Оглавление
1 Введение и обзор методов 4
1.1 Теория струн и Б-браны.................................................. 4
1.2 /)-браны и кольцо дифференциальных операторов........................... 8
1.3 Эффективное действие суперсимметричных теорий.......................... 11
1.4 Я = 2 теория Янга-Миллса и Супер КХД................................... 12
1.4.1 Калибровочная теория............................................. 12
1.4.2 Центральный заряд и кривая маргинальной стабильности 15
1.5 Соответствие между гравитацией и калибровочной теорией поля 17
1.5.1 Обзор основных результатов.................................... 17
1.5.2 ЛёБ/КТП соответствие............................................. 19
1.5.3 Решение Клсбапова-Штрасслсра и бариоппая ветвь ................. 22
1.6 Структура работы....................................................... 25
2 Квантование сингулярных многообразий и физика И-бран 27
2.1 Введение............................................................... 27
2.2 Кольцо дифференциальных операторов на подмногообразии.................. 28
2.3 Примеры................................................................ 34
2.3.1 Пересечение гиперплоскостей ..................................... 34
2.3.2 Прямая с двойной точкой.......................................... 37
2.3.3 Точка на сингулярной кривой................................... 38
2.3.4 Точка на С2/Ът орбифолде ..................................... 39
2.4 Выводы и обсуждение.................................................... 42
3 Я = 2 Янг-Миллс и БПС состояния 43
3.1 Введение............................................................. 43
3.2 Действие Я = 2 Супер КХД............................................... 46
3.3 Монодромии пространства модулей Я = 2 теории........................... 48
3.4 Фермиоииая нулевая мода.............................................. 51
3.5 Анализ решения......................................................... 55
3.6 Электрический заряд БПС состояния...................................... 59
3.6.1 Методы вычисления зарядов........................................ 59
3.6.2 Электрический заряд БПС состояния................................ 61
3.7 Выводы и обсуждение.................................................... 65
2
4 АГ = 1 калибровочные теории и голографический принцип 68
4.1 Введение.............................................................. 68
4.2 Конифолд и решение Клебанова-Штрасслера............................... 71
4.2.1 Конифолд....................................................... 71
4.2.2 Решение уравнений супсргравитации.............................. 73
4.2.3 Барионная ветвь решений ....................................... 76
4.3 Линеаризованные уравнения............................................. 78
4.3.1 Гравитон....................................................... 78
4.3.2 и(1)п векторная частица........................................ 80
4.4 Спектр гравитона...................................................... 82
4.4.1 Вычисления на фоне решения КШ.................................. 82
4.4.2 Анализ на барионной ветви...................................... 83
4.5 Спектр векторной частицы.............................................. 85
4.6 Выводы и обсуждение................................................... 87
Заключение 90
Приложение 93
А Доказательство инъсктивиости канонического гомоморфизма............... 93
В Вычисление Т>м для пересекающихся стопок бран......................... 94
В.1 Ортогональные стопки........................................... 94
В.2 Браны, пересекающиеся под произвольным углом................... 96
С Еще об орбифолдах..................................................... 97
Б Линеаризованные уравнения для векторного возбуждения.................. 97
3
Глава 1
Введение и обзор методов
1.1 Теория струн и Б-браны
В конце двадцатого столетия в физике частиц сформировался круг вопросов, не находящих ответа, или, возможно, выходящих за рамки парадигмы квантовой теории поля и ее главного достижения - Стандартной Модели физических взаимодействий. В круг проблем вошли проблема конфайн-мента КХД, проблемы иерархий в Стандартной Модели и Великого Объединения фундаментальных взаимодействий, квантовая теория гравитации и ряд космологических проблем, таких как малая космологическая постоянная и существование темной материи. Как попытка разрешить многие из вышеуказанных проблем, возник амбициозный проект под названием «Теория струн», в основу которого легло представление о частице как о протяженном объекте - струне. В узком смысле теория замкнутых струн есть пертурбативная теория квантовой гравитации в старшем количестве измерений. В частности, самосогласованная теория бозонной струны существует только в двадцати шести, а суперсимметричной струны в десяти измерениях. Однако для получения результатов, применимых к реальному миру, необходимо понимать связь многомерной теории с физикой в окружающих нас четырех измерениях.
За несколько десятилетий своего существования теория струн не дала окончательных ответов на вопросы, поставленные квантовой теорией поля, однако, в рамках этой теории было создано много интересных моделей, дающих качественные разъяснения наблюдаемых эффектов, были разработаны нетривиальные математические методы, нашедшие применения в решениях некоторых задач физики высоких энергий, а также математики. В настоящее время под теорией струн понимается набор связанных физи-
4
ческих теорий и глубоко математизированных методов работы со струнами и производными объектами. Вне сомнения теория струн должна являться видимой частью некоторой возможно более общей теории, описывающей наблюдаемый мир.
В данной работе современные методы, разработанные и используемые в рамках теории струи, применяются для изучения некоторых вопросов квантовых суперсимметричных теорий поля. В ожидании подтверждения «суперсимметричности» окружающего мира суперсимметричные теории являются наглядными моделями для качественного изучения сложных явлений в квантовой теории поля. Ключевыми объектами, возникающими в связи с применением струнных методов к теории поля, являются /)-браиы - многомерные заряженные гиперповерхности.
£М5раиы в теории струи возникают как объекты, на которых заканчиваются открытые струны [1]. Название возникает от наименования граничных условий: открытые струны удовлетворяют условиям Дирихле в направлениях трансверсальиых гиперплоскости. Своему открытию 1)-браны обязаны Т-дуалыюсти, которая является точной симметрией теории струн. Поскольку Р-браны являются динамическими объектами и взаимодействуют с полями Рамон-Рамоновского сектора (РР), они естественным образом заполнили недостающие части спектра объектов, возникающих при преобразовании дуальности.
Изучая безмассовый спектр теории Т-дуальной теории открытых бозонных струн [2], в которой и появляются £)-браны, мы обнаруживаем два типа состояний. Это векторные ноля, компоненты которых лежат вдоль мирового объема £)-6раны, и поля ортогональные к гиперплоскости. Если первые можно понимать как калибровочные поля, живущие на мировом объеме, то последние являются скалярами с точки зрения теории на О-браие. Если обозначить координаты на мировом объеме как £а, а = 0,1,... ,р, то скалярные поля Фт(£а), т — р+1,..., с?— 1 будут задавать геометрическое вложение Ор-браны как гиперповерхности в й-мерное пространство-время. Напомним, что р традиционно обозначает число пространственных измерений гиперповерхности. Мировой объем Бр-браны имеет размерность р +1.
Таким образом, £)-браны являются непертурбативными объектами в теории струн. Аналогично солитонам мы обнаруживаем их в спектре дуальной теории. Безмассовые скалярные поля Фш являются коллективными координатами. Их квантовые флуктуации модифицируют классическую
5
геометрию конфигурации из 13-бран.
Спектр открытой струны [2] содержит также антисимметричный тензор второго ранга В^. Эффективное действие на мировом листе струны М содержит поэтому член, пропорциональный /м В, записанный с помощью дифференциальных форм. В случае граничных условий калибровочное преобразование В —> В + с1А приводит к возникновению граничных членов А. Эти граничные члены можно сократить, если ввести калибровочные преобразования для векторных полей на бране 6А ~ Д. Возникновение калибровочной теории на бране можно представлять как следствие калибровочной инвариантности теории в объемлющем пространстве.
В состоянии теории с несколькими 13-бранами разные концы струны могут заканчиваться на разных /З-бранах. В этом случае минимальная длина струны, натянутой между ними, будет равна расстоянию между браиами. Масса или натяжение струнного состояния зависит от длины струны, поэтому такие струнные состояния будут безмассовыми, только если положение бран совпадает. В случае нескольких совпадающих Д-бран на мировом объеме такой конфигурации безмассовые векторные состояния имеют два индекса (индексы Чана-Патона [2, 3]), нумерующие браны, на которых струна начинается и заканчивается. Состояние допускает фазовое преобразование по индексам Чана-Патона, которое реализуется сохраняющими норму унитарными матрицами группы С/(Аг) в случае N совпадающих гиперплоскостей. Таким образом, на мировом объеме стопки из N 1)-бран существует неабелева калибровочная теория [4, 5]. Теорию на конфигурации из несовпадающих бран в таком случае можно понимать как теорию со спонтанно нарушенной калибровочной симметрией. Именно благодаря этим фактам /З-браны являются интересными для изучения объектами.
Калибровочную теорию на мировом объеме 13-бран можно описать при помощи низкоэнергетического эффективного действия. Поля открытых струн на бране взаимодействуют с полями замкнутых струн, которые в отличие от открытых струн свободно перемещаются во всем пространстве-времени. Поля открытых струн взаимодействуют с сектором Невё-Шварца замкнутых струн, содержащим дилатон ф1 метрику д^и и поле В^и - симметричный и антисимметричный тензоры второго ранга соответственно. Кроме того, как упоминалось, /З-браны являются источниками для полей РР сектора. Низкоэнергетическое эффективное действие 23р-браны явля-
6
ется обобщением релятивистского действия частицы [6]:
Sp = -Гр J dp+1£ е^Ы11\даЬ + Bab + 2™'Fab). (1.1)
Здесь Tp - размерный параметр, обозначающий натяжение Dp-браны, gab и Ваь являются ограничением метрики и антисимметричного тензора на мировой объем Dp-браны. Динамика полей д, В и ф описывается низкоэнергетическим эффективным действием для замкнутых струн, которое есть действие для гравитации в объемлющем пространстве. Соответственно Fab есть тензор калибровочного поля на D-бране. Напомним также, что о! есть параметр обратно пропорциональный натяжению открытых струн. Этот параметр устанавливает масштаб масс для состояний в спектре струны.
Необходимо дать некоторые разъяснения по поводу вида действия (1.1). По аналогии с частицей det 1^2{даъ) дает мировой объем D-браны. Дила-тон связан со струнной константой связи соотношением = р, где д -константа связи открытых струн. Для замкнутых струн константа связи равна д2. Таким образом данное действие есть древесное приближение в теории возмущения.
В действии (1.1) содержится также параметр а'. Можно разложить действие в ряд по этому параметру. Положим В = 0, тогда нулевым приближением будет являться космологическая постоянная - вакуумная энергия D-браиы. В следующем приближении мы получим действие калибровочной теории f dp+1£ y/gF2 с индуцированной метрикой на D-бране. Далее следуют старшие поправки содержащие более массивные струнные состояния.
Зависимость от F в (1.1) определяется Т-дуальностью [7, 8, 9], и, как можно видеть из предыдущего абзаца, согласуется с ожиданием найти на бране калибровочную теорию. Комбинация В -f- 2na'F является инвариантной относительно упомянутых выше калибровочных преобразований на мировом листе струны.
Существование калибровочной теории на мировом объеме является одной из основных причин интереса к D-бранам. Естественно было бы пытаться построить модель с DS-бранами, в которой четырехмерный мировой объем бран был физически наблюдаемым пространством-временем. Работа в этом направлении принесла интересные результаты, которые мы будем обсуждать впоследствии. Примечательно, что такие модели существовали
7
и до открытия Б-бран, так что последние естественным образом заняли место использовавшихся в этих моделях объектов. Можно надеяться, что связь струн и калибровочных теорий позволит больше узнать о струнах в пространстве многих измерений, и, что интересно, позволит узнать больше о калибровочных теориях из сведений, известных нам о теории струн.
Поскольку £Ч5раны реализуют граничные условия и, таким образом, могут рассматриваться как граница пространства большей размерности, а также могут нести электрический и магнитный заряды, они естественным образом соответствуют классическим решениям в супергравитации (см. например [10] и содержащиеся там ссылки). Такое представление 1)-6ран, как мы увидим позднее, позволяет глубже понять связь между десятимерной теорией струн и теорией поля на мировом объеме £)-бран.
Изложенные выше простые факты о струнах и брапах будут использоваться в дальнейших разделах для пояснения современных методов теории струн в применении к калибровочным теориям. Стоить отметить, что в целом речь шла о бозонных струнах. Однако все вышеуказанные результаты обобщаются и на случай суперсимметричной теории струн (суперструн). В оставшихся разделах введения мы расскажем о некоторых успехах теории струн и Д-бран в изучении физических теорий. В разделе 1.2 мы рассмотрим математические аспекты возникновения иеабелевых степеней свободы на Д-бранах. В разделе 1.3 мы изложим основные достижения теории струн и теории поля в области построения эффективных действий супер-симметричных теорий. Раздел 1.4 посвящен введению в N = 2 суперсим-метричную теорию Янга-Миллса и описанию свойств БПС состояний в этой теории. В разделе 1.5 мы кратко расскажем о голографическом принципе, АбЭ/КТП соответствии, и о том, как теория струн делает предсказания о свойствах калибровочных теорий в режиме сильной связи. В заключительном разделе 1.6 описывается структура и содержание основной части данной работы.
1.2 1)-браны и кольцо дифференциальных операторов
Причиной возникновения неабелевых алгебраических структур в теории открытых струн является представление струны как матрицы, в силу наличия у струны двух концов, действующей в некотором гильбертовом пространстве. Матричная структура теории открытых струи позволила ввести
8
неабелевы индексы у волновой функции струнного состояния при помощи индексов Чана-Патона. Открытие D-бран позволило осознать геометрическую природу этих индексов [1, 5]. В этом разделе мы обсудим геометрический подход в применении к открытым струнам и D-бранам.
Изучение геометрических объектов, многообразий, как правило, начинается с изучения топологии, однако, методы алгебраической геометрии, в отличие от топологических методов, позволяют более полно описывать изучаемые многообразия. Естественным, с точки зрения алгебраической геометрии, способом описания многообразия является задание алгебры функций на нем или, более точно, структурного пучка функций. Такой подход позволяет более тонко описывать структуру изучаемого объекта. В частности, структурный пучок позволяет различать структуру таких нетопологических многообразий, как кратная точка на прямой (стопка из совпадающих D-бран), пересечения прямых (гиперплоскостей), что невозможно было бы сделать с помощью топологического подхода.
Наиболее естественным методом получения алгебры функций на многообразиях является редукция алгебры из аффинного пространства, в которое вложены исследуемые объекты. Алгеброй функций на последнем являются обычные полиномы. Алгебра на подмногообразии определяется как фактор кольца полиномов по идеалам, порождающим подмногообразие. Таковыми идеалами, очевидно, являются множества всех функций, обращающихся в ноль в точках принадлежащих подмногообразию.
В работе Меркулова [11] был предложен метод построения квантовой алгебры на многообразии М, которая возникала в результате деформационного квантования алгебры функций на кокасательном расслоении Т*М, т.е. функций координат и импульсов. При деформационном квантовании обычное произведение функций заменяется на ассоциативное, но некоммутативное произведение функций, содержащее «параметр некоммутативно-сти», при стремлении к нулю которого получается обычное коммутативное произведение. Указанный параметр имеет, конечно, смысл физической константы Планка. В работе [11] в качестве некоммутативного произведения было предложено использовать произведение Мойала (Moyal star product).
Метод, предложенный Меркуловым, приводит к результатам, представляющим интерес с точки зрения физики, описанной в предыдущем раз-
п Л ( д2 92
Ь(х\Рь)ФС,Рс)
х°=ха
Рах$а
(1.2)
9
- Київ+380960830922