РАЗДЕЛ 2.
ЗАДАЧА СОЛИТОН-МАГНОННОГО РАССЕЯНИЯ И РАСЧЁТ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
2.1. Рассеяние в длинноволновом пределе.
Для парциальных мод с азимутальными числами найти точные аналитические решения не удаётся, однако анализ рассеяния можно провести достаточно полно в предельных случаях больших (длинноволновой предел) или малых (коротковолновой предел) значений волнового числа . Анализ рассеяния магнонов на вихре в длинноволновом пределе был проведён для парциальных мод с азимутальными числами [30] и [61], так как только для этих мод были известны нулевые решения.
Для анализа рассеяния магнонов на солитоне Белавина-Полякова в случае малых может быть использовано то обстоятельство, что при известны все точные решения , (1.3.5) для или (1.3.6) для , а не только указанные выше моды с азимутальными числами и . Это связано с уже упоминавшейся в предыдущем разделе высокой скрытой симметрией статической изотропной -модели, которая обусловлена упоминавшейся выше конформной инвариантностью модели изотропного магнетика в двумерном случае.
При функция возрастает, когда , поэтому её можно использовать только как асимптотическое решение для области . Случай является особым, так как при . Как мы убедимся ниже, здесь также существует особенность в рассеянии магнона на солитоне.
В этом случае при малых, но конечных значениях () решение может быть построено с помощью теории возмущений по . Как отмечалось выше, функции (1.3.5) или (1.3.6) хорошо описывают решение в области , то есть при малых, но конечных значениях решение в этой области можно искать в виде
(2.1.1)
где . Функция определяется линейным неоднородным уравнением второго порядка
. (2.1.2)
Решение этого уравнения можно определить методом вариации произвольной постоянной, если известны два линейно независимые решения однородной задачи. Заметим, что для легкоплоскостного магнетика это может быть реализовано только для трансляционной моды [30]. В случае изотропного магнетика указанным способом могут быть найдены решения для произвольных [62, 55].
Решение уравнения (2.1.2), не имеющее особенностей в нуле, можно записать в виде
(2.1.3)
Функция при , поэтому данная поправка мала при заведомо малых (). При больших функция возрастает, при величину нельзя рассматривать как малую поправку к , и уравнение (2.1.2) неприменимо. Однако эта область несущественна для нашей задачи - определения амплитуды рассеяния при , так как области применимости (1.4.6) и (2.1.1) перекрываются ().
Для конкретного построения решений и вычисления амплитуды рассеяния удобнее пользоваться модифицированной задачей, используя уравнение первого порядка , в котором - нулевое решение, ограниченное при . В случае таким решением является функция , откуда можно получить
(2.1.4)
С помощью этих формул легко восстановить явный вид решения исходной задачи :
(2.1.5)
(Формулы для , при будут приведены далее).
Анализ этого решения показал, что в широком интервале , (параметр находится в интервале и зависит от ), добавка к нулевому решению мала и теория возмущений адекватна.
Такие же закономерности имели место для магнонных мод с , рассеивающихся на вихре в легкоплоскостном магнетике [30]. Поскольку отклонения от асимптотического решения были экспоненциально малы, в области были справедливы оба решения, асимптотическое (2.1.5) и типа (1.4.6), что позволило найти коэффициент при функции Неймана (с учётом того, что при ) и записать аналитическую формулу для .
В нашем случае ситуация более сложная. Как отмечалось в предыдущем разделе при обсуждении точного решения (1.4.3), асимптотики решения вдали от солитона содержат поправки, убывающие по степенному закону. Хотя они и убывают быстрее, чем асимптотическое решение (2.1.5), их учёт оказывается важен. В частности, они могут иметь тот же вид, что и функция Неймана при .
Таким образом, для вычисления амплитуды рассеяния нужно сравнивать приближённое решение (2.1.5) не с асимптотической формой (1.4.6), а с уточнённым решением, учитывающим слагаемые со степенным убыванием вдали от солитона. Сравнение (2.1.5) с асимптотической формой (1.4.6) приводит к тому, что амплитуда рассеяния трансляционной моды на солитоне Белавина-Полякова отлична от нуля, в то время как в силу (1.4.3) она равна нулю.
В случае точная формула для этих поправок не существует, но они могут быть легко вычислены в длинноволновом приближении , когда можно считать, что [60].
Чтобы это сделать, перейдём в уравнении (1.4.1) к переменной . Тогда комбинация , входящая в , переходит в и при ненулевых обращается в нуль при . Значит, в пределе уравнение (1.4.1) просто превращается в уравнение Бесселя с решением (1.4.6) , а поправки могут быть найдены в виде разложения в ряд по степеням . Ограничиваясь первым неисчезающим приближением по и, представляя асимптотическое решение в виде , мы приходим к неоднородному уравнению Бесселя
Отсюда видно, что с данной точностью решение вдали от солитона может быть выражено через универсальную функцию ,
которая находится из решения уравнения вида
(2.1.6)
Используя стандартный метод вариации произвольной постоянной, запишем решение уравнения (2.1.6) в интегральной форме
-
- (2.1.7)
Интегрирование (2.1.7) может быть выполнено точно. При оно приводит к ответу .
Если же , возможно получить рекурентое соотношение
, ,
откуда
Ограничиваясь в дальнейшем поправками к функции Бесселя, то есть полагая в (2.1.7) , после достаточно длинных вычислений с использованием свойств цилиндрических функций, получим для выражение
(2.1.8)
где - пси-функция Эйлера.
Таким образом, как и для точного решения (1.4.3), асимптоти