РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Окрім класичних методів розв’язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
(простої ітерації, Ньютона), є достатньо широкий набір модифікованих,
ефективних в тому чи іншому плані процесів. Період активних досліджень нових
методів збігся в часі з розвитком обчислювальної техніки. Деякі з них
розглядали безпосередньо для систем рівнянь, інші узагальнені для операторного
рівняння. Однак, спираючись на результати функціонального аналізу,
числові алгоритми можна досліджувати з достатньо загальної точки зору.
У даному розділі проведено огляд основних методів розв’язування задачі, а також
тих класів методів, які становлять інтерес для напряму дисертаційної роботи.
2.1. Постановка задачі. Основні означення. Задано нелінійний оператор , де
простори , – банахові. Знайти елемент , такий що , або розв’язати рівняння
. (2.1)
Наведемо деякі означення, які часто будемо використовувати. Через позначимо
простір всіх лінійних операторів, що діють з в .
Означення 2.1. Оператор диференційовний за Фреше (далі – диференційовний) в ,
якщо такий, що таке, що з умови , () випливає
У цьому випадку оператор є першою похідною оператора в точці і його позначають
.
Означення 2.2. Оператор неперервно-диференційовний в області , якщо –
неперервний в кожній точці цієї області.
Аналогічно вводяться поняття другої (), третьої () і в загальному - ї ()
похідних оператора .
Якщо , – скінченновимірні простори, тоді норми відображень ,,..., можна
визначити як будь-які норми з відповідних областей значень операторів. У
випадку функціональних просторів, еквівалентні норми оператора та його
похідних встановлюють для конкретних задач окремо [76].
Нехай оператор раз неперервно-диференційовний на відкритій множині , . Тоді
справджується формула Тейлора з залишковим членом у вигляді означеного
інтегралу [58]
. (2.2)
Використовуючи (2.2), можна безпосередньо отримати ітераційні схеми ряду
класичних методів та будувати деякі методи вищих порядків [2,3,71,73, 78,145].
З іншого боку, формула використовується під час теоретичних досліджень
властивостей побудованих методів.
Запишемо (2.1) у вигляді
, (2.3)
де . Тепер можна застосувати метод простої ітерації. Для деякої початкової
точки , послідовність наближень будується за такою формулою:
, . (2.4)
Якщо здійснює стискаюче відображення на деякій замкнутій множині простору ,
тоді послідовність , визначена за формулою (2.4), лежить в і збігається до
точки – розв’язку задачі (2.3), причому – єдина в .
Метод (2.4) вирізняється простотою реалізації та широкою областю збіжності,
однак швидкість збіжності буде повільною.
Поняття порядку збіжності є важливим при дослідженні ітераційних процесів, і в
різних джерелах його еквівалентні означення подані в різних формах. Наведемо
означення [44], яким користуватимемося в роботі.
Означення 2.3. Послідовність збігається до з порядком швидкості збіжності, що
дорівнює , якщо існують константи , , такі, що для всіх
.
При матимемо лінійну збіжність, при – квадратичну. Якщо для деякої збіжної до
нуля послідовності дійсних чисел має місце
,
то збігається до надлінійно.
Метод (2.4) володіє лише лінійною швидкістю збіжності, однак не є
трудомістким, тому його доцільно використовувати для уточнення початкового
наближення методів вищих порядків.
2.2. Ітераційні методи ньютонівського типу. Припустімо, що знайдено деяке
наближення розв’язку задачі (2.1). Розгорнемо за формулою (2.2) в околі точки
, обмежуючись двома членами ряду. Отримаємо
.
Наступне наближення будемо шукати з такого лінеаризованого рекурентного
співвідношення:
. (2.5)
Якщо існує лінійний оператор , тоді з виразу (2.5) отримаємо формулу методу
Ньютона-Канторовича
, . (2.6)
При виконанні ряду умов [52, 53, 57, 72, 74], метод збігається до розв’язку
задачі (2.1) квадратично. Суттєвим недоліком є умови на початкове наближення.
Стартова точка процесу повинна бути розташована якомога ближче до розв’язку. У
зв’язку з цим метод (2.6) є ефективним засобом уточнення локальних нулів
рівняння.
Якщо вибиратимемо з (2.2) більше членів ряду, то отримаємо методи вищих
порядків збіжності. У такий спосіб побудовано метод дотичних гіпербол [71]
(2.7)
та метод Чебишева (дотичних парабол) [73]
, (2.8)
де , – тотожний оператор простору , .
Методи (2.7) та (2.8) мають порядок, на одиницю більший за порядок методу
Ньютона. Однак формули процесів містять значення похідних другого порядку,
тому використати їх для рівнянь зі складними операторами проблематично.
До методів, що позбавлені цього недоліку, але з тим же порядком збіжності
відносяться двоточкові схеми, запропоновані Т. Коган [59]
, , (2.9)
та М. Бартішом [3]
, . (2.10)
Крім того, в роботі [9] розглядається ефективний двоточковий процес
, (2.11)
, , ,
який для знаходження проміжної точки використовує значення оператора похідних,
обчисленого для наближення . Тут на кожному кроці потрібно розв’язувати два
лінійних рівняння з однаковим оператором . Для методу встановлено умови
збіжності типу Коші та Канторовича [9, 101]. Збіжність вища, ніж у методі (2.6)
– її наближене значення становить .
Для рівнянь виду (2.3) М. Бартіш та С. Шахно [5] пропонують комбіновану
параметричну схему
,