РАЗДЕЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СЛОЖНОМ ВРАЩЕНИИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК С РАЗВЕТВЛЯЮЩЕЙСЯ
ОБРАЗУЮЩЕЙ
2.1. Уравнения движения элемента осесимметричной оболочки
В настоящей работе для исследования прецессионных колебаний и резонансов
упругого ротора, представляющего собой осесимметричную оболочку с
разветвляющимся сечением (рис. 2.1), применяются геометрически нелинейные
уравнения классической теории оболочек, которые строятся посредством внесения в
соотношения теории тонких оболочек, связывающие компоненты деформации с
перемещениями, усилиями и моментами, упрощений, вытекающих из основных гипотез
теории упругих тонких оболочек [16, 82, 84], предложенных Кирхгофом и в
дальнейшем примененных к теории оболочек Лявом.
Основное упрощающее допущение относится к геометрии оболочки, которая может
быть либо пологой (главные кривизны k1 и k2 срединной поверхности являются
малыми), либо тонкой (малая толщина оболочки h) и формулируется в виде
1-k1x3»1; 1-k2x3»1 (-h/2 Ј x3 Ј h/2), (2.1)
где x3 - координата, нормальная к срединной поверхности оболочки. При выводе
соотношений теории оболочек, сформулированные условия (2.1) позволяют отбросить
члены, содержащие произведение толщины h на кривизны k1, k12, k2 оболочки. Это
равносильно предположению о том, что внешняя нагрузка на оболочку
прикладывается к ее срединной поверхности.
Первая гипотеза имеет кинематический характер и устанавливает закон
распределения деформаций по толщине оболочки. Она выражается в следующей форме:
прямолинейные волокна оболочки, нормальные к не-
Рис. 2.1. Расчетная схема осесимметричной оболочки с разветвляющейся
образующей.
Рис. 2.2. Схема положительного направления внутренних усилий и моментов,
действующих на отсеченный элемент оболочки в месте сопряжения ее фрагменов.
деформированной срединной поверхности остаются прямолинейными и нормальными к
деформированной срединной поверхности и не испытывают растяжений (сжатий). На
основании этой гипотезы при переходе от трехмерной теории упругости к двумерной
теории оболочек можно ограничиться постоянной и линейной составляющими базисных
функций и считать, что деформации
e13=e23=0. (2.2)
Отсюда вытекает, что напряжения s13 и s23 не могут быть определены по заданным
деформациям сдвига посредством закона Гука, поэтому определяющие их уравнения
не входят в состав разрешающих соотношений тонких оболочек. Напряжения s 13, s
23 являются чисто статическими факторами, не связанными с деформациями упругой
среды оболочки, а перерезывающие силы T 13 и T 23, обусловленные этими
напряжениями, будут входить только в уравнения равновесия.
Смысл второй гипотезы, имеющей статический характер, заключается в том, что
нормальные напряжения s33 на площадках, параллельных площадкам срединной
поверхности S, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями s11, s12,
s22, т.е.
s33 =0. (2.3)
Сформулированные упрощающие предположения и гипотезы позволяют перейти от
трехмерных уравнений теории упругости к двумерным соотношениям теории тонких
оболочек.
Рассмотрим теперь некоторые вопросы теории поверхностей, используемые в
дальнейшем при постановке задачи о прецессионных колебаниях и резонансах
осесимметричных оболочек вращения.
При исследовании динамики нелинейного деформирования оболочек вращения удобно
пользоваться сопутствующей (вмороженной) криволинейной системой координатами
01x1x2x3 (рис. 2.1).
Геометрия оболочки полностью определяется заданием срединной поверхности S и
толщины h. Если отношение толщины оболочки h к наименьшему радиусу Rmin
составляет величину, меньше 1/20, то оболочка называется тонкой, то есть для
тонкой оболочки h/Rmin<1/20. При малых значениях h/Rmin этим отношением по
сравнению с единицей можно пренебречь.
В теории оболочек точки срединной поверхности описываются векторным
соотношением
, (2.4)
где x1 и x2 - криволинейные координаты на поверхности.
Компоненты x, y, z вектор - функции в декартовой системе координат задаются
непрерывными однозначными функциями
x=x(x 1, x 2); y=y(x 1, x 2); z=z(x 1, x 2).
Форму срединной поверхности оболочки характеризуют первая и вторая квадратичные
формы.
Первая квадратичная форма определяет длину дуг, углы между кривыми и площади
областей на поверхности. Выражение для квадрата элемента дуги срединной
поверхности S имеет вид:
, (i, j =1,2)
где ковариантные компоненты метрического тензора на срединной поверхности
определяются соотношением
. (i, j =1,2)
Ниже будем считать, если не оговаривается противное, что все индексы принимают
значения 1 и 2. Если x, y, z декартовые координаты точки на поверхности S, то
выражение для коэффициентов первой квадратичной формы имеет вид:
. (2.5)
Учитывая, что в оболочках вращения и располагая величинами , можно подсчитать
контравариантные компоненты метрического тензора
, (2.6)
где - фундаментальный определитель метрического тензора .
Векторы основного локального базиса направлены по касательным к координатным
линиям срединной поверхности оболочки. Векторы взаимного базиса, сопряженные с
основными, равны
. (2.7)
Элемент площади dF срединной поверхности оболочки выражается следующим образом:
Единичный вектор нормали определяется формулой
, (2.8)
из которой следуют равенства
Форма поверхности и ее кривизны определяются параметрами второй квадратичной
формы
,