Образование несферических гравитирующих объектов и эффекты гравитационного линзирования

Оглавление
Введение 4
Образование крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи . . 4
Эффекты гравитационного линзирования.................................. 9
Основное содержание диссертации ............................................. 14
Основные положения диссертации, выносимые на защиту................... 17
1 Приближенная динамика формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи 18
1.1 Уравнения движения однородного вращающегося трехосного эллипсоида 18
1.2 Уравнения движения с учетом диссипации.................................. 20
1.3 Безразмерные уравнения и численные результаты .......................... 24
1.4 Равновесные конфигурации и устойчивость................................. 34
1.5 Обсуждение результатов.................................................. 39
2 Динамика невращающихся ыесферических конфигураций 41
2.1 Уравнения движения...................................................... 41
2.2 Безразмерные уравнения.................................................. 42
2.3 Стабилизация несферических тел относительно неограниченного коллапса .................................................................. 45
2.4 Регулярные и хаотические колебания, сечение Пуанкаре.................... 49
2.5 Обсуждение результатов.................................................. 52
3 Сильное линзирование на Шварцши льдов ской черной дыре 58
3.1 Основные понятия теории гравитационного линзирования.................... 58
3.2 Точное выражение для угла отклонения.................................... 64
3.3 Множественные кольца вокруг черной дыры................................. 70
2
3.4 Диаграмма излучения точечного источника, расположенного вблизи черной дыры.................................................................. 77
4 Гравитационное линзирование на гравитационной волне 81
4.1 Угол отклонения фотона на гравитационной волне.................... 81
4.2 Смещение фотона и его наблюдательные э<|>фекты.................... 87
5 Гравитационное линзирование в плазме 90
5.1 Распространение света в неоднородной плазме в слабом гравитационном
поле.............................................................. 90
5.2 Различные частные случаи для угла отклонения фотона............... 95
5.2.1 Вакуум и однородная среда без дисперсии в присутствии гравитации ............................................................. 95
5.2.2 Однородная плазма в слабом шварцшильдовском гравитационном поле................................................ 96
5.2.3 Слабо неоднородная плазма в слабом шварцшильдовском гравитационном ноле .............................................. 100
5.3 Гравитационный радиоспектрометр.................................. 102
Заключение 105
3
Введение
Диссертация посвящена исследованию динамики образования несферических гравитирующих объектов, в частности приближенным методам изучения формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи и образования очень длинных гравитационных волн, и гравитационному линзировашно на таких волнах, а также другим эффектам гравитационного линзирования, важным при распространении света в космическом пространстве.
Образование крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи
Согласно современным космологическим представлениям основную долю вещества во Вселенной составляет так называемая темная материя. В настоящее время природа темной материи остается невыясненной, несмотря на многочисленные теоретические и экспериментальные исследования. Темная материя проявляет себя посредством гравитационного взаимодействия с окружающими объектами. Существование темной материи устанавливается на основе различных наблюдательных данных: наблюдение за движением галактик в скоплениях, исследование кривых вращения галактик, эффекты гравитационного линзирования, и на основе флуктуаций реликтового излучения.
При исследовании формирования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи часто используется численное моделирование на основе решения .уравнений гидродинамики и уравнений движения большого числа частиц в собственном гравитационном поле. Такое численное моделирование занимает большое количество времени, поэтому представляется важным разработать упрощенный подход. Упрощенный феноменологический подход, основанный на рассмотрении эллипсоидальных фигур, может позволить исследовать и сравнить различные варианты задачи, при этом появляется возможность увидеть некоторые особенности проблемы, которые не
4
выявляются в процессе длительной численной работы [1].
Теория равновесных эллипсоидальных фигур разрабатывалась многими исследователями (Ныотон, Маклорсн, Якоби, Пуанкаре, Чандрасекхар). Последовательное изложение теории приведено в классической книге Чандрасекхара [2]. В ней на основе вириального метода исследованы различные типы самогравнтнрующих эллипсоидов. Рассмотрены случаи идеальной и вязкой жидкостей, динамическая и вековая неустойчивости эллипсоидов из несжимаемой жидкости. В частности, найдены точки динамической и вековой неустойчивости сфероида Маклорена относительно его превращения в эллипсоид Якоби. В работах [3|, [4] вириальный метод был применен для вращающихся самогравнтнрующих газовых сфероидов без давления, был получен рост аксиально несимметричных возмущений в процессе коллапса. Численные исследования коллапсирующих сфероидов без давления были выполнены в [3) и [5]. Динамика невращающейся сферы в двух измерениях была рассмотрена в [0|. Подробный обзор этой тематики сделан в статье [7].
Современные исследования вращающихся фигур связаны, во-первых, с быстро вращающимися звездами, во-вторых, с крупномасштабной структурой Вселенной. Детальное описание эллипсоидальной модели вращающихся звезд можно найти в работах^], [9], [10]. Используя вариационный принцип, авторы вывели и исследовали уравнения эволюции сжимающегося Риман-С эллипсоида, с учетом вязкой диссипации и гравитационного излучения. Решения этих приближенных уравнений позволяют получать равновесные модели и исследовать их динамическую и вековую устойчивость. В статье |11| с использованием этих результатов была исследована вековая неустойчивость, вызываемая вязкой диссипацией, и найдена точка неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена.
Современная теория крупномасштабной структуры основывается на идеях Зельдовича [12] о формировании существенно несферических фигур ("блины Зельдовича") в результате развития гравитационной неустойчивости. Численные эксперименты, начатые в [13], были проведены впоследствии многими группами и выявили сложные структуры рождающихся объектов (см., например, [14]).
В статье Бисиоватого-Когана |1| был развит приближенный подход к образованию крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Были выведены и решены уравнения для упрощенной модели динамического поведения сжимающегося вращающегося сфероида, в котором движение вдоль осей происходит в общем грави-
5
тационном иоле однородного сфероида и иод действием изотропного давления. Подобный подход для исследования движения невращающегося пылевого сфероида с нулевым давлением был использован в работе [5]. Зельдович [15| рассматривал динамику вращающегося пылевого эллипсоида с линейной зависимостью скоростей от координат, в этом случае задача решается точно.
В случае структур в темной материи мы имеем дело с бесстолкновительиыми нерелятивистскими частицами, взаимодействующими только гравитационно. Развитие гравитационной неустойчивости и коллапс в темной материи характеризуются бесстолкновительной релаксацией. Эта релаксация основана на идее о бурной релаксации ("violent relaxation") Линден-Белла |16]. Численные исследования подобной релаксации, основанные на решении уравнений движения большого числа частиц в собственном гравитационном ноле, выполнены, например, в работах (17|, [18], [19]. В результате невзаимодействия частиц в темной материи сильное сжатие не приводит к образованию ударной волны и дополнительным потерям энергии вследствие излучения. Все потери связаны с уходящими частицами, и релаксация состоит только в перемешивании фаз, которое приводит к превращению кинетической энергии упорядоченного движения (коллапса) в кинетическую энергию хаотического движения и созданию эффективного давления и тепловой энергии. В присутствии хаотического движения блин, формирующийся в процессе коллапса, имеет’ конечную минимальную толщину, так как частицы пересекают экваториальную плоскость неодновременно. Формируется эффективное давление, которое останавливает сжатие. Эти эффекты могут быть описаны приближенно в феноменологическом подходе, в котором нет ударных волн и основной процесс переноса состоит в эффективной объемной вязкости, ведущей к релаксации и затуханию упорядоченного движения [1].
В работе [1] была выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамическое поведение сжимающегося сфероида, где релаксация и потери масс, углового момента и энергии принимаются во внимание феноменологически. В отсутствие какой-либо диссипации эти уравнения описывают самосогласованную систему, где действуют гравитационная сила и сила теплового давления. Равновесное решение этих уравнений описывает сфероид Маклорена, где плотность не задастся, а находится самосогласованно, если известна эффективная энтропия.
В данной работе мы выводим и решаем уравнения динамического поведения в простой модели сжимающегося, однородно вращающегося эллипсоида. Мы получаем
G
уравнения для осей с помощью вариации функции Лагранжа эллипсоида. Корректное описание эффектов давления, достигаемое такие подходом, и добавление релаксации позволяют нам получать динамику движения без каких-либо численных сингулярностей. В этой модели движение вдоль осей происходит в общем гравитационном поле однородного эллипсоида и под действием изотропного теплового давления, принимаемого во внимание в приближенном недифференцпальном виде. Релаксация ведет к превращению кинетической энергии упорядоченного движения в кинетическую энергию хаотического движения и увеличивает эффективное давление и тепловую энергию. Все потери связаны с уходом частиц из системы. Коллапс вращающегося трехосного эллипсоида аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, где релаксация и потерн энергии, массы и углового момента приняты во внимание феноменологически. Система решается численно для различных начальных параметров, характеризующих конфигурацию. Подход в данной работе близок к статье Бисноватого-Когана |1], где рассматриваются только сфероиды (а = Ь ^ с) из темной материи (в этом случае мы имеем аналитические формулы для гравитационного потенциала и сил). В описании бурной релаксации и различных видов потерь мы используем подход, аналогичный |1]. В этой работе мы также находим точку вековой неустойчивости сжимающегося сфероида Маклорена, используя выведенные динамические уравнения, а также из анализа равновесных конфигураций. Для этой точки получена простая аналитическая формула.
Применение подобного формализма также дает возможность исследовать динамическую устойчивость ньютоновских газовых самогравитнрующих объектов, в случае отклонения от сферического приближения. Запись уравнений движения для осей однородного невращающегоея несферического тела и расчет коллапса позволяют расширить понимание динамики и получить качественно новые эффекты, связанные с несферичностью.
Динамическая устойчивость сферических звезд определяется средним показателем адиабаты 7 = Для распределения плотности р = рор(т/М), звезда в
ньютоновской гравитации устойчива относительно динамического коллапса, если
[20], [21]. Этот приближенный критерий становится точным для адиабатических звезд с постоянным 7. Здесь ро - центральная плотность, М - масса звезды, т - масса
(1)
7
внутри Лагранжевого радиуса г, так что т = 4тг Jjpr2rfr, М = /? - ради-
ус звезды. Таким образом, сферическая звезда устойчива относительно коллапса в сингулярность, только если 7 > 4/3. Коллапс сферической звезды может быть оста» новлен только если уравнение состояния становится более жестким, например, при образовании нейтронной звезды на поздних стадиях эволюции, или при формировании полностью ионизованного звездного ядра с 7 = 5/3 при коллапсе облака в течение образования звезды. Если уравнение состояния не становится более жестким, то сферическая звезда в ньютоновской теории сколлапсирует в точку с бесконечной плотностью (сингулярность).
В присутствии вращения звезда становится более динамически устойчивой относительно коллапса. Вследствие более быстрого возрастания центробежной силы в течение сжатия по сравнению с ньютоновской гравитационной силой, коллапс вращающейся звезды всегда останавливается на конечной плотности центробежными силами. В этой работе, с использованием формализма, развитого для динамики эллипсоидов, мы показываем, что отклонения от сферической симметрии у невращающихся звезд с нулевым угловым моментом приводят к подобной стабилизации, и несферическая звезда без диссипативных процессов никогда не достигнет сингулярности. Таким образом, коллапс, происходящий в реальности, связан с различными типами диссипации.
Мы рассчитываем динамическое поведение несферической невращающейся звезды после потери устойчивости и исследуем нелинейные стадии сжатия. Мы используем приближенную систему динамических уравнений, описывающих три степени свободы однородного самогравнтирующего сжимающегося эллипсоидального тела. Мы получаем, что развитие неустойчивости ведет к формированию регулярно или хаотически осциллирующего тела, в кагором динамическое движение предотвращает формирование сингулярности. Мы находим области хаотических и регулярных пульсаций с помощью построения диаграмм Пуанкаре для различных значений начального эксцентриситета и начальной энтропии. Для простоты мы ограничиваемся расчетом только сфероидальных фигур 07 = 4/3, и только кратко обсуждаем результаты для 7 = 6/5. Также мы качественно обсуждаем эффекты общей теории относительности на несфе-рический коллапс невращающихся тел.
В работе [1] было оценено излучение гравитационных волн в процессе коллапса и образования крупномасштабной структуры Вселенной в темной материи. Также в [1] указано, что одним из наблюдательных эффектов, связанных с динамикой обра-
8
зования крупномасштабной структуры Вселенной, может выступать гравитационное лннзирование: как на самих объектах, так и на гравитационных волнах, излучающихся при их образовании.
Эффекты гравитационного линзирования
Гравитационное лннзирование является одной из наиболее активно развивающихся областей современной астрофизики [22), [23|, [24). С одной стороны, это разработка теоретических аспектов гравитационного линзирования, построение теоретических моделей, численное моделирование лннзирующих объектов, с другой, - поиски и изучение новых наблюдательных примеров (кратные изображения, дуги), исследования эффектов мпкролинзирования. Кроме того, эффект линзирования имеет значение в других астрофизических явлениях, например, при изучении проблемы темной материи и наблюдениях реликтового излучения.
Важность эффектов гравитационного линзирования заключается, во-первых, в проверке общей теории относительности, гравитационное лннзирование является одним из предсказаний общей теории относительности и интересно с фундаментальной точки зрения. Во-вторых, отклонение света от удаленных объектов дает уникальную возможность изучить как источник, так и объект, выступающий в роли гравитационной линзы.
Согласно общей теории относительности, любое гравитационное поле может менять траекторию фотонов или, иными словами, отклонять лучи света. Таким образом, гравитационное поле может действовать как гравитационная линза: Общая теория относительности предсказывает, что луч света, проходящий около сферического тела массы М с прицельным параметром отклоняется на "угол Эйнштейна":
, 4 ОМ 2Д6.
0г=^Г = — ' <2)
при условии, что £ много больше Шварцшильдовского радиуса Я5:
€ » Я* = (3)
о
В теории гравитационного линзирования [22], [23), [24] одним из основных приближений является приближение слабого линзирования, то есть малых углов отклонения. В случае Шварцшильдовского линзирования на точечной массе это приближение означает, что прицельные параметры для налетающих фотонов много боль-