РОЗДІЛ 2
ОБГРУНТУВАННЯ ВИБОРУ МАЛОХВИЛЬОВОЇ ОБЛАСТІ Перетворення СИГНАЛІВ
На сучасному етапі розвитку вимірювальної та обчислювальної техніки існує
багато методів цифрової оцінки характеристик гармонічних сигналів, які
базуються на різних способах перетворення і обробки дискретизованих сигналів. З
теорії обробки сигналів відомо, що аналіз усіх типів періодичних сигналів
найбільш ефективно проводити на основі часових та частотних перетворень
(перетворення Фур’є) [14, 34, 35]. Однак, при аналізі неперіодичних сигналів,
як швидкоплинних, перехідних, так і повільних, як показують теоретичні і
практичні дослідження, вказані перетворення втрачають свою ефективність. Це
обумовлено складністю аналітичних виразів та зменшенням рівня чутливості
інформативних параметрів. В таких випадках найбільш доцільно проводити аналіз
сигналів на базі малохвильового перетворення [36, 37]. З метою обґрунтування
використання такого перетворення, а також тлумачення окремих його властивостей
виникає необхідність встановлення певних аналогій та можливих його зв’язків з
різними відомими видами перетворень, в першу чергу з перетворенням Фур’є
[38, 39].
2.1. Порівняльна характеристика перетворення Фур’є і
малохвильового перетворення, переваги і недоліки
2.1.1. Аналіз перетворення Фур’є в просторі
Для проведення аналізу позначимо через множину всіх вимірювальних функцій f
визначених на інтервалі , для яких справедлива наступна нерівність
Втрати будуть мінімальними, коли f є кусково-постійною функцією. При цьому
вважається, що дана функція в періодично розповсюджується на усій дійсній осі
тобто: для всіх x. Таким чином, множину часто називають простором 2p -
періодичної квадратно-інтегрованої функції. Така множина представляє вектор
простору, який може бути дуже легко контрольований. Для будь-якої функції в
існують ряди Фур’є, які представляються наступним чином:
(2.1)
де коефіцієнт Фур’є функції , який визначається як
(2.2)
Збіжність ряду (2.1) в означає, що
Можна виділити дві різні особливості подання рядів Фур’є (2.1). По перше,
функція розкладається на безмежну суму взаємно ортогональних компонентів де
ортогональність означає, що
для всіх (2.3)
при цьому (2.3) визначається як
(2.4)
Вміст виразу (2.3) підтверджує його важливе значення. Крім того, можна
відзначити той простий факт, що елемент
(2.5)
представляє ортонормований базис . Другою особливістю представлення рядів Фур’є
(2.1) є те, що ортонормований базис формує розширення окремої функції
, (2.6)
для якої виконується рівність для всіх цілих . Таке представлення називається
інтегральним розширенням.
Підсумовуючи цей важливий факт можна стверджувати, що кожна 2p періодична
квадратно інтегрована функція формується шляхом “суперпозиції” інтегральних
розширень базової функції
Відзначимо, що при ортонормованій властивості , представлення рядів Фур’є (2.1)
також задовольняє так звану тотожність Парсеваля:
(2.7)
яка стверджує, що значення повної енергії підраховані при часовому і частотному
представленнях сигналу збігаються.
Позначимо через простір всіх квадратно-сумованих бібезмежних рядів, які є
тільки, якщо
Отже, якщо значення квадратного кореня лівої частини рівняння (2.7)
використовується як „норма” для вимірювальних функцій в , і аналогічно,
значення квадратного кореня правої частини рівняння (2.7) використовується як
„норма” для , тоді функціональний простір і простір рядів будуть
“ізометричними” один до одного. Повертаючись до вищесказаного огляду
представлення рядів Фур’є (2.1) можна також стверджувати, що кожна 2p
періодична квадратно інтегрована функція є лінійною комбінацією інтегрального
розширення базової функції
При цьому знову відзначимо, що базова функція
яка представляє синусоїдальну хвилю, є лише функцією, що вимагає
формування всіх 2p періодичних квадратно сумованих функцій. Для будь-якого
цілого n з великим абсолютним значенням, хвиля має високу “частоту”, і для n з
малим абсолютним значенням, хвиля має низьку частоту. Таким чином, кожна
функція в складається з хвиль з різними частотами.
2.1.2. Аналіз малохвильового перетворення в просторі
Надалі розглянемо простір вимірюваної функції , визначеної на дійсній осі R,
яка задовольняє наступну нерівність:
Зрозуміло, що два функціональні простори і є цілком різні. Зокрема, оскільки,
кожна функція в мусить “спадати” до нуля при , синусоїдальні (хвилі) функції не
будуть належати до . Фактично, в даному випадку необхідно здійснювати пошук
“хвиль”, що формують . Ці хвилі будуть спадати до нуля при і для всіх
практичних застосувань, спад повинен бути дуже швидким. Таким чином,
здійснюється пошук малих хвиль, або “хвильки”, що генерують . Подібно як і для
, де кожна окрема функція формує увесь простір, в даному випадку також
надається перевага окремій функції, наприклад , для формування усього простору.
Виникає запитання, якщо хвилька дуже швидко спадає, яким чином вона може
перекрити цілу дійсну вісь? Очевидним способом є зміщення функції вздовж осі
R.
Позначимо через ZZ цілі числа:
ZZ
Найпростіший спосіб для функції перекрити всю вісь R є розгляд всіх
інтегральних зміщень , а саме:
ZZ.
Надалі, як і у випадку формування синусоїдальних хвиль, також необхідно
розглядати хвилі з різними частотами. З різних причин не розглядається “окрема
частота” хвиль, але більш правильно розглядати хвилі з відокремленими в
послідовні “октави” частотами (або діапазони частот). Для ефективності
обчислення, доцільно використовувати інтегральни
- Київ+380960830922