раздел 2.3).
Заметим, что соотношения типа (2.1.16) и (2.1.18) имеют место, как для тормозных систем радиального колодочного типа, так и для систем с дисковыми тормозными устройствами. С физической точки зрения отличие между этими двумя типами тормозов состоит в различных значениях параметров и , а также тем, что каждый дисковый тормозной модуль настраивается на максимальный тормозной момент, равный , где - общее количество таких модулей.
Применение многомодульных дисковых тормозов дает возможность приводить их в действие не все одновременно, а последовательно с заранее назначенным порядком, чем обеспечивается "плавность" остановки машины. В связи с этим характер изменения во времени результирующего тормозного момента будет отличаться от выражения (2.1.16), и этот аспект задачи будет более подробно рассмотрен в разделе 2.3.
Изложенные в данном разделе концепции, принятые обозначения и необходимые соотношения являются основой разрабатываемой далее математической модели предохранительного торможения подъемной машины.
2.2. Уравнения динамических состояний установки
Вывод дифференциальных уравнений динамических состояний представленной на рис. 2.2 механической системы четырех дискретных тел, связанных между собой упругими инерциальными связями-канатами, будем основывать на исследованиях и результатах, изложенных в докторской диссертации проф. В. И. Дворникова [24].
2.2.1. Формализация уравнений динамики.
Следуя методологическому подходу упомянутой работы, рассмотрим вначале изображенную на рис. 2.2 механическую систему в предположении, что вместо упругих массивных канатов имеются обычные невесомые упругие связи. Иными словами, предположим, что две сосредоточенные концевые массы сосудов и соединены с вращающейся массой машины упругими связями с коэффициентами жесткости и , имитирующие жесткости соответствующих ветвей головных канатов. В то же время эти же массы соединены с вращающейся фиктивной массой упругими связями с коэффициентами жесткости и , имитирующие жесткости соответствующих ветвей уравновешивающих канатов. Такая механическая система с учетом ее диссипативных свойств и с использованием общепринятой символики изображена на рис. 2.4, движение которой запишем в следующей матричной форме:
, (2.2.1)
где в принятых обозначениях (2.1.4) и (2.1.5) матрица дискретных масс:
, (2.2.2)
матрица диссипативных коэффициентов, учитывающих вязкое трение в рамках концепции гипотезы внутреннего трения:
, (2.2.3)
матрица коэффициентов жесткости упругих связей между дискретными элементами системы:
, (2.2.4)
и матрицы перемещений дискретных тел [см. (2.1.7), рис. 2.3] и внешних сил [см. (2.1.8), (2.1.9) и (2.1.15)]:
. (2.2.5)
Заметим, что в обозначениях (2.2.3) и (2.2.4) верхние индексы не имеют ничего общего с показателями степени.
Для изображенной на рис. 2.4 системы дискретных тел с невесомыми упругими связями формально в матрицах (2.2.3) и (2.2.4) должны иметь место равенства
, (2.2.6)
но здесь специально делается различие между параметрами и , а также между и . Как будет показано в дальнейшем, такие различия появляются, если учитывать массивность упругих связей-канатов, и принятая здесь запись является весьма удобной для формализации уравнений движения.
В (2.2.6) числа представляют собой коэффициенты "статической" жесткости головных и уравновешивающих канатов, определяемых по формулам (см. рис. 2.2 или рис. 2.3)
, (2.2.7)
где и -агрегатные продольные жесткости соответственно головных и уравновешивающих канатов в обозначениях М. Ф. Глушко [17].
Наряду с матричным уравнением (2.2.1) рассмотрим без учета диссипативных членов однородную систему
, (2.2.8)
которой, очевидно, удовлетворяет матрица-столбец типа
, (2.2.9)
где , а - некоторое число, называемое собственным для уравнения (2.2.8), или, проще говоря, это любая из собственных частот рассматриваемой механической системы. Матрица-столбец в (2.2.9) называется собственной формой, если принадлежит какому-либо собственному числу.
Собственные числа и формы определяются следующим образом. Подставим (2.2.9) в (2.2.8), в результате чего получим
, (2.2.10)
а так как не может быть тождественно равным нулю, то для этого необходимо и достаточно, чтобы
. (2.2.11)
Соотношение (2.2.11), называемое характеристическим уравнением, в раскрытом виде представляет собой относительно алгебраическое уравнение четвертой степени. Однако, вследствие ранее обусловленного тождества , фактически это уравнение является кубическим, которое при симметрических матрицах и имеет, как известно, три действительных корня , и этим трем числам приводятся в алгебраическое соответствие три собственные формы . Важно иметь в виду ту особенность, что размерность матрицы-столбца не зависит от числа корней, и она остается равной четырем даже при .
Эти четыре составляющие, каждое из которых удовлетворяет уравнению (2.2.10), с точностью до произвольного постоянного множителя являются алгебраическими дополнениями к элементам, например, четвертой строки в определителе, составленном из компонентов матрицы :
(2.2.12)
где , а и является упомянутым произвольным постоянным множителем, который удобно принять таким, чтобы в целом формы были безразмерными. В таком определении характеристическое уравнение (2.2.11) запишется как
. (2.2.13)
В высшей алгебре доказывается, что для специальной так называемой эрмитовой формы , где является транспонированной матрицей , то есть представляет собой матрицу-строку, имеет место соотношение
, (2.2.14)
где - символ