).
Интерес представляют и другие новые решения, например, вакуумная метрика для дифференциально вращающейся массы [109), простейшие асимптотически плоские магнитные обобщения решений Керра и Керра-Ньюмена [152, 153), магнитные обобщения известного стационарного решения Томимацу-Сато с параметром деформации 6 = 2 [224) в рациональных функциях [165, 145, 146), переходящее в отсутствие вращения в метрику Боннора [42], решение для намагниченного вращающегося диска [214]. Некоторые важные аспекты метода Сиб-гатуллина, связанные с построением метрических функций, были развиты в обзорной статье [181], а отличительные особенности метода, особенно в части построения решений в аналитически расширенном виде, обсуждались в [154]. Формальное обобщение метода Сибгатул-лина на случай двух разрезов в плоскости аналитического параметра с целью построения решений для гравитационных и электромагнитных волн, полностью сингулярных на оси симметрии, было приведено Алексеевым [3] (см. также [31, 32]).
Построение с помощью интегральных уравнений Сибгатуллииа 2А'-солитониого решения в аналитически расширенном виде [208, 209] способствовало разрешению кризиса, имевшему место в области генерационных методов из-за вынужденного получения другими авторами электровакуумных солитонных решений исключительно в суперэкс-тремальном виде [1, 190]; кроме того, это решение позволило приступить к рассмотрению задачи равновесия в смешанных системах, состоящих из нескольких суб- и суперэкстремальных компонент, кото-
7
рые раньше были в принципе недоступны для анализа из-за ограниченных возможностей “несибгатуллинских” подходов к генерированию полей электровакуума.
Интерес исследователей к точным решениям уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающим системы нескольких тел, наблюдается с самого начала создания ОТО. В известной работе работе Вейля (232] был получен электростатический класс решений, который описывает систему заряженных массивных источников и представляет в частном случае равенства квадратов масс и квадратов зарядов равновесные конфигурации Маджумдара-Папапетру (144, 198], состоящие из экстремальных источников Райсснера-Нордстрема [207, 196]. В статическом вакуумном случае суперпозиция двух решений Шварцшильда была построена Бахом и Вейлем [34], которые в частности обратили внимание на существование подпорки между двумя источниками, компенсирующей силу гравитационного притяжения шварцшильдовских масс. Результат Баха и Вейля был обобщен в работе Израэля и Хана [119] на случай N источников; было показано, что независимо от знака массы две шварцшильдовские частицы не могут находиться в равновесии, а в случае трех частиц, расположенных на оси симметрии, равновесие возможно, когда по крайней мере одна компонента имеет отрицательную массу. Заметим, что решение Израэля-Хана является частным случаем статической солитониой метрики Белинского-Захарова (6]. Статические системы двух частиц Шази-Керзона [64, 69] были рассмотрены в [64], и в них также присутствует подпорка, физические особенности которой проанализированы в работе [118].
8
Как уже было сказано, в электростатическом вейлевском решении равновесные конфигурации возможны лишь в очень специальном случае, когда заряды но модулю равны массам частиц (|ф;| = Мг). Вопрос же о существовании более общих условий равновесия заряженных частиц долгое время был доступен исследованию только приближенными методами, причем в трех известных таких работах, посвященных равновесию в бинарных электростатических системах [35, 123, 44], были получены различные условия равновесия: в первых двух работах, в которых применялись, соответственно, пост-ныотоновское и пост-пост-ныотоновское приближения, в качестве условий равновесия служили в каждом случае классическое условие (М1М2 = <21(3?.) и одно дополнительное соотношение между массами и зарядами, не зависящие от расстояния между частицами; в третьей же работе из рассмотрения уравнения движения пробной заряженной частицы в иоле Райсенера-Нордстрема был сделан вывод о том, что условие равновесия, справедливое в классической теории, не является необходимым или достаточным в ОТО, а сами равновесные состояния могут зависеть от расстояния. Точное решенение для двух субэкстремаль-ных заряженных источников было предложено Крамером [136], однако оно не описывает систему черных дыр Райсснера-Нордстрема, и из-за несферичности источников условие равновесия в нем не зависит от расстояния. Равновесные состояния в бинарной системе источников Райсснера-Нордстрема. были изучены в работе [201] с помощью решения [62, 160], построенного методом Сибгатуллина, а также более подробно в статье [52], подтвердив правильность результатов Бопнора, полученных приближенным методом [44].
9
Равновесные состояния заряженных вращающихся частиц были получены в случае специального класса конформно -стационарных метрик [200, 120], представляющих собой суперпозицию N источников Керра-Ныомена, у которых заряды по модулю равны массам (М* = |<2ф г = 1, Лг), а угловые моменты параллельны или антипараллель-ны оси симметрии. Для анализа возможности равновесия произвольных масс Керра-Ныомена требуется аналитически расширенное 2ДГ-солитонное электровакуумное решение [208, 209]; для двухчастичных систем с осевой симметрией можно использовать различные записи четырехсолитонного решения (двойное решение Керра Ньюмена) [62, 160, 161], а также более специализированные решения [162, 51]. В работе [51] было доказано, что две антисимметричные частицы Керра-Ныомена могут находиться в равновесии только в специальном (конформно-стационарном) случае равенства масс и квадратов зарядов источников. Две суперэкстремальпые массы Керра-Ныомена с параллельными угловыми моментами имеют больше возможностей находиться в равновесии, чем с произвольно направленными моментами, при этом соотношения между зарядами и массами источников могут быть произвольными [162]. Равновесные состояния между суб-и суперэкстремальной компонентами Керра-Ныомена впервые были найдены в работе [53]. О возможности равновесия двух черных дыр Керра-Ныомена с положительными массами было объявлено Бича-ком и Хоэнселарсом [38], хотя эти авторы и сделали оговорку о том, что в таких равновесных конфигурациях присутствует кольцевая особенность. Решение Бичака Хоэнселарса независимо (и несколько ранее) было получено Томимацу [222], который, в отличие от предыду-
10
щих авторов, сделал вывод о невозможности равновесия черных дыр Керра-Ныомена. Эта конфликтная ситуация была проанализирована в работе [162], результаты которой согласуются с выводом Том и мацу, а также указывают на возможную причину ошибки Бичака и Хоэнсслар-са. Справедливости ради следует все же отметить, что строгого доказательства отсутствия равновесных конфигураций субэкстремальных источников Керра-Ньюмена до настоящего времени дано еще не было.
В то время как равновесные состояния заряженных частиц в ОТО можно отнести к разря/цу явлений ожидаемых, т.к. они имеют аналогии в классической физике, равновесие незаряженных вращающихся источников, возможное из-за неныотоновской силы взаимодействия угловых моментов, которая при определенных условиях способна сбалансировать силу гравитационного притяжения - явление чисто релятивистское. Хотя гравимагнитное отталкивание и исследовалось е помощью приближения пробных частиц Уолдом [229], добиться равновесных состояний впервые удалось только в рамках точных решений. В известной работе Дитца и Хоэнселарса [75] с помощью преобразований ХКК было построено точное решение уравнения Эрнста [78], представляющее собой суперпозицию двух вращающихся источников Шази- Керзона; при определенных значениях параметров достигалось равновесие источников. Этот результат Дитца и Хоэнселарса был впоследствии обобщен на более сложный случай керзоновских частиц [107]. Больший интерес, тем не менее, представляют системы, состоящие из вращающих незаряженных черных дыр, и первое решение подобного типа, известное под названием двойного решения Керра, построили с помощью преобразований Вэклунда Крамер и Нойгебауэр
11
[139]. Поиск равновесных состояний в двойном решении Керра велся многими авторами [197, 122, 223, 228, 220, 112, 77, 135, 159], по первая равновесная конфигурация была получена лишь после того, как Дитц и Хоэнселарс переписали субэкстремальное решение Крамера-Нойгебауэра для случая двух суперэкстремальных частиц с помощью простого математического приема - комплексного продолжения параметров - и перешли таким образом к рассмотрению равновесных суперэкстремальных систем. Высшим достижением Дитца и Хоэнсе-ларса является получение формулы равновесия двух одинаковых суперэкстремальных керровских источников [77], а также выдвижение гипотезы о невозможности равновесия двух черных дыр Керра, обладающих положительными массами [112].
Новый подход к двойному решению Керра стал возможен благодаря использованию метода Сибгатуллина, с помощью которого было построено 2Аг-солитонное вакуумное решение, в частном случае N = 2 представляющее собой расширенное двойное решение Керра. Последнее решение применимо к любому набору су б- и суперэкстремальных керровских частиц, что позволило получить универсальные формулы равновесия [175, 168] и дать строгое доказательство гипотезы Хоэнселарса об отсутствии равновесных конфигураций двух черных дыр Керра [167]. Более того, в [169] был установлен общий закон равновесия двух керровских объектов, связывающий массы и угловые моменты источников с расстоянием, на котором достигается равновесие. Несмотря на то, что равновесные конфигурации двух черных дыр Керра не существуют, равновесия нары субэкстремальных источников все-таки можно добиться, помещая между ними суперэкстремальный
12
источник или даже третью черную дыру |174]. Также было установлено [106], что равновесные конфигурации четырех керровских частиц (и, по- видимому, любого другого четного числа компонент) аналогичны равновесным состояниям в двойном решении Керра.
Попытки воспроизвести приближенными методами известные точные результаты, полученные для двойного решения Керра, долгое время оставались безрезультатными. В этом отношении показательна работа Боннора [45], в которой автор, известный английский специалист в области точных и приближенных решений уравнений ОТО, претендует на описание произвольных бинарных систем вращающихся частиц, хотя в его приближенной схеме оказываются невозможными равновесные состояния. Дискуссия с Боинором (см., например, [46, 170, 172]) в конечном итоге привела не только к обнаружению скрытых дефектов работы [45], но и к разработке нового, универсального подхода к сравнению точных и приближенных осесимметричных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, что позволило, в частности, получить корректные приближенные аналоги двойного решения Керра с наличием равновесных конфигураций [171].
Основной целыо данной диссертационной работы является построение расширенного миогосолитонного электровакуумного решения и его применение для нахождения и описания равновесных конфигураций в стационарных осесимметричных системах двух тел, в частности, получение общего аналитического решения задачи равновесия двух керровских частиц. В небольшой части, отведенной ньютоновской теории потенциала, также ставится задача разработки общих методов восстановления поверхностной плотности в тонких галактиче-
13
ских самогравитирующих дисках бесконечного и конечного радиусов. Большинство полученных оригинальных результатов является следствием творческого осмысления и дальнейшего развития интегрального метода Сибгатуллина. Важным составным элементом проводившихся математических выкладок было широкое использование современных компьютерных программ аналитических вычислений, таких как, например, МаНгетаНса 4 [233].
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В первой главе в историческом контексте дастся обзор развития методов генерации точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, начиная с формализма Эрнста и заканчивая интегральным методом Сибгатуллина построения решений но данным на оси симметрии. Во второй главе методом Сибгатуллина строится расширенная 2N солитонная электровакуумная метрика, позволяющая в частности описывать систему N черных дыр Керра-Ньюмена, расположенных на оси симметрии. В случае отсутствия электромагнитного поля дается простая запись солитонного решения, а все входящие в него параметры выражаются через релятивистские мульти-польные моменты. Для бипарной системы керровских частиц находится общее решение равновесной задачи и в простом аналитическом виде выводится общий закон равновесия двух произвольных керровских компонент. Третья глава посвящена частным бинарным равновесным конфигурациям, составленным из керровских частиц, из частиц Райсснсра- Нордстрома, из заряженных вращающихся источников Керра-Ныомена, а также из двух керровских частиц, одна из которых является экстремальным объектом. В четвертой главе разраба-
14
тывается общий подход к сравнению точных и приближенных стационарных осесимметричных решений, позволяющий, с одной стороны, находить точные аналоги приближенных решений и, с другой стороны, строить приближенные решения из известных точных путем разложения но малым параметрам. Последняя, пятая глава посвящена проблеме восстановления распределения плотности вещества в плоских самогравитирующих дисках но заданным кривым вращения.
15