РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА СПОСОБОВ ПОСТРОЕНИЯ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. Способ с использованием алгоритма преобразования Лапласа
Разработка ЦМ РВ для управляемых ДС предполагает наличие полной информации о
характеристиках ДС. Наиболее существенными из этих характеристик во временной
области являются: функция веса w(t), переходная характеристика h(t), реакция ДС
на прямоугольный импульс и синусоидальный входной сигнал; в частотной области:
амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), годограф комплексного коэффициента
передачи ДС W(jw) (АФЧХ), заданный в декартовой или полярной системе
координат.
В результате анализа этих характеристик определяются такие параметры ДС как
минимально возможные частоты квантования ЦМ ДС, длительность основного цикла
моделирования и пр., которые в свою очередь определяют ОВР МС.
В данном подразделе предлагается подход, основанный на методах интегральных
преобразований Лапласа (прямого и обратного), позволяющих при моделировании
характеристик ДС во временной области избежать использования рекуррентных
методов моделирования и тем самым исключить присущие им недостатки.
Если ДС описана ДУ вида:
(2.1)
при заданных НУ:
где y(i)(t) - i-я производная выходного моделируемого параметра;
x(j)(t) - j-я производная входного сигнала;
n, m - высшие порядки соответственно выходного параметра и входного
сигнала (nіm);
ai, bj - коэффициенты ДУ ДС,
то процесс нахождения решения ДУ может быть представлен коммутативной
квадратной диаграммой, показанной на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Диаграмма нахождения решений ДУ (2.1):
А1 - исходное ДУ ДС (2.1) и НУ;
А2 - множество численных значений решения ДУ (2.1) как реакция
времени;
А3 - алгебраическое уравнение относительно изображения
искомой функции Y(s);
А4 - изображение Y(s);
f1 - алгоритм определения множества А2 (решение ДУ (2.1)
аналитическими или численными методами);
f2 - прямое преобразование Лапласа L;
f3 - алгебраическое преобразование уравнения А3;
f4 - обратное преобразование Лапласа L-1.
Очевидно, что для диаграммы (рис. 2.1) справедливо соотношение:
f1 = f4 f3 f2, (2.2)
в связи с чем предлагается при цифровом моделировании характеристик ДС во
временной области реализовать правую часть соотношения (2.2), а не алгоритм
f1.
Как известно по [86], прямое преобразование Лапласа некоторой функции времени
f(t) есть интеграл:
(2.3)
где s=c+jw;
c - абсцисса абсолютной сходимости интеграла (2.3);
j2=-1;
w - круговая частота.
С использованием свойств линейности и дифференцирования в области оригиналов
прямого преобразования Лапласа ДУ ДС (2.1) представляются в виде:
Y(s)=W(s)X(s)+RНУ(s), (2.4)
где Y(s), X(s) - соответственно изображения по Лапласу выходного и входного
параметров ДУ;
W(s)=P(s)/Q(s); RНУ(s)=PНУ(s)/Q(s).
(2.5)
(2.6)
Из сравнения соотношений (2.5) и (2.1) следует, что уравнения, как в области
оригиналов, так и в области изображений полностью определяются заданием
коэффициентов ai и bj. Причем соответствие между коэффициентами из этих
областей является тождественным, что и определяет машинный алгоритм
преобразования f1 заданием и формированием массивов коэффициентов ai и bj.
Таким образом, прямое преобразование Лапласа f1 при заданных НУ к уравнению
(2.4) заключается в формировании массивов коэффициентов многочленов P(s), Q(s)
и РНУ(s). Полученные массивы затем используются при вычислении значений
полиномов (2.5) и (2.6), т.е. алгебраических преобразований f3. Поскольку
алгебраические операции проводятся в области комплексной переменной s, то
используется библиотека стандартных функций, позволяющих работать с
комплексными числами на языке ФОРТРАН-5. Аналогичный подход используется и при
вычислении обратного преобразования Лапласа f4.
Обратное преобразование Лапласа L-1 (f4) представляет собой интеграл вида
[86]:
(2.7)
где c = Re(s) - действительная часть s.
Общий подход при нахождении оригинала f(t) по известному виду изображения F(s)
заключается в использовании теоремы о вычетах [86]:
(2.8)
где sk - полюса функции F(s)est, расположенные в полуплоскости Re(s)>c,
(2.9)
где ki - кратность корня si, причем k1+k2+...+kl =n.
Для практически важных случаев простых полюсов подынтегральной функции в (2.8),
формула (2.9) имеет вид:
(2.10)
Применительно к нахождению оригинала y(t) изображения Y(s) (2.4) полюса
являются корнями полинома Q(s), для вычисления которых используется стандартная
подпрограмма из библиотеки научно-технических расчетов (БНТР). Проводя
вычисления по формуле (2.10), МС определяет оригинал y(t), т.е. находит решение
ДУ ДС (2.1) и осуществляет, таким образом, обратное преобразование Лапласа f4.
Следовательно, процесс вычисления правой части соотношения (2.2) с
использованием предложенной методики представляет собой нахождение решения ДУ
ДС или цифровое моделирование характеристик ДС во временной области.
Практически алгоритм моделирования по предложенному методу заключается в
следующем. В соответствии с заданными значениями формируются одномерные массивы
коэффициентов ai и bj полиномов (2.5) и полинома (2.6). В последствии массив
коэффициентов ai (i=) используется подпрограммой из БНТР для определения корней
полинома Q(s),