РАЗДЕЛ 2
Математическое моделирование процесса смешения
2.1. Постановка задачи и выбор метода
Задачей математического моделирования смесителей статического и динамического
типов для подготовки термопластичных композиций в процессах их переработки в
изделия является определение расходонапорных характеристик этих устройств и
показателей качества подготовки расплава по задаваемой геометрии рабочих
органов, входным технологическим (температурным, реологическим и др.) данным с
целью согласования их параметров с базовым перерабатывающим оборудованием,
оптимизации конструкции и геометрии рабочих органов, обеспечения необходимого
уровня показателей качества смешения.
При этом необходимо, прежде всего, решить задачу определения полей скоростей
потоков расплава в смесительных каналах. Затем, по известным полям скоростей,
определить расход расплава в каждом канале и поставить ему в соответствие
действующий градиент давления. В заданном диапазоне изменения градиентов
давления табулировать расход, составив, тем самым, расходонапорные
характеристики смесительных каналов. Далее, по известным полям скоростей и
входным данным распределения компонентов композиции определить показатели
качества смеси на выходе из смесителя. При этом определяются температурные
показатели процесса – функция диссипации и температурные поля, кроме того,
производится расчет концентрации дисперсной фазы композиции.
Известно большое количество работ, посвященных проблеме моделирования
технологических процессов смешения в полимер-перерабатывающем оборудовании, в
том числе, неразрывно связанных с ней задач гидродинамики и тепломассообмена
[1, 13, 42, 48, 73-76, 78, 82, 95-104]. В связи с усложнением рассматриваемой
геометрии рабочих органов и каналов, а также с необходимостью одновременного
учета нескольких технологических факторов (неравномерность температур, полей
скоростей и др.), все большее количество исследований базируется на применении
численных методов. Этому способствует бурное развитие вычислительной техники.
Среди них, наибольшее распространение получили метод конечных элементов (МКЭ) и
метод конечных разностей (МКР) [105-110]. К преимуществам МКЭ следует отнести,
прежде всего, больший произвол в формировании сеток расчетной области, тогда
как в МКР наилучшим образом используются прямоугольные равномерные сетки. В МКЭ
с большей легкостью достигается более высокий (выше второго) порядок точности
дискретных аналогов относительно шага сетки. Однако МКЭ более ресурсоемок в
вычислительном плане и требует большей аналитической подготовительной работы.
Смесительные каналы могут иметь кроме круглых, С, U, Z, Н, Г, П – образные
сечения, обусловленные особенностями конструкции смесителя. Наиболее часто
применяются каналы квадратного и прямоугольного сечения или близкие к ним по
форме.
Решение модели может быть получено только в многопроходных вычислительных
алгоритмах [111], поскольку основные задачи не являются линейными. В этом
случае невозможно получить «абсолютно точное решение», а объективно
присутствующие в численном решении ошибки в большей степени влияют на схемы
большего порядка точности. Для проведения численных расчетов задач
гидродинамики и тепломассопереноса в большинстве случаев применяются схемы
первого и второго порядка точности [105, 106]. Точность вычислений как таковую
можно повысить простым сгущением сетки.
Следует также отметить, что условия сходимости по шагу сетки для разных типов
задач, которые будут решаться при моделировании процесса смешения, различны.
Подбор неравномерной сетки, удовлетворяющей условиям сходимости для всех задач
одновременно - затруднен. Значительно проще подобрать шаг равномерной сетки.
Для получения решений математических моделей в работе используется метод
конечных разностей. Данный метод является наиболее экономичным при соизмерении
требований точности, ресурсоемкости и количеством подготовительной
аналитической работы, если задача решается для каналов описанной формы.
При составлении математической модели считлось, что имеет место:
- течение жидкости в каналах статических смесителей (используется для отыскания
полей скоростей и построения зависимости градиент давления – расход);
- течение жидкости в каналах динамических смесителей (используется для
отыскания полей скоростей и построения зависимости «градиент давления –
расход»);
- конвективно-диффузионный перенос тепла с учетом диссипативной составляющей
(используется для определения полей температур и функции диссипации);
- конвективный перенос ингредиентов композиции (используется для определения
полей концентраций ингредиентов композиции в любой момент времени);
- ламинарное смешение при течении в каналах смесителей (используется для
отыскания полей полосчатости, накопленной деформации сдвига, площади
поверхности раздела компонентов смеси, а также интегральных показателей
качества смешения). Вклад в общую смесительную эффективность эффекта деления
потока на части.
При формулировании математической модели приняты следующие общие допущения:
- расплав полимера – высоковязкая жидкость, поэтому силы инерции и тяжести
пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкого трения;
- жидкость несжимаемая;
- каждый канал смесителя имеет произвольное, но постоянное сечение по длине
(рис. 2.1);
- выполняются условия прилипания – скорости на стенках равны скоростям стенок;
- жидкость подчиняется закону вязкости, который представляется в виде
кусочно-непрерывной функции на m – участках по скорости сдвига :
(2.1)
Зависимость вязкости от температуры учитывается множителем . Зависимо
- Київ+380960830922