Глава 2
6 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В этой главе рассматривается постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии пологой оболочки, для которой затем приводятся вариационная и смешанная вариационная формулировки. Последняя применяется для построения дискретной задачи по схеме Германа-Джонсона СМКЭ. Формулируется теорема о скорости сходимости дискретного решения.
Вводятся определения спектральных характеристик голоморфной оператор-функции и операторного пучка. Формулируется теорема о спектре полиномиального пучка компактных операторов.
6.1 СМКЭ в задачах о деформации пологих оболочек
Рассмотрим основные моменты схемы Германа-Джонсона смeшанного метода конечных элементов для задач о деформации пологих оболочек [96,97].
Пусть - выпуклая многоугольная область из с границей . В этой области рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающих состояние равновесия пологой оболочки постоянной кривизны [21,29,70].
,
,
, (2.1)
где - уравнение срединной поверхности оболочки, , , , - модуль Юнга материала, - толщина оболочки, -коэффициент Пуассона, , - касательные перемещения, - прогиб, - бигармонический оператор, - касательные, - нормальная составляющие вектора нагрузки .
Рассмотрим основные краевые условия на . Для :
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
для и :
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Здесь
-
нормальный момент,
- обобщенное перерезывающее усилие, - вектор внешней нормали к , - вектор касательной к , -- естественный параметр, являющийся длиной дуги вдоль , - касательные и сдвигающее усилия
,
,
,
где , , - мембранные деформации срединной поверхности оболочки:
,
,
,
- радиусы кривизны срединной поверхности вдоль координат и , соответственно, - геодезическое кручение:
,
,
,
Основные краевые условия для системы (2.1) получаются объединением любого из четырех условий для с любым из четырех условий для и .
Рассмотрим перемещение , удовлетворяющее следующим условиям
, (2.10)
, (2.11)
Такое перемещение обычно называют жестким перемещением оболочки, т.е. таким перемещением, которое не вызывает деформации срединной поверхности. Вид жесткого перемещения, который обусловлен гипотезами пологой оболочки, описывается системой (2.10), (2.11) и зависит от краевых условий. В случае условий (2.2), (2.6) компоненты жесткого перемещения , в .
Рассмотрим пространство
.
Множество жестких перемещений оболочки обозначим через . Под будем понимать фактор-пространство
,
или его подпространство, связанное с главными краевыми условиями, когда или в определении заменяются на или , соответственно.
Пространство является банаховым пространством с фактор-нормой
.
Введем на пространстве непрерывную симметричную билинейную форму , связанную с энергией изгибной деформации пологой оболочки,
и непрерывную симметричную билинейную форму на пространстве , связанную с энергией мембранной деформации,
.
Тогда функционал энергии, соответствующий краевой задаче (2.1)-(2.9) имеет вид
,
где
- отношение двойственности между пространствами и .
Теорема 2.1 [96,97]. Пусть . Тогда любая из краевых задач для системы (2.1) имеет единственное решение , если выполнено условие разрешимости
Следствие 2.11 [96,97]. Пусть . Тогда краевая задача для системы (2.1) с главными краевыми условиями (2.2)-(2.6) имеет единственное решение для любого из .
Определим вещественные гильбертовы пространства
, ,
.
Поскольку билинейная форма
непрерывна на пространстве , симметрична и -эллиптична [96,97], то задача о нахождении минимума функционала (2.12) на пространстве равносильна следующей вариационной задаче [67,85]:
.Для найти , так, что
, (2.13)
Задача (2.13) равносильна такой вариационной [96, 97]: для найти , чтобы
(2.14)
, (2.15)
где
,
,
.
Пусть - регулярная триангуляция области конечным числом треугольников с максимальным диаметром . Пусть на каждом задана функция .
Положим
где и - векторы внешней нормали и касательной к сторонам треугольника. Обозначим через объединение внутренностей любых и из , которые имеют общую сторону. Определим вещественные пространства
,
,
где - нормаль к общей стороне треугольников и внутренности которых составляют множество . В пространстве определим норму
.
Отметим, что , , причем плотно в . На введем непрерывную билинейную форму
Заметим, что если , то
Рассмотрим задачу: .для найти такую пару , что
(2.16)
(2.17)
Билинейные формы этой задачи обладают следующими фундаментальными свойствами. Билинейная форма -эллиптична:
, (2.18)
билинейная форма удовлетворяет условию слабой эллиптичности:
, (2.19)
, (2.20)
где - константы (не зависит от .
Задача (2.14)-(2.15) и задача (2.16)-(2.17) связаны следующим образом:
Теорема 2.2 [96,97] Решение задачи (2.14)-(2.15) такое, что является единственным решением задачи (2.16)-(2.17)
Для целого определим пространства
,
,
где - означает пространство многочленов степени , - пространство сплайнов степени