розділ 2.2 присвячено дослідженню явища біфуркації канторової множини коізотропних інваріантних торів, спричиненого одночасною деформацією симплектичної структури та гамільтоніана цілком інтегровної системи.
Нехай - 2n-вимірний симплектичной многовид з симплектичною структурою , а - гамiльтонiан цiлком iнтегровної (в сенсi Лiувiлля) системи. Припустимо, що ця система зазнає збурень вигляду , де - замкнена, але не точна 2-форма.
Деякий окіл компактної спільної поверхні рівня перших інтегралів незбуреної системи, позначимо його через N , розшаровується орбітами вільної симплектичної дії тора . Визначимо для кожного векторне поле як генератор дії на N підгрупи і за 2-формою побудуємо кососиметричну білінійну форму , . Найбільш цікавим і нетривіальним є випадок, коли справджуються
Припущення 2.2.1 .
Припущення 2.2.2 Набір базисних векторів в задовольняє умову сильної нерезонансності.
Увівши в N координати прямого добутку , , типу "дія-кут", в яких збурений гамільтоніан і дужка Пуассона, відповідно, набирають вигляду та
,
вважаємо, що справджується
Припущення 2.2.3 Для деякого функції , - дійсно-аналітичні, відповідно, в та , де , , .
Нехай C - лінійний оператор в координатному просторі з матрицею , а - обмеження векторного поля на спільну поверхню рівня функцій , , яка проходить через точку .
Означення 2.2.1 Точка є невиродженою квазiстацiонарною точкою елiптичного типу, якщо , а оператор лінійної частини векторного поля в точці має суто уявнi, попарно рiзнi власнi числа.
Припущення 2.2.4 Точка є невиродженою квазістаціонарною точкою еліптичного типу.
Якщо виконується це припущення , то в деякому околi початку координат в невиродженi квазiстацiонарнi точки елiптичного типу утворюють -вимiрний многовид, який можна задати у параметричному виглядi , , де - деяка однозв'язна область в , що мiстить точку .
Означення 2.2.2 Підмноговид фазового простору , який в локальних координатах задається рівнянням , , будемо називати многовидом квазістаціонарних точок еліптичного типу.
Звуженням області U можна досягти того, щоб власнi числа оператора мали вигляд де - дiйсно-аналiтичнi функцiї з властивiстю
Поклавши , будемо вимагати виконання умови невиродженостi Рюссмана, яку подамо у вигляді
Припущення 2.2.5 Функції лінійно незалежні в U.
В п. 2.2.2 доведено теорему 2.2.1, яка стверджує, що в околі многовиду квазістаціонарних точок можна ввести координати типу "дія-кут" , , , , , у яких збурений гамільтоніан і дужка Пуассона матимуть, відповідно, вигляд
,
, , ,
де функції - дійсно-аналітичні в U, - додаткові параметри, . При цьому система з гамільтоніаном лише членами порядку ( - деяке досить велике натуральне число) відрізняється від системи, що має коізотропний інваріантний тор , заданий рівняннями , рух на якому квазіперіодичний. Нехай - рівняння тора в координатах , - область яку пробігають параметри . Виникає задача побудови підмножини , точкам якої відповідали б інваріантні тори системи з гамільтоніаном . Застосувавши до гамільтоніана метод штучних параметрів, знаходимо такі гладкі в областi функції , де досить мале, що шукана множина задається системою нерівностей
Підсумковий результат підрозділу 2.2 складає
Теорема 2.2.3 Нехай система з гамільтоніаном на симплектичному многовидi справджує припущення 2.2.1-2.2.5. Тодi для довiльного натурального та як завгодно малого додатнi числа можна вибрати так, щоб для кожного iснувало вiдображення з такими властивостями:
1) при фiксованих вiдображення дiйсно-аналiтичне;
2) виконується нерiвнiсть ;
3) якщо , то гамiльтонова система має коiзотропний iнварiантний тор , який описується рiвнянням
4) потiк на такому торi квазiперiодичний з рацiонально незалежними базисними частотами - компонентами векторів
;
5) виконується умова масивностi множини iнварiантних торiв збуреної системи
.
У підрозділі 2.3 досліджується задача про збурення інтегровних гамільтонових систем, фазовий простір яких розшаровується маловимірними інваріантними торами, причому властивість інтегровності обумовлена наявністю маловимірних торичних непуассонових симетрій.
Припущення 2.3.1. Симплектичний 2n-вимірний многовид допускає вільну симплектичну дію k-вимірного тора .
Припущення 2.3.2. Дія тора на непуассонова: кососиметрична білінійна форма (2-коцикл) , визначена рівністю , нетривіальна, де - алгебра Лі тора , - векторне поле на М, яке породжує дію відповідної вектору однопараметричної підгрупи тора.
Припущення 2.3.3. Матриця із стовпцями задовольняє умову сильної нерезонансності, де , - базис .
Вивчається випадок, коли гамільтоніан незбуреної системи сам є -інваріантним і, крім того, комутує з кожною функцією повного набору інваріантів дії тора . Квазіперіодичні рухи збуреної системи з гамільтоніаном шукаються поблизу многовиду відносних положень рівноваги системи з гамільтоніаном , де - середнє значення функції вздовж -орбіти. Ми встановлюємо умови, при виконанні яких інваріантні тори збуреної системи утворюють поблизу зазначеного многовиду гладку в сенсі Вітні сім'ю і, як і у попередніх п.п., мають майже вироджений тип - деякі кутові координати змінюються в часі зі швидкістю порядку .
Нехай - гамільтоніан поля , . В околі -орбіти існують координати прямого добутку , у яких дужка Пуассона набирає вигляду
де - символ Кронекера, , - компоненти вектора . Покладемо
, , ,
Припущення 2.3.4. Функції , лінійно незалежні.
Припущення 2.3.5. Функції , , - дійсно-аналітичні і обмежені в області ,
Припущення 2.3.6. Виконується рівність і матриця , де , має суто уявні і попарно різні власні числа.
Зрозуміло, що система має інваріантний тор, який задається рівнянням Заміною уводимо в гамільтоніан векторний параметр u. Теорема 2.3.1 стверджує, що після запровадження координат типу "дія-кут" та виконання процедури усереднення збуреного