РОЗДІЛ 2
НЕТЕРОВІ ЛІНІЙНІ ІМПУЛЬСНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
В даному розділі розглядаються нетерові лінійні крайові задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією у фіксовані моменти часу (лінійні імпульсні крайові задачі).
Введено поняття фундаментальної матриці однорідної імпульсної системи диференціальних рівнянь другого порядку, вказано зв'язок між фундаментальною матрицею системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією та фундаментальною матрицею системи диференціальних рівнянь без імпульсної дії.
Як і в випадку крайової задачі без імпульсів розглянуто випадки критичних та некритичних крайових задач, встановлений критерій розв'язності нетерової імпульсної крайової задачі, побудовано параметричну сім'ю розв'язків і досліджено її структуру. Побудовано узагальнений оператор Гріна нетерової імпульсної крайової задачі, за допомогою якого записується параметрична сім'я розв'язків розглядуваної крайової задачі. Узагальнений оператор Гріна виражається через узагальнену матрицю Гріна. Для матриці Гріна сформульовані та доведені її властивості.
Введено поняття псевдорозв'язку нетерової імпульсної крайової задачі.
Як приклади розглянуто двоточкову нетерову імпульсну крайову задачу та нетерову імпульсну крайову задачу з крайовими умовами .
§ 2.1. Постановка імпульсної крайової задачі і основні означення
Розглянемо лінійну імпульсну крайову задачу
, , (2.1)
, (2.2)
, , (2.3)
де - розглядуваний відрізок, , - точки імпульсної дії:
, . , , - вимірні дійсні матриці - функції, , . Елементи матриці є неперервно диференційовними з розривами першого роду в точках імпульсної дії: , компоненти матриці є неперервними з розривами першого роду в точках імпульсної дії: .
Матриці , , - вимірні, елементи, яких належать полю дійсних чисел. , вимірні вектори, елементи яких належать полю дійсних чисел.
вимірні вектор-функції. Вектор-функція належить простору кусково-неперервних по вектор-функцій: .
Розв'язок крайової задачі (2.1)-(2.3) шукається в класі - вимірних неперервних на вектор-функцій, таких, що .
Функції , , , вважаються неперервними зліва у точках розриву.
-лінійний обмежений вимірний векторний функціонал, визначений на просторі вимірних, кусково-неперервних на відрізку вектор-функцій: , .
Залежно від конкретного вигляду функціоналу в крайовій умові (2.3) можна отримати різні типи імпульсних крайових задач вигляду (2.1)-(2.3).
Означення 2.1. Розв'язком імпульсної крайової задачі (2.1)-(2.3) називається вимірна неперервна на вектор-функція, така, що , яка задовольняє систему імпульсних диференціальних рівнянь (2.1), (2.2) та крайову умову (2.3).
Поряд з неоднорідною імпульсною крайовою задачою (2.1)-(2.3) розглянемо однорідну імпульсну крайову задачу
, , (2.4)
, (2.5)
, . (2.6)
Означення 2.2. Фундаментальною матрицею однорідної імпульсної системи (2.6), (2.7) називається вимірна матрична функція
, , (2.7)
де , , ,- вимірні матриці-функції, вектори-стовпчики яких є лінійно незалежними розв'язками однорідної імпульсної системи диференціальних рівнянь другого порядку (2.6), (2.7).
Будемо розрізняти критичні і некритичні випадки імпульсних краєвих задач [20].
Означення 2.3. Лінійна імпульсна крайова задача для системи диференціальних рівнянь другого порядку (2.1)- (2.3) називається некритичною, якщо відповідна їй лінійна однорідна імпульсна крайова задача (2.6)- (2.8) має лише тривіальний розв'язок.
Означення 2.4. Лінійна імпульсна крайова задача для системи диференціальних рівнянь другого порядку (2.1)- (2.3) називається критичною, якщо відповідна їй лінійна однорідна імпульсна крайова задача (2.6)- (2.8) має нетривіальні розв'язки.
§ 2.2. Загальний розв'язок неоднорідної імпульсної системи (2.1), (2.2) та матрична функція Гріна
Знайдемо загальний розв'язок неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку (2.1) з імпульсною дією (2.2).
Лема 2.1. Загальний розв'язок неоднорідної імпульсної диференціальної системи другого порядку (2.1), (2.2), має вигляд:
, , , (2.8)
де , --вимірна фундаментальна матриця однорідної імпульсної системи (2.4), (2.5), і визначена формулою (2.7), - вимірна вектор-функція - частинний розв'язок неоднорідної імпульсної системи (2.1), (2.2):
(2.9)
--вимірна матриця:
, (2.10)
де функція Хевісайда:
,
а вимірні матриці блоки, які є елементами вимірної блочної матриці
(2.11)
відповідно, вимірні матриці блоки, які є елементами матриці .
Матриця вигляду (2.11) є оберненою до фундаментальної матриці
, (2.12)
де , , , довільний сталий вектор з .
Доведення.
Покладемо
, (2.13)
де , , - - вимірна вектор-фун