ГЛАВА 2
СЧИТАЮЩАЯ МЕРА
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ УНИТАРНО
ИНВАРИАНТНЫХ АНСАМБЛЕЙ
2.1. Предисловие
В этой главе рассматриваются два ансамбля n-мерных случайных матриц и следующего вида:
(2.1.1)
где
(2.1.2)
где
Мы предполагаем, что матрицы , , , , и независимы в совокупности. и - унитарные (или ортогональные) случайные матрицы, имеющие произвольные распределения, и - унитарные (или ортогональные) случайные матрицы, равномерно распределенные на унитарной группе (или на ортогональной группе ) по мере Хаара, и - случайные эрмитовы (или вещественные симметрические) положительно определенные матрицы, имеющие произвольные распределения.
Для определенности мы ограничим наше рассмотрение случаем унитарных, эрмитовых матриц и группы соответственно. Результаты для ортогональных, симметрических матриц и группы имеют тот же вид, хотя их доказательство и более сложно технически (см. Приложение А).
Мы будем изучать асимптотическое поведение при нормированной считающей меры ансамбля (2.1.1), определяемой следующим образом.
Определение 2.1.1. Нормированой считающей мерой собственных значений произвольной унитарной матрицы называется мера, чье значение для любого борелевского множества по формуле
(2.1.3)
где - собственные значения матрицы .
Кроме того, мы будем изучать поведение НСМ (1.1.2) ансамбля (2.1.2) (см. Определение 1.1.1 из предыдущей главы).
Основными техническими средствами изучения мер (2.1.3) и N (1.1.2) в наших рассуждениях являются преобразование Герглотца и преобразование Стилтьеса соответственно. Ниже приводится определение преобразования Герглотца и список его свойств, которые нам понадобятся в дальнейшем (см., например, [1]).
Утверждение 2.1.1. Пусть - неотрицательная и нормированная на 1 мера на и
(2.1.4)
есть преобразование Герглотца меры . Тогда:
(i) функция аналитична в круге и
; (2.1.5)
(ii) ; (2.1.6)
(iii) для любой непрерывной на функции имеет место формула обращения
, (2.1.7)
(iv) и обратно, любая функция удовлетворяющая (2.1.5)-(2.1.7) является преобразованием Герглотца неотрицательной и нормированной на 1 меры на единичной окружности, и это взаимно однозначное соответствие между мерами и их преобразованиями Герглотца непрерывно в топологии слабой сходимости для мер и топологии сходимости на компактах в единичном круге для их преобразований Герглотца.
Главными результатами главы являются следующие теоремы.
Теорема 2.1.1. Пусть , случайная матрица вида (2.1.1), и пусть нормированные считающие меры , матриц и сходятся слабо по вероятности при к неслучайным неотрицательным и нормированным на 1 мерам на единичной окружности , соответственно. Тогда нормированная считающая мера сходится по вероятности к неслучайной неотрицательной и нормированной на 1 мере , чье преобразование Герглотца
(2.1.8)
является единственным решением системы
(2.1.9)
в классе функций , аналитичных в единичном круге |z|<1 и удовлетворяющих условиям (2.1.5), (2.1.6) и
(2.1.10)
где , ? преобразования Герглотца мер ,.
Теорема 2.1.2. Пусть ? положительно определенная случайная матриц вида (2.1.1), и пусть нормированные считающие меры матриц и сходятся слабо по вероятности при к неслучайным неотрицательным и нормированным на 1 мерам соответственно, и что
r = 1,2, (2.1.11)
(2.1.12)
т.е. меры не сосредоточены в нуле. Тогда нормированная считающая мера матрицы сходится по вероятности к неслучайной неотрицательной и нормированной на 1 мере N, чье преобразование Стилтьеса
(2.1.13)
является единственным решением системы
(2.1.14)
в классе функций аналитичных при и удовлетворяющих условиям (1.1.6) и
(2.1.15)
где ? преобразования Стилтьеса мер и обозначает математическое ожидание относительно вероятностной меры порожденной и
Замечание 2.1.1. Ввиду соотношения
(2.1.16)
между преобразованием Герглоца и преобразованием Стилтьеса меры
системы (2.1.9) и (2.1.14) эквивалентны.
Замечание 2.1.2. Мера будет являться равномерным распределением тогда и только тогда, когда меры обе имеют первые моменты нулевыми
или когда одна из мер является равномерным распределением.
Действительно, необходимость следует из предыдущего замечания и того факта, что в этом случае система (2.1.14) сводится к
Достаточность также следует из замечания 2.1.1 и единственности решения системы (2.1.14) при условиях (2.1.10).
Теорема 2.1.1 будет доказана в два этапа. Вначале, в разделе 2.2 будет рассмотрен случай неслучайных матриц и . Будет доказано, что в этом случае НСМ матрицы (2.1.1) сходится слабо с вероятностью 1 к неслучайной предельной мере. Сходимость с вероятностью 1 в этом и последующих разделах будет пониматься как таковая в естественных вероятностных пространствах
,
где - вероятностное пространство матриц (2.1.2), которое является прямым произведением соответствующих пространств матриц и и двух копий групп для и , и где - вероятностное пространство матриц (2.1.1) , которое является прямым произведением соответствующих пространств матриц и и двух копий групп для и . В следующем разделе главы рассматривается общий случай случайных и . Доказательства, приведенные в этих двух разделах, использованы как модельные для доказательств
- Київ+380960830922