РОЗДІЛ 2
АБСОЛЮТНА ЗБІЖНІСТЬ ПОДВІЙНИХ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ І ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОЦІНОК ЗНИЗУ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ ФУНКЦІЙ КЛАСУ H
2.1Основні позначення , поняття і постановка задачі
Введемо слідуючі позначення :
-множина точок одиничного круга .
, .
, -простір неперервних 2?-періодичних по
кожній змінній функцій .
Нагадаємо , що ряд
,
має обмежену варіацію , якщо при дійсна і уявна частини цього ряду є рядами Фур'є функцій з обмеженою варіацією .
Через позначимо клас функцій Харді , тобто множину аналітичних в
функцій таких , що
.
Кажуть, що функція є функцією з обмеженою варіацією на сегменті , якщо , де - точна верхня границя множини найможливіших сум для довільного розбиття сегмента на частини точками .
Вперше поняття варіації функції зустрічається в працях французького математика Жордана (1838 - 1922).
Харді і Літтлвудом [52] , (див. також [28,стор.455], [5] ) доведено,що якщо степеневий ряд
має обмежену варіацію , то
,
де - варіація функції на .
Аналог результату Харді - Літтлвуда для випадку кратних степеневих рядів не доведений, що зумовлено рядом причин. По - перше тим, що нулі регулярної функції декількох змінних утворюють континуум і не існує аналогів добутку Бляшке, а значить відсутні ряд результатів, доведення яких базується на використанні теорем факторизації. По - друге, що для функції багатьох змінних існує багато означень варіації функції, наприклад варіації Віталі, Тонеллі, Арцела, Кронрода, Вітушкіна, огляд яких можна знайти в [10].
Метою даного розділу є доведення аналогу результату Харді - Літтлвуда для кратних степеневих рядів, у випадку, коли варіація функції розглядається в розумінні Тонеллі і Харді - Віталі.
Нехай функція має ряд Фур'є
де , , , ,
а коефіцієнти обчислюються за формулами
,
,
,
.
Множину всіх аналітичних функцій в таких , що
будемо позначати , як загально прийнято , через .
Нехай функція задана на .Зафіксуємо і позначимо через варіацію функції на відрізку , а через варіацію на відрізку прифіксованому . Будемо вважати такою , що і вимірні по Лебегу функції відповідно на і .
Функція називається функцією з обмеженою варіацією в розумінні Тонеллі , якщо
. (*)
(див. А.Г.Вітушкін [10] , стор.13).
Якщо - абсолютно неперервна по кожній змінній, тобто абсолютно неперервна по при майже всіх і абсолютно неперервна по при майже всіх , то
;
В загальному випадку, як відомо, можна записати, що
, ,
розуміючи останні інтеграли як інтеграли Стілт'єса, тобто
.
Тоді співвідношення (*) запишеться у вигляді
.
Ряд має обмежену варіацію в розумінні Тонеллі , якщо при , дійсна і уявна частини цього ряду є рядами Фур'є від функцій з обмеженою варіацією в розумінні Тонеллі.
Функція називається функцією обмеженої варіації в розумінні Харді-Віталі , якщо вона є функцією обмеженої варіації на кожному ребрі квадрата і існує стала така що
для довільної прямокутної сітки з кутами .(див. А. Алімов ,
В.А. Ільїн, Є.М. Нікішин [3] ).
Ряд має обмежену варіацію в розумінні Харді-Віталі , якщо при , дійсна і уявна частини цього ряду є рядами Фур'є від функцій з обмеженою варіацією в розумінні Харді-Віталі .
Відомо, що якщо функція має сумовну мішану похідну , то
.
В загальному випадку
,
де останній інтеграл слід розуміти як інтеграл Стілт'єса, тобто, як границю при (, ) інтегральних сум
Для довільної функції в і для довільного визначимо функцію в формулою
(2.1)
Функція називається 'зріз - функцією' і дозволяє пов'язати деякі двовимірні властивості з відповідними одновимірними властивостями (див. У. Рудін [43] , стор.42).
Нам потрібна буде відома нерівність Коші-Буняковського ([30], стор.42):
.
Через ,як і раніше, будемо позначати абсолютні додатні сталі , які можуть бути не однаковими в різних формулах.
При викладі матеріалу даного розділу будуть необхідні наступні відомі твердження .
ТЕОРЕМА 2.1.1. (R. Wittmann [9] ). Для кожної аналітичної функції
в маємо
,
де
.
У випадку покладаємо .
Нехай
, а - клас регулярних функцій , таких, що , де , .
ЛЕМА 2.1.1 (П.В. Задерей [27] ). Нехай
.
Тоді
.
Нехай -множина алгебраїчних поліномів виду
,
де -довільні дійсні (або комплексні ) числа .
Через будемо позначати величину найкращого наближення функції поліномами в метриці простору , тобто
.
Нехай - множина алгебраїчних поліномів виду
,
де - довільні дійсні ( або комплексні ) числа .
Через будемо позначати величину найкращого наближення функції поліномами в метриці простору , тобто
.
2.2. Абсолютна збіжність подвійного степеневого ряду, що має обмежену варіацію в розумінні Тонеллі.
Метою даного підрозділу є доведення наступного твердження.
ТЕОРЕМА 2.2.1. Нехай степеневий ряд
має обмежену варіацію в розумінні Тонеллі, тобто дійсна і уявна частини цього ряду при є рядами Фур'є функцій і таких, що
Тоді
,
де
.
Для доведення теореми нам буде потрібне допоміжне твердження.
ЛЕМА 2.2.1. Якщо ряд має обмежену варіацію в розумінні Тонеллі і
,
то
.
Д о в е д е н н я . Відділимо дійсну і уявну частини в ряді при , при цьому будемо вважати, що .
Оскільки існують функції з обмеженими варіаціями в розумінні Тонеллі,тобто
,
і такі, що
, (2.2)
,
(2.3)
;
, (2.4)
(2.5)
.
Розглянемо ряди, які одержуються із рядів (2.2) і (2.4) диференціюванням по
(2.6)
(2.7)
.
Покажемо, що ці ряди є рядами Фур'є - Стілт'єса відповідно функцій .