РАЗДЕЛ 2
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
2.1 Математическое описание и алгоритмы моделирования механических объектов с сосредоточенными параметрами (многомассовые системы)
Основная модель. Непрерывное совершенствование машин и механизмов ставит сложные научные и инженерные задачи, в том числе задачи исследования новых структур механических систем, конструкций из новых материалов, определения нагрузок в линиях передач, вызванных сложным колебательным движением и т.д. [112,127]
Возникающие в механизме упругие силы определяются жесткостью упругих элементов величинами дискретных масс. Для оптимального выбора значений данных параметров используются, прежде всего, эффективные методы исследования динамики механических систем. Анализ многомассовых систем с оценкой влияния параметров на ее движение, а тем более с оптимальным выбором параметров, все еще остается сложной задачей. Величины сил, развиваемые в линейных упругих связях определяются решением дифференциальных уравнений вида
(2.1)
имеющих, как правило высокий порядок n.
Несмотря на существование многих численных методов решения данного класса уравнений, проблема создания средств компьютерного моделирования динамических систем остается актуальной [31,34]. Трудности определяются как предметной областью конкретной задачи, так и необходимостью выбора или разработки вполне конкретных алгоритмов и программ, обеспечивающих создание наиболее рационального в данной ситуации инструмента моделирования [51,59,66].
Современные системы моделирования, такие как MATLAB и Simulink, обладают необходимыми возможностями для многостороннего решения задач динамики многомассовых механических систем, хотя при этом требуется учет особенностей средств моделирования. Такой особенностью является ориентация на выполнение матричных операций, в связи с чем необходимо предусматривать некоторые преобразования исходных уравнений [86].
В случае линейных задач такие преобразования вполне возможны, в чем можно убедиться на примере подготовки следующей задачи к исследованию в среде MATLAB.
Задана двухмассовая механическая система, представленная на рис. 2.1, где обозначены: m1 - масса 1-го тела; m2 - масса второго тела; Fвх(t) - сила, приложенная к 2-му телу; k1 и k2 - коэффициенты жесткости соответственной 1-й и 2-й пружины; f1 и f2 - коэффициенты демпфирования 1-й и 2-й подсистем; y1(t) и y2(t) - перемещение масс m1 и m2.
Динамика системы описывается системой уравнений:
(2.2)
Данная механическая система может рассматриваться как объект с входным воздействием
(2.3)
и выходными координатами перемещения y1(t) и y2(t) масс, которые представляют элементы вектора состояния системы
(2.4)
В данном случае система уравнений (2.1) и (2.2) преобразуется к виду
(2.5)
или к матричному уравнению
(2.6)
(2.7)
Если вектором наблюдения выбран
(2.8)
то матрицы уравнения наблюдения y = C x+D n представляют собой
(2.9)
Передаточные функции для координат y1(t) и y2(t) имеют вид:
(2.10)
Рис. 2.1
Рис. 2.2
На рис. 2.2 приведена структура компьютерной модели (в среде MATLAB) рассматриваемой двухмассовой системы, полученная с использованием средств графического программирования.
Рассмотренная методика моделирования принципиально не меняется при исследовании нелинейных систем. При решении обратных задач (восстановления внешних сил, синтез, проектирование, идентификация модели) требуются определенные дополнения к стандартным модулям MATLAB и Simulink, что, как указано выше, вполне допустимо.
Способ упрощения динамической модели. Во многих случаях при исследовании динамических систем интерес представляют лишь некоторые параметры состояния, но соответствующая математическая модель имеет высокий порядок. В такой ситуации целесообразно понизить порядок модели до более низкой величины. В связи с этим рассмотрим следующий метод, минимизирующий ошибку уравнений модели более низкого порядка. Пусть в n-мерной системе
(2.11.а)
(2.11.b)
А, В и С - постоянные матрицы. Собственные значения А лежат все левее оси j. m-мерная модель более низкого порядка представляется уравнениями
(2.12.a)
(2.12.b)
Из вектора состояний x с помощью так называемой матрицы приведения R образуется вектор:
(2.13)
m компонент вектора xr будут отображаться с помощью модели более низкого порядка (2.12), т.е. должно удовлетворяться требование
(2.14)
Чаще всего интересуются компонентами самого вектора состояний x, но не всеми, а лишь теми, которые оказывают существенное влияние на вектор выходной величины y. Обозначим эти компоненты через xji , i=1, ... , m. Тогда имеют место матрицы:
(2.15)
В матрице приведения R размерностью (m,n) и местах (i,j) имеют место "1", в противном случае всюду "0".
Далее будем учитывать требование (2.14). Исходя из выражения (2.12.a), получим
Если , то справедливо выражение
. (2.16)
Разумеется, достичь выполнимости (2.16) в общем случае невозможно, однако вполне достаточно, если удастся ошибку уравнения
(2.17)
каким-либо образом сделать "малой".
Выбирая x0=0, вследствие чего получим также xr0=0, и тогда ( - 1-скачок).
Теперь для t ? 0 получаем:
Для t ? 0 справедливо соотношение
(2.18)
Поэтому далее можно записать:
(2.19)
Поскольку величина U0 не является определяющей для системы, то в дальнейшем будем рассматривать лишь выражения в квадратных скобках
(2