РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ КРИЛЬЧАСТИХ ЗВВР
2.1. Розробка узагальненої математичної моделі крильчастих ЗВВР
Не дивлячись на те, що сьогодні існує багато різновидів конструкцій крильчастих засобів вимірювання витрат рідин, питання оптимального проектування та конструювання їх вимірювальних перетворювачів витрат дотепер залишається актуальним. Вирішення його за рахунок проведення натурних експериментів потребує великих матеріальних і часових затрат. Тому доцільніше за допомогою математичного моделювання ЗВВР проаналізувати, яким чином конструктивні параметри приладу і гідродинамічна картина в камері його первинного перетворювача впливають на метрологічні характеристики лічильника або витратоміра.
Математична модель засобу вимірювання витрат рідин складається з математичних моделей потоку рідини і вимірювального перетворювача витрати [46, 58].
В загальному випадку гідродинаміка вимірюваного потоку описується функціональною залежністю рухаючого моменту на крильчатці, що створюється цим потоком, від його характеристик у вигляді [59]
Мрух=f(U, ?, ?, Cx, ?, S), (2.1)
де U - швидкість набігаючого на лопаті крильчатки потоку;
? - густина рідини;
? - коефіцієнт кінематичної в'язкості рідини;
Сх - коефіцієнт лобового опору лопаті крильчатки;
? - кут перетину лопаті з віссю набігаючого потоку;
S - площа міделя лопаті.
Математична модель вимірювального перетворювача витрати не може бути безпосередньо представлена певною формулою або функціональною
залежністю, оскільки являє собою сукупність геометричних параметрів конструкції, яка є невід'ємним елементом математичної моделі засобу вимірювання витрат рідин в цілому. Узагальнений варіант останньої може бути представлений диференціальним рівнянням [60, 61]
, (2.2)
де I - сумарний динамічний момент інерції крильчатки з урахуванням моменту інерції приєднаної до неї маси потоку;
- зміна кутової швидкості ? обертання крильчатки в часі t;
Мрух - діючий на крильчатку рухаючий момент, який представлено функціональною залежністю (2.1);
Моп.д - момент дискового опору крильчатки;
Моп.ц - момент циліндричного опору крильчатки в радіальному зазорі;
- момент циліндричного опору втулки крильчатки;
Мт.л - момент тертя рідини об поверхню лопатей крильчатки;
Мт - момент тертя в опорах обертання крильчатки;
Мр - момент реакції вторинного перетворювача.
Математична модель має на меті описати процес динамічної взаємодії чутливого елемента крильчастого ЗВВР з потоком рідини і виявити тенденції покращення метрологічних якостей засобу вимірювання, що надасть змогу створювати конструкції лічильників і витратомірів з оптимальними параметрами. Отже, докладніше зупинимося на визначенні компонентів узагальненої математичної моделі (2.22).
2.2. Визначення моментів активних сил, які діють на чутливий елемент крильчастих ЗВВР
2.2.1. Розрахунок рухаючого моменту
Величина рухаючого моменту залежить від величини розподілу гідродинамічного напору, який діє на лопаті чутливого елемента, крильчатки, а отже і від фізичних властивостей вимірюваного енергоносія.
В результаті взаємодії крильчатки і потоку (рис. 2.1) останній віддає їй частину своєї питомої енергії руху і створює на ній момент [62, 63]:
, (2.3)
де Fg - сила гідродинамічного напору;
rеф - ефективний радіус лопаті.
Сила гідродинамічного напору на основі теореми механіки про зміну кількості руху [64] може бути записана у вигляді
=, (2.4)
де Сх - коефіцієнт лобового опору, який залежить від форми лопаті та числа Рейнольдса [65];
U(r) - швидкість набігаючого потоку в каналі обтікання лопаті, яка є функцією відстані r, що відраховується від стінки каналу, утвореної втулкою крильчатки;
Wмісц - місцева швидкість потоку (в живому перерізі);
- окружна швидкість крильчатки;
? - поправочний коефіцієнт, який враховує вплив форми лопаті і стиснення поперечного перерізу каналу обтікання лопаті [65];
F0 - площа каналу обтікання.
В свою чергу, площу каналу обтікання і площу міделя лопаті можна знайти відповідно за формулами:
, (2.5)
, (2.6)
де Н - висота лопаті крильчатки;
rкр - максимальний радіус крильчатки;
rвт - радіус втулки крильчатки;
Нк - висота камери, де обертається крильчатка;
rк - радіус камери, де обертається крильчатка.
Враховуючи формулу (2.5), вираз (2.4) прийме вигляд
(2.7)
де r'= - напівширина каналу обтікання лопаті;
lлоп - довжина лопаті.
Однією із складностей при знаходженні сили гідродинамічного напору, що діє на лопаті крильчатки, є визначення функціональної залежності коефіцієнта лобового опору Сх від кута атаки лопаті потоком рідини. Взагалі лобовий опір тіла визначається двома факторами: опором тертя і опором форми. Останній є результатом відриву потоку від поверхні тіла і викликаного цим вихроутворення. Співвідношення між опором тертя і опором форми тіла залежить від конфігурації тіла і положення його в потоці (кута атаки, кута ковзання), шорсткості його поверхні, числа Рейнольдса, ступеня і масштабу турбулентності набігаючого потоку [66]. Для тіл, що гарно обтікаються, значення опору тертя порівняно близьке до величини опору форми. Для тіл, що погано обтікаються, (як в нашому випадку) величина опору тертя достатньо мала в порівнянні із загальним лобовим опором.
Коефіцієнт лобового опору знаходиться експериментальним шляхом, отже, ми користуватимемося тими даними [65], що були отримані для плоскої прямокутної пластинки (форма лопаті крильчатки) в залежності від її положення в потоці.
В нашому випадку для визначення Сх розглянемо перетин певної лопаті 2 з віссю набігаючого потоку (рис. 2.2), коли наступна лопать 1 (що йде слідом за розглядуваною) ще не ввійшла в зону дії набігаючого потоку.
Рис. 2.2. Схема ВПВ крильчастого ЗВВР для визначення коефіцієнта
лобового