Квантовые группы и некоммутативные аналоги моделей пространства-времени

0.1. Введение
0.1.1. Актуальность темы и постановка задачи.
Пространство-время является фундаментальным понятием, лежащим в основе наиболее значимых физических теорий. Поэтому изучение возможных моделей пространства-времени (или кинема-тик) имеет принципиальное значение прежде всего для физики. В нерелятивистской физике пространство и время рассматривались независимо друг от друга, что математически связано с расслоен-ностью кинематики Галилея. В специальной теории относительности было установлено, что время и пространство представляю! неразрывную сущность и должны рассматриваться как единый объект: кинематика Минковского с псевдоевклидовой геометрией и нулевой кривизной. Общая теория относительности привнесла в физику понятие кривизны. Кинематики (анти) де Ситтера с постоянной (положительной) отрицательной кривизной представляют простейшие модели релятивистского пространства-времени с кривизной.
Развитие физики периодически приводит к такому положению. когда необходимо изменить некоторые из фундаментальных принципов, лежащих в основе наших представлений о строении вещества. Эта неудовлетворенность современным состоянием физики связана, в частности, с расходимостями, появляющимися в теории поля. Применяя известную процедуру перенормировки, расходимости во многих случаях удается устранить, однако искусственность этого приема и наличие неперенормируемых взаимодействий не позволяют считать проблему закрытой.
В качестве исходного пункта преодоления указанных трудностей. по мнению И.Б.Тамма [47], может служить понятие координаты частицы. Возможность сколь угодно точного измерения координаты частицы в классической физике вступает в противоречие с основными фактами физики высоких энергий. Действительно, координаты частицы можно измерить путем рассеяния на ней пробных частиц, например, фотонов или мезонов. Увеличение точности измерения требует перехода к более высоким энергиям, но в этих условиях процесс рассеяния будет сопровождаться рожде-
1
нием новых частиц. Невозможность различать частицы, участвовавшие в первичном акте рассеяния, и мног очисленные вторичные частицы, находящиеся на некотором конечном расстоянии от исходной. ограничивают точность измерения координат.
В квантовой физике неопределенность в измерении физических величин выражается в том, что операторы, соответствующие 31 им величинам, не коммутируют. Естественно поэтому считать координаты частицы некоммутирующими друге другом операторами. Такое предположение было выдвинуто в работе [143] и показано, что некоммутирующим координатам отвечают импульсы, которые по-прежнему можно считать обычными числами, но которые теперь образуют не псевдоевклидово, а римано-во простансгво с ненулевой кривизной. Координаты определяю! -ся как операторы бесконечно малого сдвига в импульсном пространстве. Таким образом, построение теории поля, учитывающей принципиальную неточность определения координат, можно проводить руководствуясь чисто геометрическим принципом выбором той или иной геометрии пространства импульсов. Кван-тванные пространственно-временные координаты [143], приводящие к искривленному пространству импульсов, представляют первый пример применения некоммутативной геометрии в квантовой физике. Простейшая геометрия искривленного пространства
геометрия пространства де Ситтера с постоянной кривизной — использовалась, вместо плоского пространства Минковского. в качестве модели импульсного пространства в различных вариан-1ах обобщения квантовой теории поля [19]—[24], [4]-[7], [31]-[33]. [46. 47. 126].
Универсальные константы, такие как фундаментальная длина /. фундаментальная масса А/, связанные соотношением / = где Н - постоянная Планка, с - скорость света, с необходимостью появляются в таких теориях [45],[134]. Интересные соображения относительно фундаментальной длины / (то есть пространственно-временного интервала, на котором начинает сказываться неком-мутативность координат) приведены в работе В.Г.Кадышевского [19]. Универсальные (то есть справедливые для всех частиц) константы с и Тг появляются в теории относительности и квантовой механике. В теории поля универсальной постоянной является кон-
2
сганта Ферми (7 для слабого взаимодействия. Если допустить, что она является ‘’масштабом природы” и извлечь из неё множители Ь и с. то получается как раз универсальная константа длины / = 7 • 1(Г17 см.
Естественно в качестве обобщения псевдоевклидового пространства импульсов выбрать пространство де Ситтера /2(1,3), имеющее постоянную отрицательную кривизну [21], которое задастся как сфера
в пятимерном псевдоевклидовом пространстве А/(1,4). Переходя к внутренним бельтрамиевым (или геодезическим) координатам Ра = Уа/у^у = 0,1,2,3 и учитывая, что псевдовращения в плоскостях {.Уо^уа} порождают сдвиги в направлении р0, нетрудно найти оператор сдвига на вектор к в импульсном пространстве
где р = (РьР^Рз)* Наиболее характерной особенностью сдвига является его некоммутативность с^0(к)р ф </0(р)к-
Поскольку в каждом акте элементарного взаимодействия (то есть поглощения или испускания фотона или мезона) происходи! сложение импульсов взаимодействующих частиц, то изменение закона сложения больших импульсов приводит к изменению закона взаимодействия частиц в области малых пространственно-временных интервалов.
Операторы координат хп определяются как инфинитезималь-ные операторы сдвига в пространстве импульсов, то есть предполагается. что
при малых к. Используя (0.2), для операторов скалярных волновых функций <р(р) в бельтрамиевых координатах получены [21] выражения
(0.1)
(0.2)
4>(с10(к)р) = (1 - гкх)ф(р)
(0.3)
(0.4)
3
совпадающие с постулированными в [143], относительно которых было установлено, что оператор I имеет непрерывный спектр, простирающийся от минус до плюс бесконечности, а каждый из операторов хп - дискретный спектр вида т/, где т = 0. ±1, а / -
некоторое положительное число - квант пространства.
В обычной теории поля известно, что уравнения теории можно записать в четырехмерном евклидовом пространстве координа 1 или импульсов, проделать в том же пространстве все промежуточные выкладки, а в конечных выражениях провести аналитическое продолжение от евклидовых величин к псевдоевклидовым. Имея в виду такой путь обобщения теории, в работах [6, 7], [31]—[33] построена теория поля с использованием эллиптического пространства постоянной кривизны 54 в качестве импульсного пространства.
В упомянутых обобщениях теории поля обычный закон сохранения 4-импульса выполняется только в случае упругого рассеяния. В общем случае стандартный закон сохранения энергии-импульса отсутствует’. В работах В.Г.Кадышевского [23. 24]. исходя из 1 рансляционно-инаариангной (то есть явно учитывающей сохранение 4-и.мпульса) формулировки квантовой теории поля строится обобщенная теория поля. При этом трансляционная инвариантность сохраняется (то есть в обобщенной теории закон сохранения 4-импульса является стандартным), а относительные импульсы модифицируются так, чтобы имела место симметрия относительно сдвигов р-пространства постоянной кривизны, в качестве которого используется пространство анти де Ситтера 1)(2.3). Такой способ обобщения теории поля приводит к модификации понятия относительных пространственно-временных координат в области малых масштабов.
Более широко подошел к проблеме использования в геории поля неплоского пространства импульсов И.Е.Тамм [46]. Заметив, что импульсы физических частиц не инвариантны относительно трансляций в пространстве импульсов, так как в противном случае масса частицы изменялась бы весьма сложным образом, зависящим от направления и величины скорости движения, он предложил рассматривать импульсные пространства инвариант-
4
ные только относительно лоренцевых преобразований (но не сдви-I он). Ясно, что такие пространства уже не будут пространствами постоянной кривизны. Метрический тензор (/а/3 такого пространства он предложил выбрать в виде (в некоторой системе координат)
. 9а$ = 9°а/(р2) +Pr,P0h(p2), (0-5)
где g®# = (1, — 1, — 1, — 1), а произвольные функции / и h являются функциями лоренцевского инварианта р2 = д0'а^рар/), "а которые накладывается ряд условий, вытекающих из требований, чтобы метрика не имела особенностей, интегралы, встречающиеся в теории ноля, были конечны, чтобы выполнялся принцип соответствия. Операция сложения векторов q = р\ р2 определяется гео-мет ричсски с помощью геодезических и параллельного переноса в римановом пространстве.
Упомянутые выше обобщения квантовой теории поля имею! общую черту — они предполагают отказ от пространства-времени с коммутативными координатами и переход тем или иным (геометрическим) способом к некоммутативным моделям пространства-времени.
В последние годы появился новый подход к изучению некоммутативных объектов — квантовые группы и алгебры, представляющие собой, с точки зрения алгебраических структур, некоммутативные и некокоммутативные алгебры Хонфа. Этот подход является активно развивающейся областью исследований как в математике, так и в теоретической физике.
Квантовые группы и алгебры Ли возникли при изучении поведения двумерных интег рируемых систем н квантовой теории поля и статистической механике в рамках квантового метода обратной задачи. В работах Л.Д.Фаддеева, Л.А.Тахтаджяна, Е.К.Склннина.
II.II.Кулиша, Н.Ю.Решетихина, [41, 48. 82] (см. также обзоры [113. 17, 83]) возникли новые алгебраические структуры, обобщения которых позднее получили название ”квантовые группы”, ‘'квантовые алгебрьГ. Похожие структуры появились и при решении некоторых моделей статистической физики [2] и при изучении факторизованного рассеяния солитонов и струн [16, 151]. Объединяющим началом всех этих исследований стали уравнения Янга-
о
Бакстера.
Олин из первых примеров описан в работе [84], где введена <С-алгебра Ач, порожденная элементами а, 6, с, с1 с коммутационными соотношениями
аЬ = сфа, ас = дса, Ьс1 = qdb, сс1 = qdc, а(1—с1а = {q — q~l)bc. (0.6)
Здесь комплексный параметр (/еС\ {0} служит мерой некомму-тативности. При </ = 1 поро?кдающиее элементы алгебры коммутируют между собой.
В работе П.П.Кулиша, Н.Ю.Решетихина [29] и Е.К.Склянина [43] была введена (С- алгебра Я/, с образующими Я. Л'* и соотношениями
[Я, х*\ = ±2Х±, [Х+, Х-] = (0.7)
где деформационный параметр /г € С играет роль постоянной Планка. При /г —> 0 эти соотношения переходят в коммутационные соотношения алгебры Ли $1(2), так что алгебру 1'ь можно рассматривать как деформацию - квантование - универсальной обертывающей алгебры и$1(2) алгебры Ли «/(2).
В.Г.Дринфельдом было замечено [80. 13], что квантовые группы есть ни что иное, как алгебры Хопфа , которые во многих случаях являются деформациями универсальных обертывающих алгебр Ли. Приблизительно в то же время М.Джимбо получил то же соотношения исходя из других соображений [105].
В работе Е.К.Склянина [44] в алгебре £4 (0.7) введено коумно-жение
Д(1) = 101, Д(Я) = Я® 1 + 10 Я.
А(Х±)=Х±®е~^+е^®Х±, (0.8)
которое вместе с заданием антипода
5(Я) = -Я, 5(Х±) = -е-^Х±ейт (0.9)
и коединицы е
е(1) = 1, е(Н) = е(Х±) = 0 (0.10)
6
превращают её в некоммутативную и некокоммутативную алгебру Хоифа.
Основные алгебраические формулы квантового метода обра1-ной задачи, приводящие, в частности, к примеру (0.6). имеют вид
Здесь Я е М„г(<С), Т\ = Т0 /, Т'2 = I ® Т, где Т - матрица я х п с матричными элементами из некоторой алгебры А. Нижние индексы 12, 13 и 23 указывают на способ вложения М„г(<С) в Л/„з((Г). согласно выделению пар сомножителей в тензорном произведении (Г"® <сп ® Сп. Например, Я12 € Мпз(С) действует как матрица Я в тензорном произведении первых двух сомножителей и как I в последнем сомножителе.
Отметим несколько существующих направлений, связанных с реализацией идей о квантовании симметрий в физике (см. обзор [18]). Обнаружились возможности применения квантовых групп Ли для классификации элементарных частиц и в исследованиях по ядерной спектроскопии, генетического кода [50]. Другое направление, связанное с некоммутативной геометрией, предложено в работах [75. 76, 65], где исследуются стандартные теоретико-полевых модели (Салама-Вайнберга и др.) на некоммутативном проем -ранстве-времени. Многочисленны попытки деформации групп Лоренца и Пуанкаре и соответствующих этим деформациям построений квантовых версий пространства-времени [136. 120].
В последнее время в работах П.П.Кулиша, Я.Л. Ляховского и др. [114]—[116], [53] разработан метод квантовых деформаций универсальных обертывающих алгебр И(д) для алгебр Ли д преобразованием подобия копроизведения Д^(а.*) = ЯД^*)!7”1 с помощью твиста Я = £|/;(1) 0 /;2) € и(д) ® И(д). При этом умножение и коединица сохраняются, а антипод и универсальная Я-матрица преобразуются по формулам
(0.11) (0Л2)
5(,)(х) = м5(а:)«-1, Л(г) =
(0.13)
где
7
(0.14)
За счеі выбора подходящего твиста Р тривиальную і?-матрицу можно преобразовать в нетривиальное решение квантового уравнения Янга-Бакстера и таким образом получить нетривиальную деформацию универсальной обертывающей как для алгебр Ли. так и для супералгебр [69].
Релятивистские квантовые кинематики изучались преимущественно с точки зрения деформации алгебр Ли их групп движений. Так кинематика к-Минковского предложена в работах [149]. [111]. [123], в которых коммутационные соотношения временной и пространственных образующих находятся из деформации алгебры Ли группы Пуанкаре в виде
где аи есть 4-вектор в пространстве Минковского, определяющий направление деформации у = причем произвольный выбор и{( эквивалентен описанию к-деформации в пространстве-времени в произвольном базисе [111]. В системе единиц, в которой Тг = с = 1. параметр деформации А = к~1 имеет размерность длины и може! рассматриваться как фундаментальная длина, а к можно интерпретировать как фундаментальную массу, так как [к] = [масса].
Стандартная ^-деформация кинематики Минковского, задаваемая времениподобным вектором ац = (1.0,0.0), = 1. харак-
теризуется соотношениями (г,/с = 1,2,3)
Пространственноподобный вектор аи = (0,1,0,0), аиа*1 = -1 определяет тахионную к-деформацию (р = 2,3)
Наконец, светоподобный вектор а= (1,1,0,0), = 0 приводит
к кинематике к-Минковского в базисе светового конуса
(0.15)
[До, Д*2‘] — Х{, [д*й Д’/г] 0.
К
(0ЛС)
8
2 2
[*01*1] = (*1 *0)1 [*0, *р] */>г
К /с
[хихр] = -хр, [*2,*з] = 0, (0.18)
/с
предложенной в работе [60] под названием квантовая алгебра Пуанкаре нулевой плоскости.
Для наших целей особый интерес представляют квантовые век-юрные пространства, отвечающие квантовым ортогональным гр\ н-пам, которые введены в работе [38]. Характерной особенностью этих пространств является некоммутативность их образующих аналогов декартовых координат обычных векторных пространств. Это открывает новые возможности для изучения некоммутативных аналогов кинематик — моделей пространства-времени, а следовательно, и возможных обобщений поведения и законов взаимодействия частиц в области малых пространственно-временных интервалов. Данная проблема является актуальной в настоящее время, о чем свидетельствуют современные физические теории и модели, такие как квантовая теория поля с фундаментальной массой и электромагнитной длиной, космолог ия и кванювая грани танин. уравнения Янга-Милса-Хиггса в (1+2)-мерном пространствах де Ситтера и анти де Ситтера, квантовый эффект Холла, исследования суперинтегрируемых систем на пространствах постоянной кривизны в подходе А.Н.Сисакяна, Г.С.Погосяна [97], [10*2]—[104]. [107]—[110] и другие.
0.1.2. Цель работы.
Целью настоящей работы является построение некоммутативных аналогов кинематик, то есть релятивистских (кинематики Минковского, де Ситтера, анти де Ситтера) и нерелятивистских моделей пространства-времени с нулевой (кинематика Галилея) и постоянной ненулевой кривизной (кинематика Ньютона), а также экзотических кинематик Кэрролла, на основе квантовых деформаций ортогональных групп и соответствующих им квантовых пространств.
0.1.3. Объекты и методы исследования.
Теоретически возможные кинематики, удовлетворяющие естественным физическим постулатам: пространство изотропно, а
9