РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА ПРЕДИКАТНЫХ МОДЕЛЕЙ ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
В разделе построены предикатные модели таких логико-математических понятий, как
равенство, декартово произведение, принадлежность, операции объединения,
пересечения и дополнения множеств, разбиение множеств, связь отображений с
отношениями, связь разбиений с эквивалентностями.
2.1. Логическая идентификация равенства
Определение равенства не зависит ни от каких вводимых нами логических понятий.
Оно опирается только на логический язык, то есть, только на инструментальную
логику. Пусть U – некоторый предметный универсум [114]. Поставим в соответствие
понятию равенства элементов из U предикат равенства Р, заданный на множестве
UЧU условием:
"х, уОU (Р(х, у) ~ "АНU (А(х) ~ А(у))). (2.1)
Одно это условие образует полную систему аксиом для равенства. В этом
определении фигурирует инструментальное равенство в виде логической операции
эквиваленции "~" [30]. Эта операция представляет собой, в некотором смысле,
"рудиментарное" равенство, заданное на существенно меньшей области (на
множестве {0, 1}), чем определяемое равенство на множестве U.
Утверждение 2.1 (об общем виде предиката равенства). Уравнение (2.1) имеет
единственное решение
Р(х, у) = $аОU (хауа). (2.2)
Доказательство. Для того, чтобы доказать утверждение, достаточно показать, что
"АНU (А(х) ~ А(у)) = $аОU (хауа). Заиндексируем элементы универсума подходящим
множеством индексов I: U = {aj}jОI. Произвольному множеству A соответствует
множество индексов IA Н I тех и только тех элементов, из
которых состоит A: A = . Используя это множество, множеству A можно сопоставить
предикат A(x) =, а множеству`A - предикат`A(x) = . Проведем несложные выкладки:
"A (A(x) ~ A(y)) = "A (A(x)A(y) Ъ `A(x)`A(y)) = (()() Ъ ()()) = ( Ъ ) = ( Ъ Ъ
). После перемножения по всем подмножествам IA Н I получим некоторую логическую
сумму, которая будет содержать выражение = $aОU (xaya), так как оно содержится
в каждой перемножаемой скобке. Для произвольного IA Н I предикат (i № j)
уничтожится при умножении на скобку, соответствующую множеству IB Н I, такому,
что i О IB, j О I\IB. В результате получим "A (A(x) ~ A(y)) = $aОU (xaya).
Утверждение доказано.
В общем виде предиката равенства (2.2) фигурирует инструментальное равенство в
виде предиката узнавания предмета xa. Следует отметить, что аксиому (2.1) можно
упростить, если квантор общности брать не по всем подмножествам универсума U, а
только по одноэлементным:
"х, уОU (Р(х, у) ~ "xОU (хx ~ уx)). (2.3)
В этом случае достаточно доказать что "xОU (хx ~ уx) = $aОU(xaya). Запишем "xОU
(хx ~ уx) = "xОU (xxyx Ъ ) = "xОU ( Ъ ). После перемножения получим , так как
это выражение содержится в каждой перемножаемой скобке. При x = x1 предикат
xhyz (h, z № x) уничтожится при умножении на скобку, соответствующую значению x
= x2, такому, что, например, x2 = h (или x2 = z). В итоге, получим "xОU (хx ~
уx) = $aОU (xaya). Аксиома (2.3) эквивалентна аксиоме (2.1) в том смысле, что
они обе однозначно определяют предикат равенства (2.2). Так как установлена
единственность предиката равенства, дадим ему индивидуальное имя D(х, у). Этот
предикат является уже предметным предикатом, который с помощью инструментальных
средств охарактеризован аксиомами (2.1) или (2.3) и выражен в явном виде
(2.2).
В качестве полной несократимой системы аксиом для предиката равенства можно
предложить так же систему, состоящую из рефлексивности и подстановочности
предиката равенства:
"xОU P(x, x); (2.4)
"AНU "x, yОU (A(x) Щ P(x, y) Й A(y)). (2.5)
Для того, чтобы это доказать, достаточно показать, что система (2.4), (2.5)
определяет предикат равенства и только его, и аксиомы (2.4) и (2.5) независимы.
Независимость данных аксиом очевидна, так как тождественно ложный предикат
удовлетворяет аксиоме (2.5) и не удовлетворяет аксиоме (2.4). Если же взять
тождественно истинный предикат, то ситуация будет обратной: он будет
удовлетворять аксиоме (2.4) и не удовлетворять аксиоме (2.5). Отсюда и следует
независимость аксиом. Пусть теперь, для некоторого предиката P выполняются
аксиомы (2.4) и (2.5). Их можно рассматривать как некоторые логические
уравнения относительно неизвестного предиката P. Покажем, что единственным
решением системы уравнений (2.4), (2.5) является предикат равенства (2.2).
Решая уравнение (2.5) относительно неизвестного P, получим общее решение в
виде
P(x, y) = "A (A(x) Й A(y)) Щ C(x, y), где предикат C(x, y) выступает в качестве
свободного параметра [9]. Для того, чтобы определить предикат C, подставим
найденное решение в уравнение (2.4), получим "x ("A(A(x) Й A(x)) Щ C(x, x)) =
"xC(x, x). То есть, предикат C должен быть рефлексивным. Выполняя несложные
преобразования, окончательно получим P(x, y) = "A (A(x) ~ A(y)) Щ C(x, y) =
($aОU xaya) Щ C(x, y) = $aОU (xaya Щ C(x, y)) = $aОU (xaya Щ C(a, a)) = $aОU
xaya. Таким образом, система аксиом (2.4), (2.5) эквивалентна аксиоме (2.1) и
определяет предикат равенства.
Заметим также, что равенство представляет собой частный случай эквивалентности,
когда каждый класс эквивалентности содержит только один элемент. Поэтому можно
привести следующую аксиоматическую характеристику предиката равенства:
"x P(x, x); "x, y (P(x, y) ~ P(y, x)); "x, y, z (P(x, y) Щ P(y, z) Й P(x,
z)); (2.6)
"x $!y P(x, y). (2.7)
Аксиомы (2.6) определяют P как эквивалентность, аксиома (2.7) "отвечает" за
одноэлементность классов эквивалентности. Мы получили следующие различные
аксиоматические характеристики равенства: (2.1); (2.2); (2.3); (2.4), (2.5);
(2.6), (2.7). Каждая аксиоматическая ха
- Київ+380960830922