РАЗДЕЛ 2
СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Сложнонапряженные стержневые элементы строительных конструкций, которые
подвержены воздействию крутящих моментов, как правило, на торцах имеют
граничные условия, не позволяющие нормальным сечениям свободно депланировать.
Таким образом, имеет место стесненное кручение. Примерами могут служить балки
нерегулярных пространственных рам, главные бортовые балки, ломаные консольные
балки, элементы спиральных лестниц и др.
Эффект стеснения оказывает значительное влияние на распределение напряжений в
нормальных сечениях [145]. Невнимание к этому явлению может привести к неверной
оценке несущей способности элемента строительной конструкции, поэтому,
очевидно, целесообразно использовать в расчете сложнонапряженных балок
распределение напряжений с учетом стесненного кручения.
2.1 Депланация нормальных сечений при стесненном кручении.
В случае стесненного кручения сечение остается плоским, что является причиной
возникновения нормальных напряжений.
Для расчета стержня прямоугольного сечения при стесненном кручении используем
подход, изложенный Безуховым Н.И. в книге [55] применительно к стержням с
эллиптическим поперечным сечением.
Рассмотрим стержень прямоугольного сечения (рис. 2.1), левый конец которого
закреплен против депланации, а на правом - свободном конце приложен крутящий
момент. Примем, что последний осуществляется только касательными напаряжениями.
В данном случае имеем стесненное кручение; поэтому закон депланации сечения для
нестесненного кручения (1.27) неприменим в области стержня, которая расположена
близко к левому опорному сечению.
В поперечных сечениях помимо касательных напряжений, уравновешивающих крутящий
момент, появляются также нормальные напряжения, которые статически взаимно
уравновешены. Наибольшие значения нормальные напряжения будут иметь в опорном
сечении, где оказывается наибольшее сопротивление депланации. Эффект
стесненного кручения имеет местный характер, быстро убывающий от опорного
сечения.
Предположим, что для депланации любого сечения, находящегося на расстоянии z от
опорного сечения справедливо следующее выражение:
. (2.1)
Выражение (2.1) при z=0 определяет w=0, что соответствует полному закреплению
сечения против депланации и переходит в формулу свободной депланации только при
. Формально выражение (2.1) не удовлетворяет тому условию, что при z=l (на
свободном конце) имеет место свободная депланация. Однако, рассматриваемая
показательная функция такова, что уже при небольших значениях z определяет
депланацию, практически неотличимую от свободной депланации. Для определения
значения неизвестного множителя n в дальнейшем используется принцип минимума
потенциальной энергии.
2.2. Распределение напряжений в поперечном сечении балок при стесненном
кручении.
Для случая стесненного кручения сохраняются прежние допущения, что . Тогда для
осевых напряжений можно записать:
. (2.2)
Наличие в поперечных сечениях неравномерно распределенных по сечению нормальных
напряжений должно изменить прежние касательные напряжения и , определенные для
нестесненного кручения (при отсутствии ); естественно также предположить
наличие касательных напряжений .
Примем допущение, что распределение напряжений подчиняется следующему закону:
, (2.3)
где - функция, которая на контуре сечения (при и ) обращается в нуль;
следовательно, на контуре . При условии это означает отсутствие касательной
нагрузки на боковой поверхности стержня. Выражение (2.3) удовлетворяет также
условию, что при , что соответствует свободному кручению. Коэффициент k -
константа, зависящая от величины крутящего момента.
Дифференциальные уравнения равновесия при примут вид:
(2.4)
Исходя из принятого выражения для и первых двух уравнений (2.4) путем
интегрирования получим:
.
(2.5)
Последние слагаемые являются независимыми от z произвольными функциями
(исполняют роль постоянных интегрирования) и имеют такой же вид, как и
соответствующие выражения для нестесненного кручения прямоугольного сечения
(1.25, 1.26).
Для того чтобы выражения (2.5) удовлетворяли граничному условию об отсутствии
нагрузки на боковой поверхности стержня, необходимо наложить на функцию f(x,y)
условие, что при частная производная , а при частная производная . Таким
образом, на контуре сечения касательные напряжения при стесненном кручении
равны соответствующим касательным напряжениям в случае нестесненного кручения.
При подстановке значений для из формул (2.2) и (2.5) в последнее из уравнений
(2.4) получаем:
, (2.6)
откуда . (2.7)
Поскольку k - постоянный множитель, из (2.6, 2.7) естественно предположить,
что
. (2.8)
Таким образом, функцию f(x, y) можно найти из выражения:
(2.9)
с учетом следующих граничных условий:
(2.10)
Используя выражение (1.28) для функции и (2.9), получим:
(2.11)
(2.12)
Тогда из (2.11)
(2.13)
или из (2.12)
(2.14)
где g1(y), g2(x), g3(x), g4(y) - функции, зависящие от координат точки сечения
и исполняющие роль постоянных интегрирования.