Оптимізація управління складеними процесами шляхом адаптивної варіації критеріїв

Глава 2
ТЕОРИЯ СТРАТЕГИЧЕСКОЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ СОСТАВНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

2.1. Основные понятия, определения и стратегия использования показателей оптимальности

В качестве показателей оптимальности будем рассматривать функционалы вида [108]:

(2.1)

где х(t) - вектор-функция фазовых координат, определенная на [a, b];
u(t) - вектор-функция управления, определенная на [a, b];
а, b - концы интервала использования показателей оптимальности.
На интервале [?0, ?1] ? [a, b] управления допускается использование не обязательно всех показателей оптимальности из (2.1).
Чтобы охватить по возможности большее количество показателей оптимальности, варианты их выбора условимся задавать упорядоченными выборками чисел из множества 0, 1, ..., m и дополнительными условиями. Обозначим через M множество индексов показателей (2.1) и осуществим из него выборку чисел v0,v1,...,vk, k ? m:

(2.2)

Элементы множества Мvk предполагаются различными, т.е. vi ? vj при i ? j.
Каждой выборке Мvk соответствует однозначно определенный набор показателей оптимальности Ii, который называется выборочным множеством. Введем последовательность чисел kj и соответствующую ей последовательность выборочных множеств

(2.3)

где ? задает количество членов этой последовательности и, вместе с тем, количество частных интервалов [tj-1, tj] разбиения отрезка [?0, ?1] на части.
Для простоты последовательность (2.3) обозначим символом :

(2.4)

Между последовательностью (2.4) и показателями (2.1) легко установить взаимно однозначное соответствие. При этом каждому частному интервалу [tj-1, tj] ? [?0, ?1] сначала ставится в соответствие показатели из (2.1) при а= tj-1, в= tj, а затем из полученных показателей отбираются те номера, которые зафиксированы элементом j-го члена последовательности (2.4), т.е. выборки Мvkj.
С учетом указанного соответствия введем последовательность выборочных множеств показателей оптимальности, определенную равенством
(2.5)
где
Последовательность (2.5) назовем стратегией использования показателей оптимальности управления. В конкретной задаче управления право выбора стратегии использования показателей оптимальности связывается с последовательностью (2.5).
Стратегическая оптимизация управления дифференциальным динамическим объектом состоит в следующем. Для частного случая управляемого объекта вектор фазовых координат должен удовлетворять следующему уравнению

(2.6)

где х?Rn, и u?U, t?R, ?: G?U?Rn,
G - открытое множество в пространстве R?Rn;
U - произвольное топологическое пространство;
? - непрерывна на G.
В качестве показателей оптимальности принимаются функционалы (2.1). Движение объекта рассматривается на интервале [?0, ?1].
Введем следующие определения, в соответствии с общепринятыми обозначениями [64].
Функция u(t): [?0, ?1]?U называется управлением, если она кусочно-непрерывна, в точке ?0 непрерывна справа, а в точке ?1 - слева.
Функция х(t): [?0, ?1]?Rn называется фазовой траекторией, если она непрерывно-дифференцируема, ее график Г соответствует выражению:

Г={(t, x(t)) /?0 ? t ? ?1}?G
и для t?[?0, ?1], кроме, быть может, точек разрыва управления u(t) удовлетворяет уравнению (2.6).
Кортеж называется управляемым процессом, если x(t) и u(t) являются фазовой траекторией и управлением соответственно.
Управляемый процесс называется допустимым, если выполняется k неравенств

(2.7)

где vi?Mvk из (2.2), причем vi ? vj при i ? j.
Допустимый управляемый процесс называется оптимальным, если существует ?>0, такое что для любого допустимого процесса удовлетворяющего условиям ; выполняется неравенство , где v0?Mvk, v0?vi для i?0, - обозначение нормы евклидового пространства Rn.
Для дальнейшего необходимо разбиение ?0=t0 Допустимый управляемый процесс называется локально оптимальным на интервале [tj-1, tj], если для любого t?[tj-1, tj] его значение определяется решением следующей задачи векторной оптимизации.

(2.9)
(2.10)
(2.11)

где из (2.3).
Кортеж , где t0=?0, t?=?1, называется стратегически оптимальным процессом, если управляемый процесс является локально-оптимальным на каждом интервале [tj-1,, tj] при всех j=1, 2, ..., ?.
Задача обусловленной стратегической оптимальности формулируется следующим образом: при заданной стратегии оптимизации, определенной последовательностью выборочных множеств показателей оптимальности (2.5), найти стратегически оптимальный процесс .

2.2. Необходимые условия стратегической оптимальности в векторной задаче Больца

Пусть в равенствах типа (2.1)

(2.12)

где функции fi: G?U?R и ?i:R?Rn?R?Rn?R непрерывны в областях G?U и W? R?Rn?R?Rn соответственно.
При заданных уравнениях (2.6), стратегии оптимизации (2.5) и функционалах (2.12) задачу обусловленной стратегической оптимизации назовем векторной задачей Больца. Это означает, что векторная задача Больца состоит в том, чтобы найти процесс такой, что при каждом j=1,2,...,? управляемый процесс при t?[ tj-1,, tj] является решением следующей задачи:

(2.13)
(2.14)