Математическое моделирование свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферических объемах

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧАХ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ
1.1. Вычислительный эксперимент как основной инструмент исследований явления переноса
1.1.1. Современная технология и методология проведения теоретических исследований
1.1.2. Этапы вычислительного эксперимента
1.1.3. Математическое описание функционирования детерминированных систем
1.1.4. Фундаментальные уравнения явлений переноса
1.2. Основные подходы при организации вычислительных процедур
1.2.1. Дискретизация непрерывной области решения
1.2.2. Метод конечных разностей
1.2.3. Преобразование уравнений явлений переноса
1.2.4. Конечно-разностные схемы
1.2.4.1. Эллиптические уравнения
1.2.4.2. Параболические уравнении
1.3. Идентификация предметной области как класса задач явлений переноса
1.3.1. Математическая модель свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости
1.3.2. Исследование естественной конвекции в сферических резервуарах
1.3.2.1. Экспериментальные исследования и
40
47
56
58
58
58
61
62
66
68
68
70
73
75
77
77
77
80
приближенные модели
1.3.2.2. Численное интегрирование
1.4. Выводы
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В СФЕРИЧЕСКИХ РЕЗЕРВУАРАХ
2.1. Обобщенная формулировка уравнений Навье - Стокса
в приближении Обербека Бусинеска
2.1.1. Основные допущения и векторная форма записи уравнений Обербека - Буссинеска для вязкой несжимаемой жидкости
2.1.2. Начальные и граничные условия
2.1.3. Постановка задачи для осесимметричного случая
2.1.4. Безразмерная форма записи уравнений модели
2.2. Переход от естественных переменных к переменным
Гельмгольца
2.2.1. Координатный способ перехода к переменным Гельмгольца для сферической осесимметричной задачи
2.2.2. Вычисление ротора от уравнений Обербека -Буссинеска
2.2.3. Постановка граничных условий
2.3. Выводы
ГЛАВА З.СИНТЕЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ
3.1. Квазинеявная конечно-разностная схема
3.1.1. Дискретизация уравнений для вихря, функции тока и поля температур
3.1.2. Аппроксимация граничных условий
3.1.3. Адаптация метода верхней релаксации для
решения дифференциального уравнения связи функции тока и вихря 82
3.1.4. Условия устойчивости конечно- разностной
схемы и реализация численного решения 85
3.2. Неявная конечно-разностная схема 95
3.2.1. Дискретизация уравнений для вихря, функции тока и поля температур 95
3.2.2. Конечно - разностная модификация граничных условий 97
3.3. Реализация вычислительных процедур 100
3.3.1. Анализ условия устойчивости для явной схемы 100
3.3.2. Динамика гидротермических полей 102
3.4. Выводы 105
ГЛАВА 4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ 107
4.1. Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 1-го рода 107
4.1.1. Методика проведения расчетов 107
4.1.2. Структура гидротермических полей и
обобщение результатов 109
4.2. Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 2-го рода 117
4.2.1. Постановка задачи 117
4.2.2. Структура гидродинамических и тепловых полей 119
4.3. Прогнозирование времени бездренажного хранения криогенных жидкостей 124
4.3.1. Исходные данные и основные допущения 124
4.3.2. Результаты и практические рекомендации ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Появление широкодоступных и быстродействующих ЭВМ резко изменило характер научных исследований - наряду с теоретическим и экспериментальным подходом получил развитие так называемый вычислительный подход (вычислительный эксперимент). Задачи, которые сейчас с малыми затратами решаются на вычислительных комплексах за несколько секунд, всего 20 - 30 лет назад известными в то время численными методами на существовавших ЭВМ могли быть решены лишь за несколько лет.
Особенно роль и значение нового подхода проявились при решении задач явлений переноса в ракетно-космической технике, теплоэнергетике, химической и пищевой технологиях, гео- и астрофизических исследованиях, охраны окружающей среды и т.д., что потребовало внедрения в практику методов точного расчета теплообмена, позволяющих учитывать сложные условия па границе. В настоящее время наиболее полно исследован теплообмен при вынужденном движении жидкости. В то же время все большее распространения получают устройства, в которых происходит свободная конвекция. В первую очередь это относится к атомным энергетическим установкам, радиоэлектронным устройствам, системам электроотопления, криогенике и др. В связи с этим значительный интерес представляет исследование свободной конвекции в наиболее часто применяемых на практике геометрических областях, например, в сфере.
Главное различие между свободной и вынужденной конвекцией заключается в самой природе течения. При вынужденной конвекции наложенное внешнее течение в общем случае известно, а при свободной конвекции течение возникает в результате взаимодействия разности плотностей с гравитационным или каким-либо другим полем массовых сил, и поэтому оно постоянно связано с полем температуры и зависит от него. Таким образом, возникающее течение заранее не известно, и его нужно определить из совмест-
ного рассмотрения процессов тепло - и массообмена и механизма течения жидкости.
Математическая модель такой физической картины обычно представляется уравнением Навье - Стокса в виде Обербека - Буссинеска с соответствующими начальными и краевыми условиями, которые в общем случае не решены. Поэтому для получения информации о свободноконвективном течении и о параметрах теплообмена необходимо применять специальные вычислительные процедуры с их реализацией на компьютерных системах.
Диссертация выполнялась в рамках госбюджетной НИР Воронежской государственной технологической академии по теме «Математическое обеспечение структурного и параметрического анализа технологических, технических и информационных систем» (№ гос. рег. 01.20.0011235).
Цель работы - разработка математических моделей и пакета прикладных программ для проведения и анализа результатов вычислительных экспериментов по свободной конвекции в вязкой несжимаемой жидкости в сферических объемах.
Задачи исследования:
• анализ существующих подходов при математическом моделировании и проведении вычислительного эксперимента во внутренних задачах свободной конвекции;
• синтез и анализ математических моделей явлений переноса в сферической системе координат на основе уравнений Навье - Стокса в приближении Обербека - Буссинеска;
• разработка полунеявной и неявной конечно-разностных схем для численного решения уравнений моделей;
• создание пакета прикладных программ для реализации вычислительных экспериментов;
• проведение вычислительных экспериментов по свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферических резервуарах, анализ и обобщение результатов.
Методы исследований. Теоретические и практические разработки, представленные в диссертации, базируются на применении математического аппарата и методов теории гидромеханических, тепло- и массообменных процессов, теории систем и моделирования, вычислительной гидродинамики. Научная новизна.
1) на основе уравнений Навье — Стокса в приближении Обер-бека - Буссинеска получены математические модели свободно конвективных течений в осесимметричной постановке для сферических объемов в переменных Гельмгольца при граничных условиях типа Дирихле и Неймана и предложены алгоритмы их численного анализа;
2) установлены устойчивость полунеявного и сходимость неявного конечно-разностных аналогов уравнений модели, а также условия их применения в задачах о свободной конвекции для сферической геометрии, получены оценки точности расчетных результатов проведения вычислительных экспериментов из теплового и импульсного интегральных балансов;
3) идентифицирована структура гидродинамических и тепловых полей ламинарных свободноконвективных течений в сферических объемах при различных тепловых нагрузках и теплофизических характеристиках жидкостей, на основе которой предложена обобщенная критериальная зависимость для описания безразмерного коэффициента теплоотдачи;
4) предложена методика прогнозирования времени бездре-нажного хранения криогенных жидкостей.
Практическая значимость и реализация результатов работы. Математические модели, вычислительные алгоритмы и прикладные программы позволяют осуществлять эффективный анализ и получать результаты по контролю и прогнозированию гидротермической обстановки при естественной конвекции ньютоновских жидкостей в сферических объемах в зависимости от тепловой обстановки на смоченной границе.
Результаты диссертационной работы в виде алгоритма и методики расчета теплообмена в сферических резервуарах в условиях свободной конвекции используются в КБХА, о чем имеется соответствующий акт.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на: международной конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования информационных и электронных технологий» (Москва, 2003);ХУ1 международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (С.- Петербург, 2003); XII Всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования (Тамбов, 2004); VI международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии» (Воронеж, 2005) и отчетных научных конференциях Воронежской государственной технологической академии (2003-2005).
Работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии.
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ВО ВНУТРЕННИХ ЗАДАЧАХ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ
1.1. Вычислительный эксперимент как основной инструмент исследования явлений переноса
1.1.1. Современная технология и методология проведения теоретических
исследований
Пи одно техническое достижение не повлияло так на интеллектуальную деятельность человека, как электронно-вычислительные машины. Увеличив в десятки и сотни миллионов раз скорость выполнения арифметических и логических операций, колоссально повысив тем самым производительность труда человека, ЭВМ вызвали коренные изменения в области информации. По существу, в настоящее время происходит своего рода «информационная революция» [1]. В настоящее время вычислительные машины проникают во все сферы интеллектуальной деятельности человека, становятся одним из решающих факторов ускорения темпов научно-технического прогресса [2].
К концу XX века компьютеры стали настолько совершенными, что появилась реальная возможность использовать их в научных исследованиях, не только как большой арифмометр, но и обращаться с его помощью к изучению таких разделов научных дисциплин, которые были практически недоступны для исследований. Это было осознано при решении еще на несовершенных ЭВМ сложных задач ядерной физики, баллистики, прикладной небесной механики [3].
Классическая математика, использующая аналитические методы, как известно [4], в основном нацелена на изучение явлений, имеющих линейный характер, т.е. способна изучать ситуации, где причина приблизительно про-
порциональна следствию (учитываются лишь малые отклонения). С середины XX века назрела необходимость к изучению явлений, являющихся нелинейными, в которых причина и следствие несоизмеримы, причем в подавляющем большинстве практически важных случаев эти явления плохо поддаются традиционным методам анализа. Как правило, такие ситуации приводят к необходимости решать задачи не имеющие формульной записи, с помощью компьютера.
В дальнейшем, развиваясь и совершенствуясь при решении разнообразных задач, этот стиль теоретического анализа трансформировался в новую современную технологию и методологию проведения теоретических исследований, которая получила название вычислительного эксперимента [2]. Основой вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой - прикладная математика, а технической - мощные электронно-вычислительные машины [5].
Современная трактовка вычислительного эксперимента такова - это эксперимент над математической моделью объекта на ЭВМ, который состоит в том, что по одним параметрам модели вычисляются другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах явления, описываемого математической моделью [6-9].
В проведении вычислительного эксперимента участвует коллектив исследователей - специалисты в конкретной предметной области, математики -теоретики, вычислители, прикладники, программисты. Это связано с тем, что моделирование реальных объектов на ЭВМ включает в себя большой объем работ по исследованию их физической и математической моделей, вычислительных алгоритмов, программированию и обработки результатов [10, 11]. Здесь можно провести аналогию с натурным экспериментом: составление программы экспериментов; создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов, обработка экспериментальных данных и их интерпретация и т.д. Таким образом, проведение комплексных расчетов следует рассматривать как эксперимент, прово-
димый на ЭВМ, или вычислительный эксперимент. При этом вычислительный эксперимент играет ту же роль, что и натурный при исследованиях новых гипотез, которые почти всегда имеют математическую формулировку.
При проведении вычислительного эксперимента необходимо убедиться в его полезности, особенно в случаях, когда провести натурный эксперимент затруднительно или невозможно. Вычислительный эксперимент, по сравнению с натурным, значительно дешевле и доступнее, его подготовка и проведение требует меньшего времени, его легко переделывать, он дает более подробную информацию [6]. Кроме того, в ходе вычислительного эксперимента выявляются границы применимости математической модели, которые позволяют прогнозировать эксперимент в естественных условиях [12, 13]. Поэтому использование вычислительного эксперимента ограничивается теми математическими моделями, которые участвуют в проведении исследования. По этой причине вычислитель□ □□□□□□□□□□□□□□□□е может заменить полностью натурный эксперимент, и выход из этого положения состоит в их разумном сочетании [14, 15]. В этом случае в проведении сложного эксперимента используется широкий спектр математических моделей [4, 8]: прямые задачи, обратные задачи; оптимизационные задачи; задачи идентификации.
С другой стороны, применение вычислительного эксперимента ограничено, в первую очередь быстродействием и памятью ЭВМ. Другое ограничение связано с неспособностью понять и математически смоделировать некоторые сложные явления. Ни одно из этих ограничений на возможность применения вычислительного эксперимента не является принципиально непреодолимым, а существующие в настоящее время тенденции позволяют строить оптимистические прогнозы о роли вычислительного эксперимента в будущем. Известно [16], что относительная стоимость расчета одного и того же процесса уменьшается за последние тридцать лет на три порядка; по-видимому, эта тенденция сохранится в ближайшем будущем.
Ниже представлено сравнение экспериментального, теоретического и вычислительного подходов:
Подход Преимущества Недостатки
Эксперимен- тальный 1. Получение наиболее близких к реальности результатов 1. Сложное оборудование 2. Проблемы моделирования 3. Коррекция измеренных значений 4. Сложность измерений 5. Высокая стоимость
Теоретический 1. Получение «чистой» информации общего характера, обычно в виде формул I. Ограничен простыми геометрическими конфигурациями и физическими моделями
Численный 1. Нет ограничений, связанных с линейностью 2. Описание сложных физических процессов 3. Описание эволюции процесса во времени 1. Погрешность округления 2. Проблема задания граничных условий 3. Стоимость ЭВМ
1.1.2. Этапы вычислительного эксперимента
Использование вычислительного эксперимента как средства решения сложных прикладных проблем имеет в случае каждой конкретной задачи свои специфические особенности. И тем не менее всегда четко просматриваются общие характерные основные черты, позволяющие говорить о единой структуре этого процесса. В настоящее время технологический цикл вычислительного эксперимента принято подразделять на ряд технологических этапов [7, 12]. Хотя такое деление в значительной степени условно, тем не менее
оно позволяет лучше понять существо этого метода проведения теоретических исследований.
Все этапы технологического цикла вычислительного эксперимента тесно связаны между собой и служат единой цели - получению с заданной точностью за короткое время адекватного количественного описания поведения изучаемого реального объекта в тех или иных условиях. Поэтому все этапы технологического цикла должны быть одинаково «прочными». «Слабость» в одном звене влечет за собой «слабость» в остальных звеньях технологии.
Основные этапы вычислительного эксперимента:
- проведение натурного эксперимента, построение физической модели;
- построение математической модели;
- выбор и применение численного метода для нахождения решения;
- обработка результатов вычислений;
- сравнение с результатами натурного эксперимента, уточнение физической модели;
- накопление экспериментальных данных;
- построение уточненной математической модели;
- построение программной реализации математической модели;
- автоматизированное нахождение численного решения;
- автоматизированное преобразование результатов вычислений в форму, удобную для анализа;
- принятие решения о продолжении натурных экспериментов для уточнения физической модели.
В наиболее общем виде этапы вычислительного эксперимента можно представить в виде последовательности технологических операций [3]:
- построение математической модели;
- преобразование математической модели;
- планирование вычислительного эксперимента;