РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНЫХ И ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ
2.1. Построение математической модели, ее качественный анализ
Рассмотрим нагрев материалов, вследствие наличия у них диэлектрических потерь, путем преобразования энергии электромагнитного поля в тепловую энергию.
В качестве источника сверхвысокочастотной энергии в работе выбран тороидальный резонатор, использующийся в технологических процессах термообработки на основе применения энергии излучения сверхвысоких частот. Такой резонатор с поперечным сечением в виде круглого волновода представлен на рис. 3.1.
Полагая, что увеличение напряженности электромагнитного поля ограничено конечной электрической прочностью диэлектрического материала, введем следующие предположения о взаимодействии электромагнитной волны с диэлектриком [11, 44, 63, 66]:
? процессы взаимодействия, происходящие между переменным электрическим полем и структурой диэлектрика таковы, что электромагнитная волна не ослабевает в направлении своего распространения;
? за счет отражения электромагнитной волны у поверхности диэлектрика величина отражения энергии определяется коэффициентом отражения;
? повышение температуры в единице объема диэлектрика, пропорциональное частоте и квадрату напряженности электрического поля определяется выражением, соответствующим однородному электромагнитному полю;
- выполняется условие подобия полей температур, влагосодержания и парциальных давлений газа в диэлектрическом материале;
? граничные условия для нормальных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред диэлектрика не учитывают поверхностной плотности электрических и магнитных зарядов;
? для тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля на границе раздела двух сред выполняется условие их равенства.
Будем полагать, что перенос тепловой энергии в диэлектрическом материале осуществляется теплопроводностью при применении СВЧ нагрева. Причем скорость распространения температурной волны конечна (высокоинтенсивные нестационарные процессы, гиперболический тип уравнения теплопроводности). Следует отметить, что исследования переноса тепла в проводниках (металлических телах) показали, что большую теплопроводность имеют лучшие проводники электричества (закон Видемана ? Франца). Однако к диэлектрикам этот закон не применим и это привело к заключению о двойственности механизма теплопроводности в твердых телах.
При высокоинтенсивном нестационарном процессе, наблюдаемого при термообработке диэлектрического материала в условиях фазового превращения твердая фаза ? жидкость, зависимость между тепловым потоком и градиентом температуры имеет вид [33]
где ? время температурной релаксации.
Отметим, что в случае стационарного режима и при стремлении скорости распространения тепла к бесконечности () это соотношение выражает классический закон теплопроводности Фурье.
На основании физической модели тепловых процессов в диэлектрическом материале под воздействием сверхвысокочастотной энергии, запишем уравнения, позволяющие найти связь между параметрами процесса и согласующиеся с экспериментальными данными.
Задача для дифференциального уравнения второго порядка в системе тел с подвижными границами, когда перемещение границ определяется или не определяется фазовыми превращениями сред, может быть сформулирована следующим образом: найти функцию , удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами
Mu=Ф (2.1),
где
, Ф - известная функция переменных, содержащих координаты точек пространства и времени, коэффициенты , постоянны для любого диэлектрического материала.
Пусть D - некоторая область, ограниченная замкнутой кусочно - гладкой границей , которая в зависимости от протекающих на ней процессов, может быть трех видов [39]: неподвижная граница; подвижная граница, перемещение которой обусловлено фазовыми превращениями; подвижная граница, перемещение которой не связано с фазовыми превращениями. Функция непрерывна вместе с частными производными первого порядка, имеет кусочно ? непрерывную вторую производную по координатам точки P в замкнутой области , где и удовлетворяет на границе дополнительным условиям, обеспечивающим единственность решения.
Электродинамическая система, в данном случае область с многослойным диэлектрическим заполнением, предназначена для создания определенного электромагнитного поля. В связи с этим, задача расчета области включает решение системы уравнений Максвелла [55]:
,
где -диэлектрическая, магнитная проницаемости, проводимость среды, -плотности стороннего тока и заряда, -радиус-вектор точки наблюдения.
Искомые функции должны удовлетворять определенным условиям на границе области , в которой ищется решение, а также начальным условиям при ? = 0.
Сверхвысокочастотный нагрев многослойных диэлектрических материалов в тороидальной области осуществляется за счет преобразования энергии электрического поля в тепло вследствие диэлектрических потерь. Доказано [44], что энергия переменного электрического поля, превращающаяся в тепло, во всем спектре электромагнитных колебаний, пропорциональна частоте и квадрату напряженности электрического поля:
где (В/См) - вектор напряженности электрического поля; (Гц) - частота; - коэффициент пропорциональности.
Однако увеличение напряженности электрического поля ограничено конечной электрической прочностью диэлектрика. Поэтому удельную энергию преобразования можно повышать только путем увеличения частоты, что определяет основной смысл перехода к сверхвысокочастотному нагреву.
Тогда связь между температурным и однородным (без затухания) электрическим полем, при нестационарном процессе взаимодействия электромагнитной волны с многослойным диэлектриком, можно определить уравнением [44]:
, (2.2)
где - коэффициент пропорциональности, зависящий от диэлектрической проницаемости, плотности и удельной теплоемкости диэлектрического заполнения, - среднемассовая (средняя по